標本調査（比率の推定）計算機（標識再捕獲法・母集団の該当数の推定）

調べたいことに合わせてモードを選び、調査の結果を入力してください。「標識再捕獲法」は池の魚などの全体の数を、「母集団の中の該当数の推定」は全体の中にある該当数（不良品の総数など）を推定します。

何を推定するか

最初に標識を付けた数

2回目に捕まえた数

そのうち標識付きの数

母集団全体の個数

取り出した標本の個数

標本の中の該当した個数

個数は半角の整数で入力してください。標本調査の答えは推定値なので、割り算の厳密値（分数）と「約 ◯」の概数の両方を表示します。

計算結果・グラフ

左の入力欄に調査の結果を入れて「計算する」を押すと、ここに推定値と帯グラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

池の魚のように「全部は数えられない集団」の総数を、標識再捕獲法（標識を付けて放し、もう一度捕まえて標識の割合を調べる方法）で推定できます
母集団全体の個数がわかっているとき（例：製品 3000 個）、無作為に取り出した標本の結果（例：100 個中 2 個が不良品）から、母集団の中の該当数（全体の不良品の数）を推定できます
中学3年の教科書と同じ、比例式（内項の積＝外項の積）の途中式付き。答えは割り算の厳密値（分数）と「約 ◯」の概数の両方で表示します
「標本の中の割合」と「母集団の中の割合」が同じであることを、帯グラフで見比べられます

標本調査の推定は、標本がくじ引きのように偏りなく選ばれていること（無作為抽出）が前提です。結果はあくまで推定値で、実際の数とは誤差があります。

この計算は何の役に立つ？

魚や野生動物の生息数の調査（生態調査・環境保全）

池の魚・山の鹿・湖の外来魚など、「全部は数えられない生き物の数」の調査では、このページの標識再捕獲法が実際に使われています。水産資源の管理や外来種対策では、生息数の推定値が捕獲量や対策の規模を決める基礎データになります。
ただしこの方法は、「標識が取れない」「調査の間に個体の出入り（生まれる・死ぬ・移動する）が少ない」「標識を付けた個体が全体によく混ざる」といった条件がそろっていることが前提で、実際の調査では時期や方法を工夫してこの前提に近づけています。

工場の抜き取り検査（品質管理）

電池の寿命試験や缶詰の中身の検査のように「調べると製品が壊れる・売り物にならなくなる」検査は、全数調査ができません。そこで標本を無作為に抜き取って調べ、その中の不良品の割合から、全体の不良品の数を推定します。
標本100個中の不良2個から「全体ではおよそ60個」と見積もる形の計算は、品質管理の最も基本的な道具の1つです。

世論調査・視聴率（社会調査）

「内閣支持率」などの世論調査は、日本の有権者全体を調べているわけではなく、無作為に選んだ千人〜数千人規模の標本への調査から全体の割合を推定しています。テレビの視聴率も、調査対象になった世帯という標本から、全体の視聴の割合を推定した数値です。
標本が無作為に選ばれてさえいれば、少ない標本でも全体をかなり正確に推定できるのが標本調査の力です（誤差がどの程度になるかは標本の大きさで決まります）。実際の調査では、地域や年代の偏りを防ぐための工夫（対象の割り付けや補正など）も組み合わされていますが、土台にあるのは「標本の割合から全体を推定する」この考え方です。

選挙の開票速報・出口調査

開票率がまだ数パーセントの段階で「当選確実」の速報が出るのは、出口調査（投票を終えた人への聞き取り）や開票済みの一部の票という標本から、全体の得票の割合を推定しているからです。
標本の中の割合を全体に当てはめて見積もる考え方は、このページの比例式の計算と同じ発想です。実際の当確判定では、過去の選挙のデータや統計の理論も組み合わせて慎重に判断されています。

式とグラフ

標識再捕獲法（全体の数の推定）

帯グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 池全体の数 \(x\) \(=\) ① 標識を付けた数 \(m\) \(\times\) ② 2回目に捕まえた数 \(n\) \(\div\) ③ そのうち標識付きの数 \(k\)

