-
直線 \(y = x + 3\) と直線 \(y = x\) の間の、\(x = 0\) から \(x = 2\) までの部分の面積を求めましょう。
解答：\(6\)
2直線の差を計算します。
\(h(x) = (x + 3) - x = 3\)
差は常に \(3\)（\(y = x + 3\) がずっと上）なので、そのまま積分します。
\(S = \displaystyle\int_{0}^{2} 3\,dx = \Bigl[3x\Bigr]_{0}^{2} = 6 - 0 = 6\)
この部分は「高さ \(3\)・横幅 \(2\) の平行四辺形」なので、\(3 \times 2 = 6\) と面積の公式でも確かめられます。
-
直線 \(y = x\) と放物線 \(y = x^{2}\) で囲まれた部分の面積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{1}{6}\)
まず交点を求めます。
\(x = x^{2}\) より \(x^{2} - x = x(x - 1) = 0\) なので、交点は \(x = 0,\ 1\) です。
\(0 \leq x \leq 1\) では直線 \(y = x\) が上にあります（例えば \(x = \dfrac{1}{2}\) のとき、直線は \(\dfrac{1}{2}\)・放物線は \(\dfrac{1}{4}\)）。
上から下を引いて積分します。
\(S = \displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\)
-
放物線 \(y = x^{2}\) と直線 \(y = 2x\) で囲まれた部分の面積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{4}{3}\)
交点を求めます。
\(x^{2} = 2x\) より \(x^{2} - 2x = x(x - 2) = 0\) なので、交点は \(x = 0,\ 2\) です。
\(0 \leq x \leq 2\) では直線 \(y = 2x\) が上にあります。
\(S = \displaystyle\int_{0}^{2} (2x - x^{2})\,dx = \left[x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\)
-
放物線 \(y = x^{2} - 4\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{32}{3}\)
\(x\) 軸は直線 \(y = 0\) なので、2曲線間の面積として計算できます。
交点は \(x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2) = 0\) より \(x = -2,\ 2\) です。
\(-2 \leq x \leq 2\) では \(x\) 軸（\(y = 0\)）が上・放物線が下なので、上から下を引きます。
\(S = \displaystyle\int_{-2}^{2} \bigl\{0 - (x^{2} - 4)\bigr\}\,dx = \displaystyle\int_{-2}^{2} (4 - x^{2})\,dx = \left[4x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}\)
上端と下端を代入して引き算します。
\(\left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3}\)
-
放物線 \(y = x^{2} - 2x\) と直線 \(y = x\) で囲まれた部分の面積を、1/6公式を使って求めましょう。
解答：\(\dfrac{9}{2}\)
差を計算して交点を求めます。
\(h(x) = (x^{2} - 2x) - x = x^{2} - 3x = x(x - 3) = 0\) より \(\alpha = 0,\ \beta = 3\) です。
差の \(x^{2}\) の係数は \(a = 1\) なので、1/6公式に当てはめます。
\(S = \dfrac{|1|}{6}\,(3 - 0)^{3} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}\)
検算として積分でも計算できます。
\(S = \displaystyle\int_{0}^{3} (3x - x^{2})\,dx = \left[\dfrac{3x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}\)
-
曲線 \(y = x^{3}\) と直線 \(y = x\) の間の、\(x = 0\) から \(x = 2\) までの部分の面積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{5}{2}\)
差 \(h(x) = x^{3} - x = x(x + 1)(x - 1)\) より、区間 \([0,\ 2]\) の内部にある交点は \(x = 1\) です。
\(0 \leq x \leq 1\) では直線 \(y = x\) が上、\(1 \leq x \leq 2\) では曲線 \(y = x^{3}\) が上なので、交点で区間を分けます。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^{3})\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}\)
\(\displaystyle\int_{1}^{2} (x^{3} - x)\,dx = \left[\dfrac{x^{4}}{4} - \dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = 2 - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{9}{4}\)
2つの区間の面積を足します。
\(S = \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}\)