Erwartungswert berechnen (mit Varianz und Standardabweichung)

Geben Sie wie in der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung Zeile für Zeile jeden möglichen Wert x und seine Wahrscheinlichkeit p ein. Das hellgraue Beispiel ist der Gewinn bei einem Los (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %).

Anzahl der Zeilen (Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit)

Wert x₁

Wahrscheinlichkeit p₁

Wert x₂

Wahrscheinlichkeit p₂

Wert x₃

Wahrscheinlichkeit p₃

Wert x₄

Wahrscheinlichkeit p₄

Wert x₅

Wahrscheinlichkeit p₅

Wert x₆

Wahrscheinlichkeit p₆

Wert x₇

Wahrscheinlichkeit p₇

Wert x₈

Wahrscheinlichkeit p₈

Wert x₉

Wahrscheinlichkeit p₉

Wert x₁₀

Wahrscheinlichkeit p₁₀

Geben Sie nur Zahlen ein. Wahrscheinlichkeiten können Sie als 0,2, 20 % oder 1/5 eingeben; die Wahrscheinlichkeiten aller Zeilen müssen zusammen 1 ergeben. Werte dürfen auch negativ sein (Verlust). In nicht benötigten Zeilen lassen Sie Wert und Wahrscheinlichkeit leer.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links Wertepaare aus Wert und Wahrscheinlichkeit ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Diagramm erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Diagramm
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle ein (Paare aus möglichem Wert \(x\) und Wahrscheinlichkeit \(p\), 2 bis 10 Zeilen) und erhalten sofort den Erwartungswert \(E(X)\), die Varianz \(V(X)\) und die Standardabweichung \(\sigma(X)\)
Die Ergebnisse erscheinen als vollständig gekürzter Bruch (exakter Wert) wie \(\dfrac{7}{2}\) und als Dezimalzahl. Dazu sehen Sie den Rechenweg mit Ihren Zahlen in \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)
Der Rechner prüft automatisch, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen genau 1 ergeben. Wenn nicht, zeigt er Ihnen die aktuelle Summe
Wahrscheinlichkeiten können Sie als 0,2, 20 % oder 1/5 eingeben. Werte dürfen auch negativ sein (Verlust)
Zum Ergebnis gehört ein Säulendiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; der Erwartungswert \(E(X)\) ist als senkrechte gestrichelte Linie eingezeichnet

Diese Seite behandelt Zufallsgrößen mit endlich vielen möglichen Werten (diskrete Zufallsgrößen). Zufallsgrößen mit stetigen Werten wie die Körpergröße werden nicht unterstützt.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Den „Rückfluss pro Einsatz“ bei Lotto und Lootboxen in Zahlen fassen

Der Erwartungswert – „Gewinn × Gewinnwahrscheinlichkeit“, über alle Gewinnklassen addiert – ist genau der durchschnittliche Rückfluss pro Tipp. Bei Lotto 6aus49 in Deutschland fließt die Hälfte der Spieleinsätze in die Gewinne; der Erwartungswert eines Tipps liegt also bei rund der Hälfte des Einsatzes.
Für Lootboxen in Videospielen funktioniert dieselbe Rechnung. Aus den veröffentlichten Drop-Raten (Wahrscheinlichkeiten) lässt sich abschätzen, „wie viel es ungefähr kostet, bis man den gewünschten Gegenstand hat“.

Versicherungsbeiträge festlegen (die Grundlage der Kalkulation)

Beiträge zu Lebens- und Kfz-Versicherungen gehen vom Erwartungswert der Leistungen aus: „jede Versicherungsleistung × Wahrscheinlichkeit des Unfalls oder der Krankheit“, alles addiert. Darauf kommen Verwaltungskosten und weitere Zuschläge. Für diese Rechnungen gibt es sogar einen eigenen Beruf, die Aktuarin bzw. den Aktuar.
Aus Sicht der Versicherten ist eine Versicherung beim Erwartungswert ein Geschäft, bei dem man im Durchschnitt mehr einzahlt, als man zurückbekommt. Dafür kauft man Sicherheit gegen einen seltenen, aber großen Schaden.

Rendite und Risiko von Geldanlagen mit demselben Maßstab vergleichen

Bei der Geldanlage behandelt man üblicherweise den Erwartungswert der Rendite als „erwarteten Ertrag“ und die Standardabweichung als „Risiko“ (Volatilität, also die Stärke der Kursschwankungen). Bei gleicher erwarteter Rendite schwankt die Anlage mit der kleineren Standardabweichung ruhiger.
Der Gedanke dieser Seite – „wie hoch der Erwartungswert ist“ und „wie groß die Streuung ist“ als zwei getrennte Zahlen zu betrachten – wird in der Finanzwelt genau so angewendet.

Spiele ausbalancieren (Belohnungen und Schaden gestalten)

Entwicklerinnen und Entwickler von Brett- und Videospielen berechnen Erwartungswerte – etwa „die Augensumme zweier Würfel“, „den Schaden pro Angriff“ oder „den Wert eines Gegenstands aus einer Schatztruhe“ –, um Stärke und Belohnungen auszubalancieren.
„100 Schaden mit 50 % Wahrscheinlichkeit“ und „immer 50 Schaden“ haben zum Beispiel beide den Erwartungswert 50, aber unterschiedliche Varianzen, deshalb fühlen sich die beiden Angriffe beim Spielen anders an. Erwartungswert und Streuung werden gemeinsam abgestimmt, um das gewünschte Spielerlebnis zu erzeugen.

Formeln und Diagramm

Erwartungswert (Mittelwert einer Zufallsgröße)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\times\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\times\) \(p_n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(E(X)\): Erwartungswert \(=\) ① \(x_1\): erster Wert \(\times\) ② \(p_1\): seine Wahrscheinlichkeit \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\): letzter Wert \(\times\) \(p_n\): seine Wahrscheinlichkeit

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie jeden der \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\): möglichen Werte

② mit der zugehörigen \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\): Wahrscheinlichkeit und addieren Sie alles,

③ dann erhalten Sie den \(E(X)\): Erwartungswert

Einfaches Beispiel

Der Erwartungswert der Augenzahl \(X\) bei einem Würfelwurf (jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\)) ist

\(E(X)\): erwartete Augenzahl \(=\) Augenzahl 1 \(\times\) Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) Augenzahl 6 \(\times\) Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

Der Grundgedanke

Der Erwartungswert sagt, „wie viel man pro Versuch im Durchschnitt erhält“. Er ist ein mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert (die Summe aus jedem Wert × seiner Wahrscheinlichkeit). Würfelt man tausende oder zehntausende Male und bildet den Durchschnitt der Augenzahlen, nähert er sich immer mehr diesen 3,5 an (Gesetz der großen Zahlen). Eine 3,5 kann man nie würfeln. Entscheidend ist, den Erwartungswert nicht als „Vorhersage für den nächsten Wurf“ zu verstehen, sondern als „Durchschnitt pro Versuch bei sehr vielen Wiederholungen“. Wie das Diagramm oben zeigt: Stellt man sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Gewichte auf einem Zahlenstrahl vor, ist der Erwartungswert genau der Schwerpunkt, an dem alles im Gleichgewicht ist.

Varianz (wie stark die Werte streuen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(V(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \((E(X))^{2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(V(X)\): Varianz \(=\) ① \(E(X^2)\): Mittelwert der Quadrate \(-\) ② \((E(X))^2\): Quadrat des Erwartungswerts

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie vom \(E(X^2)\): erst quadrieren, dann mitteln

② den Wert \((E(X))^2\): erst mitteln, dann quadrieren ab,

③ dann erhalten Sie die \(V(X)\): Varianz

Einfaches Beispiel

Die Varianz der Augenzahl \(X\) eines Würfels (Erwartungswert \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) ist

\(V(X)\): Varianz der Augenzahl \(=\) \(E(X^2)\): Mittelwert der quadrierten Augenzahlen \(-\) Quadrat des Erwartungswerts \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(V(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

Der Grundgedanke

Die Varianz gibt an, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Ursprünglich ist sie so definiert: Man quadriert jeden Abstand zum Erwartungswert \(\mu = E(X)\) (die Abweichung) und bildet den gewichteten Mittelwert: \(V(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). Die Bedeutung „Mittelwert der quadrierten Abweichungen“ lässt sich direkt an dieser Formel ablesen. Nach der Definition braucht man aber für jede Zeile eine Subtraktion von \(\mu\) – recht mühsam. Formt man um, erhält man die einfachere Form oben, \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) („Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts“), den sogenannten Verschiebungssatz. Damit rechnet man in der Praxis meistens, und auch dieser Rechner zeigt den Rechenweg mit dieser Formel. Bei gleichem Erwartungswert bedeutet eine größere Varianz eine Verteilung mit größeren Ausschlägen zwischen Gewinn und Verlust. Ein Los, das „immer 100 € auszahlt“, und eines, das „mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0 € oder 200 € auszahlt“, haben beide den Erwartungswert 100 €, das zweite aber die größere Varianz.

Standardabweichung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

② \(\sigma(X)\): Standardabweichung \(=\) ① positive Wurzel aus der Varianz \(V(X)\)

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie die positive Wurzel aus der \(V(X)\): Varianz ,

② dann erhalten Sie die \(\sigma(X)\): Standardabweichung

Einfaches Beispiel

Die Standardabweichung der Augenzahl \(X\) eines Würfels (Varianz \(V(X) = \dfrac{35}{12}\)) ist

\(\sigma(X)\): Standardabweichung der Augenzahl \(=\) positive Wurzel aus der Varianz \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

Der Grundgedanke

Die Varianz ist der Mittelwert „quadrierter Abweichungen“, deshalb ist auch ihre Einheit quadriert (bei Gewinnen in Euro ist die Varianz in Euro × Euro). Damit lässt sich die Größe der Streuung schlecht einschätzen. Zieht man die Wurzel, kehrt man zur ursprünglichen Einheit zurück – das ist die Standardabweichung. Betrachtet man sie zusammen mit dem Erwartungswert – etwa „ein Los mit Erwartungswert 1,65 € und Standardabweichung von etwa 9,99 €“ –, kann man in derselben Einheit vergleichen, „wie stark es um den Durchschnitt schwankt“.

Der Erwartungswert \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) ist ein mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert: die Summe aus „jeder Wert × seine Wahrscheinlichkeit“. Die Streuung misst man mit der Varianz \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) und ihrer Wurzel, der Standardabweichung \(\sigma(X)\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(X\)	großes X	Eine Zufallsgröße: eine Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Zufallsexperiments abhängt, etwa die Augenzahl beim Würfeln. Weil sie ein „Behälter für ein noch offenes Ergebnis“ ist, schreibt man sie zur Unterscheidung von gewöhnlichen Variablen mit einem Großbuchstaben.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x eins, x zwei, …, x n	Die einzelnen möglichen Werte der Zufallsgröße \(X\). Die kleine Zahl unten rechts (der Index) zeigt nur, der wievielte Wert es ist; mit dem Wert selbst hat sie nichts zu tun.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p eins, p zwei, …, p n	Die Wahrscheinlichkeit jedes Werts. \(p\) kommt von „probability“ (englisch für Wahrscheinlichkeit). Zusammen ergeben sie immer 1.
\(n\)	n	Die Anzahl der möglichen Werte (die Zeilenzahl der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung). Für Anzahlen nimmt man oft den Buchstaben \(n\) (von „Nummer“, englisch „number“).
\(E(X)\)	E von X	Der Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\). \(E\) steht für „Erwartungswert“ (englisch „expected value“). Die Schreibweise bezeichnet eine einzige Zahl, „den Erwartungswert von \(X\)“ – kein Produkt aus \(E\) und \(X\).
\(\mu\)	My	Der griechische Buchstabe, den man oft für den Erwartungswert (den Mittelwert) verwendet. Er entspricht dem „m“ von „Mittelwert“. In Lehrbüchern setzt man \(\mu = E(X)\), um die Definition der Varianz kürzer zu schreiben.
\(V(X)\)	V von X	Die Varianz der Zufallsgröße \(X\). \(V\) steht für „Varianz“. Sie ist der Mittelwert der quadrierten Abstände vom Erwartungswert (der Abweichungen) und zeigt, wie stark die Werte streuen. Manche Bücher schreiben \(\mathrm{Var}(X)\) oder \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	Sigma von X	Die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\). \(\sigma\) ist das kleine griechische Sigma, das griechische „s“ (für „Standardabweichung“). Sie ist die positive Wurzel aus der Varianz.
\(X^2\)	X Quadrat	Eine neue Zufallsgröße, bei der der Wert von \(X\) quadriert wird. \(E(X^2)\) bedeutet „jeden möglichen Wert erst quadrieren, dann mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtet mitteln“.
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	Wurzel (Wurzelzeichen)	Das Zeichen für die Zahl (0 oder größer), die quadriert die Zahl darunter ergibt – die positive Quadratwurzel. Zum Beispiel ist \(\sqrt{9} = 3\). Die Standardabweichung erhält man, indem man die Varianz unter dieses Zeichen setzt.

Begriffe

Zufallsgröße	Eine Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Zufallsexperiments abhängt (eines Experiments oder einer Beobachtung mit zufälligem Ausgang), etwa die Augenzahl beim Würfeln oder der Gewinn eines Loses. Man schreibt sie meist mit einem großen \(X\). An der Universität heißt sie meist Zufallsvariable.
Wahrscheinlichkeitsverteilung	Die Zuordnung, die jedem möglichen Wert einer Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zuweist. Als Tabelle geschrieben, ist sie genau das, was Sie in die Eingabefelder dieser Seite eintragen.
Zufallsexperiment	Ein Experiment oder eine Beobachtung, die sich unter gleichen Bedingungen wiederholen lässt und deren Ergebnis vom Zufall abhängt, etwa Würfeln oder ein Los ziehen.
Erwartungswert	Der Mittelwert einer Zufallsgröße: jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit, alles addiert. Bei vielen Wiederholungen nähert sich der „Durchschnitt pro Versuch“ diesem Wert an. Das Zeichen ist \(E(X)\) oder \(\mu\).
gewichteter Mittelwert	Ein Mittelwert, bei dem man jeden Wert vor dem Addieren mit einem „Gewicht“ multipliziert, statt einfach zu addieren und durch die Anzahl zu teilen. Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert mit den Wahrscheinlichkeiten als Gewichten.
Varianz	Ein Maß dafür, wie stark die Werte streuen. Man quadriert die Abstände vom Erwartungswert (die Abweichungen) und mittelt sie, gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten. Das Zeichen ist \(V(X)\).
Standardabweichung	Die positive Wurzel aus der Varianz. Anders als die Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Werte, deshalb lässt sich die Streuung damit leichter vergleichen. Das Zeichen ist \(\sigma(X)\).
Abweichung	Der Abstand eines Werts vom Erwartungswert, \(x - \mu\). Abweichungen sind teils positiv, teils negativ, und ihr einfacher Mittelwert ist immer 0 – deshalb quadriert man sie bei der Varianz vor dem Mitteln.
Gesetz der großen Zahlen	Die Gesetzmäßigkeit, dass sich der Durchschnitt der tatsächlichen Ergebnisse immer mehr dem Erwartungswert annähert, je öfter man ein Zufallsexperiment wiederholt. Darauf beruht die Deutung des Erwartungswerts als „Durchschnitt pro Versuch bei vielen Wiederholungen“.
diskrete Zufallsgröße	Eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte einzeln auseinanderliegen (endlich viele Werte oder ganze Zahlen), wie die Augenzahlen eines Würfels (1 bis 6). Diese Seite behandelt diesen Typ. Eine Zufallsgröße mit stetigen Werten wie die Körpergröße heißt stetige Zufallsgröße; ihren Erwartungswert berechnet man mit einem Integral.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, die Themen dieser Liste noch einmal zu wiederholen.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–10, 11–16 Jahre)	Wissen, dass eine Wahrscheinlichkeit eine Zahl von 0 bis 1 ist, die angibt, wie wahrscheinlich etwas ist (Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\) = tritt etwa einmal in 6 Versuchen ein) Bei Würfeln, Münzen oder Losen Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen der möglichen Ergebnisse bestimmen können Wissen, dass die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse zusammen immer 1 ergeben
Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche multiplizieren und addieren können (mit Hauptnenner), etwa \(1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Brüche, Dezimalzahlen und Prozent ineinander umrechnen können (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\))
Der Mittelwert (Klasse 5–10, 10–16 Jahre)	Wissen, dass Mittelwert = Summe : Anzahl Sich den Unterschied zwischen einem einfachen Mittelwert, etwa dem Klassendurchschnitt einer Arbeit, und einem gewichteten Mittelwert vorstellen können, bei dem wahrscheinlichere Werte stärker zählen
Quadrate und Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, was Quadrieren (eine Zahl mit sich selbst multiplizieren) und die Umkehrung, die Quadratwurzel \(\sqrt{\phantom{0}}\), bedeuten (zum Beispiel \(\sqrt{9} = 3\)) Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist (\((-2)^{2} = 4\))
Daten auswerten (Klasse 9–11, 14–17 Jahre)	Schon einmal Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Datenreihe berechnet haben (diese Seite ist die „Version für Wahrscheinlichkeitsverteilungen“ davon und gehört zum Stoff der Oberstufe) Wissen, dass Varianz und Standardabweichung angeben, wie stark Werte streuen

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Erwartungswert E(X) (Beispiel Los)

Wert x₁ (Niete, 0 €)	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂ (Gewinn 1 €)	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃ (Gewinn 5 €)	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄ (Gewinn 100 €)	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Summe der Wahrscheinlichkeiten (Kontrolle auf 1)	=B2+B4+B6+B8
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabelle für die Varianz V(X) (Beispiel Los)

Wert x₁	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Mittelwert der Quadrate E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianz V(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tabelle für die Standardabweichung σ(X)

Varianz V(X)	99,7275
Standardabweichung σ(X) = √V(X)	=WURZEL(B1)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Werte und Wahrscheinlichkeiten) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „*“ ist das Malzeichen, „^2“ bedeutet „hoch 2“, und WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle ist das Losbeispiel (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1, der Erwartungswert 1,65 (Euro).
Die zweite Tabelle ist die Varianz desselben Loses: der Mittelwert der Quadrate 102,45 minus das Quadrat des Erwartungswerts 2,7225 ergibt 99,7275.
Die dritte Tabelle berechnet daraus die Standardabweichung, etwa 9,99 (Euro). Für mehr Zeilen fügen Sie weitere Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit hinzu und verlängern den Teil „B1*B2+…“ der Formeln nach demselben Muster.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Erwartungswert E(X) (Beispiel Los)

Wert x₁ (Niete, 0 €)	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂ (Gewinn 1 €)	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃ (Gewinn 5 €)	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄ (Gewinn 100 €)	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Summe der Wahrscheinlichkeiten (Kontrolle auf 1)	=B2+B4+B6+B8
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabelle für die Varianz V(X) (Beispiel Los)

Wert x₁	0
Wahrscheinlichkeit p₁	0,7
Wert x₂	1
Wahrscheinlichkeit p₂	0,2
Wert x₃	5
Wahrscheinlichkeit p₃	0,09
Wert x₄	100
Wahrscheinlichkeit p₄	0,01
Erwartungswert E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Mittelwert der Quadrate E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianz V(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tabelle für die Standardabweichung σ(X)

Varianz V(X)	99,7275
Standardabweichung σ(X) = √V(X)	=WURZEL(B1)

Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Werte und Wahrscheinlichkeiten durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Wahrscheinlichkeitsverteilung (Paare aus Wert und Wahrscheinlichkeit). Beispiel Los: Gewinn und Wahrscheinlichkeit dafür
# Eine Wahrscheinlichkeit als Bruch schreibt man z. B. Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Prüfen, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen nicht 1 (Summe: {total})")

# Erwartungswert E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Mittelwert der Quadrate E(X²) und Varianz V(X) = E(X²) − (E(X))²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Standardabweichung σ(X) = √V(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Erwartungswert E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"Varianz V(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"Standardabweichung σ(X): {std_dev}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen ohne Rundungsfehler. Das Beispiel ist das Los (0 € mit 70 %, 1 € mit 20 %, 5 € mit 9 % und 100 € mit 1 %). Beim Ausführen erscheinen der Erwartungswert 33/20 = 1,65, die Varianz 39891/400 = 99,7275 und die Standardabweichung von etwa 9,9864 (Python zeigt Dezimalzahlen mit Punkt an). Ändern Sie Werte und Wahrscheinlichkeiten und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Erwartungswert (Mittelwert einer Zufallsgröße)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Varianz (wie stark die Werte streuen)

V(X) = E(X²) − (E(X))²

V(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Standardabweichung

σ(X) = √V(X)

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(V(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(V(X))

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X ist durch diese Tabelle gegeben.
Wert x: 0 ; 1 ; 5 ; 100
Wahrscheinlichkeit p: 0,7 ; 0,2 ; 0,09 ; 0,01

Zeigen Sie Folgendes:
1. Die Kontrolle, dass die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben
2. Den Erwartungswert E(X) (als vollständig gekürzten Bruch bzw. ganze Zahl und als Dezimalzahl)
3. Die Varianz V(X) (mit der Formel E(X²) − (E(X))², zeigen Sie auch den Wert von E(X²))
4. Die Standardabweichung σ(X) (als Dezimalzahl)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel