Calculadora de la distancia de un punto a una recta (pie de la perpendicular y rectas paralelas)

Elige cómo se da la recta (ecuación general o ecuación explícita) y escribe los coeficientes y las coordenadas del punto. La ecuación de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar sus números directamente en la ecuación.

Qué se calcula

Forma de la recta

Coeficiente a de x

Coeficiente b de y

Constante c

Constante de la 2.ª recta, c₂

Pendiente m

Ordenada en el origen k

Ordenada en el origen de la 2.ª recta, k₂

Coordenada x de P, x₀

Coordenada y de P, y₀

Escribe solo números. Se admiten decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Un coeficiente en blanco de x o de y cuenta como 1 (x es lo mismo que 1x), y una constante o una coordenada en blanco cuenta como 0.

Resultado y figura

Escribe los coeficientes de la recta y las coordenadas del punto en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe los coeficientes y las coordenadas y obtendrás al instante la distancia de un punto \(\mathrm{P}(x_0\,;\,y_0)\) a una recta \(ax + by + c = 0\) (la longitud de la perpendicular del punto a la recta, que es la distancia mínima)
La respuesta se muestra tanto como valor exacto con el denominador racionalizado, como \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), como en decimales (12 cifras significativas)
Además de la distancia, obtienes las coordenadas del pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\) (el punto de la recta más cercano a \(\mathrm{P}\)) y la ecuación de la propia perpendicular
Puedes escribir la recta en ecuación general \(ax + by + c = 0\) o en ecuación explícita \(y = mx + k\) (con la ecuación explícita, los pasos muestran también cómo pasarla a la ecuación general)
En la misma pantalla se puede calcular también la distancia entre dos rectas paralelas \(ax + by + c_1 = 0\) y \(ax + by + c_2 = 0\)
Puedes comprobar el resultado en una figura del plano de coordenadas. En esta página también encontrarás una explicación clara de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Los coeficientes y las coordenadas pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4. Esta página trabaja con rectas del plano (2D).

¿Para qué sirve este cálculo?

Cómo saben el GPS y las aplicaciones de mapas por qué carretera vas

La ubicación que recibe el GPS de tu móvil o de tu coche puede tener un error de varios metros a decenas de metros. Si la aplicación se limitara a dibujar ese punto, podrías aparecer dentro de un edificio o en mitad de un campo. Por eso las aplicaciones de mapas calculan la distancia del punto medido a cada carretera cercana (en el mapa, un conjunto de segmentos) y mueven el punto a la carretera más cercana. Esto se llama map matching, y en su núcleo está la distancia de un punto a una recta.
Si la aplicación halla además el pie de la perpendicular, sabe exactamente en qué punto de esa carretera estás, así que puede decirte cuánto falta para el siguiente giro.

Medir la separación respecto de una línea de referencia en construcción y topografía

Los planos de edificios tienen ejes de replanteo y los proyectos de carreteras y ferrocarriles tienen un eje central. Las posiciones de pilares, muros, bordillos y estacas se dan como «a qué distancia están de la línea de referencia». Esta separación es exactamente la distancia de un punto a una recta. En obra, los topógrafos la calculan a partir de coordenadas medidas con una estación total y la comprueban con el valor del proyecto.
Colocar un bordillo a la mitad del ancho de la calzada desde el eje es el mismo cálculo repetido a lo largo de la carretera.

Cómo elige el aprendizaje automático una recta que separa dos grupos

Un método de clasificación llamado máquina de vectores de soporte traza una recta (un plano en dimensiones mayores) entre dos grupos de datos. Elige la recta que está lo más lejos posible de los puntos de datos de los dos grupos, y ese «lo más lejos» es la distancia de un punto a una recta. Se cree que elegir la recta con el mayor hueco (margen) comete menos errores con datos que el modelo aún no ha visto.
Es un método habitual para el filtrado de correo basura y la clasificación de imágenes desde antes de que se extendiera el aprendizaje profundo, y sigue siendo una buena opción cuando hay pocos datos de entrenamiento.

Encontrar rectas en imágenes y nubes de puntos (procesamiento de imágenes y coches autónomos)

La detección de carriles en los coches autónomos y el enderezado de un documento escaneado necesitan la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos detectados. Lo bien que se ajusta una recta se mide sumando los cuadrados de las distancias de cada punto a la recta, y se elige la recta con el total más pequeño.
RANSAC, un método que ajusta una recta ignorando los valores atípicos, también usa la distancia de un punto a una recta: los puntos que están a menos de una distancia fijada de la recta cuentan como ajustados a ella.

Simplificar trazados en mapas y gráficos

Cuando alejas el zoom en una aplicación de mapas, las pequeñas curvas de las costas y las carreteras se eliminan automáticamente. Esto usa el algoritmo de Ramer–Douglas–Peucker. Halla el punto más alejado de la recta que une los dos extremos de un trazado. Si esa distancia es menor que un límite fijado, se eliminan todos los puntos intermedios; si no, el trazado se divide en ese punto y se repite la comprobación.
La forma sigue viéndose bien con muchos menos datos, porque el algoritmo mide «cuánto se aparta de la recta» cada punto con una distancia de verdad.

Fórmulas y figuras

Distancia de un punto a una recta

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(d\): distancia de \(\mathrm{P}\) a la recta \(=\) ① valor absoluto de \(ax + by + c\) en el punto \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): módulo del vector normal

La fórmula en palabras

① Toma el valor absoluto de \(ax + by + c\) al sustituir el punto \((x_0\,;\,y_0)\)

② divídelo entre el módulo \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del vector normal \((a\,;\,b)\)

③ y obtienes la distancia \(d\) de \(\mathrm{P}\) a la recta

Un ejemplo sencillo

La distancia del punto \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) a la recta \(x + 2y - 3 = 0\) es

distancia \(d\) \(=\) valor absoluto en el punto (\(|4 + 6 - 3| = 7\)) \(\div\) módulo del vector normal (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

La idea clave

La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular trazada del punto a la recta. Una recta tiene infinitos puntos, pero solo el pie de la perpendicular es el más cercano a \(\mathrm{P}\). Todos los demás puntos de la recta están más lejos, porque en un triángulo rectángulo la hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos. Por eso «distancia = distancia mínima = longitud de la perpendicular» es una definición clara. Escribir \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) como \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) se llama racionalizar el denominador. Con una raíz en el denominador es difícil ver lo grande que es el valor o sumarlo a otros valores, así que las respuestas suelen escribirse con el denominador racionalizado. Si \(a\) y \(b\) son los dos 0, \(ax + by + c = 0\) no es una recta y no se puede usar la fórmula.

Por qué esta fórmula da la distancia (con el vector normal)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\) \(\div\) \(\left|\vec{n}\right|\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(d\): distancia de \(\mathrm{P}\) a la recta \(=\) ① valor absoluto del producto escalar del vector normal y \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) \(\div\) ② \(|\vec{n}|\): módulo del vector normal \(\vec{n}\)

La fórmula en palabras

① Sea \(\mathrm{A}\) cualquier punto de la recta y \(\vec{n} = (a\,;\,b)\) el vector perpendicular a la recta (el vector normal). Toma el valor absoluto del producto escalar de \(\vec{n}\) y \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

② divídelo entre el módulo \(|\vec{n}|\) del vector normal \(\vec{n}\)

③ y obtienes la distancia \(d\) de \(\mathrm{P}\) a la recta

Un ejemplo sencillo

Pruébalo con el punto \(\mathrm{A}(3\,;\,0)\) de la recta \(x + 2y - 3 = 0\) y el punto \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) (\(\vec{n} = (1\,;\,2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1\,;\,3)\))

distancia \(d\) \(=\) valor absoluto del producto escalar (\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)) \(\div\) módulo del vector normal (\(\sqrt{5}\))

