変換の向きを選んで数値を入力してください。「直交形式 → 極形式」では実部 a・虚部 b を、「極形式 → 直交形式」では絶対値 r と偏角 θ（単位も選択）を入力します。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。直交形式の実部・虚部の空欄は 0 として扱います。
計算結果・図形
左の入力欄に数値を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と複素数平面の図が表示されます。
目次
このページでできること
- 複素数 \(z = a + bi\)（直交形式）を、絶対値 \(r\) と偏角 \(\theta\) を使った極形式 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) にその場で変換できます。絶対値は \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) のように√を簡約した厳密値で、偏角は有名角ならπの分数の厳密値で答えます
- 偏角 \(\theta\) は \(0 \leq \theta < 2\pi\) の範囲を主に、\(-\pi < \theta \leq \pi\) の範囲の値も併記します（教科書・問題集のどちらの流儀でも答え合わせできます）
- 逆の変換（極形式 → 直交形式）もできます。絶対値 \(r\) と偏角 \(\theta\)（度・πの分数・ラジアンの小数）を入れると、\(a + bi\) を \(1 + \sqrt{3}i\) のような厳密値で表示します
- \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) と点のある象限から偏角を求める「象限補正」の過程を、途中式で1ステップずつ確認できます
- 結果は複素数平面の図でも確認でき、絶対値 \(r\)（原点からの距離）と偏角 \(\theta\)（実軸からの回転角）が図のどこにあたるか一目でわかります
対象は高校数学Cで学ぶ複素数平面の極形式です。実部・虚部に入力できるのは分数・小数（有理数）で、√3 のような無理数は直接入力できません。このとき偏角がπの分数の厳密値になるのは、点が軸の上にある場合と 45° 系の角の場合です（30°・60° 系の角では tanθ が 1/√3 のような無理数になるため、有理数の実部・虚部からは現れません）。なお逆向きの「極形式 → 直交形式」では、30°・45° の倍数の有名角すべてを厳密値で計算できます。
この計算は何の役に立つ？
交流の電気回路の計算（電気・電子工学）
家庭のコンセントに来ている交流は、電圧・電流が波のように振動していて、「波の大きさ」と「波のタイミングのずれ（位相）」の2つの情報を持ちます。電気の世界ではこの2つを複素数1個で表し（絶対値＝波の大きさ・偏角＝位相）、極形式のまま掛け算・割り算をして回路を計算するのが標準の方法です。
発電所から家庭までの送電網の設計も、スマートフォンの充電器の中の回路設計も、この「絶対値と偏角」の計算に支えられています。電気主任技術者（電験）の試験にも登場する、実務で最も出番の多い複素数の使い道です。
音や電波の分析（フーリエ変換・信号処理）
音声や電波をコンピュータで扱うときは、フーリエ変換という計算で「どの高さの波がどれだけ含まれるか」に分解します。その結果は複素数の列で、各成分の絶対値がその波の強さ（振幅）、偏角が波のずれ（位相）を表します。
音楽アプリのイコライザ、イヤホンのノイズキャンセリング、音声認識など、音や電波を扱う技術の多くが、この「複素数を絶対値と偏角で読む」考え方を土台にしています。
図形の回転の計算（ゲーム・CG）
極形式の掛け算「絶対値は積・偏角は和」は、図形的には「拡大縮小と回転」そのものです。例えば \(i\)（絶対値1・偏角90°）を掛けると、点は原点の周りにちょうど90°回転します。2Dゲームでキャラクターや弾の向きを回す計算は、複素数の掛け算と同じ仕組みで書けます。
3DのCGやロボット制御で使われるクォータニオン（四元数）も、この「複素数で回転を表す」考え方を3次元に広げたものです。
レーダー・ソナーの「距離と方角」（航空・船舶）
空港のレーダーや船のソナーは、目標の位置を「自分からの距離」と「どの方角か」の組で捉えます。これは点を \(r\) と \(\theta\) で表す極形式（極座標）の考え方そのもので、画面に表示する位置（縦横の座標）との間で、このページと同じ変換の計算が行われています。
位置を「距離と向き」で捉える方が自然な場面では、直交座標との行き来にいつでもこの変換が登場します。
式と図
極形式（複素数のもう1つの表し方）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(z\)
\(=\)
\(r\)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
複素数 \(z\)
\(=\)
①
絶対値 \(r\)（原点からの距離）
②
偏角 \(\theta\) の向きを表す部分
式を日本語で読むと
①
原点から点までの距離である
絶対値 \(r\)
に
②
偏角 \(\theta\) の向きを表す部分 \(\cos\theta + i\sin\theta\)
を掛けると
③
複素数 \(z\)
になる
簡単な例
\(z = 1 + \sqrt{3}i\) を極形式にすると（絶対値は \(r = 2\)、偏角は \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)（60°））
複素数 \(1 + \sqrt{3}i\)
\(=\)
絶対値 \(2\)
\(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)
\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)
\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
考え方のポイント
同じ複素数の表し方が2通りあります。「横に \(a\)・縦に \(b\) 進んだ点」と読むのが直交形式 \(a + bi\)、「原点から距離 \(r\)・実軸から角 \(\theta\) の向きにある点」と読むのが極形式です。住所で言えば、直交形式は「東へ1・北へ√3」、極形式は「東の向きから北へ60°回った方向へ2」のような指定のしかたです。
足し算・引き算は直交形式が楽で、掛け算・割り算・べき乗は極形式が楽、という使い分けをします（理由は下の「極形式の掛け算」の式で説明します）。
絶対値 \(r\)（原点からの距離）
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
絶対値 \(r\)
\(=\)
①
実部 \(a\) と虚部 \(b\) の2乗の和の平方根
式を日本語で読むと
①
実部 \(a\) の2乗と虚部 \(b\) の2乗を足して平方根（ルート）をとったもの \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
が
②
絶対値 \(r\)
になる
簡単な例
\(z = 3 + 4i\) の絶対値は
絶対値 \(r\)
\(=\)
\(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
考え方のポイント
これは中学3年で習う三平方の定理そのものです。複素数平面で点 \(z = a + bi\) は「横 \(a\)・縦 \(b\)」の位置にあるので、原点・点 \((a,\ 0)\)・点 \(z\) を結ぶと直角三角形ができ、原点から \(z\) までの距離（斜辺）が \(\sqrt{a^2 + b^2}\) になります。
答えの√は、\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) のように中の平方因子をくくり出した簡約形で書くのが答案の慣例です（この計算機も簡約形で表示します）。
偏角 \(\theta\)（tanθ と象限から求める）
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{a}\)
②
偏角 \(\theta\) のタンジェント
\(=\)
①
虚部 \(b\) を実部 \(a\) で割ったもの
式を日本語で読むと
①
虚部 \(b\) を実部 \(a\) で割ったもの
が
②
偏角 \(\theta\) のタンジェント \(\tan\theta\)
になる（ただし、この式だけでは \(\theta\) は1つに決まらないので、点 \(z\) がどの象限にあるかで絞り込む）
簡単な例
\(z = -1 + i\) の偏角は（実部が負・虚部が正なので、点は第2象限にあります）
タンジェント \(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)
考え方のポイント
\(\tan\theta = -1\) になる角は、\(0 \leq \theta < 2\pi\) の範囲に \(\dfrac{3}{4}\pi\)（135°）と \(\dfrac{7}{4}\pi\)（315°）の2つあります。どちらが正解かは、点 \(z\) のある象限で決めます。\(z = -1 + i\) は実部が負・虚部が正＝第2象限（左上）なので、\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\) を選びます。これが象限補正です。
電卓や表計算ソフトの \(\arctan\)（タンジェントの逆の計算）は \(-\dfrac{\pi}{2}\) から \(\dfrac{\pi}{2}\) の間の角しか返さないため、第2象限・第3象限の点ではそのままでは偏角になりません。\(\arctan\) で求めた鋭角に、象限に応じて \(\pi\) を足すなどの補正が必要です（この計算機は途中式でこの補正を表示します）。
極形式の掛け算（絶対値は積・偏角は和）
数学表記
（一般的な数式）
\(z_{1} z_{2}\)
\(=\)
\(r_{1} r_{2}\)
\(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
2つの複素数の積
\(=\)
①
絶対値同士の積
②
偏角同士の和の向きを表す部分
式を日本語で読むと
①
絶対値同士の積 \(r_1 r_2\)
に
②
偏角同士の和 \(\theta_1 + \theta_2\) の向きを表す部分
を掛けると
③
2つの複素数の積 \(z_1 z_2\)
になる（掛け算をすると、長さは \(r_2\) 倍・向きは \(\theta_2\) だけ回転する）
簡単な例
\(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) と \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) の積は
積 \(z_1 z_2\)
\(=\)
絶対値の積 \(2 \times 3\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)
\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)
考え方のポイント
これが極形式の最大のうまみです。直交形式の掛け算は分配法則で4つの項を展開する必要がありますが、極形式なら「絶対値は掛ける・偏角は足す」だけで終わります。
図形的には、\(z_2\) を掛けることは「原点を中心に \(\theta_2\) だけ回転して、\(r_2\) 倍に拡大する」操作です。例えば \(i\)（絶対値1・偏角90°）を掛けると、点は原点の周りにちょうど90°回転します。
この性質を同じ数の \(n\) 回の掛け算に使うと、ド・モアブルの定理 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) が得られ、複素数の \(n\) 乗や \(n\) 乗根の計算に発展します（高校 数学C）。
複素数 \(z = a + bi\) は、絶対値 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)（原点からの距離）と偏角 \(\theta\)（実軸の正の向きから反時計回りに測った角）を使って、極形式 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) とも表せます。偏角は \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) と点のある象限から求めます。極形式にすると、複素数の掛け算が「絶対値の積・偏角の和」という単純な操作に変わります。
用語・記号の解説
記号
| \(i\) | アイ | 虚数単位。2乗すると \(-1\) になる数（\(i^2 = -1\)）です。imaginary number（想像上の数）の頭文字に由来します。 |
| \(z\) | ゼット | 複素数を表すのによく使われる文字。実数の変数に使う \(x,\ y\) と区別するため、複素数には \(z\) や \(w\) を使う慣例があります。 |
| \(a,\ b\) | エー・ビー | \(z = a + bi\) の実部（\(a\)）と虚部（\(b\)）。どちらも実数です。複素数平面では、\(a\) が横（実軸方向）の位置、\(b\) が縦（虚軸方向）の位置にあたります。 |
| \(r\) | アール | 絶対値（原点から点 \(z\) までの距離）を表す文字。radius（半径）の頭文字に由来します。極形式では 0 以上の実数です。 |
| \(|z|\) | ゼットの絶対値 | 複素数 \(z\) の絶対値を表す記号。実数の絶対値と同じ縦棒2本で書き、\(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) です。 |
| \(\theta\) | シータ | 偏角を表すのに使うギリシャ文字。数学では角度を表す文字として慣用的に使われます。 |
| \(\arg z\) | アーグ・ゼット | \(z\) の偏角を表す記号。偏角を意味する英語 argument の頭文字3文字です。教科書では \(\arg z = \theta\) のように使います。 |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | コサイン・シータ、サイン・シータ | 三角比（三角関数）。半径1の円（単位円）の上で、角 \(\theta\) の向きに進んだ点の横の位置が \(\cos\theta\)、縦の位置が \(\sin\theta\) です。極形式では「向きを表す部品」の役割をします。 |
| \(\tan\theta\) | タンジェント・シータ | 三角比の1つで、\(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) と定義されます。複素数平面では \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)（縦÷横＝傾き）となり、偏角を求める手がかりになります。 |
| \(\arctan\) | アークタンジェント | タンジェントの逆の計算。「\(\tan\theta = x\) になる角 \(\theta\)」を返します。返す角は \(-\dfrac{\pi}{2}\) から \(\dfrac{\pi}{2}\) の間に限られるため、第2・第3象限の偏角を求めるときは象限補正が必要です。 |
| \(\pi\) | パイ | 円周率（約3.14159）。弧度法（ラジアン）では、半回転の角 \(180^{\circ}\) がちょうど \(\pi\) になります。円周率を表すギリシャ文字 \(\pi\) は、ギリシャ語で周・周囲を意味する語（ペリメトロス）の頭文字に由来するといわれます。 |
用語
| 複素数 | ふくそすう | \(a + bi\)（\(a,\ b\) は実数）の形で表される数。実数と虚数をひとまとめにした数の世界で、高校では数学IIで学びます。 |
| 虚数単位 | きょすうたんい | 2乗すると \(-1\) になる数 \(i\) のこと。実数の中には2乗して負になる数がないため、新しい数として導入されました。 |
| 実部 | じつぶ | 複素数 \(z = a + bi\) の \(a\) の部分。複素数平面では横の座標にあたります。 |
| 虚部 | きょぶ | 複素数 \(z = a + bi\) の \(b\) の部分。「\(i\) に付いている実数」であり、\(i\) 自体は含めないことに注意します（\(1 + 2i\) の虚部は \(2i\) ではなく \(2\)）。 |
| 複素数平面 | ふくそすうへいめん | 複素数 \(a + bi\) を点 \((a,\ b)\) として表す平面。横軸を実軸、縦軸を虚軸と呼びます。ガウス平面とも呼ばれ、高校では数学Cで学びます。 |
| 直交形式 | ちょっこうけいしき | 複素数を \(a + bi\) の形（横 \(a\)・縦 \(b\) の座標）で表す表し方。足し算・引き算はこの形が計算しやすいです。 |
| 極形式 | きょくけいしき | 複素数を「原点からの距離 \(r\)」と「実軸からの回転角 \(\theta\)」で表す表し方 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) のことです。掛け算・割り算・べき乗はこの形が計算しやすいです。 |
| 絶対値 | ぜったいち | 原点から点 \(z\) までの距離のことで、\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) で計算します。実数の絶対値（数直線上での0からの距離）を、平面に広げたものです。 |
| 偏角 | へんかく | 実軸の正の向きから反時計回りに測った、原点から点 \(z\) への向きの角。記号は \(\arg z\) です。1周（\(2\pi\)）足しても同じ向きなので、範囲を \(0 \leq \theta < 2\pi\) や \(-\pi < \theta \leq \pi\) に決めて答えるのが慣例です。 |
| 象限 | しょうげん | 座標平面を2本の軸で区切った4つの部屋。右上が第1象限で、そこから反時計回りに第2・第3・第4象限と数えます。偏角の値を1つに決めるとき、点がどの象限にあるかが手がかりになります。 |
| 弧度法 （ラジアン） |
こどほう（ラジアン） | 角の大きさを、半径1の円の弧の長さで測る方法。\(180^{\circ} = \pi\) ラジアンです。数学IIの三角関数以降では、度よりもこちらが標準の単位です。 |
| 有名角 | ゆうめいかく | \(30^{\circ}\)・\(45^{\circ}\)・\(60^{\circ}\) とその仲間（これらに \(90^{\circ}\) の倍数を足した角）。三角比の値が \(\dfrac{1}{2}\)・\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)・\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) のような厳密値で書ける角で、教科書・入試の問題のほとんどはこの角で出題されます。 |
| 象限補正 | しょうげんほせい | \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) を満たす角は1周の中に2つあるため、点のある象限に合う方を選ぶ（\(\arctan\) で求めた鋭角に \(\pi\) を足すなどの）手直しのこと。 |
| ド・モアブルの定理 | ド・モアブルのていり | \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) という定理。「掛け算＝偏角の足し算」を \(n\) 回繰り返した結果で、複素数の \(n\) 乗・\(n\) 乗根の計算に使います（数学C）。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 平方根と根号の計算（中学3年） |
|
| 三平方の定理（中学3年） |
|
| 複素数（高校 数学II） |
|
| 三角比とその拡張（高校 数学I・数学II） |
|
| 弧度法（高校 数学II） |
|
| 複素数平面（高校 数学C） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「直交形式 → 極形式」を求める表
| 実部 a | 3 |
| 虚部 b | 4 |
| 絶対値 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 偏角 θ（ラジアン・0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 偏角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
「極形式 → 直交形式」を求める表
| 絶対値 r | 2 |
| 偏角 θ（度） | 60 |
| 実部 a = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 虚部 b = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
貼り付けると、上の行が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
1つ目の表の ATAN2(x座標, y座標) は、象限補正まで済ませた偏角（−π より大きく π 以下）を返す関数です。MOD で 2π で割った余りに直すと、0 以上 2π 未満の範囲の偏角になります。例の z = 3 + 4i では、r = 5、θ ≒ 0.9273（約 53.13 度）になります。
2つ目の表の RADIANS は度をラジアンに直す関数です。例の r = 2・θ = 60 度では、a = 1、b ≒ 1.7320508（= √3）になります。Excel の答えは小数なので、√2 や π の分数のような厳密値で答えたいときはこのページの計算機を使ってください。
1つ目の表の ATAN2(x座標, y座標) は、象限補正まで済ませた偏角（−π より大きく π 以下）を返す関数です。MOD で 2π で割った余りに直すと、0 以上 2π 未満の範囲の偏角になります。例の z = 3 + 4i では、r = 5、θ ≒ 0.9273（約 53.13 度）になります。
2つ目の表の RADIANS は度をラジアンに直す関数です。例の r = 2・θ = 60 度では、a = 1、b ≒ 1.7320508（= √3）になります。Excel の答えは小数なので、√2 や π の分数のような厳密値で答えたいときはこのページの計算機を使ってください。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「直交形式 → 極形式」を求める表
| 実部 a | 3 |
| 虚部 b | 4 |
| 絶対値 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 偏角 θ（ラジアン・0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 偏角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
「極形式 → 直交形式」を求める表
| 絶対値 r | 2 |
| 偏角 θ（度） | 60 |
| 実部 a = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 虚部 b = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
Excelと同じ式がそのまま使えます（ATAN2 の引数の順序も同じ「x座標, y座標」です）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、数値を自分の値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
import math
# 直交形式 → 極形式
real_part = 3 # 実部 a
imaginary_part = 4 # 虚部 b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part) # 象限補正込み（−π < θ ≤ π）
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 0 ≤ θ < 2π の範囲に直す
print(f"絶対値 r = {absolute_value}")
print(f"偏角 θ = {argument} rad（{math.degrees(argument)} 度）")
# 極形式 → 直交形式
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"実部 a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"虚部 b = {r * math.sin(theta)}")
math.atan2(y, x) は象限補正まで済ませた偏角を返す関数で、arctan と違い第2・第3象限の点でも正しい向きが得られます。この例の前半は z = 3 + 4i の変換で、実行すると r = 5.0、θ ≒ 0.9272952180016122 rad（約 53.13 度）が表示されます。後半は r = 2・θ = 60° の逆変換で、a ≒ 1.0000000000000002、b ≒ 1.7320508075688772（= √3）になります。a がぴったり 1 にならないのは小数（浮動小数点数）の丸め誤差のためで、厳密値が欲しいときはこのページの計算機のように記号のまま計算する必要があります。標準ライブラリの cmath モジュールの cmath.polar(complex(3, 4)) でも絶対値と偏角（−π < θ ≤ π）を一度に求められます。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
極形式（複素数のもう1つの表し方）
z = r(cosθ + i sinθ)
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mi>r</mi>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z = r(cos theta + i sin theta)
z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])
z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));
z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));
z = r(cos θ + i sin θ)
絶対値 \(r\)（原点からの距離）
r = |z| = √(a² + b²)
r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)
Abs[a + b I]
r := abs(a + b*I);
r = abs(a + b*1i);
r = √(a^2 + b^2)
偏角 \(\theta\)（tanθ と象限から求める）
tanθ = b/a
\tan\theta = \dfrac{b}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = b/a
theta = Arg[a + b I]
theta := argument(a + b*I);
theta = angle(a + b*1i);
tan θ = b/a
極形式の掛け算（絶対値は積・偏角は和）
z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}
z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>{</mo>
<mi>cos</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi>
<mi>sin</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>}</mo>
</mrow>
</math>
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))
r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])
z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));
z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（複素数平面）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 1. 複素数 z = 3 + 4i を極形式 r(cosθ + i sinθ) に変換してください。絶対値 r と、偏角 θ（0 ≤ θ < 2π の範囲。ラジアンと度の両方）を示してください。 2. 絶対値 r = 2、偏角 θ = 60° の複素数を直交形式 a + bi に直してください。a・b は小数のほか、可能なら √ を使った厳密値でも示してください。 Pythonでは math.atan2 や math.sqrt を使い、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの変換を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
特に指定がない限り、偏角 \(\theta\) は \(0 \leq \theta < 2\pi\) の範囲で答えます。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
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会員登録不要
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通信を高度に暗号化
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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クレジット表記不要
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商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
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関連機能
複素数の四則演算 計算機（分母の実数化の途中式・共役・絶対値付き）
2つの複素数 z₁・z₂ の足し算・引き算・掛け算・割り算を、分母の実数化の途中式・共役複素数・絶対値・複素数平面の図付きで計算します
三角比計算機（sin・cos・tanの値と角度を単位円の図付きで計算）
角度から sin・cos・tan の値を、逆に値から角度を、単位円の図付きで計算します
度とラジアンの変換計算機（πの分数の厳密値と単位円の図付き）
度 ⇔ ラジアンの変換を、πの分数の厳密値と単位円の図付きで計算します
ド・モアブルの定理 計算機（複素数のn乗・n乗根を途中式と正n角形の図付きで計算）
ド・モアブルの定理で複素数のn乗とn乗根を計算します。絶対値の累乗と偏角のn倍の途中式付きで、n乗根は円周上の正n角形として図示します
極座標⇔直交座標の変換 計算機（動径と偏角・象限補正の途中式付き）
同じ「距離と向き」の考え方を平面上の点の座標に使うページです。直交座標 (x, y) と極座標 (r, θ) を相互に変換します
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