Matrizenrechner – Matrizen addieren, multiplizieren, transponieren und potenzieren

Wählen Sie die Rechenart und die Größe der Matrizen (Zeilen und Spalten) und tragen Sie die Elemente in die Raster ein. Transponieren Aᵀ und Potenz Aⁿ verwenden nur die Matrix A.

Rechenart

Zeilen von A

Spalten von A

Zeilen von B

Spalten von B

Exponent n (Anzahl der Faktoren A)

Geben Sie die Elemente als Zahlen ein (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt). Addition und Subtraktion brauchen gleich große Matrizen A und B, das Produkt AB braucht „Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B“.

Ergebnis

Wählen Sie links die Rechenart und die Größe der Matrizen, geben Sie die Elemente ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Ergebnismatrix und der Rechenweg erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Matrizen von 2×2 bis 4×4 sofort addieren \(A+B\), subtrahieren \(A-B\) und multiplizieren \(AB\) (auch nicht quadratische Größen wie 2×3)
Auch die transponierte Matrix \(A^{T}\), bei der Zeilen und Spalten vertauscht werden, und Potenzen \(A^{n}\) einer quadratischen Matrix (\(n\) von 1 bis 10) berechnen Sie hier
Sie sehen, wie jede Rechnung funktioniert – etwa „Zeile mal Spalte“ (das Skalarprodukt) bei der Multiplikation – im Rechenweg mit Ihren eigenen Zahlen
Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen (MMULT, MTRANS) und Python

In Deutschland begegnen Matrizen vielen schon in der Oberstufe (je nach Bundesland, etwa bei Übergangsmatrizen und mehrstufigen Prozessen); ausführlich behandelt werden sie in der linearen Algebra im Studium. Determinanten und inverse Matrizen sind nicht Thema dieser Seite.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Figuren in Spielen und 3D-Grafik bewegen

In der 3D-Grafik berechnet man Transformationen wie das Drehen oder Vergrößern einer Figur, indem man „die Koordinaten mit einer Matrix multipliziert“. Mehrere Transformationen lassen sich zu einer einzigen Matrix zusammenfassen, indem man die Matrizen vorher miteinander multipliziert.
Die GPU (der Grafikprozessor) in Spielkonsole oder Computer ist ein Spezialrechner, der genau für riesige Mengen solcher Matrizenmultiplikationen gebaut ist.

Fotos und Bilder bearbeiten (ein Bild ist eine Zahlenmatrix)

Ein digitales Bild ist selbst eine Matrix: die Helligkeit jedes Pixels, in Zeilen und Spalten angeordnet. Filter in Foto-Apps wie Weichzeichnen und Schärfen sind Rechnungen mit dieser Matrix.
„Ein Bild als Matrix“ zu sehen, ist auch der Ausgangspunkt für KI-Verfahren wie die Bilderkennung.

Gleichungssysteme auf einmal lösen (Statik und Stromkreise)

Ein Gleichungssystem mit vielen Unbekannten lässt sich als eine einzige Gleichung \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) schreiben, indem man die Koeffizienten in eine Matrix packt.
In der Statik von Gebäuden und bei der Berechnung elektrischer Netzwerke bringt man Tausende bis Zehntausende Gleichungen in diese Form und löst sie mit Matrizenrechnungen am Computer auf einmal.

Verbindungen im Liniennetz oder in sozialen Netzwerken zählen (Adjazenzmatrix und Potenzen)

Schreiben Sie die Verbindungen zwischen Bahnhöfen oder zwischen Personen als Matrix mit „1, wenn verbunden, sonst 0“ (eine Adjazenzmatrix). Dann ist das Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Potenz \(A^{n}\) „die Zahl der Wege von \(i\) nach \(j\) über genau \(n\) Verbindungen“.
Diese Idee gehört zu den Grundlagen von Routenplanern und von Analysen wie „Freunde von Freunden“ in sozialen Netzwerken.

Folgewirkungen in der Wirtschaft abschätzen (Input-Output-Tabellen)

Volkswirtschaftliche Statistiken – in Deutschland die Input-Output-Rechnung des Statistischen Bundesamts – zeigen in einer großen Matrix, der Input-Output-Tabelle, wie viel jede Branche bei den anderen einkauft. Die Folgewirkung „Wenn die Nachfrage in einer Branche steigt, um wie viel steigt die Produktion in den anderen?“ schätzt man mit Matrizenrechnungen auf dieser Tabelle (ein Verfahren von Wassily Leontief, der dafür den Wirtschaftsnobelpreis erhielt).

Im Inneren der KI (maschinelles Lernen) steckt Matrizenmultiplikation

Der größte Teil der Rechenarbeit in KI für Texte und Bilder (neuronale Netze) besteht darin, immer wieder „eine Liste von Eingabezahlen mit einer gelernten Matrix zu multiplizieren“.
Weil so viel der Rechenleistung für Training und Einsatz von KI auf Matrizenmultiplikation entfällt, sind GPUs, die besonders gut Matrizen rechnen, für die KI-Entwicklung unverzichtbar geworden.

Formel

Addition und Subtraktion (Element für Element an derselben Position)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\((A+B)_{ij}\) \(=\) \(a_{ij}\) \(+\) \(b_{ij}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Summe \(A+B\) \(=\) ① \(a_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von A \(+\) ② \(b_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von B

Die Formel in Worten

① Addiert man das \(a_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von A und das

② \(b_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) von B , erhält man das

③ Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Summe \(A+B\) (bei der Subtraktion einfach „+“ durch „−“ ersetzen).

Einfaches Beispiel

Bei der Addition zweier 2×2-Matrizen addiert man die Elemente an derselben Position

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

Addieren und subtrahieren können Sie nur, wenn A und B gleich groß sind (gleiche Zahl von Zeilen und Spalten). Bei der Addition ist die Reihenfolge egal (\(A+B=B+A\)), bei der Subtraktion ändert sie – wie bei gewöhnlichen Zahlen – das Ergebnis.

Multiplikation („Zeile mal Spalte“: Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(c_{ij}\) \(=\) \(a_{i1}\) \(\times\) \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) \(a_{in}\) \(\times\) \(b_{nj}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(c_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) des Produkts \(AB\) \(=\) ① \(a_{i1}\): 1. Element in Zeile \(i\) von A \(\times\) ② \(b_{1j}\): 1. Element in Spalte \(j\) von B \(+ \cdots +\) \(a_{in}\): \(n\)-tes Element in Zeile \(i\) von A \(\times\) \(b_{nj}\): \(n\)-tes Element in Spalte \(j\) von B

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die \(a_{i1}, \dots, a_{in}\): Elemente in Zeile \(i\) von A und die

② \(b_{1j}, \dots, b_{nj}\): Elemente in Spalte \(j\) von B von vorn paarweise miteinander und addiert alles, erhält man das

③ \(c_{ij}\): Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) des Produkts \(AB\) .

Einfaches Beispiel

Das Element in Zeile 1, Spalte 1 von AB ist das Skalarprodukt aus „Zeile 1 von A“ und „Spalte 1 von B“. Zum Beispiel:

\(c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

Das Produkt \(AB\) lässt sich nur berechnen (ist nur definiert), wenn „Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B“ gilt. Das Produkt einer \(m \times n\)-Matrix mit einer \(n \times p\)-Matrix ist eine \(m \times p\)-Matrix. Anders als bei gewöhnlichen Zahlen dürfen Sie die Reihenfolge nicht vertauschen (\(AB\) und \(BA\) sind im Allgemeinen verschieden, manchmal ist sogar nur eines von beiden definiert). Im Unterricht hilft oft das Falk-Schema: Man schreibt B rechts oben und A links unten, sodass jedes Element des Ergebnisses genau im Kreuzungspunkt „seiner“ Zeile von A und „seiner“ Spalte von B steht.

Transponieren (Zeilen und Spalten vertauschen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\((A^{T})_{ij}\) \(=\) \(a_{ji}\)

② Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Transponierten \(A^{T}\) \(=\) ① \(a_{ji}\): Element in Zeile \(j\), Spalte \(i\) von A

Die Formel in Worten

① Das \(a_{ji}\): Element in Zeile \(j\), Spalte \(i\) von A wird nach dem Vertauschen von Zeilen und Spalten zum

② Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Transponierten \(A^{T}\) .

Einfaches Beispiel

Transponiert man eine 2×3-Matrix, wird Zeile 1 zu Spalte 1 und Zeile 2 zu Spalte 2 – es entsteht eine 3×2-Matrix

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

Statt \(A^{T}\) schreiben manche Bücher und Programme auch \(A^{\top}\) oder \(A'\). Zweimal transponieren führt zurück zur Ausgangsmatrix (\((A^{T})^{T} = A\)).

Potenzen (dieselbe quadratische Matrix immer wieder multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(A^{n}\) \(=\) \(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)

② \(A^{n}\): Matrix \(A\) hoch \(n\) \(=\) ① \(n\) Faktoren der quadratischen Matrix \(A\), miteinander multipliziert

Die Formel in Worten

① \(n\) Faktoren der quadratischen Matrix \(A\), miteinander multipliziert, ergeben

② \(A^{n}\): Matrix \(A\) hoch \(n\) (der Reihe nach von links gerechnet: \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\) usw.).

Einfaches Beispiel

Für \(A^{3}\) mit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) braucht man zwei Multiplikationen:

\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

Potenzen gibt es nur für quadratische Matrizen (Zeilenzahl = Spaltenzahl). Ist die Matrix nicht quadratisch, ist die Bedingung für das Produkt \(AA\), „Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von A“, nicht erfüllt. Beachten Sie außerdem: Man nimmt nicht jedes Element einzeln hoch \(n\), sondern wiederholt die Matrizenmultiplikation \((n-1)\)-mal.

Bei Matrizen rechnet man Addition und Subtraktion „Element für Element an derselben Position“, die Multiplikation „Zeile mal Spalte“ – als Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B. Die Multiplikation ist nur definiert, wenn „Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B“ gilt, und der große Unterschied zu gewöhnlichen Zahlen ist, dass das Vertauschen der Reihenfolge das Ergebnis meist ändert.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(A,\ B\)	A, B	Namen für Matrizen. Üblicherweise bezeichnet man Matrizen mit Großbuchstaben.
\(a_{ij}\)	a i j	Das Element der Matrix \(A\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\) (die Zahl in der \(i\)-ten Zeile von oben und der \(j\)-ten Spalte von links). Die kleinen Buchstaben rechts unten (die Indizes) geben die Position an – Merkspruch: „Zeile zuerst, Spalte später“.
\(b_{ij}\)	b i j	Das Element der Matrix \(B\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\). Es wird genauso gelesen wie \(a_{ij}\); nur der Name der Matrix ist anders.
\(m \times n\)	m Kreuz n	Die Größe (das Format) einer Matrix: \(m\) Zeilen (waagerecht) und \(n\) Spalten (senkrecht). (Beispiel: Eine 2×3-Matrix hat 2 Zahlen untereinander und 3 nebeneinander, insgesamt 6 Zahlen.)
\(c_{ij}\)	c i j	Nennt man das Produkt \(AB\) kurz \(C\), ist das sein Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\).
\(A^{T}\)	A transponiert	Die Transponierte von \(A\): die Matrix mit vertauschten Zeilen und Spalten. Man schreibt sie auch \(A^{\top}\) oder \(A'\).
\(A^{n}\)	A hoch n	Die Matrix aus \(n\) miteinander multiplizierten Faktoren \(A\). Nur für quadratische Matrizen definiert.
\(\sum\)	Summenzeichen (Sigma)	Das Zeichen für „alles addieren“. \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) bedeutet: \(a_{ik} b_{kj}\) für jedes \(k\) von 1 bis \(n\) addieren.

Begriffe

Matrix	Zahlen, rechteckig in Zeilen und Spalten angeordnet (Mehrzahl Matrizen). Jede einzelne Zahl heißt Element. Wie in einer Tabellenkalkulation gibt man eine Position mit „welche Zeile, welche Spalte“ an.
Zeile	Eine waagerechte Reihe von Zahlen in einer Matrix. Man zählt von oben – Zeile 1, Zeile 2 usw. – wie die Zeilen eines Textes.
Spalte	Eine senkrechte Reihe von Zahlen in einer Matrix. Man zählt von links – Spalte 1, Spalte 2 usw. – wie die Spalten einer Zeitungsseite, die von oben nach unten laufen.
Element (Eintrag)	Jede einzelne Zahl in einer Matrix, auch Eintrag oder Koeffizient genannt. Das Element in Zeile \(i\), Spalte \(j\) schreibt man mit Indizes, etwa \(a_{ij}\).
quadratische Matrix	Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten (quadratisch). Potenzen sowie Determinanten und Inverse (nicht Thema dieser Seite) gibt es nur für quadratische Matrizen.
transponierte Matrix (Transponierte)	Die Matrix mit vertauschten Zeilen und Spalten. Die Transponierte einer \(m \times n\)-Matrix ist eine \(n \times m\)-Matrix.
Skalarprodukt	Der Wert, den man erhält, wenn man zwei Zahlenreihen von vorn paarweise multipliziert und alles addiert. Bei der Matrizenmultiplikation liefert das Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B ein Element des Produkts.
lineare Algebra	Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Matrizen und Vektoren beschäftigt. Im Studium ist es meist eine Pflichtvorlesung der ersten Semester und die Grundlage für Computergrafik, Statistik, KI und vieles mehr.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.

Grundrechenarten mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen sicher addieren, subtrahieren und multiplizieren können
Variablen und Indizes (Klasse 5 bis Oberstufe, 10–18 Jahre)	Die kleinen Zeichen rechts unten wie bei \(a_{12}\) (Indizes) als Bezeichnung einer Position lesen können, nicht als Wert
Potenzen (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl rechts oben bei \(A^{3}\) (der Exponent) bedeutet: drei Faktoren miteinander multiplizieren
Zeilen und Spalten einer Tabelle (Grundschule, 6–10 Jahre)	Wissen, dass in einer Tabelle Zeilen waagerecht und Spalten senkrecht verlaufen, und eine Position wie „Zeile 2, Spalte 3“ angeben können

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Summe A + B

Zeile 1 von Matrix A	1	2
Zeile 2 von Matrix A	3	4
Zeile 1 von Matrix B	5	6
Zeile 2 von Matrix B	7	8
Zeile 1 von A + B	=B1+B3	=C1+C3
Zeile 2 von A + B	=B2+B4	=C2+C4

Tabelle für die Differenz A − B

Zeile 1 von Matrix A	9	8
Zeile 2 von Matrix A	7	6
Zeile 1 von Matrix B	1	2
Zeile 2 von Matrix B	3	4
Zeile 1 von A − B	=B1-B3	=C1-C3
Zeile 2 von A − B	=B2-B4	=C2-C4

Tabelle für das Produkt AB

Zeile 1 von Matrix A	1	2
Zeile 2 von Matrix A	3	4
Zeile 1 von Matrix B	2	0
Zeile 2 von Matrix B	1	2
AB (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(B1:C2;B3:C4)

Tabelle für die Transponierte Aᵀ

Zeile 1 von Matrix A	1	2	3
Zeile 2 von Matrix A	4	5	6
Aᵀ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MTRANS(B1:D2)

Tabelle für die Potenz A³

Zeile 1 von Matrix A	1	1
Zeile 2 von Matrix A	0	1
A³ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(MMULT(B1:C2;B1:C2);B1:C2)

Für Addition und Subtraktion verrechnen Sie einfach die Zellen an derselben Position, etwa „=B1+B3“ (in der ersten Tabelle ergibt A + B die Werte 6, 8, 10, 12).
Für die Multiplikation nehmen Sie die Funktion MMULT, für die Transponierte die Funktion MTRANS. In aktuellem Excel (etwa Microsoft 365) läuft das Ergebnis automatisch in die Nachbarzellen über (Überlauf). In der dritten Tabelle ergibt AB die Werte 4, 4, 10, 8, in der fünften A³ die Werte 1, 3, 0, 1.
In älterem Excel markieren Sie zuerst einen Bereich in der Größe des Ergebnisses, geben dann die Formel ein und bestätigen mit Strg+Umschalt+Eingabe.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Summe A + B

Zeile 1 von Matrix A	1	2
Zeile 2 von Matrix A	3	4
Zeile 1 von Matrix B	5	6
Zeile 2 von Matrix B	7	8
Zeile 1 von A + B	=B1+B3	=C1+C3
Zeile 2 von A + B	=B2+B4	=C2+C4

Tabelle für das Produkt AB

Zeile 1 von Matrix A	1	2
Zeile 2 von Matrix A	3	4
Zeile 1 von Matrix B	2	0
Zeile 2 von Matrix B	1	2
AB (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(B1:C2;B3:C4)

Tabelle für die Transponierte Aᵀ

Zeile 1 von Matrix A	1	2	3
Zeile 2 von Matrix A	4	5	6
Aᵀ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MTRANS(B1:D2)

Tabelle für die Potenz A³

Zeile 1 von Matrix A	1	1
Zeile 2 von Matrix A	0	1
A³ (läuft ab Zeile 1 automatisch über)	=MMULT(MMULT(B1:C2;B1:C2);B1:C2)

Dieselben Funktionen MMULT und MTRANS wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein.
In Google Tabellen laufen die Ergebnisse von MMULT und MTRANS automatisch in die Nachbarzellen über (Strg+Umschalt+Eingabe ist nicht nötig).

So berechnen Sie es in Python

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]

def matrix_add(x, y):        # Addition (Elemente an derselben Position addieren)
    return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_multiply(x, y):   # Multiplikation (Zeile von A mal Spalte von B)
    return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_transpose(x):     # Transponieren (Zeilen und Spalten vertauschen)
    return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]

def matrix_power(x, n):      # Potenz (n-mal der Reihe nach von links multiplizieren)
    result = x
    for _ in range(n - 1):
        result = matrix_multiply(result, x)
    return result

print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Transponierte von A =", matrix_transpose(A))
print("A hoch 3 =", matrix_power(A, 3))

Der Code kommt mit der Standardbibliothek aus. Ersetzen Sie A und B oben durch Ihre eigenen Matrizen und führen Sie ihn aus (für die Subtraktion ändern Sie nur das „+“ in matrix_add zu „-“). Für ernsthafte numerische Arbeit ist die Bibliothek NumPy der Standard, die eigens für Matrizen gemacht ist (die Multiplikation schreibt man dort „A @ B“).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Addition und Subtraktion (Element für Element an derselben Position)

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)

A + B

C := A + B;

C = A + B;

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

Multiplikation („Zeile mal Spalte“: Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B)

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)

A . B

C := A . B;

C = A * B;

c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj

Transponieren (Zeilen und Spalten vertauschen)

(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A^T)_(ij) = a_(ji)

Transpose[A]

C := LinearAlgebra:-Transpose(A);

C = A.';

(A^T)_ij = a_ji

Potenzen (dieselbe quadratische Matrix immer wieder multiplizieren)

Aⁿ = AA⋯A

A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>A</mi><mi>A</mi><mo>&#x22EF;</mo><mi>A</mi>
  </mrow>
</math>

A^n

MatrixPower[A, n]

C := A^n;

C = A^n;

A^n

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Matrizen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die Matrizen A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[2, 0], [1, 2]] (zeilenweise geschrieben) jeweils die folgende Matrix.
1. Die Summe A + B
2. Die Differenz A − B
3. Das Produkt AB
4. Die Transponierte von A
5. A hoch 3

Geben Sie jeweils die verwendete Formel an (welche Elemente Sie wie verrechnet haben) und die Ergebnismatrix aus der Ausführung. Antworten Sie auf Deutsch.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel