De los 8 campos de abajo, rellena solo los dos que conozcas. Si consideras los dos sucesos independientes, se calculan al revés todas las demás probabilidades.
Rellena solo dos campos y deja los demás en blanco. Escribe cada probabilidad como un número de 0 a 1 (por ejemplo, el 30 % es 0,3).
Resultado y figura
Rellena solo los dos campos que conoces y haz clic en «Calcular». Las demás probabilidades aparecerán aquí.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y figuras
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Dos sucesos tienen 8 probabilidades: que ocurra o no cada uno, que ocurran los dos, \(P(A \cap B)\), que ocurra al menos uno, \(P(A \cup B)\), y más. Introduce las dos que conozcas y todas las demás se calculan al revés
- Está pensada para preguntas «al revés» que una calculadora normal no resuelve con facilidad, como «Al menos uno ocurre el 58 % de las veces y los dos ocurren el 12 % de las veces. ¿Qué probabilidad tiene cada uno?»
- Muestra no solo las respuestas sino todos los pasos del cálculo, así que puedes usarla para corregir deberes o comprobar tus propios cálculos
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Solo sirve cuando los dos sucesos no se influyen entre sí (son independientes). Un dado y una moneda, donde un resultado no tiene nada que ver con el otro, valen. No sirve cuando un resultado cambia la probabilidad del otro, como al «sacar dos papeletas sin devolver la primera».
¿Para qué sirve este cálculo?
Calcular tasas individuales a partir de los resultados de una encuesta (marketing)
A partir de un resultado de encuesta como «el 58 % de las personas conoce al menos uno de los productos A y B, y el 12 % conoce los dos», puedes deducir la notoriedad de cada producto (30 % y 40 %). (Es un cálculo modelo que trata la notoriedad de los dos productos como independiente.)
En marketing, a menudo solo tienes los números combinados y resumidos. Este cálculo al revés te ayuda cuando quieres sacar de ellos los números individuales.
Estimar las probabilidades originales a partir de resultados registrados
«El 14,5 % de los días del año, al menos una de las dos máquinas se averió. El 0,5 % de los días se averiaron las dos a la vez.» Con estos registros puedes calcular la tasa de averías de cada máquina (5 % y 10 %).
Los datos reales suelen registrar solo los resultados combinados, así que estimar las probabilidades individuales a partir de ellos es una idea habitual en el mantenimiento de equipos y la mejora de procesos.
Medir lo bien que funciona un sistema de doble comprobación (control de calidad y corrección de textos)
Dos personas revisan documentos. Los resultados anteriores muestran que «al menos una de ellas encuentra un error el 90 % de las veces y las dos lo encuentran el 40 % de las veces». De aquí puedes deducir la tasa de detección de cada una (80 % y 50 %). (Es un cálculo modelo que trata sus revisiones como independientes.)
Puedes estimar la habilidad de cada revisor a partir de resultados anteriores sin evaluarlos uno por uno, así que puedes replantear la organización (quién debe trabajar con quién, o si basta una persona) con números.
Deducir tasas individuales a partir de una encuesta de equipamiento
A partir de un resultado de encuesta como «el 85 % de las personas tiene al menos un teléfono móvil o una tableta, y el 35 % tiene los dos», puedes deducir la tasa de cada uno (70 % y 50 %). (Es una estimación aproximada que trata tener uno y otro como independientes.)
Las estadísticas publicadas a veces dan solo números del tipo «al menos uno» y «los dos». Puedes usar este cálculo para sacar las tasas individuales que quieres conocer.
Fórmulas y figuras
Las relaciones que siempre se cumplen para dos sucesos independientes
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(P(A \cap B)\): probabilidad de que ocurran los dos
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilidad de que ocurra A
\(\times\)
②
\(P(B)\): probabilidad de que ocurra B
④
\(P(A \cup B)\): probabilidad de que ocurra al menos uno
\(=\)
\(P(A)\): probabilidad de que ocurra A
\(+\)
\(P(B)\): probabilidad de que ocurra B
\(-\)
probabilidad de que ocurran los dos (el producto)
La fórmula en palabras
①
Toma la
\(P(A)\): probabilidad de que ocurra A
②
multiplícala por la
\(P(B)\): probabilidad de que ocurra B
③
y obtendrás la
\(P(A \cap B)\): probabilidad de que ocurran los dos
(la primera fórmula)
④
Suma las dos probabilidades y réstales el producto (la probabilidad de que ocurran los dos) y obtendrás la
\(P(A \cup B)\): probabilidad de que ocurra al menos uno
(la segunda fórmula)
Estas dos relaciones se cumplen siempre para dos sucesos independientes. Por eso, si conoces dos cualesquiera de las 8 probabilidades, puedes seguir las relaciones al revés y hallar todas las demás.
Un ejemplo sencillo
Si sabes que la probabilidad de que ocurran los dos es 0,12 y la de que ocurra al menos uno es 0,58, busca «dos números que sumen 0,7 y cuyo producto sea 0,12». Esos números son P(A) y P(B)
ocurren los dos (0,12)
\(=\)
\(P(A)\): ocurre A (?)
\(\times\)
\(P(B)\): ocurre B (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \times P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3\ \text{y}\ P(B) = 0{,}4\)
La idea clave
¿Por qué bastan dos valores para hallar todos los demás? Cada una de las 8 probabilidades se puede escribir con \(P(A)\) y \(P(B)\), así que en realidad solo hay dos incógnitas. Con dos incógnitas bastan dos pistas (ecuaciones) para resolverlas. Es la misma idea que un sistema de ecuaciones: «dos ecuaciones con \(x\) e \(y\) se pueden resolver».
Ten en cuenta que «ocurren los dos» y «ocurre al menos uno» no cambian si intercambias A y B. Por eso, al calcular al revés a partir de estos dos datos, no puedes saber cuál es A y puedes obtener dos soluciones con A y B intercambiados. Además, con datos contradictorios, por ejemplo si «ocurren los dos» es mayor que «ocurre al menos uno», ningún conjunto de probabilidades encaja y el resultado es «sin solución».
El cuadrado de la derecha de la figura de arriba representa el total como un cuadrado de área 1, con ancho \(P(A)\) y alto \(P(B)\). El área del rectángulo de la esquina inferior izquierda, \(P(A) \times P(B)\), es la probabilidad de que ocurran los dos. Por eso la primera fórmula es una multiplicación. El diagrama de Venn de la izquierda solo muestra qué parte es cuál: todo lo que hay dentro de los dos círculos es la probabilidad de que ocurra al menos uno. (Las áreas de los círculos no coinciden con el tamaño de las probabilidades.)
Las 8 probabilidades quedan determinadas por solo dos valores, \(P(A)\) y \(P(B)\). Por eso, al revés, si conoces dos cualesquiera de ellas, puedes hallar todas las demás.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(P(A)\) | P de A | La probabilidad de que ocurra el suceso A. P es la inicial de «probabilidad». |
| \(A'\) | A prima (suceso contrario) | El suceso «no ocurre A», llamado suceso contrario de A. También se escribe \(A^c\) o \(\overline{A}\). Se calcula con \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | cap (intersección) | El símbolo de la «y». \(A \cap B\) es el suceso «ocurren A y B a la vez». En un diagrama de Venn es la parte donde se solapan los dos círculos. |
| \(\cup\) | cup (unión) | El símbolo de la «o». \(A \cup B\) es el suceso «ocurre al menos uno de A y B». En un diagrama de Venn es todo lo que hay dentro de los dos círculos. |
| \(\Delta\) | delta (diferencia simétrica) | El símbolo de «exactamente uno». \(A \Delta B\) es el suceso «ocurre exactamente uno de los dos, A o B (no ambos)». |
Términos
| suceso | Algo que ocurre o no ocurre, como «sacar un 6» o «mañana llueve». En probabilidad, estos resultados se llaman sucesos y se les pone nombres como A y B. |
| independiente | Cuando el resultado de un suceso no cambia lo probable que es el otro. Sacar una segunda papeleta sin devolver la primera no es independiente, porque el primer resultado cambia la probabilidad del segundo. El cálculo inverso de esta página sirve solo para sucesos independientes. |
| suceso contrario | El suceso opuesto: aquel en el que el suceso no ocurre. Si la probabilidad de que ocurra es 0,3, la probabilidad de que no ocurra (la del suceso contrario) es \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| sistema de ecuaciones | Un método para hallar dos números desconocidos combinando dos ecuaciones. El cálculo inverso de esta página resuelve un sistema de ecuaciones con las dos incógnitas \(P(A)\) y \(P(B)\). |
| ecuación de segundo grado | Hallar «dos números que sumen \(S\) y cuyo producto sea \(P\)» lleva a una ecuación de segundo grado. La mayoría de los cálculos inversos de esta página acaban con esta forma. |
| fórmula de la ecuación de segundo grado | La fórmula que resuelve paso a paso cualquier ecuación de segundo grado, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Las ecuaciones de segundo grado a las que llegan los cálculos de esta página se resuelven con ella. |
| discriminante | La parte que hay bajo la raíz cuadrada en la fórmula de la ecuación de segundo grado, \(b^2 - 4ac\). Si es positivo hay dos soluciones, si es 0 hay exactamente una y si es negativo no hay ningún número que encaje (no hay solución real). Un discriminante negativo es el motivo más habitual por el que esta página muestra «sin solución». |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| Probabilidad básica (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
| Probabilidad de dos sucesos independientes (una página complementaria de este sitio) |
|
| Ecuaciones de primer grado (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Ecuaciones de segundo grado y la fórmula de la ecuación de segundo grado (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular P(A) y P(B) a partir de «ocurren los dos» y «ocurre al menos uno»
| Ocurren los dos, P(A∩B) | 0,12 |
| Ocurre al menos uno, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la solución menor) | =(B1+B2-RAIZ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la solución mayor) | =(B1+B2+RAIZ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Al pegar la tabla, B1 y B2 son tus datos, y B3 y B4 muestran P(A) y P(B) calculadas al revés.
Usa las relaciones P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) y P(A) × P(B) = P(A∩B), y resuelve la ecuación de segundo grado resultante con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
RAIZ es la función de la raíz cuadrada. Los datos que hacen negativo el número bajo la raíz no tienen solución y muestran un error (#¡NUM!).
Para otras combinaciones (por ejemplo, si conoces P(A) y P(A∪B)), usa como guía la sección «Pasos del cálculo» que muestra la calculadora de esta página.
Usa las relaciones P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) y P(A) × P(B) = P(A∩B), y resuelve la ecuación de segundo grado resultante con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
RAIZ es la función de la raíz cuadrada. Los datos que hacen negativo el número bajo la raíz no tienen solución y muestran un error (#¡NUM!).
Para otras combinaciones (por ejemplo, si conoces P(A) y P(A∪B)), usa como guía la sección «Pasos del cálculo» que muestra la calculadora de esta página.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular P(A) y P(B) a partir de «ocurren los dos» y «ocurre al menos uno»
| Ocurren los dos, P(A∩B) | 0,12 |
| Ocurre al menos uno, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la solución menor) | =(B1+B2-RAIZ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la solución mayor) | =(B1+B2+RAIZ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números de B1 y B2 por tus propios valores.
Cómo calcularlo con Python
import math
p_both = 0.12 # ocurren los dos, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # ocurre al menos uno, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # discriminante de la ecuación de segundo grado
if discriminant < 0:
print("Sin solución (ninguna probabilidad cumple esta combinación)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
Este ejemplo es para cuando conoces «ocurren los dos» y «ocurre al menos uno». Cambia los dos valores del principio y ejecútalo. Cuando hay dos respuestas, la otra solución son los mismos valores con P(A) y P(B) intercambiados.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Las relaciones que siempre se cumplen para dos sucesos independientes
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de probabilidades. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). Para dos sucesos independientes A y B, sabemos que la probabilidad de que ocurran los dos es P(A∩B) = 0,12 y la de que ocurra al menos uno es P(A∪B) = 0,58. Calcula P(A) y P(B). Después calcula también la probabilidad de que no ocurra cada uno, la de que ocurra exactamente uno, P(AΔB), y la de que no ocurra ninguno. Si hay dos soluciones, muestra las dos. Muestra en una tabla las fórmulas que has usado y los resultados de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
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Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
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Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
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Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
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Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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