式を日本語で読むと

① 最初に捕まえて標識を付けた数 \(m\) に

② 2回目に捕まえた数 \(n\) を掛けて

③ そのうち標識が付いていた数 \(k\) で割ると

④ 池全体の数 \(x\) の推定値になる

簡単な例

池の魚 50 匹に標識を付けて池に戻し、後日 30 匹を捕まえたら 6 匹に標識が付いていた場合、池全体の数は

池全体の数 \(x\) \(=\) 標識を付けた数（50 匹） \(\times\) 2回目に捕まえた数（30 匹） \(\div\) 標識付きの数（6 匹）

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

考え方のポイント

この式が成り立つ理由は、「池全体の中の標識の割合」と「2回目に捕まえた分の中の標識の割合」が、ほぼ等しいと考えられることです。標識を付けた魚が池全体に偏りなく混ざっていれば、どこからすくっても標識の混ざり具合はだいたい同じになるはずだからです。そこで池全体の数を \(x\) とおいて比例式 \(x : m = n : k\)（全体の数 : 標識の数）を立て、下のカードの「内項の積＝外項の積」で解くと、この式が出てきます。答えはあくまで推定値です。実際に全部を数えたら違う数になり得ますが、池の水を抜かずに全体の数の見当をつけられるのが、この方法の価値です。

比例式の性質（内項の積＝外項の積）

数学表記（一般的な数式）

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

外項 \(a\) \(:\) 内項 \(b\) \(=\) 内項 \(c\) \(:\) 外項 \(d\)

① 内項の積 \(b \times c\) \(=\) ② 外項の積 \(a \times d\)

式を日本語で読むと

① 比例式が成り立つとき、内側にある2つ（\(b\) と \(c\)）を掛けた内項の積 \(b \times c\) と

② 外側にある2つ（\(a\) と \(d\)）を掛けた外項の積 \(a \times d\) は、必ず等しくなる

簡単な例

池の魚の例で出てきた比例式 \(x : 50 = 30 : 6\) を解くと

内項の積 \(50 \times 30\) \(=\) 外項の積 \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

考え方のポイント

比例式 \(a : b = c : d\) は「\(a\) と \(b\) の比と、\(c\) と \(d\) の比が等しい」という意味で、分数の形で書くと \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) と同じことです。この両辺に \(b \times d\) を掛けると分母が消えて、\(a \times d = b \times c\)、つまり「外項の積＝内項の積」が出てきます。比例式の中に1つだけわからない数 \(x\) があるとき、この性質を使うと \(x\) についての方程式に直して解くことができます。標本調査の推定は、この性質の応用です。

母集団の中の該当数の推定

帯グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 母集団の中の該当数 \(x\) \(=\) ① 母集団全体の個数 \(N\) \(\times\) ② 標本の中の該当数 \(k\) \(\div\) ③ 標本の個数 \(n\)

式を日本語で読むと

① 母集団全体の個数 \(N\) に

② 標本の中の該当した個数 \(k\) を掛けて

③ 取り出した標本の個数 \(n\) で割ると

④ 母集団の中の該当数 \(x\) の推定値になる

簡単な例

製品 3000 個から 100 個を無作為に取り出して調べたら、2 個が不良品だった場合、全体の不良品の数は

全体の不良品の数 \(x\) \(=\) 母集団全体の個数（3000 個） \(\times\) 標本の中の不良品（2 個） \(\div\) 標本の個数（100 個）

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

考え方のポイント

考え方は標識再捕獲法と同じで、「母集団の中の該当する割合」と「標本の中の該当する割合」がほぼ等しい、とみなします。\(\dfrac{k}{n}\)（標本の中の割合）を母集団全体の \(N\) に掛ける、と読むこともできます。該当数を \(x\) とおいて比例式 \(N : x = n : k\)（全体の個数 : 該当数）を立て、「内項の積＝外項の積」で解くと、この式が出てきます。この推定が成り立つのは、標本をくじ引きのように偏りなく選んだとき（無作為抽出）だけです。例えば工場の検査で「最初に作った100個だけ」を調べると、機械の調子の偏りがそのまま反映されて、正しい推定になりません。

標本調査の推定は、どちらのモードも「母集団の中の割合と、無作為に取り出した標本の中の割合は、ほぼ等しい」という考え方が土台です。比例式（内項の積＝外項の積）を解くだけで、全部を数えなくても全体のようすを推定できます。答えはあくまで推定値なので、「約 ◯」の概数で答えるのが標準です。なお「誤差を一定以内に収めるには標本がいくつ必要か」という調査の設計は、関連ページのサンプルサイズ計算機で扱っています。

用語・記号の解説

記号

\(x\)	エックス	まだわかっていない数（未知数）を表すのに使う文字。このページでは「池全体の数」「母集団の中の該当数」のような、求めたい推定値を \(x\) とおいて比例式を立てます。未知数に \(x\) を使う習慣は、古い数学書の翻訳に由来するといわれます。
\(m\)	エム	このページでは「最初に捕まえて標識を付けた数」。標識を意味する英語 mark の頭文字と覚えると思い出しやすい文字です。個数を表す文字として、\(n\) と対でもよく使われます。
\(n\)	エヌ	標本の個数（2回目に捕まえた数・取り出して調べた個数）。number（数）の頭文字で、個数を表す文字の定番です。統計では「標本の大きさ（サンプルサイズ）」を \(n\) と書く慣例があります。
\(k\)	ケー	標本の中で該当した個数（標識付きの数・不良品の数など）。個数や番号を表す文字として、\(n\)・\(m\) と並んでよく使われます。
\(N\)	エヌ（大文字）	母集団全体の個数。標本の個数の \(n\)（小文字）と区別するため、大きい方の集団を大文字で書く統計の慣例です。
\(a : b\)	エーたいビー	比を表す書き方。「:」は比の記号で「対」と読みます。\(a : b = c : d\) のように2つの比を等号で結んだ式が比例式です。
\(\fallingdotseq\)	ニアリーイコール	「ほぼ等しい」ことを表す記号。「約」「およそ」と読むこともあります。標本調査の答えは推定値なので、等号ではなくこの記号や「約」を使って表します。

用語

標本調査	ひょうほんちょうさ	母集団の一部（標本）だけを調べて、全体のようすを推定する調査。全部は数えられないもの・調べると壊れてしまうものに使います。中学3年の「データの活用」で学びます。
全数調査	ぜんすうちょうさ	母集団の全部をもれなく調べる調査。国勢調査や学校の健康診断がその例です。全部を調べられるなら正確ですが、手間や費用が大きいときや、調べると製品が壊れてしまうときは標本調査を選びます。
母集団	ぼしゅうだん	調べたい集団全体のこと。池の魚全部、工場で作った製品全部、日本の有権者全体などです。
標本	ひょうほん	母集団から取り出して、実際に調べる一部分。サンプルともいいます。
標本の大きさ	ひょうほんのおおきさ	標本に含まれる個数（サンプルサイズ）。標本の大きさが大きいほど、推定の誤差は小さくなっていきます。
無作為抽出	むさくいちゅうしゅつ	くじ引きのように、どれも同じ確率で選ばれるようにして標本を取り出すこと。「作為（わざと選ぶこと）が無い」という意味で、標本調査の推定が成り立つための大前提です。
標識再捕獲法	ひょうしきさいほかくほう	捕まえた個体に標識（目印）を付けて放し、時間をおいてもう一度捕まえて、標識の割合から全体の数を推定する方法。魚や野生動物の生息数の調査で実際に使われています。
比例式	ひれいしき	\(a : b = c : d\) のように、2つの比が等しいことを表す式。「内項の積＝外項の積」という性質があり、わからない数を求めるのに使えます。
内項	ないこう	比例式 \(a : b = c : d\) の内側にある \(b\) と \(c\) のこと。内項の積と外項の積は等しくなります。
外項	がいこう	比例式 \(a : b = c : d\) の外側にある \(a\) と \(d\) のこと。内項の積と外項の積は等しくなります。
割合	わりあい	全体の中で、その部分が占める大きさ。比べられる量を、もとにする量で割って求めます。標本調査は「割合は母集団でも標本でも同じ」という考え方で成り立っています。
概数	がいすう	およその数。四捨五入などで、切りのよい位までにした数です。標本調査の答えは推定値なので、「約 250」のような概数で答えるのが標準です。
四捨五入	ししゃごにゅう	ある位までの概数にするとき、その1つ下の位の数字が 4 以下なら切り捨て、5 以上なら切り上げる方法です。
推定	すいてい	わかっている一部の情報から、全体のようすを見積もること。標本調査で求めた答えは、この意味で「推定値」と呼びます。
誤差	ごさ	推定値と実際の値のずれ。標本調査の結果には必ず誤差があり、標本の大きさを大きくするほど誤差は小さくなっていきます。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

割合（小学5年）	割合が「もとにする量の中で、比べられる量が占める大きさ」で、比べられる量を、もとにする量で割って求められるとわかること「20%」「2割」を 0.2 のような小数で表せること
比と比例式（小学6年〜中学1年）	\(a : b\) の比の意味がわかり、両方に同じ数を掛けても（割っても）比が変わらないことがわかること比例式の性質（内項の積＝外項の積）を使って、\(x : 4 = 6 : 8\) のような式の \(x\) を求められること
文字式と一次方程式（中学1年）	わからない数を \(x\) とおいて、問題文から式を立てられること \(6x = 1200\) のような方程式を、両辺を同じ数で割って解けること
概数と四捨五入（小学4年）	四捨五入で、指定された位までの概数にできること（例：166.6 の一の位を四捨五入して、十の位までの概数にすると 170）割り切れない割り算の答えを、分数や概数で表せること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「標識再捕獲法（全体の数の推定）」を求める表

最初に標識を付けた数 m	50
2回目に捕まえた数 n	30
そのうち標識付きの数 k	6
全体の数の推定値 x = m×n÷k	=B1*B2/B3
小数第一位を四捨五入した概数	=ROUND(B4,0)

「比例式の性質（内項の積＝外項の積）」を確かめる表

外項 a（全体の数。池の例の答え）	250
内項 b（標識を付けた数）	50
内項 c（2回目に捕まえた数）	30
外項 d（そのうち標識付きの数）	6
内項の積 b×c	=B2*B3
外項の積 a×d	=B1*B4

「母集団の中の該当数の推定」を求める表

母集団全体の個数 N	3000
取り出した標本の個数 n	100
標本の中の該当した個数 k	2
該当数の推定値 x = N×k÷n	=B1*B3/B2
小数第一位を四捨五入した概数	=ROUND(B4,0)

貼り付けると、上の行（調査の結果）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
1つ目の表は池の魚の例（標識50匹・再捕獲30匹中6匹）で、答えは 250 になります。割り切れないときは B4 に小数が出るので、ROUND関数（四捨五入）を通した B5 を「約◯」の答えとして読んでください。
2つ目の表は比例式 x : 50 = 30 : 6 の x に答えの 250 を入れて、内項の積（B5）と外項の積（B6）がどちらも 1500 で等しくなることを確かめる表です。
3つ目の表は製品3000個・標本100個中2個が不良品の例で、答えは 60 になります。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「標識再捕獲法（全体の数の推定）」を求める表

最初に標識を付けた数 m	50
2回目に捕まえた数 n	30
そのうち標識付きの数 k	6
全体の数の推定値 x = m×n÷k	=B1*B2/B3
小数第一位を四捨五入した概数	=ROUND(B4,0)

「比例式の性質（内項の積＝外項の積）」を確かめる表

外項 a（全体の数。池の例の答え）	250
内項 b（標識を付けた数）	50
内項 c（2回目に捕まえた数）	30
外項 d（そのうち標識付きの数）	6
内項の積 b×c	=B2*B3
外項の積 a×d	=B1*B4

「母集団の中の該当数の推定」を求める表

母集団全体の個数 N	3000
取り出した標本の個数 n	100
標本の中の該当した個数 k	2
該当数の推定値 x = N×k÷n	=B1*B3/B2
小数第一位を四捨五入した概数	=ROUND(B4,0)

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、調査の結果を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from fractions import Fraction

# 標識再捕獲法：池全体の数の推定
marked_first = 50       # 最初に捕まえて標識を付けた数 m
caught_second = 30      # 2回目に捕まえた数 n
marked_in_second = 6    # そのうち標識が付いていた数 k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Fraction(1, 2) を足して切り捨てると、0.5を必ず切り上げる四捨五入になる
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"全体の数の推定値（分数）: {estimated_total}")
print(f"全体の数の推定値（概数）: 約{approx_total}")

# 母集団の中の該当数の推定
population = 3000       # 母集団全体の個数 N
sample_size = 100       # 取り出した標本の個数 n
sample_hits = 2         # 標本の中の該当した個数 k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"該当数の推定値（分数）: {estimated_count}")
print(f"該当数の推定値（概数）: 約{approx_count}")

標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、割り切れない場合も丸め誤差なしの分数のまま計算できます。前半は池の魚の例（標識50匹・再捕獲30匹中6匹）で「250」、後半は製品3000個・標本100個中2個の例で「60」が表示されます。調査の結果を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

標識再捕獲法（全体の数の推定）

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

比例式の性質（内項の積＝外項の積）

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

母集団の中の該当数の推定

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（中学の標本調査）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

池にいる魚の総数を標識再捕獲法で推定します。
最初に50匹を捕まえて標識を付けて池に戻し、後日30匹を捕まえたところ、6匹に標識が付いていました。
次の内容をそれぞれ示してください。
1. 全体の数を x とした比例式（x : 標識の数 = 2回目に捕まえた数 : そのうち標識付きの数）
2. 内項の積＝外項の積で解く途中式
3. 池全体の数の推定値（割り切れない場合は約分済みの分数と、一の位まで四捨五入した概数の両方で）

Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。