2曲線間の面積計算機（囲まれた部分の面積・1/6公式対応）

2つの多項式 f(x)・g(x) の次数と係数を入力してください。区間 [a, b] を指定して計算するか、2曲線で囲まれた部分（交点の間）の面積を求めるかを選べます。下の数式は入力欄と連動していて、数字の部分を直接書き換えても計算できます。

計算する範囲

1つ目の式 f(x) の次数

2つ目の式 g(x) の次数

下端 a

上端 b

f(x)：x⁴の係数

f(x)：x³の係数

f(x)：x²の係数

f(x)：xの係数

f(x)：定数項

g(x)：x⁴の係数

g(x)：x³の係数

g(x)：x²の係数

g(x)：xの係数

g(x)：定数項

数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x が付く項の係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。

計算結果・グラフ

左の入力欄に2つの式の係数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

2つの多項式 \(f(x)\)・\(g(x)\)（各1次〜4次）の間の面積 \(S = \displaystyle\int_a^b \bigl|f(x) - g(x)\bigr|\,dx\) を、係数を入れるだけでその場で計算できます
「放物線と直線で囲まれた部分の面積」のように区間を指定しない問題は、「囲まれた部分」モードを選ぶと交点から積分区間を自動で求めます
区間の途中で2つのグラフの上下が入れ替わる場合も、交点で自動的に区間を分けて正しい面積を計算します
答えは \(\dfrac{9}{2}\) のような約分済みの分数（厳密値）と小数の両方で表示。交点・区間ごとの積分の途中式と、2曲線と面積のグラフも見られます
放物線と直線の面積で使える1/6公式に当てはまるときは、途中式に1/6公式による計算も表示します

対象は多項式（整式）どうしの間の面積です。交点の \(x\) 座標が分数で表せない（無理数になる）場合は、厳密な分数の答えが出せないため計算できない旨を表示します。

この計算は何の役に立つ？

2台の乗り物の速度差から車間距離の変化を求める（物理・追いつき問題）

「速度のグラフの下の面積＝進んだ距離」なので、2台の乗り物の速度のグラフに挟まれた面積は、そのまま「2台の進んだ距離の差」＝車間距離の変化になります。物理や数学の「追いつき問題」（後から出発した車が何秒後に追いつくか）は、まさに2曲線間の面積の計算です。
速度のグラフが交わる点（速度が並ぶ瞬間）の前後で差の向きが入れ替わるのも、このページの「交点で区間を分ける」考え方そのものです。

「安く買えて得した分」の合計を面積で測る（経済学）

経済学では、需要曲線（値段ごとに「その値段なら買いたい人がどれだけいるか」を表す曲線）と、実際の価格を表す水平な直線に挟まれた面積を「消費者余剰」（本当はもっと高くても買った人たちが安く買えて得をした金額の合計）と呼び、2つのグラフの間の面積として計算します。
新しい政策や課税が社会全体の得・損に与える影響は、この面積の増減で評価されています。

収入と支出のペースの差から累積の利益を出す（経営・お金の計画）

時間あたりの収入のペースと支出のペースをそれぞれ曲線で表すと、2つの曲線の間の面積が「その期間にたまった利益（または損失）」になります。2曲線が交わる点は収支がトントンになる転換点で、交点の前後で面積の意味が黒字から赤字（またはその逆）に入れ替わります。
事業計画で「いつ累積赤字を回収できるか」を見積もる計算は、この考え方に基づいています。

設計図の曲線部材の面積・材料量を求める（建築・土木・製造）

アーチ橋の上下の曲線に挟まれた部材、道路のカーブの内側と外側の線に挟まれた舗装面など、「2本の曲線に挟まれた形」の面積は長方形や三角形の公式では求められません。設計の現場では、境界の曲線を式で表して2曲線間の面積として計算するのが基本です。
CADソフトが複雑な形の面積を一瞬で表示できるのも、内部でこの積分にあたる計算が動いているからです。

式とグラフ

2曲線間の面積（基本の式）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\int_{a}^{b}\) \(\bigl(\) \(f(x)\) \(-\) \(g(x)\) \(\bigr)\,dx\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 2曲線の間の面積 \(S\) \(=\) ③ 下端 \(a\) から上端 \(b\) まで積分 \(\bigl(\) ① 上の関数 \(f(x)\) \(-\) ② 下の関数 \(g(x)\) \(\bigr)\,dx\)

式を日本語で読むと

① 区間内でずっと \(f(x)\) のグラフが上にあるとき、上の関数 \(f(x)\) から

② 下の関数 \(g(x)\) を引いた差を

③ 下端 \(a\) から上端 \(b\) まで積分すると

④ 2曲線の間の面積 \(S\) になる

簡単な例

直線 \(y = x + 2\)（上）と放物線 \(y = x^{2}\)（下）の間の、\(x = -1\) から \(2\) までの面積は

面積 \(S\) \(=\) \(-1\) から \(2\) まで積分 \(\bigl(\) 上の直線 \(x + 2\) \(-\) 下の放物線 \(x^{2}\) \(\bigr)\,dx\)

\(S = \int_{-1}^{2} \bigl\{(x + 2) - x^{2}\bigr\}\,dx = \left[ -\dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}\)

\(= \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}\)

考え方のポイント

面積を求める短冊のイメージで考えると、区間内の各 \(x\) での「縦の長さ」が上の関数から下の関数を引いた差 \(f(x) - g(x)\) です。この縦の長さを \(a\) から \(b\) まで積分した（足し集めた）ものが2曲線の間の面積になります。この式のポイントは、2つのグラフが \(x\) 軸より下にあっても正しく使えることです。差 \(f(x) - g(x)\) さえ区間内で0以上なら、\(x\) 軸の位置に関係なく面積が正しく求められます（曲線と \(x\) 軸の間の面積は、\(g(x) = 0\) とした特別な場合です）。引き算の向きに注意してください。必ず「上の関数 − 下の関数」です。逆に引くと答えがマイナスになってしまいます。

上下が入れ替わる場合（交点で区間を分ける）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\int_{a}^{c} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx\) \(+\) \(\displaystyle\int_{c}^{b} \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 全体の面積 \(S\) \(=\) ① \(f(x)\) が上の区間の面積 \(+\) ② \(g(x)\) が上の区間の面積

式を日本語で読むと

① 交点 \(c\) を境に上下が入れ替わるとき（前半は \(f(x)\) が上・後半は \(g(x)\) が上の場合）、交点より前の「\(f(x)\) が上」の区間の面積と

② 交点より後の「\(g(x)\) が上」の区間の面積を足すと

③ 全体の面積 \(S\) になる

簡単な例

曲線 \(y = x^{3}\) と直線 \(y = x\) の間の、\(x = -1\) から \(1\) までの面積は（交点 \(x = 0\) の前は \(x^{3}\) が上・後は \(x\) が上）

全体の面積 \(S\) \(=\) \(-1\) から \(0\) までの \(x^{3} - x\) の積分 \(+\) \(0\) から \(1\) までの \(x - x^{3}\) の積分

\(\int_{-1}^{0} (x^{3} - x)\,dx = \left[ \dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{x^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4}\)

\(\int_{0}^{1} (x - x^{3})\,dx = \left[ \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4} - 0 = \dfrac{1}{4}\)

\(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)

考え方のポイント

区間の途中で上下が入れ替わるのに、そのまま \(\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx\) を計算してしまうと、後半のマイナス分が前半のプラス分を打ち消して、面積より小さい値が出てしまいます（上の例では \(\dfrac{1}{4} + \left(-\dfrac{1}{4}\right) = 0\) になってしまいます）。面積の計算では、縦の長さがいつでも「上 − 下」＝0以上になるように、交点で区間を分けてから積分します。これは差の絶対値をとって \(S = \displaystyle\int_a^b \bigl|f(x) - g(x)\bigr|\,dx\) と書くのと同じことです。交点の \(x\) 座標は、方程式 \(f(x) = g(x)\)、つまり \(f(x) - g(x) = 0\) を解くと求められます。

1/6公式（放物線と直線で囲まれた面積）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(\dfrac{|a|}{6}\) \(\times\) \((\beta - \alpha)^{3}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 囲まれた部分の面積 \(S\) \(=\) ① \(x^{2}\) の係数の絶対値 \(|a|\) を \(6\) で割ったもの \(\times\) ② 交点の間隔 \(\beta - \alpha\) の3乗

式を日本語で読むと

① 差 \(f(x) - g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)\) と因数分解できるとき（\(a\) は差の \(x^{2}\) の係数）、 \(x^{2}\) の係数の絶対値 \(|a|\) を \(6\) で割ったものに

② 2つの交点の間隔 \(\beta - \alpha\) を3乗したものを掛けると

③ 囲まれた部分の面積 \(S\) になる

簡単な例

放物線 \(y = x^{2}\) と直線 \(y = x + 2\) で囲まれた部分の面積は（交点は \(x^{2} = x + 2\) を解いて \(\alpha = -1,\ \beta = 2\) と求まり、差の \(x^{2}\) の係数は \(a = 1\)）

囲まれた部分の面積 \(S\) \(=\) \(\dfrac{|1|}{6}\) \(\times\) 間隔 \(3\) の3乗

\(x^{2} - (x + 2) = (x + 1)(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = -1,\ \beta = 2\)

\(S = \dfrac{|1|}{6}\,\bigl(2 - (-1)\bigr)^{3} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}\)

考え方のポイント

この公式は、定積分 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(\beta - x)\,dx = \dfrac{(\beta - \alpha)^{3}}{6}\) から導かれる、入試で頻出のショートカットです。放物線と直線で囲まれた面積なら、積分の計算をせずに「交点の間隔の3乗 × \(\dfrac{|a|}{6}\)」だけで答えが出ます。ここでの \(a\) は積分区間の下端ではなく、差 \(f(x) - g(x)\) の \(x^{2}\) の係数です（放物線 \(y = ax^{2} + bx + c\) と直線なら、その放物線の \(a\) と同じ値になります）。実は「放物線と放物線」でも、差が2次式になれば同じ公式が使えます（そのときの \(a\) は2つの \(x^{2}\) の係数の差です）。この計算機も、条件に当てはまるときは途中式に1/6公式による検算を表示します。記述式の答案では1/6公式だけで済ませず、積分の式も書くのが安全です。公式は検算に使うと強力です。

2曲線間の面積は「上の関数 − 下の関数」を積分して求めます。途中で上下が入れ替わるときは交点で区間を分けて足す（＝差の絶対値 \(\bigl|f(x) - g(x)\bigr|\) を積分する）のがポイントです。放物線と直線で囲まれた面積なら、1/6公式 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^{3}\) で素早く検算できます。

用語・記号の解説

記号

\(S\)	エス	面積を表すのによく使われる文字。Square（正方形・平方）や Surface（面）の頭文字に由来するといわれます。このページでは、2つの曲線の間の面積を表します。
\(f(x),\ g(x)\)	エフエックス・ジーエックス	2つの関数。\(f\) は function（関数）の頭文字で、2つ目の関数には次のアルファベット \(g\) を使う慣例があります。このページではどちらも多項式です。
\(h(x)\)	エイチエックス	2つの関数の差 \(f(x) - g(x)\) をまとめた関数。\(g\) の次の文字 \(h\) を使う慣例です。交点は \(h(x) = 0\) の解として求められ、\(h(x)\) の符号で「どちらのグラフが上か」がわかります。
\(\displaystyle\int\)	インテグラル	積分を表す記号。英語で「合計」を意味する Sum の頭文字 S を縦に引き伸ばした形に由来し、「細かく刻んで足し合わせる」という積分の考え方を表しています。
\(a,\ b\)	エー・ビー	積分する区間の両端。\(\int\) 記号の下に書く \(a\) が下端（区間の左端）、上に書く \(b\) が上端（区間の右端）です。
\(dx\)	ディーエックス	「\(x\) について積分する」ことを表す記号。\(d\) は difference（差）の頭文字で、「\(x\) のごくわずかな変化」という意味です。面積のイメージでは、細かく刻んだ短冊の「横幅」にあたります（縦の長さが \(f(x) - g(x)\)、横幅が \(dx\) の細い短冊を足し集めます）。
\(\|\ \ \|\)	ぜったいち	絶対値の記号。中の値の符号を取り払ってプラスにします（例：\(\|-3\| = 3\)）。面積の式では、引き算の向きによらず縦の長さをプラスにするために使います。
\(\alpha,\ \beta\)	アルファ・ベータ	ギリシャ文字のアルファベットの最初の2文字。数学では方程式の2つの解によく使われ、このページでは2つのグラフの交点の \(x\) 座標（\(\alpha\) が小さい方・\(\beta\) が大きい方）を表します。
\(H(x)\)	エイチエックス（大文字）	差 \(h(x)\) の原始関数。「微分すると \(h(x)\) に戻る関数」のことです。小文字と大文字で「もとの関数」と「原始関数」を区別する慣例です（\(f(x)\) と \(F(x)\) の関係と同じ）。
\(C\)	シー	積分定数。\(C\) は constant（定数）の頭文字です。原始関数に付ける「どんな定数を足してもよい」という自由度を表しますが、定積分では引き算で消えるため、このページの途中式では省略しています。