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)

\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

La idea clave

Toma los coeficientes de \(x\) y de \(y\) de la recta \(ax + by + c = 0\) tal cual y obtienes el vector \(\vec{n} = (a\,;\,b)\). Este vector es perpendicular a la recta y se llama vector normal. Para ver por qué, toma dos puntos \((x_1\,;\,y_1)\) y \((x_2\,;\,y_2)\) de la recta. Los dos cumplen la ecuación, así que al restar resulta \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). El producto escalar de \(\vec{n}\) y un vector a lo largo de la recta es 0, así que son perpendiculares. Como \(\mathrm{A}\) está en la recta, \(ax_1 + by_1 + c = 0\). Por eso, al desarrollar \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) resulta exactamente \(ax_0 + by_0 + c\). Esta es la razón por la que el numerador de la fórmula de la distancia es «las coordenadas del punto sustituidas en la ecuación». El producto escalar \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) es igual a la longitud de la sombra que proyecta \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) sobre la dirección de \(\vec{n}\), multiplicada por \(|\vec{n}|\). (Si la sombra cae en el sentido contrario a \(\vec{n}\), el signo es negativo, así que tomamos el valor absoluto para obtener una longitud.) ¿Por qué esa sombra es la distancia que queremos? Sea \(\mathrm{H}\) el pie de la perpendicular. Entonces \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) va a lo largo de la recta, así que es perpendicular a \(\vec{n}\) y no proyecta sombra en esa dirección. La parte que queda, \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\), es paralela a \(\vec{n}\), así que su sombra es toda su longitud, que es la distancia \(d\) de \(\mathrm{P}\) a la recta. La respuesta no depende de dónde pongas \(\mathrm{A}\) en la recta: mover \(\mathrm{A}\) solo cambia \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), que nunca afecta a la sombra. Así que dividir el producto escalar entre \(|\vec{n}|\) devuelve la distancia. El \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del denominador es este \(|\vec{n}|\).

Distancia cuando la recta está en ecuación explícita \(y = mx + k\)

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\) \(\div\) \(\sqrt{m^{2} + 1}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(d\): distancia de \(\mathrm{P}\) a la recta \(=\) ① valor absoluto de \(mx - y + k\) en el punto \(\div\) ② \(\sqrt{m^2 + 1}\): módulo del vector normal \((m\,;\,-1)\)

La fórmula en palabras

① Escribe la recta \(y = mx + k\) como \(mx - y + k = 0\). Después, toma el valor absoluto de \(mx - y + k\) al sustituir el punto

② divídelo entre el módulo \(\sqrt{m^2 + 1}\) del vector normal \((m\,;\,-1)\)

③ y obtienes la distancia \(d\) de \(\mathrm{P}\) a la recta

Un ejemplo sencillo

La distancia del punto \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) a la recta \(y = 2x + 1\) (en ecuación general, \(2x - y + 1 = 0\)) es

distancia \(d\) \(=\) valor absoluto en el punto (\(|8 - 3 + 1| = 6\)) \(\div\) módulo del vector normal (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))

\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)

\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

La idea clave

Cuando la recta viene dada como \(y = mx + k\), pasa todo al miembro izquierdo para obtener \(mx - y + k = 0\). Al comparar esto con la ecuación general \(ax + by + c = 0\) resulta \(a = m\), \(b = -1\) y \(c = k\), así que el denominador es \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\). Así que no hay ninguna fórmula nueva que memorizar. Basta con escribir la recta en ecuación general y usar la misma fórmula. Cuando eliges «ecuación explícita» en esta calculadora, también escribe primero la recta en ecuación general y muestra cómo en los pasos. Una recta vertical (paralela al eje \(y\), como \(x = 3\)) no tiene pendiente \(m\) definida, así que no se puede escribir como \(y = mx + k\). Para una recta así, usa la ecuación general y escribe \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\).

Coordenadas del pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{H}\) \(=\) \(\left(x_0\,;\,y_0\right)\) \(-\) \(t\,(a\,;\,b)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(\mathrm{H}\): pie de la perpendicular \(=\) ① \((x_0\,;\,y_0)\): coordenadas de \(\mathrm{P}\) \(-\) ② vector normal \((a\,;\,b)\) multiplicado por \(t\)

La fórmula en palabras

① Fija el factor de escala \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\). Parte de las coordenadas \((x_0\,;\,y_0)\) de \(\mathrm{P}\)

② resta el vector normal \((a\,;\,b)\) multiplicado por \(t\)

③ y obtienes las coordenadas del pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\)

Un ejemplo sencillo

El pie de la perpendicular trazada desde \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) a la recta \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) es

pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\) \(=\) coordenadas de \(\mathrm{P}\) (\((4\,;\,3)\)) \(-\) vector normal multiplicado por \(\dfrac{7}{5}\) (\(\left(\dfrac{7}{5}\,;\,\dfrac{14}{5}\right)\))

\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)

\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1\,;\ \ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5}\,;\,\dfrac{1}{5}\right)\)

La idea clave

Si te mueves en línea recta desde \(\mathrm{P}\) en dirección paralela al vector normal \(\vec{n} = (a\,;\,b)\), siempre llegas a la recta. El lugar al que llegas es el pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\). Como muestra la resta de \(\mathrm{H} = (x_0\,;\,y_0) - t\,(a\,;\,b)\), el factor de escala \(t\) indica cuántas copias de \(\vec{n}\) hay que retroceder para llegar a la recta. Si \(t\) es positivo, te mueves en sentido contrario a \(\vec{n}\); si \(t\) es negativo, te mueves en el mismo sentido que \(\vec{n}\). El numerador de \(t\) es el mismo que el numerador de la fórmula de la distancia (antes de tomar el valor absoluto), y el denominador es \(a^2 + b^2\), que es \(|\vec{n}|^2\). La fórmula de la distancia divide entre \(|\vec{n}|\) una sola vez, pero aquí dividimos dos veces, y hay una razón. Hay que moverse la distancia \(d\), y una copia de \(\vec{n}\) tiene longitud \(|\vec{n}|\), así que el factor de escala es \(d \div |\vec{n}|\). Si pones \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\), divides entre \(|\vec{n}|\) dos veces. Una vez que conoces el pie de la perpendicular, el simétrico de \(\mathrm{P}\) respecto de la recta es simplemente \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). En los problemas de geometría, este simétrico suele ser la clave de la solución.

Distancia entre dos rectas paralelas

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \(\left|c_1 - c_2\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(d\): distancia entre las rectas \(=\) ① \(|c_1 - c_2|\): valor absoluto de la diferencia de las constantes \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): módulo del vector normal

La fórmula en palabras

① Para dos rectas \(ax + by + c_1 = 0\) y \(ax + by + c_2 = 0\) con los mismos coeficientes de \(x\) y de \(y\), toma el valor absoluto de la diferencia de las constantes \(|c_1 - c_2|\)

② divídelo entre el módulo \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del vector normal

③ y obtienes la distancia \(d\) entre las rectas

Un ejemplo sencillo

La distancia entre las rectas \(x + 2y - 3 = 0\) y \(x + 2y + 7 = 0\) es

distancia entre las rectas \(d\) \(=\) valor absoluto de la diferencia de las constantes (\(|-3 - 7| = 10\)) \(\div\) módulo del vector normal (\(\sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

La idea clave

Que dos rectas sean paralelas depende de la razón entre sus coeficientes de \(x\) y de \(y\). Para \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) y \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\), son paralelas cuando \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\). (Es solo «las razones son iguales» escrito como una multiplicación, y sirve incluso cuando un coeficiente es 0.) Por ejemplo, \(2x + 4y - 6 = 0\) y \(x + 2y + 7 = 0\) cumplen esta condición, así que son paralelas. Pero el numerador de esta fórmula solo sirve cuando los coeficientes coinciden exactamente, así que primero multiplica una ecuación por un número para que los coeficientes de \(x\) y de \(y\) sean iguales. Esta calculadora toma solo un par de coeficientes de \(x\) y de \(y\) y dos constantes, así que no puedes olvidar este paso. La distancia entre dos rectas paralelas es la misma elijas donde elijas el punto de una de ellas. Así que elige cualquier punto de una recta y halla su distancia a la otra con la fórmula de punto a recta, y esta fórmula sale enseguida. Un punto de \(ax + by + c_1 = 0\) cumple \(ax_0 + by_0 = -c_1\), así que \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\). Si \(c_1\) y \(c_2\) son iguales, las dos ecuaciones describen la misma recta y la distancia es 0. Dos rectas que no son paralelas se cortan siempre en un punto, así que no hay separación entre ellas y su distancia es 0. Por eso esta fórmula es solo para rectas paralelas.

Para hallar la distancia de un punto \(\mathrm{P}(x_0\,;\,y_0)\) a una recta \(ax + by + c = 0\), sustituye el punto en la ecuación, toma el valor absoluto \(|ax_0 + by_0 + c|\) y divídelo entre el módulo \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del vector normal \((a\,;\,b)\). Esta distancia es la longitud de la perpendicular del punto a la recta, y el pie de la perpendicular es \(\mathrm{H} = (x_0 - ta\,;\,y_0 - tb)\), donde \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).

Símbolos y términos

Símbolos

\(d\)	de	Una letra que se usa a menudo para la distancia, por la inicial de «distancia». En esta página es la distancia del punto a la recta (la longitud de la perpendicular).
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Los coeficientes de la recta \(ax + by + c = 0\). \(a\) es el número que acompaña a \(x\), \(b\) el que acompaña a \(y\) y \(c\) el término que es solo un número (la constante). Por costumbre, las letras del principio del alfabeto representan números fijos.
\(x_0,\ y_0\)	x sub cero, i griega sub cero	Las coordenadas del punto \(\mathrm{P}\) desde el que mides. El pequeño 0 de abajo a la derecha es un subíndice. Indica que es la coordenada de un punto fijo, no la variable \(x\).
\(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\)	P, H, A	Los nombres de los puntos. \(\mathrm{P}\) es de «punto». \(\mathrm{H}\) es una letra habitual para el pie de la perpendicular (piensa en el pie de una altura). \(\mathrm{A}\) es un punto auxiliar tomado en la recta.
\(\left\|\ \right\|\)	valor absoluto	El signo del valor absoluto. Un número positivo se queda como está; un número negativo pierde su signo menos (\(\|-7\| = 7\)). Una distancia nunca es negativa, así que la fórmula toma el valor absoluto del valor sustituido.
\(\sqrt{\ }\)	raíz cuadrada	El signo de la raíz cuadrada: el número (mayor o igual que 0) que, elevado al cuadrado, da el número que hay dentro. \(\sqrt{5}\) es el número cuyo cuadrado es 5. Se dice que el signo viene de una letra r estirada, de «radix» (raíz).
\(\vec{n}\)	vector ene	El vector normal: un vector que apunta en dirección perpendicular a la recta. La letra n viene de «normal» (perpendicular). Para la recta \(ax + by + c = 0\), \(\vec{n} = (a\,;\,b)\).
\(\left\|\vec{n}\right\|\)	módulo del vector ene	El módulo de un vector (la longitud de la flecha). Para \(\vec{n} = (a\,;\,b)\), \(\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Es el denominador de la fórmula de la distancia.
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)	ene punto AP	El producto escalar de dos vectores: se multiplican las componentes correspondientes y se suma (para \((a\,;\,b)\) y \((p\,;\,q)\), es \(ap + bq\)). Indica cuánto se alinean las dos direcciones. El punto elevado es una operación distinta de la multiplicación normal.
\(t\)	te	El factor de escala que indica cuántas copias del vector normal hay que avanzar desde \(\mathrm{P}\) para llegar a la recta. La letra \(t\) (de «tiempo») se usa habitualmente para un número que puede variar así.
\(m,\ k\)	m, k	La pendiente y la ordenada en el origen en la ecuación explícita \(y = mx + k\). \(m\) es la letra habitual de la pendiente. Los libros suelen escribir la ordenada en el origen como \(n\) (\(y = mx + n\)), pero esta página usa \(k\) para no confundirla con la \(b\) de la ecuación general.
\(c_1,\ c_2\)	c sub uno, c sub dos	Las constantes de las dos rectas paralelas. Los números pequeños de abajo a la derecha son subíndices que distinguen la primera recta de la segunda.
\(\ell_1,\ \ell_2\)	ele sub uno, ele sub dos	Los nombres de las rectas. Para las rectas suele usarse la letra cursiva \(\ell\), de la inicial de «línea».

Términos

distancia de un punto a una recta	La longitud de la perpendicular del punto a la recta. Es menor que la distancia a cualquier otro punto de la recta, así que también es la distancia mínima entre el punto y la recta. Se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años), en la geometría analítica.
perpendicular	Una recta o un segmento que corta a otra recta formando un ángulo recto. Si trazas la perpendicular de un punto a una recta, su longitud es la distancia del punto a la recta.
pie de la perpendicular	El punto en el que la perpendicular trazada desde un punto corta a la recta original. Es el lugar de la recta más cercano a ese punto.
ecuación general	Escribir la ecuación de una recta como \(ax + by + c = 0\). También se pueden escribir así las rectas verticales (como \(x = 3\)), de modo que todas las rectas caben en la misma forma. (Se llama también ecuación implícita.)
ecuación explícita	Escribir la ecuación de una recta como \(y = mx + k\) (en la mayoría de los libros \(y = mx + n\)). De un vistazo se ven la pendiente y dónde corta la recta al eje \(y\), pero no se pueden escribir así las rectas verticales.
vector normal	Un vector que apunta en dirección perpendicular a una recta (o a un plano). El vector normal de la recta \(ax + by + c = 0\) es \((a\,;\,b)\). La fórmula de la distancia de un punto a una recta halla la longitud medida en la dirección de este vector normal.
producto escalar	Un cálculo que da un número a partir de dos vectores: se multiplican las componentes correspondientes y se suma (\((a\,;\,b)\cdot(p\,;\,q) = ap + bq\)). También es igual a \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\). Si es 0, los dos vectores son perpendiculares.
proyección ortogonal	La sombra de un vector proyectada directamente sobre la dirección de otro vector. La distancia de un punto a una recta es la longitud de la sombra de \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) en la dirección del vector normal.
valor absoluto	El tamaño de un número sin su signo. Es la distancia a 0 en la recta numérica (\(\|-7\| = 7\), \(\|7\| = 7\)). Una distancia nunca es negativa, así que la fórmula usa el valor absoluto.
racionalización	Quitar una raíz del denominador multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Por ejemplo, multiplica los dos términos de \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) por \(\sqrt{5}\) para obtener \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\). Se estudia en 3.º de ESO (14-15 años), y las respuestas finales suelen escribirse así.
paralelas	Dos rectas que no se cortan nunca, por mucho que las prolongues. Para \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) y \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\), las rectas son paralelas o coincidentes cuando las razones de los coeficientes de \(x\) y de \(y\) son iguales (como ecuación, \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Si las constantes siguen también la misma razón, las dos rectas coinciden.
simétrico	El punto que se obtiene al darle la vuelta a un punto respecto de una recta, como una imagen en un espejo. Cuando se conoce el pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\), el simétrico de \(\mathrm{P}\) es \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\).
plano de coordenadas	Un plano con un eje \(x\) y un eje \(y\), en el que cada punto se escribe como un par \((x\,;\,y)\). Permite convertir los problemas de geometría en cálculos.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido para avanzar.

El plano de coordenadas y las coordenadas de los puntos (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que un punto del plano se escribe como un par de números \((x\,;\,y)\) (por ejemplo, el punto \((4\,;\,3)\) está 4 a la derecha y 3 hacia arriba del origen) Saber qué son el eje \(x\), el eje \(y\) y el origen
Ecuaciones de rectas (3.º y 4.º de ESO, 14-16 años)	Saber que \(y = mx + k\) es una recta, donde \(m\) es la pendiente (cuánto cambia \(y\) al avanzar 1 hacia la derecha) y \(k\) es la altura a la que corta al eje \(y\) Saber que la misma recta se puede escribir como \(ax + by + c = 0\) (ecuación general), y saber pasar \(y = 2x + 1\) a \(2x - y + 1 = 0\) Saber que «el punto está en la recta» significa lo mismo que «las coordenadas del punto hacen cierta la ecuación»
Raíces cuadradas y racionalización de denominadores (3.º de ESO, 14-15 años)	Saber que \(\sqrt{5}\) es el número cuyo cuadrado es 5, y saber sacar factores cuadrados de una raíz, como en \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) Saber racionalizar \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) para obtener \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\)
Valor absoluto (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber que el valor absoluto es el tamaño de un número sin su signo, como en \(\|-7\| = 7\) Entender que el valor absoluto es la distancia a 0 en la recta numérica, así que nunca es negativo
El teorema de Pitágoras y la fórmula de la distancia (2.º de ESO, 13-14 años, y 4.º de ESO, 15-16 años)	Saber que \(a^2 + b^2 = c^2\) en un triángulo rectángulo Saber que la distancia entre \((x_1\,;\,y_1)\) y \((x_2\,;\,y_2)\) es \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) Saber que la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo (por eso la perpendicular es la distancia mínima)
Vectores y producto escalar (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber que un vector tiene dirección y módulo, y que en el plano se puede escribir con componentes como \((a\,;\,b)\) Saber que el módulo de un vector es \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Saber calcular el producto escalar \((a\,;\,b)\cdot(p\,;\,q) = ap + bq\), y saber que los vectores son perpendiculares cuando es 0 (puedes usar la fórmula de la distancia aunque aún no hayas estudiado esto)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la distancia de un punto a una recta

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c	-3
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Numerador \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Denominador √(a^2+b^2)	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Distancia d	=B6/B7

Tabla para comprobar la explicación con el vector normal

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Coordenada x del punto A de la recta	3
Coordenada y del punto A de la recta	0
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Producto escalar n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Módulo del vector normal \|n\|	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Distancia d	=ABS(B7)/B8

Tabla para calcular la distancia con la ecuación explícita

Pendiente m	2
Ordenada en el origen k	1
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Distancia d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/RAIZ(B1^2+1)

Tabla para calcular el pie de la perpendicular H

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c	-3
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Factor de escala t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
Coordenada x de H	=B4-B1*B6
Coordenada y de H	=B5-B2*B6

Tabla para calcular la distancia entre rectas paralelas

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c1 de la 1.ª recta	-3
Constante c2 de la 2.ª recta	7
Distancia d	=ABS(B3-B4)/RAIZ(B1^2+B2^2)

Al pegar, las filas de arriba (coeficientes y coordenadas) son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas.
«^» es una potencia, ABS da el valor absoluto y RAIZ da la raíz cuadrada.
La primera tabla es el ejemplo del punto (4 ; 3) y la recta x + 2y - 3 = 0. El numerador es 7, el denominador es unos 2,2360679775 y la distancia es unos 3,1304951685.
La segunda tabla comprueba que sale la misma distancia con «producto escalar del vector normal y AP ÷ módulo del vector normal». El producto escalar es 7 y la distancia es unos 3,1304951685, igual que en la primera tabla.
La tercera tabla es el ejemplo del punto (4 ; 3) y la recta y = 2x + 1. La distancia es unos 2,683281573.
La cuarta tabla da 1,4 ; 2,6 y 0,2, así que el pie de la perpendicular es (2,6 ; 0,2) = (13/5 ; 1/5).
La quinta tabla es la distancia entre x + 2y - 3 = 0 y x + 2y + 7 = 0. La respuesta es unos 4,472135955.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la distancia de un punto a una recta

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c	-3
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Numerador \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Denominador √(a^2+b^2)	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Distancia d	=B6/B7

Tabla para comprobar la explicación con el vector normal

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Coordenada x del punto A de la recta	3
Coordenada y del punto A de la recta	0
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Producto escalar n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Módulo del vector normal \|n\|	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Distancia d	=ABS(B7)/B8

Tabla para calcular la distancia con la ecuación explícita

Pendiente m	2
Ordenada en el origen k	1
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Distancia d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/RAIZ(B1^2+1)

Tabla para calcular el pie de la perpendicular H

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c	-3
Coordenada x de P	4
Coordenada y de P	3
Factor de escala t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
Coordenada x de H	=B4-B1*B6
Coordenada y de H	=B5-B2*B6

Tabla para calcular la distancia entre rectas paralelas

Coeficiente a de x	1
Coeficiente b de y	2
Constante c1 de la 1.ª recta	-3
Constante c2 de la 2.ª recta	7
Distancia d	=ABS(B3-B4)/RAIZ(B1^2+B2^2)

Sirven las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los coeficientes y las coordenadas por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction

# Recta ax + by + c = 0 (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)

# Coordenadas del punto P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)

# El punto sustituido en la ecuación (con su signo) y el cuadrado del módulo del vector normal
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b

distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Numerador |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Denominador √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Distancia d = {distance}")

# Pie de la perpendicular H (se retrocede t veces el vector normal)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Factor de escala t = {t}")
print(f"Pie de la perpendicular H = ({foot_x}, {foot_y})")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar, el numerador, el denominador y el pie de la perpendicular se calculan como fracciones exactas, sin errores de redondeo. Este ejemplo halla la distancia del punto (4 ; 3) a la recta x + 2y - 3 = 0. Al ejecutarlo se ven el numerador 7, el denominador √5, la distancia (unos 3,13), el factor de escala t = 7/5 y el pie de la perpendicular (13/5 ; 1/5). Cambia los coeficientes y las coordenadas y vuelve a ejecutarlo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Distancia de un punto a una recta

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)

Por qué esta fórmula da la distancia (con el vector normal)

d = |n·AP| ÷ |n|

d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}

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    <mi>d</mi>
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        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)

d = Abs[n . ap]/Norm[n]

d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);

d = abs(dot(n, ap))/norm(n);

d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |

Distancia cuando la recta está en ecuación explícita \(y = mx + k\)

d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)

d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}

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    <mi>d</mi>
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        </mrow>
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</math>

d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)

d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]

d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)

Coordenadas del pie de la perpendicular \(\mathrm{H}\)

H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b)　t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)

\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}

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    <mi mathvariant="normal">H</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)

t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}

t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];

t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];

H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)

Distancia entre dos rectas paralelas

d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de matemáticas para geometría analítica. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Para el punto (4 ; 3) y la recta x + 2y - 3 = 0, halla:
1. La distancia del punto a la recta (como valor exacto con el denominador racionalizado y en decimales)
2. Las coordenadas del pie de la perpendicular del punto a la recta (como fracciones irreducibles)
3. La ecuación de esa perpendicular (la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada)

En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar y sympy para calcular con exactitud. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula