2つの事象の確率

下の8項目のうち、わかっている2つだけに数値を入力してください。2つの事象が独立だとして、残りの確率をすべて逆算します。

事象Aが起こる確率 P(A)

事象Bが起こる確率 P(B)

Aが起こらない確率 P(A̅)

Bが起こらない確率 P(B̅)

両方起こる確率 P(A∩B)

少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)

どちらか一方だけが起こる確率 P(AΔB)

どちらも起こらない確率

入力するのは2項目だけです。それ以外の欄は空欄のままにしてください。確率は0〜1の数値で入力します（例：30%なら 0.3）。

計算結果・図形

わかっている2つの欄だけに数値を入れて「計算する」を押すと、残りの確率がここに表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

2つの出来事（事象）にまつわる8つの確率——それぞれが起こる確率・起こらない確率・「両方起こる確率 \(P(A \cap B)\)」・「少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\)」など——のうち、わかっている2つを入れるだけで、残りをすべて逆算できます
「少なくとも一方が起こる確率が58%、両方起こる確率が12%だとわかっている。それぞれの確率は？」のような、普通の計算機では求めにくい「逆向き」の計算が得意です
答えだけでなく計算の過程（途中の式）も表示するので、宿題の答え合わせや検算にも使えます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

使えるのは、2つの出来事が互いに影響しない（独立な）場合です。サイコロとコインのように片方の結果がもう片方に関係しないものはOKですが、「くじを戻さずに2回引く」のように一方の結果でもう一方の確率が変わる場合には使えません。

この計算は何の役に立つ？

アンケート結果から個々の割合を逆算する（マーケティング）

「商品Aと商品Bの少なくとも一方を知っている人は58%、両方知っている人は12%」という調査結果から、それぞれの認知率（30%と40%）を逆算できます（認知が独立とみなせる場合のモデル計算です）。
マーケティングの現場では、集計済みの「合算された数字」しか手元にないことがよくあり、そこから個別の数字を取り出したいときにこの逆算が役に立ちます。

記録に残っている「結果」から、元の確率を見積もる

「2つの設備のどちらかが止まった日は年間の14.5%あった。両方同時に止まった日は0.5%だった」——この記録から、設備ごとの故障率（5%と10%）を逆算できます。
現実のデータは「組み合わさった結果」しか残っていないことが多いので、そこから個々の確率を推定する考え方は、設備管理や業務改善の分析で広く使われています。

ダブルチェック体制の実力を逆算する（品質管理・校正）

2人で書類をチェックしていて、「少なくとも一方がミスを見つける確率は90%、両方が見つける確率は40%」という実績があるとき、それぞれの発見率（80%と50%）を逆算できます（2人の検出が互いに独立とみなせる場合のモデル計算です）。
チェック担当それぞれの実力を、個人を試験しなくても実績データから見積もれるので、体制の見直し（誰と誰を組ませるか、1人でも十分か）を数字を根拠に考えられます。

普及率の調査データから個別の割合を読み解く

「スマホとタブレットの少なくとも一方を持つ人が85%、両方持つ人が35%」という調査結果から、それぞれの普及率（70%と50%）を逆算できます（保有が互いに独立とみなせる場合の概算です）。
公表される統計には「少なくとも一方」「両方」の形にまとめられた数字しか載っていないことがあり、そこから知りたい個別の割合を取り出すのに使えます。

式と図

独立な2つの事象で必ず成り立つ関係式

図

数学表記（一般的な数式）

\(P(A \cap B)\) \(=\) \(P(A)\) \(\times\) \(P(B)\)

\(P(A \cup B)\) \(=\) \(P(A)\) \(+\) \(P(B)\) \(-\) \(P(A)\,P(B)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) \(=\) ① Aが起こる確率 \(P(A)\) \(\times\) ② Bが起こる確率 \(P(B)\)

④ 少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\) \(=\) Aが起こる確率 \(P(A)\) \(+\) Bが起こる確率 \(P(B)\) \(-\) 両方起こる確率（掛け算の分）

式を日本語で読むと

① Aが起こる確率 \(P(A)\) に

② Bが起こる確率 \(P(B)\) を掛けると

③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) になる（1本目の式）

④ 2つの確率の足し算から、掛け算の分（両方起こる確率）を引くと少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\) になる（2本目の式）

この2本の関係が、独立な2つの事象では必ず成り立ちます。だから、8つの確率のうちどれか2つがわかれば、この関係を逆にたどって残りをすべて逆算できます。

簡単な例

「両方起こる確率」が0.12、「少なくとも一方が起こる確率」が0.58だとわかっているとき——「足すと0.7、掛けると0.12になる2つの数」を探すと、P(A)とP(B)が求まります

両方起こる確率（0.12） \(=\) Aが起こる確率 \(P(A)\)（?） \(\times\) Bが起こる確率 \(P(B)\)（?）

\(P(A) + P(B) = 0.58 + 0.12 = 0.7\)

\(P(A) \times P(B) = 0.12\)

\(\Rightarrow\ P(A) = 0.3,\ \ P(B) = 0.4\)

考え方のポイント

なぜ2つの値だけで残りが全部わかるのか——8つの確率はどれも \(P(A)\) と \(P(B)\) の式で書けるので、求めたい数（未知数）は実質この2つだけです。未知数が2つなら、手がかり（方程式）も2本あれば解けます。連立方程式で「\(x\) と \(y\) の式が2本あれば解ける」のと同じ理屈です。ただし、例えば「両方起こる確率」と「少なくとも一方が起こる確率」はAとBを入れ替えても値が変わらないため、この2つから逆算するとどちらがAか区別できず、入れ替えた2通りの解が出ることがあります。また、「両方起こる確率」が「少なくとも一方が起こる確率」より大きいような矛盾した入力では、条件を満たす確率の組が存在せず「解なし」になります。上の図の右側の正方形は、全体を面積1の正方形とみなして、横幅を \(P(A)\)、縦の高さを \(P(B)\) にとったものです。左下の長方形の面積 \(P(A) \times P(B)\) が「両方起こる確率」で、これが1本目の式が掛け算になる理由です。左のベン図は「どの部分か」を示す図で、2つの円を合わせた部分が「少なくとも一方が起こる確率」に当たります（円の面積は確率の大きさとは対応していません）。

8つの確率はすべて \(P(A)\) と \(P(B)\) の2つだけから決まります。だから逆に、どれか2つがわかれば残りをすべて逆算できます。

用語・記号の解説

記号

\(P(A)\)	ピー・エー	事象Aが起こる確率。Pは確率を意味する英語 Probability の頭文字です。
\(\overline{A}\)	エー・バー（余事象）	Aの上に横棒を書いて「Aが起こらない」という事象（余事象）を表します。\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) で求められます。
\(\cap\)	キャップ（共通部分）	「かつ」を表す記号。\(A \cap B\) は「AとBが両方起こる」という事象です。ベン図では2つの円の重なった部分にあたります。
\(\cup\)	カップ（和集合）	「または」を表す記号。\(A \cup B\) は「AとBの少なくとも一方が起こる」という事象です。ベン図では2つの円を合わせた全体にあたります。
\(\Delta\)	デルタ（対称差）	「どちらか一方だけ」を表す記号。\(A \Delta B\) は「AかBのどちらか一方だけが起こる（両方は起こらない）」という事象です。

用語

事象	じしょう	「サイコロで6が出る」「明日雨が降る」のような、起こるか起こらないかが決まる出来事のこと。数学では出来事のことを「事象」と呼び、AやBという名前を付けて扱います。
独立	どくりつ	一方の結果がもう一方の起こりやすさに影響しないこと。「くじを戻さずにもう1回引く」場合は1回目の結果で2回目の確率が変わるので独立ではありません。このページの逆算は独立な場合専用です。
余事象	よじしょう	その出来事が「起こらない」という反対側の事象のこと。起こる確率が0.3なら、起こらない確率（余事象の確率）は \(1 - 0.3 = 0.7\) です。
連立方程式	れんりつほうていしき	求めたい数（未知数）が2つあるとき、関係式（方程式）を2本組み合わせて両方の値を求める方法。このページの逆算は、\(P(A)\) と \(P(B)\) を未知数とする連立方程式を解いています。
二次方程式	にじほうていしき	「足すと \(S\)、掛けると \(P\) になる2つの数」を求める問題は二次方程式になります。このページの逆算の多くは、最後にこの形に行き着きます。
解の公式	かいのこうしき	二次方程式を機械的に解くための公式。このページの逆算で最後に行き着く二次方程式は、これで解きます。
判別式	はんべつしき	解の公式のルート（平方根）の中身のこと。プラスなら解が2つ、0ならちょうど1つ、マイナスなら「当てはまる数が存在しない（解なし）」と判定できます。このページで「解なし」と表示されるケースの代表例が、判別式がマイナスになる場合です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

確率の基礎（中学2年）	確率は0から1の間の数になり、「起こる確率」と「起こらない確率」を合わせると1になること
2つの独立な事象の確率（このサイトの姉妹ページ）	独立な事象では「両方起こる確率」が掛け算で求められること「少なくとも一方が起こる確率」が、足してからダブりを引いて求められること
一次方程式（中学1年）	わかっている数と求めたい数を「\(=\)」で結び、逆算して求めたい数を出せること
二次方程式・解の公式（中学3年）	「足すと \(S\)、掛けると \(P\) になる2つの数」を求める問題が、2次方程式を解くことと同じだとわかること解の公式のルートの中がマイナスになると、当てはまる数が存在しない（解なし）とわかること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「両方起こる確率」と「少なくとも一方が起こる確率」から P(A) と P(B) を逆算する表

両方起こる確率 P(A∩B)	0.12
少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)	0.58
P(A)（2つの解のうち小さい方）	=(B1+B2-SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2
P(B)（2つの解のうち大きい方）	=(B1+B2+SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2

貼り付けると、B1とB2が入力欄になり、B3とB4に逆算されたP(A)とP(B)が表示されます。
P(A)+P(B) = P(A∪B)+P(A∩B)、P(A)×P(B) = P(A∩B) という関係から、2次方程式の解の公式で解いています。
SQRTはルート（平方根）を計算する関数です。ルートの中身がマイナスになる入力は「解なし」で、エラー（#NUM!）になります。
ほかの組み合わせ（P(A)とP(A∪B)がわかっている場合など）については、このページの計算機が表示する「計算の過程」を参考にしてください。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「両方起こる確率」と「少なくとも一方が起こる確率」から P(A) と P(B) を逆算する表

両方起こる確率 P(A∩B)	0.12
少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)	0.58
P(A)（2つの解のうち小さい方）	=(B1+B2-SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2
P(B)（2つの解のうち大きい方）	=(B1+B2+SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B1とB2の数値を自分の値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

import math

p_both = 0.12          # 両方起こる確率 P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58  # 少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)

sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both   # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both                # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb  # 2次方程式の判別式

if discriminant < 0:
    print("解なし（この組み合わせを満たす確率はありません）")
else:
    sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
    p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
    p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
    print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")

「両方起こる確率」と「少なくとも一方が起こる確率」がわかっている場合の例です。先頭の2つの値を書き換えて実行してください。答えが2通りある場合は、P(A)とP(B)を入れ替えたものがもう1つの解です。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

独立な2つの事象で必ず成り立つ関係式

P(A∩B) = P(A) × P(B),  P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)

P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2229;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"></mspace>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x222A;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(A nn B) = P(A) P(B),  P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)

Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]

solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});

syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);

P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは確率の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

独立な2つの事象A・Bについて、両方起こる確率 P(A∩B) = 0.12、少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B) = 0.58 だとわかっています。
P(A) と P(B) を求め、さらにそれぞれが起こらない確率、どちらか一方だけが起こる確率 P(AΔB)、どちらも起こらない確率も求めてください。
解が2通りある場合は両方示してください。計算に使った式と実行結果を表形式で示してください。