用語

積分	せきぶん	細かく刻んで足し合わせることで、面積や合計量を求める計算。微分の逆の操作にあたります。高校では数学IIで学びます。
定積分	ていせきぶん	区間（\(a\) から \(b\) まで）を決めて計算する積分。答えは1つの数値になります。2曲線間の面積は、差 \(f(x) - g(x)\) の定積分として求めます。
原始関数	げんしかんすう	微分すると元の関数に戻る関数のこと。原始関数さえ見つかれば、定積分は「上端を代入した値 − 下端を代入した値」の引き算だけで計算できます。
交点	こうてん	2つのグラフが交わる点。交点の \(x\) 座標は、方程式 \(f(x) = g(x)\)（つまり \(f(x) - g(x) = 0\)）を解くと求められます。面積の計算では「上下が入れ替わる場所」「囲まれた部分の両端」として重要です。
囲まれた部分	かこまれたぶぶん	2つのグラフに挟まれて閉じた形になっている部分。放物線と直線が2点で交わるとき、その間に囲まれた部分ができます。積分区間は交点から交点までです。
放物線	ほうぶつせん	2次関数 \(y = ax^{2} + bx + c\) のグラフの形。ボールを投げたときの軌道の形で、「物を放ったときの線」が名前の由来です。
絶対値	ぜったいち	数の符号を取り払った「0からの距離」。\(\|3\| = 3\)、\(\|-3\| = 3\) です。面積の式 \(\int_a^b \|f(x) - g(x)\|\,dx\) では、どちらのグラフが上でも縦の長さがプラスになるようにする役割です。
1/6公式	ろくぶんのいちこうしき	放物線と直線で囲まれた面積を \(S = \dfrac{\|a\|}{6}(\beta - \alpha)^{3}\) で一発計算するショートカット公式。定積分 \(\int_{\alpha}^{\beta}(x - \alpha)(\beta - x)\,dx = \dfrac{(\beta - \alpha)^{3}}{6}\) から導かれます。
多項式	たこうしき	\(2x^{3} - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。この計算機が扱えるのは多項式どうしの間の面積です。
係数	けいすう	文字の前に付いている数。\(3x^{2}\) の 3 が係数です。\(x^{2}\) のように数が書かれていない項の係数は 1 と考えます。
次数	じすう	式に出てくる \(x\) のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(x^{3} - 2x + 3\) は \(x^{3}\) が最高なので「3次式」です。この計算機では式ごとに次数を選びます。
因数分解	いんすうぶんかい	式を掛け算の形に分解すること。\(x^{2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\) のように分解できると、方程式の解（＝交点の \(x\) 座標）がすぐに読み取れます。
符号	ふごう	数がプラスかマイナスかの区別。差 \(h(x) = f(x) - g(x)\) の符号がプラスの区間は \(f(x)\) が上、マイナスの区間は \(g(x)\) が上にあります。
無理数	むりすう	\(\sqrt{2}\) や円周率のように、分数（整数 ÷ 整数）で表せない数。交点の \(x\) 座標が無理数になる問題は、答えも \(\sqrt{}\) 入りの式になります（この計算機は厳密な分数で答えを出すため、このケースは対象外です）。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

定積分（高校数学II）	定積分 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) が「原始関数 \(F(x)\) を見つけて \(F(b) - F(a)\) を計算する」ことだとわかること（当サイトの定積分計算機のページで詳しく解説しています） \(x^{n}\) の原始関数が \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) になること（べき関数の積分公式）グラフが \(x\) 軸より下にある部分の定積分はマイナスの値になること（符号付き面積）
二次関数と放物線（高校数学I）	\(y = ax^{2} + bx + c\) のグラフが放物線になり、\(a\) の符号で上に開くか下に開くかが決まるとわかること 2つのグラフの交点の \(x\) 座標が、方程式 \(f(x) = g(x)\) の解として求められるとわかること
二次方程式と因数分解（中学3年〜高校数学I）	\(x^{2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\) のような因数分解ができること因数分解や解の公式で二次方程式を解けること（交点を求める場面で毎回使います）
絶対値（中学1年〜高校数学I）	絶対値が「符号を取り払った0からの距離」だとわかること（\(\|-3\| = 3\)）中身の符号で場合分けして絶対値を外せること（\(h(x) < 0\) の区間では \(\|h(x)\| = -h(x)\)）
不等式とグラフの上下関係（高校数学I）	「\(f(x) > g(x)\) の区間では \(f(x)\) のグラフが上にある」という、式の大小とグラフの上下の対応がわかること区間の中の1点（例えば中央の値）を代入すれば、その区間でどちらが大きいか確かめられるとわかること
分数の計算（小学5年〜中学1年）	\(\dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}\) のような約分と、分母が違う分数の足し算・引き算（通分）ができること答えを分数のまま扱うことに慣れていること（\(\dfrac{9}{2}\) を 4.5 と直せること）

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「上下が入れ替わらない区間の面積」を求める表

下端 a	-1
上端 b	2
f(x)：x⁴の係数	0
f(x)：x³の係数	0
f(x)：x²の係数	0
f(x)：xの係数	1
f(x)：定数項	2
g(x)：x⁴の係数	0
g(x)：x³の係数	0
g(x)：x²の係数	1
g(x)：xの係数	0
g(x)：定数項	0
H(b)（差の原始関数に上端を代入）	=(B3-B8)B2^5/5+(B4-B9)B2^4/4+(B5-B10)B2^3/3+(B6-B11)B2^2/2+(B7-B12)*B2
H(a)（差の原始関数に下端を代入）	=(B3-B8)B1^5/5+(B4-B9)B1^4/4+(B5-B10)B1^3/3+(B6-B11)B1^2/2+(B7-B12)*B1
面積 S = \|H(b)−H(a)\|	=ABS(B13-B14)

「1/6公式（放物線と直線で囲まれた面積）」を求める表

差 f(x)−g(x) の x²の係数 a	-1
交点 α（小さい方）	-1
交点 β（大きい方）	2
面積 S = \|a\|/6 × (β−α)³	=ABS(B1)/6*(B3-B2)^3

貼り付けると、上の行（区間・2つの式の係数）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗の記号です。差 h(x) = f(x) − g(x) の各係数は「f の係数 − g の係数」なので、原始関数の項は「=(B3-B8)*B2^5/5」のように書けます。
1つ目の表は、直線 f(x) = x + 2 と放物線 g(x) = x² の間の x = −1 から 2 までの面積を求める例で、答えは 4.5（= 9/2）になります。使わない項の係数には 0 を入れてください。
1つ目の表が使えるのは、区間内で上下が入れ替わらない場合だけです。途中で入れ替わる場合は、交点で区間を分けてこの表を区間ごとに使い、結果を足してください。
2つ目の表は1/6公式の表です。同じ例（差の x²の係数 a = −1、交点 −1 と 2）で計算しても、答えは同じ 4.5 になります。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「上下が入れ替わらない区間の面積」を求める表

下端 a	-1
上端 b	2
f(x)：x⁴の係数	0
f(x)：x³の係数	0
f(x)：x²の係数	0
f(x)：xの係数	1
f(x)：定数項	2
g(x)：x⁴の係数	0
g(x)：x³の係数	0
g(x)：x²の係数	1
g(x)：xの係数	0
g(x)：定数項	0
H(b)（差の原始関数に上端を代入）	=(B3-B8)B2^5/5+(B4-B9)B2^4/4+(B5-B10)B2^3/3+(B6-B11)B2^2/2+(B7-B12)*B2
H(a)（差の原始関数に下端を代入）	=(B3-B8)B1^5/5+(B4-B9)B1^4/4+(B5-B10)B1^3/3+(B6-B11)B1^2/2+(B7-B12)*B1
面積 S = \|H(b)−H(a)\|	=ABS(B13-B14)

「1/6公式（放物線と直線で囲まれた面積）」を求める表

差 f(x)−g(x) の x²の係数 a	-1
交点 α（小さい方）	-1
交点 β（大きい方）	2
面積 S = \|a\|/6 × (β−α)³	=ABS(B1)/6*(B3-B2)^3

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と区間を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from sympy import symbols, integrate, Abs

x = symbols('x')

# 2つの式と積分区間（分数は sympy.Rational(3, 4) と書ける）
f = x + 2       # 1つ目の式 f(x)
g = x ** 2      # 2つ目の式 g(x)
lower_end = -1  # 下端 a
upper_end = 2   # 上端 b

# 面積 S = ∫[a→b] |f(x) − g(x)| dx（上下の入れ替わりも絶対値が処理してくれる）
area = integrate(Abs(f - g), (x, lower_end, upper_end))
print(f"面積の厳密値: {area}")
print(f"面積の小数値: {float(area)}")

数式処理ライブラリ sympy（コマンド「pip install sympy」で導入できます）を使うと、差の絶対値の積分をそのまま書けて、上下が入れ替わる場合の区間分割も自動で処理されます。この例は直線 f(x) = x + 2 と放物線 g(x) = x² の間の x = −1 から 2 までの面積で、実行すると「9/2」と「4.5」が表示されます。式と区間を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

2曲線間の面積（基本の式）

S = ∫[a→b] {f(x) − g(x)} dx

S = \int_{a}^{b} \left\{ f(x) - g(x) \right\}\,dx

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msubsup><mo>&#x222B;</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup>
    <mo>{</mo>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
    <mi>d</mi><mi>x</mi>
  </mrow>
</math>

S = int_a^b (f(x) - g(x)) dx

Integrate[f[x] - g[x], {x, a, b}]

S := int(f(x) - g(x), x = a..b);

S = int(f - g, x, a, b);

S = ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx

上下が入れ替わる場合（交点で区間を分ける）

S = ∫[a→b] |f(x) − g(x)| dx

S = \int_{a}^{b} \left| f(x) - g(x) \right|\,dx

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msubsup><mo>&#x222B;</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup>
    <mo>|</mo>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>|</mo>
    <mi>d</mi><mi>x</mi>
  </mrow>
</math>

S = int_a^b abs(f(x) - g(x)) dx

Integrate[Abs[f[x] - g[x]], {x, a, b}]

S := int(abs(f(x) - g(x)), x = a..b);

S = int(abs(f - g), x, a, b);

S = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

1/6公式（放物線と直線で囲まれた面積）

S = |a|/6 × (β − α)³

S = \frac{|a|}{6}\,(\beta - \alpha)^{3}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>a</mi><mo>|</mo></mrow>
      <mn>6</mn>
    </mfrac>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mi>&#x3B2;</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3B1;</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mn>3</mn>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S = abs(a)/6 (beta - alpha)^3

Abs[a]/6 (beta - alpha)^3

S := abs(a)/6 * (beta - alpha)^3;

S = abs(a)/6 * (beta - alpha)^3;

S = |a|/6 (β - α)^3

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（微分積分）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

直線 f(x) = x + 2 と放物線 g(x) = x² の間の、x = −1 から x = 2 までの面積 S = ∫[−1→2] |f(x) − g(x)| dx を計算してください。
次の内容をそれぞれ示してください。
1. 交点の x 座標（f(x) = g(x) の解）
2. 区間内でどちらの関数が上にあるか
3. 面積 S（約分済みの分数と小数の両方で）

Pythonでは sympy を使って integrate(Abs(f - g), (x, -1, 2)) のように厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。