Erwartungswert berechnen (Varianz, Standardabweichung)

Geben Sie entsprechend Ihrer Verteilungstabelle jeden möglichen Wert x und seine Wahrscheinlichkeit p zeilenweise ein. Das hellgraue Beispiel ist der Gewinn bei einem Los (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %).

Anzahl der Zeilen (Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit)

Wert x₁

Wahrscheinlichkeit p₁

Wert x₂

Wahrscheinlichkeit p₂

Wert x₃

Wahrscheinlichkeit p₃

Wert x₄

Wahrscheinlichkeit p₄

Wert x₅

Wahrscheinlichkeit p₅

Wert x₆

Wahrscheinlichkeit p₆

Wert x₇

Wahrscheinlichkeit p₇

Wert x₈

Wahrscheinlichkeit p₈

Wert x₉

Wahrscheinlichkeit p₉

Wert x₁₀

Wahrscheinlichkeit p₁₀

Geben Sie nur Zahlen ein. Eine Wahrscheinlichkeit können Sie als 0,2, 20 % oder 1/5 eingeben, und die Wahrscheinlichkeiten aller Zeilen müssen zusammen 1 ergeben. Werte dürfen auch negativ sein (ein Verlust). Lassen Sie „Wert“ und „Wahrscheinlichkeit“ in nicht benutzten Zeilen leer.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie in den Feldern links Paare aus Werten und Wahrscheinlichkeiten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramm
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie eine Verteilungstabelle ein (Paare aus einem möglichen Wert \(x\) und seiner Wahrscheinlichkeit \(p\), 2 bis 10 Zeilen), und Sie erhalten sofort den Erwartungswert \(E(X)\), die Varianz \(\mathrm{Var}(X)\) und die Standardabweichung \(\sigma(X)\)
Die Antworten erscheinen als vollständig gekürzter Bruch (der exakte Wert), zum Beispiel \(\dfrac{7}{2}\), und als Dezimalzahl. Sie sehen auch den Rechenweg, bei dem Ihre Zahlen in \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\) eingesetzt werden
Der Rechner prüft automatisch, ob die Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergeben. Ist das nicht der Fall, nennt er Ihnen die aktuelle Summe
Eine Wahrscheinlichkeit können Sie als 0,2, 20 % oder 1/5 eingeben. Die Werte dürfen auch negativ sein (ein Verlust)
Zum Ergebnis gehört ein Säulendiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung, in dem der Erwartungswert \(E(X)\) durch eine senkrechte gestrichelte Linie markiert ist

Diese Seite behandelt Zufallsgrößen mit endlich vielen möglichen Werten (diskrete Zufallsgrößen). Zufallsgrößen mit stetigen Werten, etwa die Körpergröße, werden nicht unterstützt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

„Was ein Los im Schnitt zurückbringt“ bei Lotterie und Lootbox in eine Zahl fassen

Der Erwartungswert, „Gewinn mal Gewinnchance“ über alle Gewinne addiert, ist genau die durchschnittliche Auszahlung pro Los. Beim Lotto 6aus49 werden in Deutschland 50 % der Spieleinsätze als Gewinne ausgeschüttet (LOTTO.de), sodass der Erwartungswert eines Scheins weit unter seinem Preis liegt.
Dieselbe Rechnung können Sie für Lootboxen in Videospielen anstellen. Mit den veröffentlichten Drop-Raten (Wahrscheinlichkeiten) ist sie die Grundlage, um abzuschätzen, „wie viel es ungefähr kostet, den gewünschten Gegenstand zu bekommen“.

Versicherungsbeiträge festlegen (die Grundlage der Preisgestaltung von Versicherern)

Die Beiträge von Lebens- und Kfz-Versicherungen beginnen bei der erwarteten Schadensleistung: „jede Schadenszahlung mal der Chance auf diesen Unfall oder diese Krankheit“, alles addiert. Betriebskosten und weitere Beträge kommen dann obendrauf. Es gibt einen ganzen Beruf, die Versicherungsmathematikerin oder den Versicherungsmathematiker (Aktuar), der auf solche Berechnungen spezialisiert ist.
Aus Sicht der Kundschaft ist eine Versicherung ein Geschäft, bei dem Sie im Durchschnitt (im Erwartungswert) mehr zahlen, als Sie zurückbekommen. Was Sie kaufen, ist Sicherheit gegen einen seltenen, aber großen Verlust.

Rendite und Risiko einer Geldanlage mit demselben Maßstab vergleichen

Bei Geldanlagen behandelt man üblicherweise den Erwartungswert der Rendite als „den Gewinn, mit dem man rechnen kann“ und die Standardabweichung als „das Risiko (die Größe der Schwankungen)“. Haben zwei Anlagen dieselbe erwartete Rendite, schwankt die mit der kleineren Standardabweichung sanfter auf und ab.
Der Gedanke auf dieser Seite, „wie hoch der Erwartungswert ist“ und „wie groß die Streuung ist“ als zwei getrennte Zahlen zu betrachten, lässt sich unmittelbar auf die reale Finanzwelt übertragen.

Spielbalance einstellen (Belohnungen und Schaden gestalten)

Wer Brett- und Videospiele entwickelt, berechnet Erwartungswerte wie „die Summe zweier Würfel“, „den Schaden pro Angriff“ und „den Wert eines Gegenstands aus einer Schatztruhe“, um Stärke und Belohnungen auszubalancieren.
Zum Beispiel haben „100 Schaden mit 50 % Wahrscheinlichkeit“ und „immer 50 Schaden“ beide den Erwartungswert 50, aber unterschiedliche Varianzen, sodass sich die beiden Aktionen beim Spielen verschieden anfühlen. Entwicklerinnen und Entwickler stimmen Erwartungswert und Streuung ab, um das gewünschte Spielerlebnis zu schaffen.

Formeln und Diagramm

Erwartungswert (Mittelwert einer Zufallsgröße)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\cdot\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\cdot\) \(p_n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(E(X)\): Erwartungswert \(=\) ① \(x_1\): erster Wert \(\cdot\) ② \(p_1\): seine Wahrscheinlichkeit \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\): letzter Wert \(\cdot\) \(p_n\): seine Wahrscheinlichkeit

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie jeden der \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\): mögliche Werte

② multiplizieren Sie ihn mit seiner \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\): Wahrscheinlichkeiten dieser Werte und addieren Sie alles

③ und Sie erhalten den \(E(X)\): Erwartungswert

Einfaches Beispiel

Der Erwartungswert der Augenzahl \(X\), die Sie bei einem Würfelwurf erhalten (jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\)), ist

\(E(X)\): erwartete Augenzahl \(=\) Augenzahl 1 \(\cdot\) Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) Augenzahl 6 \(\cdot\) Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{6} + 5 \cdot \dfrac{1}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

Der Kerngedanke

Der Erwartungswert sagt Ihnen, „wie viel Sie im Durchschnitt pro Versuch erhalten“. Er ist ein mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert (die Summe aus jedem Wert mal seiner Wahrscheinlichkeit). Würfeln Sie tausend- oder zehntausendmal und mitteln Sie die geworfenen Zahlen, nähert sich der Durchschnitt immer mehr diesen 3,5 (das Gesetz der großen Zahlen). Eine 3,5 können Sie nie tatsächlich würfeln. Wichtig ist, den Erwartungswert nicht als „Vorhersage des nächsten Ergebnisses“ zu verstehen, sondern als „Durchschnitt pro Versuch bei vielen Wiederholungen“. Wie das Diagramm oben zeigt: Stellen Sie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Gewichte auf einer Linie vor, dann ist der Erwartungswert der Schwerpunkt.

Varianz (wie stark die Werte streuen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \((E(X))^{2}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\mathrm{Var}(X)\): Varianz \(=\) ① \(E(X^2)\): Mittelwert der Quadrate \(-\) ② \((E(X))^2\): Quadrat des Erwartungswertes

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(E(X^2)\): erst quadrieren, dann mitteln

② ziehen Sie das \((E(X))^2\): erst mitteln, dann quadrieren ab

③ und Sie erhalten die \(\mathrm{Var}(X)\): Varianz

Einfaches Beispiel

Die Varianz der Augenzahl \(X\) bei einem Würfelwurf (Erwartungswert \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) ist

\(\mathrm{Var}(X)\): Varianz der Augenzahl \(=\) \(E(X^2)\): Mittelwert der quadrierten Augenzahlen \(-\) Quadrat des Erwartungswertes \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \cdot \dfrac{1}{6} + 2^{2} \cdot \dfrac{1}{6} + 3^{2} \cdot \dfrac{1}{6} + 4^{2} \cdot \dfrac{1}{6} + 5^{2} \cdot \dfrac{1}{6} + 6^{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

Der Kerngedanke

Die Varianz sagt Ihnen, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Ihre ursprüngliche Definition quadriert jeden Abstand zum Erwartungswert \(\mu = E(X)\) (die Abweichung) und bildet davon den Mittelwert: \(\mathrm{Var}(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). Die Bedeutung, „der Mittelwert der quadrierten Abweichungen“, lässt sich direkt aus dieser Formel ablesen. Die Definition erfordert allerdings für jede Zeile eine Subtraktion von \(\mu\), was viel Arbeit ist. Umgeformt ergibt sich die einfachere Form oben, \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) („der Mittelwert der Quadrate minus das Quadrat des Mittelwerts“), die man Verschiebungssatz nennt. Schulbücher verwenden sie für die meisten konkreten Rechnungen, und auch dieser Rechner zeigt seinen Rechenweg mit dieser Formel. Selbst bei gleichem Erwartungswert bedeutet eine größere Varianz eine Verteilung mit größeren Schwankungen zwischen Gewinn und Verlust. Zum Beispiel haben „ein Los, das immer 100 € auszahlt“ und „ein Los, das mit gleicher Chance 0 € oder 200 € auszahlt“ beide den Erwartungswert 100 €, aber das zweite hat die größere Varianz.

Standardabweichung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

② \(\sigma(X)\): Standardabweichung \(=\) ① positive Quadratwurzel der Varianz \(\mathrm{Var}(X)\)

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie die positive Quadratwurzel aus der \(\mathrm{Var}(X)\): Varianz

② und Sie erhalten die \(\sigma(X)\): Standardabweichung

Einfaches Beispiel

Die Standardabweichung der Augenzahl \(X\) bei einem Würfelwurf (Varianz \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{12}\)) ist

\(\sigma(X)\): Standardabweichung der Augenzahl \(=\) positive Quadratwurzel der Varianz \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

Der Kerngedanke

Die Varianz ist der Mittelwert der „quadrierten Abweichungen“, daher ist auch die Einheit quadriert (ist der Gewinn in Euro angegeben, hat die Varianz die Einheit Euro mal Euro). Dadurch lässt sich die Größe der Streuung schwer einschätzen, also zieht man die Wurzel und kehrt zur ursprünglichen Einheit zurück. Das ist die Standardabweichung. Betrachten Sie sie zusammen mit dem Erwartungswert, etwa bei „einem Los mit dem Erwartungswert 1,65 € und einer Standardabweichung von etwa 9,99 €“, können Sie „wie groß die Schwankungen um den Durchschnitt sind“ in denselben Einheiten vergleichen.

Der Erwartungswert \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) ist ein mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert: „jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit“, alles addiert. Die Streuung misst man mit der Varianz \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) und ihrer Quadratwurzel, der Standardabweichung \(\sigma(X)\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(X\)	großes X	Eine Zufallsgröße: eine Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Versuchs bestimmt wird, etwa die Augenzahl beim Würfeln. Weil sie ein „Behälter für ein Ergebnis“ ist, dessen Inhalt noch nicht feststeht, schreibt man sie mit einem Großbuchstaben, um sie von gewöhnlichen Variablen zu unterscheiden.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x eins bis x n	Jeder der möglichen Werte der Zufallsgröße \(X\). Die kleine Zahl unten rechts (der Index) gibt nur an, der wievielte Wert in der Liste es ist, und hat mit dem Wert selbst nichts zu tun.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p eins bis p n	Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertes. \(p\) ist der Anfangsbuchstabe von „Probability“. Sie ergeben zusammen immer 1.
\(n\)	n	Die Anzahl der möglichen Werte (die Anzahl der Zeilen der Verteilungstabelle). Für eine Anzahl wird häufig der Buchstabe \(n\) verwendet.
\(E(X)\)	E von X	Der Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\). \(E\) ist der Anfangsbuchstabe von „Expected value“ (englisch für Erwartungswert). Es steht für eine einzige Zahl, „den Erwartungswert von \(X\)“, und ist nicht \(E\) mal \(X\).
\(\mu\)	My	Der griechische Buchstabe, der häufig für den Erwartungswert (den Mittelwert) verwendet wird. Schulbücher setzen \(\mu = E(X)\), um die Definition der Varianz kürzer zu schreiben.
\(\mathrm{Var}(X)\)	Varianz von X	Die Varianz der Zufallsgröße \(X\). Sie ist der Mittelwert der quadrierten Abstände zum Erwartungswert (der Abweichungen) und zeigt, wie stark die Werte streuen. Manche Bücher schreiben sie \(V(X)\) oder \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	Sigma von X	Die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\). \(\sigma\) ist der griechische Kleinbuchstabe Sigma. Sie ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Auch \(\sigma\) oder SD(X) geschrieben.
\(X^2\)	X Quadrat	Eine neue Zufallsgröße, die durch Quadrieren des Wertes von \(X\) entsteht. \(E(X^2)\) ist „jeden möglichen Wert erst quadrieren, dann den mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Mittelwert bilden“.
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	Wurzel	Das Zeichen für die Zahl (0 oder größer), die quadriert die Zahl unter dem Zeichen ergibt, die positive Quadratwurzel. Zum Beispiel ist \(\sqrt{9} = 3\). Die Standardabweichung erhält man, indem man die Varianz unter dieses Zeichen setzt.

