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行列 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\) のとき、和 \(A+B\) を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)
同じ位置の成分同士を足します。
\(1+5=6,\quad 2+6=8,\quad 3+7=10,\quad 4+8=12\)
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行列 \(A=\begin{pmatrix}9&8\\7&6\end{pmatrix}\) から \(B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) を引いた差 \(A-B\) を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}8&6\\4&2\end{pmatrix}\)
同じ位置の成分同士を引きます。
\(9-1=8,\quad 8-2=6,\quad 7-3=4,\quad 6-4=2\)
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行列 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)、\(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}\) のとき、積 \(AB\) を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}4&4\\10&8\end{pmatrix}\)
積の各成分は「\(A\) の行」と「\(B\) の列」の内積です。
\((1,1)\) 成分を計算します。
\(1\times2+2\times1=4\)
\((1,2)\) 成分を計算します。
\(1\times0+2\times2=4\)
\((2,1)\) 成分を計算します。
\(3\times2+4\times1=10\)
\((2,2)\) 成分を計算します。
\(3\times0+4\times2=8\)
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行列 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) の転置行列 \(A^{\top}\) を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)
行と列を入れ替えます。
\(A\) の1行目「1 2」が転置行列の1列目に、\(A\) の2行目「3 4」が2列目になります。
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行列 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) の2乗 \(A^2\) を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)
\(A^2=AA\) を掛け算のルールで計算します。
\((1,1)\) 成分を計算します。
\(1\times1+1\times0=1\)
\((1,2)\) 成分を計算します。
\(1\times1+1\times1=2\)
\((2,1)\) 成分を計算します。
\(0\times1+1\times0=0\)
\((2,2)\) 成分を計算します。
\(0\times1+1\times1=1\)