行列の計算（足し算・引き算・掛け算・転置・べき乗）

演算の種類と行列のサイズ（行数・列数）を選び、グリッドに成分を入力してください。転置 Aᵀ とべき乗 Aⁿ は行列Aだけを使います。

演算の種類

行列Aの行数

行列Aの列数

行列Bの行数

行列Bの列数

指数 n（Aを掛け合わせる個数）

成分は半角の数値（小数・マイナスも可）で入力してください。足し算・引き算はAとBが同じサイズのとき、掛け算 AB は「Aの列数＝Bの行数」のときだけ計算できます。

計算結果

左で演算の種類と行列のサイズを選び、成分を入れて「計算する」を押すと、ここに結果の行列と途中式が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

2×2〜4×4（2×3のような長方形もOK）の行列同士の足し算 \(A+B\)・引き算 \(A-B\)・掛け算 \(AB\) がその場で計算できます
行と列を入れ替える転置 \(A^{T}\) と、正方行列のべき乗 \(A^{n}\)（\(n\) は1〜10）も計算できます
掛け算の「行×列の内積」など、計算のしかたを実際の数値の途中式で確認できます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート（MMULT・TRANSPOSE）/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

行列は、以前は高校（旧課程の数学C）で、現在は主に大学初年次の「線形代数」で学ぶ内容です。行列式・逆行列はこのページでは扱いません。

この計算は何の役に立つ？

ゲーム・3DCGでキャラクターを動かす

3DCGでは、キャラクターの回転・拡大縮小などの変形を「座標に行列を掛ける」ことで計算します。複数の変形も、行列同士を先に掛け合わせれば1つの行列にまとめられます。
ゲーム機やパソコンのGPU（グラフィック用の処理装置）は、この行列の掛け算を大量にこなすための専用計算機といえます。

写真・画像の加工（画像は数の行列）

デジタル画像は「画素（ピクセル）の明るさを縦横に並べた行列」そのものです。写真アプリのぼかしやシャープなどのフィルタ処理は、この行列への演算として計算されています。
「画像＝行列」という見方は、画像認識などのAI技術の出発点にもなっています。

連立方程式をまとめて解く（構造計算・電気回路）

未知数がたくさんある連立方程式は、係数を行列に並べると \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) という1本の式にまとめられます。
建物の強度計算や電気回路の解析では、何千・何万本もの式をこの形にして、コンピュータの行列計算で一気に解いています。

路線図・SNSのつながりを数える（隣接行列とべき乗）

駅と駅、人と人のつながりを「つながっていれば1、いなければ0」の行列（隣接行列）で表すと、そのべき乗 \(A^{n}\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分が「\(i\) から \(j\) へちょうど \(n\) 本の線をたどって行く行き方の数」になります。
乗り換え案内やSNSの「友達の友達」の分析は、この考え方が土台の一つになっています。

経済の波及効果を見積もる（産業連関表）

国や都道府県の経済統計では、産業同士が原材料をやり取りする量を大きな行列（産業連関表）で表します。「ある産業の需要が増えると他の産業の生産がどれだけ増えるか」という波及効果を、この行列の計算で見積もります（レオンチェフが考案し、ノーベル経済学賞を受けた手法です）。

AI（機械学習）の中身は行列の掛け算

文章や画像を扱うAI（ニューラルネットワーク）の計算は、その大部分が「入力の数値の並びに、学習した行列を掛ける」ことのくり返しです。
AIの学習・実行に使われる計算量の多くが行列の掛け算だからこそ、行列計算が得意なGPUがAI開発に欠かせない存在になっています。

式

足し算・引き算（同じ位置の成分同士を計算する）

数学表記（一般的な数式）

\((A+B)_{ij}\) \(=\) \(a_{ij}\) \(+\) \(b_{ij}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 和の行列 \(A+B\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(=\) ① Aの \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(a_{ij}\) \(+\) ② Bの \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(b_{ij}\)

式を日本語で読むと

① Aの \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(a_{ij}\) と

② Bの \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(b_{ij}\) を足すと

③ 和の行列 \(A+B\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分になる（引き算は「＋」を「−」に変えるだけ）

簡単な例

2つの2×2行列の足し算は、同じ位置の成分同士を足します

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

考え方のポイント

足し算・引き算ができるのは、AとBのサイズ（行数と列数）が同じときだけです。足し算は順番を入れ替えても同じ（\(A+B=B+A\)）ですが、引き算は普通の数と同じく順番で答えが変わります。

掛け算（Aの行とBの列の内積）

数学表記（一般的な数式）

\(c_{ij}\) \(=\) \(a_{i1}\) \(\times\) \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) \(a_{in}\) \(\times\) \(b_{nj}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 積 \(AB\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(c_{ij}\) \(=\) ① Aの \(i\) 行目の1番目 \(a_{i1}\) \(\times\) ② Bの \(j\) 列目の1番目 \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) Aの \(i\) 行目の \(n\) 番目 \(a_{in}\) \(\times\) Bの \(j\) 列目の \(n\) 番目 \(b_{nj}\)

式を日本語で読むと

① Aの \(i\) 行目の成分 \(a_{i1}, \dots, a_{in}\) と

② Bの \(j\) 列目の成分 \(b_{1j}, \dots, b_{nj}\) を、先頭から順にペアで掛けて全部足すと

③ 積 \(AB\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(c_{ij}\) になる

簡単な例

積ABの (1,1) 成分は「Aの1行目」と「Bの1列目」の内積です。例えば

\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)

考え方のポイント

積 \(AB\) が計算できる（定義できる）のは「Aの列数＝Bの行数」のときだけです。\(m \times n\) 行列と \(n \times p\) 行列の積は \(m \times p\) 行列になります。また、普通の数と違って順番を入れ替えられません（\(AB\) と \(BA\) は一般に等しくなく、片方しか定義できないこともあります）。

転置（行と列を入れ替える）

数学表記（一般的な数式）

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

\((A^{T})_{ij}\) \(=\) \(a_{ji}\)

② 転置行列 \(A^{T}\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分 \(=\) ① Aの \(j\) 行 \(i\) 列の成分 \(a_{ji}\)

式を日本語で読むと

① Aの \(j\) 行 \(i\) 列の成分 \(a_{ji}\) が、行と列を入れ替えた

② 転置行列 \(A^{T}\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分になる

簡単な例

2×3行列を転置すると、1行目が1列目に・2行目が2列目に移り、3×2行列になります

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

考え方のポイント

転置行列は \(A^{T}\) のほかに \({}^{t}A\) と書く流儀もあります（日本の教科書では \({}^{t}A\) も広く使われます）。2回転置すると元に戻ります（\((A^{T})^{T} = A\)）。

べき乗（同じ正方行列をくり返し掛ける）

数学表記（一般的な数式）

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

\(A^{n}\) \(=\) \(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)

② 行列 \(A\) の \(n\) 乗 \(A^{n}\) \(=\) ① 正方行列 \(A\) を \(n\) 個並べて掛けたもの

式を日本語で読むと

① 正方行列 \(A\) を \(n\) 個並べて掛けたものが

② 行列 \(A\) の \(n\) 乗 \(A^{n}\) になる（前から順に \(A^{2}=AA\)、\(A^{3}=A^{2}A\) …と計算する）

簡単な例

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) の3乗は、掛け算を2回くり返して

\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

考え方のポイント

べき乗ができるのは正方行列（行数＝列数）だけです。正方形でないと、\(AA\) の掛け算の条件「Aの列数＝Aの行数」が満たせません。また、成分を1つずつ \(n\) 乗するのではなく、行列の掛け算を \(n-1\) 回くり返す点に注意してください。

行列の足し算・引き算は「同じ位置の成分同士」、掛け算は「Aの行とBの列の内積」が基本です。掛け算は「Aの列数＝Bの行数」のときだけ定義でき、順番を入れ替えると結果が変わるのが普通の数との大きな違いです。

用語・記号の解説

記号

\(A,\ B\)	エー、ビー	行列につける名前。行列はアルファベットの大文字で表すのが慣例です。
\(a_{ij}\)	エー・アイ・ジェーエーのアイジェー成分	行列 \(A\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分（上から \(i\) 行目・左から \(j\) 列目にある数）。右下の小さい文字（添え字）が「場所」を表します。
\(b_{ij}\)	ビー・アイ・ジェー	行列 \(B\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分。\(a_{ij}\) と同じ読み方で、行列の名前だけが違います。
\(m \times n\)	エム・かける・エヌ	行列のサイズ（型）。行（横の並び）が \(m\) 本、列（縦の並び）が \(n\) 本あることを表します。（例：2×3行列は、数が縦に2個・横に3個、あわせて6個並んだ行列）
\(c_{ij}\)	シー・アイ・ジェー	積 \(AB\) を \(C\) と置いたときの、\(C\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分。
\(A^{T}\)	エー・ティーエーの転置	\(A\) の転置行列。行と列を入れ替えた行列で、\({}^{t}A\) と書く流儀もあります。
\(A^{n}\)	エーのエヌ乗	\(A\) を \(n\) 個掛け合わせた行列。正方行列でだけ定義できます。
\(\sum\)	シグマ	「足し合わせる」ことを表す記号。\(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) は「\(k\) を1から \(n\) まで変えながら \(a_{ik} b_{kj}\) を全部足す」という意味です。

用語

行列	ぎょうれつ	数を長方形（縦横）の形に並べたもの。並んだ1つ1つの数を成分と呼びます。表計算の表のように「何行目・何列目」で場所を指定します。
行	ぎょう	行列の「横の並び」。上から順に1行目、2行目…と数えます。
列	れつ	行列の「縦の並び」。左から順に1列目、2列目…と数えます。「行が横・列が縦」は、漢字の形（「行」の横線・「列」の縦線のイメージ）で覚えるのが定番です。
成分	せいぶん	行列の中の1つ1つの数。要素と呼ぶこともあります。\(i\) 行 \(j\) 列の成分を \(a_{ij}\) のように添え字で表します。
正方行列	せいほうぎょうれつ	行数と列数が同じ（正方形の形をした）行列。べき乗や、このページでは扱わない行列式・逆行列は正方行列でだけ考えます。
転置行列	てんちぎょうれつ	行と列を入れ替えた行列。\(m \times n\) 行列の転置は \(n \times m\) 行列になります。
内積	ないせき	2つの数の並びを「先頭から順にペアで掛けて、全部足した」値。行列の掛け算では、Aの行とBの列の内積が積の1つの成分になります。
線形代数	せんけいだいすう	行列やベクトルを扱う数学の分野。大学初年次の必修科目として学ぶことが多く、CG・統計・AIなど応用の土台になっています。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

正負の数の四則計算（中学1年）	マイナスを含む足し算・引き算・掛け算が正確にできること
文字式と添え字（中学1年〜高校）	\(a_{12}\) のような右下の小さい文字（添え字）が、「値」ではなく「場所を区別するラベル」だと読めること
累乗（中学1年）	\(A^{3}\) の右上の数（指数）が「3個掛け合わせる」ことを表すとわかること
表の行と列（小学校〜）	表で「行が横の並び・列が縦の並び」だとわかり、「2行3列目」のように場所を指定できること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「足し算 A＋B」を求める表

行列Aの1行目	1	2
行列Aの2行目	3	4
行列Bの1行目	5	6
行列Bの2行目	7	8
A＋Bの1行目	=B1+B3	=C1+C3
A＋Bの2行目	=B2+B4	=C2+C4

「引き算 A−B」を求める表

行列Aの1行目	9	8
行列Aの2行目	7	6
行列Bの1行目	1	2
行列Bの2行目	3	4
A−Bの1行目	=B1-B3	=C1-C3
A−Bの2行目	=B2-B4	=C2-C4

「掛け算 AB」を求める表

行列Aの1行目	1	2
行列Aの2行目	3	4
行列Bの1行目	2	0
行列Bの2行目	1	2
ABの1行目から自動で広がる	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

「転置 Aᵀ」を求める表

行列Aの1行目	1	2	3
行列Aの2行目	4	5	6
Aᵀの1行目から自動で広がる	=TRANSPOSE(B1:D2)

「べき乗 A³」を求める表

行列Aの1行目	1	1
行列Aの2行目	0	1
A³の1行目から自動で広がる	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

足し算・引き算は、同じ位置のセル同士を「=B1+B3」のように計算するだけです（1つ目の表ならA＋Bは 6・8・10・12 になります）。
掛け算はMMULT関数、転置はTRANSPOSE関数を使います。最近のExcel（Microsoft 365など）では結果が自動で隣のセルに広がります（スピル）。3つ目の表ならABは 4・4・10・8、5つ目の表ならA³は 1・3・0・1 になります。
古いExcelでは、先に結果と同じサイズの範囲を選択してから数式を入力し、Ctrl＋Shift＋Enterで確定してください。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「足し算 A＋B」を求める表

行列Aの1行目	1	2
行列Aの2行目	3	4
行列Bの1行目	5	6
行列Bの2行目	7	8
A＋Bの1行目	=B1+B3	=C1+C3
A＋Bの2行目	=B2+B4	=C2+C4

「掛け算 AB」を求める表

行列Aの1行目	1	2
行列Aの2行目	3	4
行列Bの1行目	2	0
行列Bの2行目	1	2
ABの1行目から自動で広がる	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

「転置 Aᵀ」を求める表

行列Aの1行目	1	2	3
行列Aの2行目	4	5	6
Aᵀの1行目から自動で広がる	=TRANSPOSE(B1:D2)

「べき乗 A³」を求める表

行列Aの1行目	1	1
行列Aの2行目	0	1
A³の1行目から自動で広がる	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

ExcelのMMULT・TRANSPOSEと同じ関数がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付けてください。
Googleスプレッドシートでは、MMULT・TRANSPOSEの結果は自動で隣のセルに広がります（Ctrl＋Shift＋Enterは不要です）。

Pythonで計算する方法

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]

def matrix_add(x, y):        # 足し算（同じ位置の成分同士を足す）
    return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_multiply(x, y):   # 掛け算（Aの行とBの列の内積）
    return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_transpose(x):     # 転置（行と列を入れ替える）
    return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]

def matrix_power(x, n):      # べき乗（前から順にn回掛ける）
    result = x
    for _ in range(n - 1):
        result = matrix_multiply(result, x)
    return result

print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Aの転置 =", matrix_transpose(A))
print("Aの3乗 =", matrix_power(A, 3))

標準ライブラリだけで動きます。先頭のAとBを自分の行列に書き換えて実行してください（引き算は matrix_add の「+」を「-」に変えるだけです）。本格的な数値計算では、行列専用のライブラリNumPy（掛け算は「A @ B」と書けます）を使うのが定番です。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

足し算・引き算（同じ位置の成分同士を計算する）

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)

A + B

C := A + B;

C = A + B;

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

掛け算（Aの行とBの列の内積）

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)

A . B

C := A . B;

C = A * B;

c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj

転置（行と列を入れ替える）

(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A^T)_(ij) = a_(ji)

Transpose[A]

C := LinearAlgebra:-Transpose(A);

C = A.';

(A^T)_ij = a_ji

べき乗（同じ正方行列をくり返し掛ける）

Aⁿ = AA⋯A

A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>A</mi><mi>A</mi><mo>&#x22EF;</mo><mi>A</mi>
  </mrow>
</math>

A^n

MatrixPower[A, n]

C := A^n;

C = A^n;

A^n

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは行列計算のアシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

行列 A = [[1, 2], [3, 4]]、行列 B = [[2, 0], [1, 2]] について、次の行列をそれぞれ求めてください。
1. 足し算 A + B
2. 引き算 A − B
3. 掛け算 AB
4. Aの転置行列
5. Aの3乗

それぞれ、計算に使った式（どの成分をどう計算したか）と、実行結果の行列を示してください。