Begriffe

Zufallsgröße	Eine Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Versuchs (eines Experiments oder einer Beobachtung, deren Ergebnis vom Zufall bestimmt wird) abhängt, etwa die gewürfelte Augenzahl oder der Gewinn eines Loses. Sie wird üblicherweise mit einem großen \(X\) geschrieben. An Hochschulen sagt man meist Zufallsvariable.
Wahrscheinlichkeitsverteilung	Die Zuordnung, die jedem möglichen Wert einer Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zuweist. Als Tabelle geschrieben ist sie eine Verteilungstabelle, und die Eingabefelder dieser Seite nehmen diese Tabelle so auf, wie sie ist.
Versuch	Ein Experiment oder eine Beobachtung, die sich unter gleichen Bedingungen wiederholen lässt und deren Ergebnis vom Zufall bestimmt wird, etwa ein Würfelwurf oder das Ziehen eines Loses.
Erwartungswert	Der Mittelwert einer Zufallsgröße. Es ist die Summe aus jedem Wert mal seiner Wahrscheinlichkeit, und er nähert sich dem „Durchschnitt pro Versuch“, wenn der Versuch oft wiederholt wird. Das Symbol ist \(E(X)\) oder \(\mu\).
gewichteter Mittelwert	Ein Mittelwert, bei dem jeder Wert vor dem Addieren mit einem „Gewicht“ multipliziert wird, statt einfach zu addieren und durch die Anzahl zu teilen. Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert mit den Wahrscheinlichkeiten als Gewichten.
Varianz	Ein Maß dafür, wie stark die Werte streuen. Sie quadriert die Abstände zum Erwartungswert (die Abweichungen) und bildet den mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Mittelwert. Das Symbol ist \(\mathrm{Var}(X)\).
Standardabweichung	Die positive Quadratwurzel der Varianz. Anders als die Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Werte, sodass sich die Größe der Streuung leichter vergleichen lässt. Das Symbol ist \(\sigma(X)\).
Abweichung	Der Abstand eines Wertes vom Erwartungswert, \(x - \mu\). Abweichungen sind eine Mischung aus positiven und negativen Zahlen, und ihr einfacher Mittelwert ist immer 0, deshalb quadriert die Varianz sie vor dem Mitteln.
Gesetz der großen Zahlen	Die Regel, dass sich der Durchschnitt der tatsächlichen Ergebnisse dem Erwartungswert immer mehr nähert, je öfter Sie einen Versuch wiederholen. Sie ist die Grundlage dafür, den Erwartungswert als „Durchschnitt pro Versuch bei vielen Wiederholungen“ zu lesen.
diskrete Zufallsgröße	Eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte einzelne Punkte sind (endlich viele Werte oder ganze Zahlen), wie die Augenzahlen eines Würfels (1 bis 6). Diese Seite behandelt diesen Typ. Eine Zufallsgröße mit stetigen Werten, etwa die Körpergröße, heißt stetige Zufallsgröße, und ihr Erwartungswert wird mit einem Integral berechnet.

Was Sie vorab wissen sollten

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Liste noch einmal durchzugehen.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7 bis Sekundarstufe II, ab 12 Jahren)	Wissen, dass eine Wahrscheinlichkeit eine Zahl von 0 bis 1 ist, die zeigt, wie wahrscheinlich etwas ist (Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\) = tritt etwa einmal in 6 Versuchen ein) Wahrscheinlichkeiten finden können, indem man die möglichen Ergebnisse auflistet, bei Würfeln, Münzen und Losen Wissen, dass die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse immer zusammen 1 ergeben
Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche multiplizieren und addieren können (mit gemeinsamem Nenner), zum Beispiel \(1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Brüche, Dezimalzahlen und Prozente ineinander umrechnen können (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\))
Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre, und später)	Wissen, dass Mittelwert = Summe ÷ Anzahl Sich den Unterschied vorstellen können zwischen einem einfachen Durchschnitt, etwa dem Notendurchschnitt einer Klassenarbeit, und einem gewichteten Mittelwert, bei dem wahrscheinlichere Werte stärker zählen
Quadrate und Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, was Quadrieren (eine Zahl mit sich selbst multiplizieren) und seine Umkehrung, die Quadratwurzel \(\sqrt{\phantom{0}}\), bedeuten (zum Beispiel \(\sqrt{9} = 3\)) Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist (\((-2)^{2} = 4\))
Datenanalyse (Sekundarstufe I und II, ab 11 Jahren)	Den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung eines Datensatzes schon berechnet haben (diese Seite ist die „Wahrscheinlichkeitsverteilung-Version“ davon und wird in der Stochastik der Oberstufe behandelt) Wissen, dass die Varianz und die Standardabweichung messen, wie stark die Werte streuen

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Erwartungswertes E(X) (Beispiel Los)

Wert x₁ (Niete, 0 €)	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂ (Gewinn 1 €)	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃ (Gewinn 5 €)	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄ (Gewinn 100 €)	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Summe der Wahrscheinlichkeiten (auf 1 prüfen)	=B2+B4+B6+B8
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabelle zur Berechnung der Varianz Var(X) (Beispiel Los)

Wert x₁	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Mittelwert der Quadrate E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianz Var(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung σ(X)

Varianz Var(X)	99,7275
Standardabweichung σ(X) = √Var(X)	=WURZEL(B1)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Werte und Wahrscheinlichkeiten) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „*“ ist die Multiplikation, „^2“ bedeutet „zum Quadrat“, und WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist das Beispiel mit dem Los (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1 und der Erwartungswert 1,65 (Euro).
Die zweite Tabelle ist die Varianz desselben Loses: der Mittelwert der Quadrate, 102,45, minus das Quadrat des Erwartungswertes, 2,7225, ergibt 99,7275.
Die dritte Tabelle berechnet aus dieser Varianz die Standardabweichung, etwa 9,99 (Euro). Um Zeilen hinzuzufügen, ergänzen Sie weitere Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit und erweitern den Teil „B1*B2+…“ der Formeln nach demselben Muster.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Erwartungswertes E(X) (Beispiel Los)

Wert x₁ (Niete, 0 €)	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂ (Gewinn 1 €)	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃ (Gewinn 5 €)	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄ (Gewinn 100 €)	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Summe der Wahrscheinlichkeiten (auf 1 prüfen)	=B2+B4+B6+B8
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabelle zur Berechnung der Varianz Var(X) (Beispiel Los)

Wert x₁	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Mittelwert der Quadrate E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianz Var(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tabelle zur Berechnung der Standardabweichung σ(X)

Varianz Var(X)	99,7275
Standardabweichung σ(X) = √Var(X)	=WURZEL(B1)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Werte und Wahrscheinlichkeiten durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Verteilungstabelle (Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit). Beispiel Los: Gewinn und Chance darauf
# Eine Wahrscheinlichkeit als Bruch schreibt man so: Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Prüfen, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"Die Wahrscheinlichkeiten ergeben nicht 1 (Summe: {total})")

# Erwartungswert E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Mittelwert der Quadrate E(X²) und Varianz Var(X) = E(X²) − (E(X))²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Standardabweichung σ(X) = √Var(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Erwartungswert E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"Varianz Var(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"Standardabweichung σ(X): {std_dev}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek können Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler rechnen. Dieses Beispiel ist das Los (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %). Beim Ausführen zeigt es den Erwartungswert 33/20, die Varianz 39891/400 und die Standardabweichung von etwa 9,9864. Ändern Sie die Werte und Wahrscheinlichkeiten und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Erwartungswert (Mittelwert einer Zufallsgröße)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Varianz (wie stark die Werte streuen)

Var(X) = E(X²) − (E(X))²

\mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Standardabweichung

σ(X) = √Var(X)

\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(Var(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(Var(X))

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ist durch diese Tabelle gegeben.
Wert x: 0, 1, 5, 100
Wahrscheinlichkeit p: 0,7; 0,2; 0,09; 0,01

Zeigen Sie jeweils:
1. Eine Prüfung, dass die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben
2. Den Erwartungswert E(X) (sowohl als vollständig gekürzten Bruch oder ganze Zahl als auch als Dezimalzahl)
3. Die Varianz Var(X) (mit der Formel E(X²) − (E(X))², und zeigen Sie auch den Wert von E(X²))
4. Die Standardabweichung σ(X) (als Dezimalzahl)

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel