Matrizenrechner (addieren, subtrahieren, multiplizieren, transponieren, Potenz)

Wählen Sie die Rechenart und die Größe der Matrizen (Zeilen und Spalten) und geben Sie die Einträge in die Gitter ein. Die Transponierte Aᵀ und die Potenz Aⁿ verwenden nur die Matrix A.

Rechenart

Zeilen von A

Spalten von A

Zeilen von B

Spalten von B

Exponent n (wie oft A multipliziert wird)

Geben Sie die Einträge als Zahlen ein (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt). Addition und Subtraktion setzen voraus, dass A und B dieselbe Größe haben; das Produkt AB setzt „Spalten von A = Zeilen von B“ voraus.

Ergebnis

Wählen Sie links die Rechenart und die Größe der Matrizen, geben Sie die Einträge ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Ergebnismatrix und der Rechenweg erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Addieren \(A+B\), subtrahieren \(A-B\) und multiplizieren \(AB\) Sie Matrizen von 2×2 bis 4×4 auf der Stelle (auch rechteckige Größen wie 2×3 funktionieren)
Auch die Transponierte \(A^{T}\), die Zeilen und Spalten vertauscht, und Potenzen \(A^{n}\) einer quadratischen Matrix (\(n\) von 1 bis 10) lassen sich berechnen
Sehen Sie, wie jede Rechnung funktioniert, etwa das Skalarprodukt „Zeile mal Spalte“ bei der Multiplikation, im Rechenweg mit Ihren eigenen Zahlen
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen (MMULT, MTRANS) und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

In Deutschland lernt man Matrizen je nach Bundesland und Schulart in der Oberstufe (zum Beispiel beim Lösen linearer Gleichungssysteme oder mit Übergangsmatrizen in der Stochastik) und vertieft sie im Studium in der Linearen Algebra. Determinanten und inverse Matrizen werden auf dieser Seite nicht behandelt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Figuren in Spielen und 3D-Grafik bewegen

In der 3D-Grafik werden Transformationen wie das Drehen oder Skalieren einer Figur berechnet, indem man „die Koordinaten mit einer Matrix multipliziert“. Mehrere Transformationen lassen sich zu einer einzigen Matrix zusammenfassen, indem man die Matrizen zuerst miteinander multipliziert.
Die GPU (der Grafikprozessor) in einer Spielkonsole oder einem Computer ist ein Spezialrechner, der dafür gebaut ist, gewaltige Mengen dieser Matrizenmultiplikationen auszuführen.

Fotos und Bilder bearbeiten (ein Bild ist eine Matrix aus Zahlen)

Ein digitales Bild ist selbst eine Matrix: die Helligkeit jedes Pixels, in Zeilen und Spalten angeordnet. Filter in Foto-Apps, etwa Weichzeichnen und Schärfen, werden als Operationen auf dieser Matrix berechnet.
„Ein Bild als Matrix“ zu sehen, ist auch der Ausgangspunkt von KI-Verfahren wie der Bilderkennung.

Gleichungssysteme auf einmal lösen (Statik und Schaltungen)

Ein Gleichungssystem mit vielen Unbekannten lässt sich als eine einzige Gleichung, \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\), schreiben, indem man die Koeffizienten in eine Matrix setzt.
Bei der Festigkeitsberechnung von Gebäuden und der Analyse elektrischer Schaltungen werden Tausende oder Zehntausende Gleichungen in diese Form gebracht und mit Matrizenrechnungen des Computers auf einmal gelöst.

Verbindungen in einem Liniennetzplan oder Verknüpfungen in einem sozialen Netzwerk zählen (Adjazenzmatrix und Potenzen)

Schreiben Sie die Verbindungen zwischen Haltestellen oder zwischen Personen als Matrix mit „1, wenn verbunden, 0, wenn nicht“ (eine Adjazenzmatrix). Dann ist der Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Potenz \(A^{n}\) „die Anzahl der Wege von \(i\) nach \(j\) über genau \(n\) Verbindungen“.
Diese Idee gehört zu den Grundlagen von Routenplanern und der Analyse von „Freunden von Freunden“ in sozialen Netzwerken.

Die Ausstrahlungseffekte in der Wirtschaft abschätzen (Input-Output-Tabellen)

Volkswirtschaftliche Statistiken auf nationaler und regionaler Ebene, etwa die Input-Output-Rechnung des Statistischen Bundesamts (Destatis), verwenden eine große Matrix, die Input-Output-Tabelle, um zu zeigen, wie viel jede Branche von den anderen bezieht. Der Ausstrahlungseffekt, „wenn die Nachfrage in einer Branche wächst, wie stark wächst die Produktion in den anderen“, wird mit Matrizenrechnungen an dieser Tabelle abgeschätzt (ein Verfahren, das Wassily Leontief entwickelte und für das er den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhielt).

Im Inneren von KI (maschinellem Lernen) steckt Matrizenmultiplikation

Der größte Teil der Rechnung bei KI, die Text und Bilder verarbeitet (neuronale Netze), besteht darin, immer wieder „eine Liste von Eingabezahlen mit einer gelernten Matrix zu multiplizieren“.
Weil so viel vom Rechenaufwand für das Training und den Betrieb von KI aus Matrizenmultiplikation besteht, sind GPUs, die bei Matrizenrechnungen stark sind, für die KI-Entwicklung unverzichtbar geworden.

Formel

Addition und Subtraktion (Eintrag für Eintrag an derselben Position)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\((A+B)_{ij}\) \(=\) \(a_{ij}\) \(+\) \(b_{ij}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Summe \(A+B\) \(=\) ① \(a_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von A \(+\) ② \(b_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von B

Die Formel in Worten

① Addieren Sie den \(a_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von A und den

② \(b_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von B , und Sie erhalten den

③ Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Summe \(A+B\) (bei der Subtraktion ersetzen Sie einfach „+“ durch „−“)

Einfaches Beispiel

Um zwei 2×2-Matrizen zu addieren, addieren Sie die Einträge an derselben Position

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

Der Kerngedanke

Addieren oder subtrahieren können Sie nur, wenn A und B dieselbe Größe haben (dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten). Die Addition liefert in jeder Reihenfolge dasselbe Ergebnis (\(A+B=B+A\)), bei der Subtraktion ändert dagegen, genau wie bei gewöhnlichen Zahlen, die Reihenfolge das Ergebnis.

Multiplikation (Skalarprodukt einer Zeile von A und einer Spalte von B)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(c_{ij}\) \(=\) \(a_{i1}\) \(\times\) \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) \(a_{in}\) \(\times\) \(b_{nj}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(c_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) des Produkts \(AB\) \(=\) ① \(a_{i1}\): 1. Eintrag in Zeile \(i\) von A \(\times\) ② \(b_{1j}\): 1. Eintrag in Spalte \(j\) von B \(+ \cdots +\) \(a_{in}\): \(n\)-ter Eintrag in Zeile \(i\) von A \(\times\) \(b_{nj}\): \(n\)-ter Eintrag in Spalte \(j\) von B

Die Formel in Worten

① Bilden Sie Paare aus den \(a_{i1}, \dots, a_{in}\): Einträgen in Zeile \(i\) von A und den

② \(b_{1j}, \dots, b_{nj}\): Einträgen in Spalte \(j\) von B von vorn der Reihe nach, multiplizieren Sie jedes Paar und addieren Sie alles, und Sie erhalten den

③ \(c_{ij}\): Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) des Produkts \(AB\)

Einfaches Beispiel

Der Eintrag (1 | 1) von AB ist das Skalarprodukt von „Zeile 1 von A“ und „Spalte 1 von B“. Zum Beispiel

\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)

Der Kerngedanke

Das Produkt \(AB\) lässt sich nur berechnen (ist nur definiert), wenn „Spalten von A = Zeilen von B“ gilt. Das Produkt einer \(m \times n\)-Matrix und einer \(n \times p\)-Matrix ist eine \(m \times p\)-Matrix. Zum Ausrechnen von Hand verwendet man in Deutschland oft das Falksche Schema, das die beiden Matrizen so anordnet, dass jeder Eintrag des Produkts an der Stelle steht, an der sich „Zeile“ und „Spalte“ treffen. Anders als bei gewöhnlichen Zahlen dürfen Sie außerdem die Reihenfolge nicht vertauschen (\(AB\) und \(BA\) sind im Allgemeinen nicht gleich, und manchmal ist nur eines von beiden definiert).

Transponierte (Zeilen und Spalten vertauschen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\((A^{T})_{ij}\) \(=\) \(a_{ji}\)

② Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Transponierten \(A^{T}\) \(=\) ① \(a_{ji}\): Eintrag in Zeile \(j\), Spalte \(i\) von A

Die Formel in Worten

① Der \(a_{ji}\): Eintrag in Zeile \(j\), Spalte \(i\) von A wird, wenn Zeilen und Spalten vertauscht werden, zum

② Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Transponierten \(A^{T}\)

Einfaches Beispiel

Transponiert man eine 2×3-Matrix, wandert Zeile 1 in Spalte 1 und Zeile 2 in Spalte 2, und es entsteht eine 3×2-Matrix

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

Der Kerngedanke

Neben \(A^{T}\) wird die Transponierte in manchen Büchern und Programmen auch \(A^{\top}\) geschrieben. Transponiert man zweimal, erhält man wieder die ursprüngliche Matrix (\((A^{T})^{T} = A\)).

Potenzen (dieselbe quadratische Matrix immer wieder multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(A^{n}\) \(=\) \(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)

② \(A^{n}\): Matrix \(A\) hoch \(n\) \(=\) ① \(n\) Faktoren der quadratischen Matrix \(A\), miteinander multipliziert

Die Formel in Worten

① \(n\) Faktoren der quadratischen Matrix \(A\), miteinander multipliziert ergeben

② \(A^{n}\): Matrix \(A\) hoch \(n\) (von links der Reihe nach berechnen: \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\) und so weiter)

Einfaches Beispiel

Die dritte Potenz von \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) braucht zwei Multiplikationen:

\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Der Kerngedanke

Potenzen gibt es nur für quadratische Matrizen (Zeilen = Spalten). Ist die Matrix nicht quadratisch, lässt sich die Bedingung für das Produkt \(AA\), „Spalten von A = Zeilen von A“, nicht erfüllen. Beachten Sie außerdem, dass Sie nicht jeden Eintrag einzeln zur \(n\)-ten Potenz erheben, sondern die Matrizenmultiplikation \((n-1)\)-mal wiederholen.

Bei Matrizen rechnet man Addition und Subtraktion „Eintrag für Eintrag an derselben Position“, und die Multiplikation beruht auf „dem Skalarprodukt einer Zeile von A und einer Spalte von B“. Die Multiplikation ist nur definiert, wenn „Spalten von A = Zeilen von B“ gilt, und der große Unterschied zu gewöhnlichen Zahlen ist, dass das Vertauschen der Reihenfolge das Ergebnis meist ändert.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(A,\ B\)	A, B	Namen für Matrizen. Üblicherweise werden Matrizen mit Großbuchstaben benannt.
\(a_{ij}\)	a Index i j	Der Eintrag der Matrix \(A\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\) (die Zahl in der \(i\)-ten Zeile von oben und der \(j\)-ten Spalte von links). Die kleinen Buchstaben unten rechts (die Indizes) geben seine Position an.
\(b_{ij}\)	b Index i j	Der Eintrag der Matrix \(B\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\). Er wird genauso gelesen wie \(a_{ij}\), nur der Name der Matrix ist ein anderer.
\(m \times n\)	m Kreuz n	Die Größe (der Typ) einer Matrix: \(m\) Zeilen (waagerechte Reihen) und \(n\) Spalten (senkrechte Reihen). (Beispiel: Eine 2×3-Matrix hat 2 Zahlen untereinander und 3 nebeneinander, insgesamt 6 Zahlen.)
\(c_{ij}\)	c Index i j	Nennt man das Produkt \(AB\) kurz \(C\), ist es der Eintrag von \(C\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\).
\(A^{T}\)	A transponiert	Die Transponierte von \(A\): die Matrix, in der Zeilen und Spalten vertauscht sind. Sie wird auch \(A^{\top}\) geschrieben.
\(A^{n}\)	A hoch n	Die Matrix, die entsteht, wenn man \(n\) Faktoren \(A\) multipliziert. Sie ist nur für quadratische Matrizen definiert.
\(\sum\)	Sigma	Das Zeichen für „alles addieren“ (Summenzeichen). \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) sagt, dass Sie \(a_{ik} b_{kj}\) für jedes \(k\) von 1 bis \(n\) addieren.

Begriffe

Matrix	Zahlen, die in einem Rechteck (Zeilen und Spalten) angeordnet sind. Jede Zahl darin heißt Eintrag. Wie in einer Tabellenkalkulation gibt man eine Position an mit „welche Zeile und welche Spalte“. Der Plural ist Matrizen.
Zeile	Eine waagerechte Zahlenreihe in einer Matrix. Zeilen werden von oben gezählt: Zeile 1, Zeile 2 und so weiter. Denken Sie an die Zeilen eines Textes, die von links nach rechts laufen.
Spalte	Eine senkrechte Zahlenreihe in einer Matrix. Spalten werden von links gezählt: Spalte 1, Spalte 2 und so weiter. Denken Sie an die Spalten einer Zeitung, die von oben nach unten laufen.
Eintrag	Jede Zahl in einer Matrix. Man nennt sie auch Element. Der Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) wird mit Indizes geschrieben, etwa \(a_{ij}\).
quadratische Matrix	Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten (sie hat die Form eines Quadrats). Potenzen sowie Determinanten und Inverse (auf dieser Seite nicht behandelt) gibt es nur für quadratische Matrizen.
Transponierte	Die Matrix, in der Zeilen und Spalten vertauscht sind (die transponierte Matrix). Die Transponierte einer \(m \times n\)-Matrix ist eine \(n \times m\)-Matrix.
Skalarprodukt	Der Wert, den man erhält, wenn man zwei Zahlenreihen von vorn paarweise multipliziert und alles addiert. Bei der Matrizenmultiplikation ist das Skalarprodukt einer Zeile von A und einer Spalte von B ein Eintrag des Produkts.
Lineare Algebra	Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Matrizen und Vektoren befasst. Es ist oft ein Pflichtfach in den ersten Semestern des Studiums und die Grundlage von Computergrafik, Statistik, KI und mehr.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Grundrechenarten mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen sicher addieren, subtrahieren und multiplizieren können
Variablen und Indizes (Klasse 5–6, ab 10 Jahren, bis zur Oberstufe)	Die kleinen Zeichen unten rechts, etwa in \(a_{12}\) (Indizes), als Beschriftung für eine Position lesen können und nicht als Werte
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl oben rechts bei \(A^{3}\) (der Exponent) bedeutet, dass 3 Faktoren miteinander multipliziert werden
Zeilen und Spalten einer Tabelle (Grundschule)	Wissen, dass in einer Tabelle die Zeilen waagerecht und die Spalten senkrecht verlaufen, und eine Position wie „Zeile 2, Spalte 3“ angeben können

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Summe A + B

Zeile 1 der Matrix A	1	2
Zeile 2 der Matrix A	3	4
Zeile 1 der Matrix B	5	6
Zeile 2 der Matrix B	7	8
Zeile 1 von A + B	=B1+B3	=C1+C3
Zeile 2 von A + B	=B2+B4	=C2+C4

Tabelle zur Berechnung der Differenz A − B

Zeile 1 der Matrix A	9	8
Zeile 2 der Matrix A	7	6
Zeile 1 der Matrix B	1	2
Zeile 2 der Matrix B	3	4
Zeile 1 von A − B	=B1-B3	=C1-C3
Zeile 2 von A − B	=B2-B4	=C2-C4

Tabelle zur Berechnung des Produkts AB

Zeile 1 der Matrix A	1	2
Zeile 2 der Matrix A	3	4
Zeile 1 der Matrix B	2	0
Zeile 2 der Matrix B	1	2
AB (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(B1:C2;B3:C4)

Tabelle zur Berechnung der Transponierten Aᵀ

Zeile 1 der Matrix A	1	2	3
Zeile 2 der Matrix A	4	5	6
Aᵀ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MTRANS(B1:D2)

Tabelle zur Berechnung der Potenz A³

Zeile 1 der Matrix A	1	1
Zeile 2 der Matrix A	0	1
A³ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(MMULT(B1:C2;B1:C2);B1:C2)

Bei Addition und Subtraktion verknüpfen Sie einfach die Zellen an derselben Position, etwa mit „=B1+B3“ (in der ersten Tabelle ergibt A + B die Werte 6, 8, 10, 12).
Für die Multiplikation verwenden Sie die Funktion MMULT und für die Transponierte die Funktion MTRANS. In neueren Excel-Versionen (etwa Microsoft 365) läuft das Ergebnis automatisch in die Nachbarzellen über (Überlauf). In der dritten Tabelle ist AB gleich 4, 4, 10, 8, und in der fünften Tabelle ist A³ gleich 1, 3, 0, 1.
In älteren Excel-Versionen markieren Sie zuerst einen Bereich in der Größe des Ergebnisses, geben die Formel ein und bestätigen sie mit Strg+Umschalt+Eingabe.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Summe A + B

Zeile 1 der Matrix A	1	2
Zeile 2 der Matrix A	3	4
Zeile 1 der Matrix B	5	6
Zeile 2 der Matrix B	7	8
Zeile 1 von A + B	=B1+B3	=C1+C3
Zeile 2 von A + B	=B2+B4	=C2+C4

Tabelle zur Berechnung des Produkts AB

Zeile 1 der Matrix A	1	2
Zeile 2 der Matrix A	3	4
Zeile 1 der Matrix B	2	0
Zeile 2 der Matrix B	1	2
AB (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(B1:C2;B3:C4)

Tabelle zur Berechnung der Transponierten Aᵀ

Zeile 1 der Matrix A	1	2	3
Zeile 2 der Matrix A	4	5	6
Aᵀ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MTRANS(B1:D2)

Tabelle zur Berechnung der Potenz A³

Zeile 1 der Matrix A	1	1
Zeile 2 der Matrix A	0	1
A³ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(MMULT(B1:C2;B1:C2);B1:C2)

Dieselben Funktionen wie in Excel, MMULT und MTRANS, funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein.
In Google Tabellen laufen die Ergebnisse von MMULT und MTRANS automatisch in die Nachbarzellen über (Strg+Umschalt+Eingabe ist nicht nötig).

Mit Python berechnen

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]

def matrix_add(x, y):        # Addition (die Einträge an derselben Position addieren)
    return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_multiply(x, y):   # Multiplikation (Skalarprodukt einer Zeile von A und einer Spalte von B)
    return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_transpose(x):     # Transponierte (Zeilen und Spalten vertauschen)
    return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]

def matrix_power(x, n):      # Potenz (n-mal von links der Reihe nach multiplizieren)
    result = x
    for _ in range(n - 1):
        result = matrix_multiply(result, x)
    return result

print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Transponierte von A =", matrix_transpose(A))
print("A hoch 3 =", matrix_power(A, 3))

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Ersetzen Sie A und B am Anfang durch Ihre eigenen Matrizen und führen Sie ihn aus (für die Subtraktion ändern Sie in matrix_add einfach das „+“ in „-“). Für ernsthafte numerische Arbeit verwendet man üblicherweise NumPy, eine Bibliothek für Matrizen (die Multiplikation lässt sich als „A @ B“ schreiben).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Addition und Subtraktion (Eintrag für Eintrag an derselben Position)

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)

A + B

C := A + B;

C = A + B;

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

Multiplikation (Skalarprodukt einer Zeile von A und einer Spalte von B)

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)

A . B

C := A . B;

C = A * B;

c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj

Transponierte (Zeilen und Spalten vertauschen)

(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A^T)_(ij) = a_(ji)

Transpose[A]

C := LinearAlgebra:-Transpose(A);

C = A.';

(A^T)_ij = a_ji

Potenzen (dieselbe quadratische Matrix immer wieder multiplizieren)

Aⁿ = AA⋯A

A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>A</mi><mi>A</mi><mo>&#x22EF;</mo><mi>A</mi>
  </mrow>
</math>

A^n

MatrixPower[A, n]

C := A^n;

C = A^n;

A^n

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Matrizenrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie für die Matrizen A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[2, 0], [1, 2]] jede der folgenden Matrizen.
1. Die Summe A + B
2. Die Differenz A − B
3. Das Produkt AB
4. Die Transponierte von A
5. A hoch 3 (A zur dritten Potenz)

Zeigen Sie zu jeder die verwendete Formel (welche Einträge Sie wie verknüpft haben) und die sich aus der Ausführung ergebende Matrix.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel