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次の複素数を極形式で表しましょう。
\(z = 1 + i\)
解答：\(z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
まず絶対値を求めます。
\(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
次に偏角を求めます。実部・虚部がどちらも正なので、点 \(z\) は第1象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{1}{1} = 1\)
\(\tan\theta = 1\) となる角のうち第1象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)
よって極形式は
\(z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
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次の複素数を極形式で表しましょう。
\(z = -2\)
解答：\(z = 2\left(\cos\pi + i\sin\pi\right)\)
実数も複素数平面の点として考えられます。点 \(-2\) は実軸の負の部分にあります。
絶対値は原点からの距離なので
\(r = 2\)
実軸の負の向きは、実軸の正の向きからちょうど半回転した向きだから
\(\theta = \pi\)
よって極形式は
\(z = 2\left(\cos\pi + i\sin\pi\right)\)
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次の複素数を極形式で表しましょう。
\(z = -1 + \sqrt{3}i\)
解答：\(z = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right)\)
まず絶対値を求めます。
\(r = \sqrt{\left(-1\right)^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
実部が負・虚部が正なので、点 \(z\) は第2象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}\)
\(\tan\theta = -\sqrt{3}\) となる角のうち第2象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{2}{3}\pi\)
よって極形式は
\(z = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right)\)
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次の複素数を極形式で表しましょう。
\(z = -\sqrt{2} - \sqrt{2}i\)
解答：\(z = 2\left(\cos\dfrac{5}{4}\pi + i\sin\dfrac{5}{4}\pi\right)\)
まず絶対値を求めます。
\(r = \sqrt{\left(-\sqrt{2}\right)^{2} + \left(-\sqrt{2}\right)^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2\)
実部・虚部がどちらも負なので、点 \(z\) は第3象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = 1\)
\(\tan\theta = 1\) となる角のうち第3象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{5}{4}\pi\)
よって極形式は
\(z = 2\left(\cos\dfrac{5}{4}\pi + i\sin\dfrac{5}{4}\pi\right)\)
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次の極形式の複素数を直交形式 \(a + bi\) で表しましょう。
\(z = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
解答：\(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
三角比の値を代入します。
\(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)
実部と虚部をそれぞれ計算します。
\(a = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
\(b = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2\)
よって直交形式は
\(z = 2\sqrt{3} + 2i\)
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\(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)、\(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) のとき、積 \(z_1 z_2\) を極形式で表し、さらに直交形式で表しましょう。
解答：\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)
極形式の掛け算は「絶対値は積・偏角は和」でした。
\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)
偏角の和を通分して計算します。
\(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\)
よって極形式は
\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\)・\(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) を代入すると、直交形式は
\(z_1 z_2 = 6\left(0 + 1 \times i\right) = 6i\)