Calculadora del máximo común divisor (MCD)

Escribe 2 o más números enteros separados por punto y coma ( ; ). Puedes calcular el MCD de 3 o más a la vez, y se muestran la descomposición en factores primos de cada número y sus factores primos comunes.

Números enteros (separados por punto y coma)

Escribe solo números enteros mayores o iguales que 1, separados por punto y coma (por ejemplo, 12 ; 18). No se admiten el 0, los números negativos ni los decimales.

Resultado

Escribe números enteros separados por punto y coma en el campo de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

[ Cerrar X ]

Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe números enteros separados por punto y coma ( ; ) y obtendrás al instante el máximo común divisor (MCD)
No solo con 2 números: puedes hallar el MCD de 3 o más a la vez, como «16 ; 88 ; 104»
También se muestran la descomposición en factores primos de cada número y los factores primos que comparten, así que aprendes además cómo se obtiene el resultado y cómo comprobarlo
En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Solo se pueden usar números enteros mayores o iguales que 1 (enteros positivos). Esta página no trata el 0, los números negativos ni los decimales.

¿Para qué sirve este cálculo?

Simplificar fracciones (su uso más habitual)

Para simplificar \(\frac{12}{18}\), divide el numerador y el denominador entre su MCD, 6, y obtienes \(\frac{2}{3}\) de una sola vez.
En lugar de dividir entre 2, luego entre 3 y así sucesivamente, el MCD lleva la fracción a su forma más simple de golpe. Desde las matemáticas de Primaria hasta el trabajo diario, este es el uso más común del MCD.

Repartir cosas en grupos iguales sin que sobre nada (fiestas y reparto de material)

Quieres preparar bolsas iguales con 24 galletas y 36 zumos, tantas como sea posible y sin que sobre nada. El mayor número de bolsas es \(\mathrm{mcd}(24, 36) = 12\), con 2 galletas y 3 zumos en cada bolsa.
Preparar bolsas de premios para una fiesta del colegio o repartir material en lotes iguales: este es el cálculo habitual para dividir distintos tipos de objetos en grupos iguales.

Colocar baldosas y cortar papel (bricolaje y diseño)

Para cubrir un suelo de 330 cm por 450 cm con baldosas cuadradas, sin huecos y sin cortar ninguna, la baldosa más grande que puedes usar es de \(\mathrm{mcd}(330, 450) = 30\) cm de lado, es decir, baldosas de 30 cm × 30 cm (11 filas de 15 baldosas).
Dividir un rectángulo en los cuadrados más grandes posibles se usa al alicatar suelos y paredes y al cortar tarjetas del mismo tamaño de una hoja grande sin desperdiciar papel.

Diseñar engranajes (máquinas y relojes)

Si el MCD de los números de dientes de dos ruedas engranadas es grande, los mismos dientes chocan una y otra vez y se desgastan de forma desigual. Por eso, en el diseño de máquinas es una regla básica que los números de dientes sean lo más próximos posible a primos entre sí (MCD igual a 1).
Los engranajes del interior de los coches y de los relojes aplican esta idea de mantener pequeño el MCD.

El cifrado que protege internet

El cifrado RSA, que se usa en las compras y la banca online, necesita comprobar si dos números son primos entre sí mientras crea sus claves, y el algoritmo de Euclides hace ese trabajo.
Un método para el MCD de hace más de 2000 años protege hoy las comunicaciones de todo el mundo. Muestra lo duraderas que pueden ser las matemáticas.

Fórmula

Con la descomposición en factores primos (el método básico)

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{mcd}(a,\ b)\) \(=\) \(p_1 \times p_2 \times \cdots\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(\mathrm{mcd}(a, b)\): MCD de \(a\) y \(b\) \(=\) ① producto de todos los factores primos comunes

La fórmula en palabras

① Escribe los dos números como producto de primos y multiplica todos los \(p_1, p_2, \ldots\): factores primos comunes

② para obtener el \(\mathrm{mcd}(a, b)\): máximo común divisor

Un ejemplo sencillo

El MCD de 12 y 18 (12 = 2 × 2 × 3 y 18 = 2 × 3 × 3, así que comparten un 2 y un 3) es

MCD de 12 y 18 \(=\) producto de los factores primos comunes (2 y 3)

\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(\mathrm{mcd}(12,\ 18) = 2 \times 3 = 6\)

La idea clave

Los factores primos de un número entero son los primos que salen al descomponerlo en un producto formado solo por primos. Si el mismo primo aparece varias veces en los dos números, se usa tantas veces como aparezca en el número que lo tiene menos veces. Por ejemplo, 8 = 2 × 2 × 2 y 12 = 2 × 2 × 3: el 2 aparece 3 veces en 8 y 2 veces en 12, así que comparten el 2 dos veces. Por tanto, \(\mathrm{mcd}(8, 12) = 2 \times 2 = 4\).

El algoritmo de Euclides (el método para números grandes)

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{mcd}(a,\ b)\) \(=\) \(\mathrm{mcd}(b,\ a \bmod b)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(\mathrm{mcd}(a, b)\): MCD de \(a\) y \(b\) \(=\) ① MCD del «número menor \(b\)» y del «resto de \(a \div b\)»

La fórmula en palabras

① Divide el número mayor entre el menor y sustituye la pareja por la pareja formada por el número menor \(b\) y el resto \(a \bmod b\)

② y el \(\mathrm{mcd}(a, b)\): máximo común divisor no cambia. Los números se van haciendo más pequeños y, cuando el resto llega a 0, el número entre el que dividiste es el MCD

Un ejemplo sencillo

El MCD de 48 y 18 (48 ÷ 18 = 2, resto 12) es

MCD de 48 y 18 \(=\) MCD de «18» y «resto 12»

\(48 = 18 \times 2 + 12\)

\(18 = 12 \times 1 + 6\)

\(12 = 6 \times 2 + 0\)

\(\mathrm{mcd}(48,\ 18) = 6\)

La idea clave

La descomposición en factores primos se vuelve muy difícil de golpe cuando los números crecen (prueba a descomponer un número como 134.221: en realidad es 79 × 1699). Con el algoritmo de Euclides solo repites «dividir y quedarte con el resto», y siempre llegas al MCD, por grandes que sean los números. El método aparece en los «Elementos» de Euclides, hacia el siglo III a. C., y suele considerarse el algoritmo más antiguo del mundo.

MCD de 3 o más números

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{mcd}(a,\ b,\ c)\) \(=\) \(\mathrm{mcd}(\) \(\mathrm{mcd}(a,\ b)\) \(,\) \(c\) \()\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(\mathrm{mcd}(a, b, c)\): MCD de los tres números \(=\) \(\mathrm{mcd}(\) ① MCD de \(a\) y \(b\), calculado primero \(,\) ② \(c\): el número que queda \()\)

La fórmula en palabras

① Primero calcula el \(\mathrm{mcd}(a, b)\): MCD de dos de los números

② después calcula el MCD de ese resultado y el \(c\): el número que queda

③ para obtener el \(\mathrm{mcd}(a, b, c)\): MCD de los tres números

Un ejemplo sencillo

El MCD de 16, 88 y 104 (primero, el MCD de 16 y 88 es 8) es

MCD de 16, 88 y 104 \(=\) \(\mathrm{mcd}(\) MCD de 16 y 88 (8) \(,\) número que queda (104) \()\)

\(\mathrm{mcd}(16,\ 88) = 8\)

\(\mathrm{mcd}(8,\ 104) = 8\)

\(\mathrm{mcd}(16,\ 88,\ 104) = 8\)

La idea clave

Da igual cuántos números enteros haya: si calculas el MCD de dos en dos, obtienes el MCD de todos. Funciona igual con 4 o más números, y cambiar el orden no cambia el resultado. La calculadora de esta página también va calculando de dos en dos, exactamente como en esta fórmula.

Relación entre el MCD y el MCM

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{mcd}(a,\ b)\) \(\times\) \(\mathrm{mcm}(a,\ b)\) \(=\) \(a \times b\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(\mathrm{mcd}(a, b)\): máximo común divisor \(\times\) ② \(\mathrm{mcm}(a, b)\): mínimo común múltiplo \(=\) ③ \(a \times b\): producto de los dos números

La fórmula en palabras

① Multiplica el \(\mathrm{mcd}(a, b)\): máximo común divisor

② por el \(\mathrm{mcm}(a, b)\): mínimo común múltiplo

③ y siempre obtendrás el \(a \times b\): producto de los dos números

Un ejemplo sencillo

Con 12 y 18 (MCD 6, MCM 36):

MCD (6) \(\times\) MCM (36) \(=\) producto de los dos números (12 × 18)

\(6 \times 36 = 216\)

\(12 \times 18 = 216\)

La idea clave

Con esta relación, una vez que conoces el MCD puedes hallar el MCM como \(\mathrm{mcm}(a, b) = a \times b \div \mathrm{mcd}(a, b)\) (con números grandes es más fiable que escribir los múltiplos). Ten en cuenta que esta relación se cumple tal cual solo con dos números. Con 3 o más números no se cumple en general.

El máximo común divisor es el mayor número entero positivo que divide exactamente a todos los números. Con números pequeños, multiplica los factores primos que comparten. Con números grandes, usa el algoritmo de Euclides, que va sustituyendo la pareja por el resto.

Símbolos y términos

Símbolos

\(\mathrm{mcd}(a, b)\)	eme ce de de a y b	El máximo común divisor de \(a\) y \(b\). Son las iniciales de «máximo común divisor» y también se escribe MCD o m. c. d. En el ámbito internacional se usa gcd (del inglés «greatest common divisor») o GCF («greatest common factor»), que es exactamente lo mismo.
\(a \bmod b\)	a módulo b	El resto de dividir \(a\) entre \(b\). (Ejemplo: \(48 \bmod 18 = 12\), porque 48 ÷ 18 = 2, resto 12)
\(\mathrm{mcm}(a, b)\)	eme ce eme de a y b	El mínimo común múltiplo de \(a\) y \(b\), formado con las iniciales de «mínimo común múltiplo». (Ejemplo: \(\mathrm{mcm}(12, 18) = 36\))
\(p_1, p_2, \ldots\)	p subíndice 1, p subíndice 2, y así sucesivamente	Los factores primos comunes escritos en orden. Los números pequeños bajados (los subíndices) solo indican el primero, el segundo y así sucesivamente. No se usan en el cálculo.
\(\cdots\)	puntos suspensivos	Un símbolo que significa «y así sucesivamente, con la misma pauta». Aquí indica que los factores primos se multiplican del mismo modo, sean los que sean.

Términos

divisor	Un número entero positivo que divide exactamente a otro. El 12 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
divisor común	Un divisor que comparten dos o más números enteros. Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6. Todo divisor común es un divisor del máximo común divisor (aquí, 6).
máximo común divisor (MCD)	El mayor de los divisores comunes. En las escuelas de España se llama máximo común divisor (MCD). En matemáticas y programación de ámbito internacional se le llama GCD (del inglés «greatest common divisor») o GCF («greatest common factor»). Son el mismo número.
número primo	Un número entero mayor o igual que 2 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … El 1 no es un número primo.
descomposición en factores primos	Escribir un número entero como un producto formado solo por números primos. (Ejemplo: \(12 = 2 \times 2 \times 3\)) Cada primo que se usa se llama factor primo.
primos entre sí (coprimos)	Dos números enteros son primos entre sí cuando su MCD es 1 (su único divisor común es el 1). Como 17 y 13, no tienen ningún factor primo en común. También se dice que son coprimos.
algoritmo de Euclides	Un método para hallar el MCD que repite «divide el número mayor entre el menor y sustituye la pareja por el número menor y el resto». Se estudia en Bachillerato y en los estudios universitarios de matemáticas e informática. Se conoce desde la Antigüedad y suele llamarse el algoritmo más antiguo del mundo.
mínimo común múltiplo (MCM)	El menor número entero positivo que es múltiplo de dos o más números enteros. Se usa para reducir fracciones a común denominador. Con dos números se cumple \(\mathrm{mcd}(a, b) \times \mathrm{mcm}(a, b) = a \times b\).

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiendo lo que hace, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

Tablas de multiplicar y divisiones con resto (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber distinguir «es una división exacta» de «sobra un resto» Saber hacer divisiones con resto, como 48 ÷ 18 = 2, resto 12
Divisores y divisores comunes (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber escribir todos los divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Saber encontrar los divisores que comparten dos números (divisores comunes)
Simplificación de fracciones (5.º de Primaria, 10-11 años)	Saber que dividir el numerador y el denominador entre el mismo número no cambia el valor de la fracción
Números primos y descomposición en factores primos (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber reconocer los números primos (los que no tienen más divisores que 1 y ellos mismos) Saber descomponer un número entero en un producto de primos, como en \(12 = 2 \times 2 \times 3\)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el MCD de dos números

Primer número a	12
Segundo número b	18
MCD mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)

Tabla para hallar el MCD de 3 o más números

Número 1	16
Número 2	88
Número 3	104
MCD	=M.C.D(B1:B3)

Tabla para comprobar el algoritmo de Euclides

Número mayor a	48
Número menor b	18
Resto de a ÷ b (a mod b)	=RESIDUO(B1;B2)
mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)
mcd(b, resto) (coincide con el anterior)	=M.C.D(B2;B3)

Tabla para comprobar que MCD × MCM = producto de los dos números

Primer número a	12
Segundo número b	18
MCD mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)
MCM mcm(a, b)	=M.C.M(B1;B2)
mcd × mcm	=B3*B4
a × b (coincide con el anterior)	=B1*B2

Excel trae de serie la función M.C.D para el máximo común divisor. «=M.C.D(B1;B2)» da el MCD de los valores de B1 y B2, así que la primera tabla muestra 6 en B3.
Con un rango, como «=M.C.D(B1:B3)» en la segunda tabla, puedes hallar el MCD de 3 o más números a la vez (B4 muestra 8).
La tercera tabla comprueba el algoritmo de Euclides. Con la función RESIDUO (el resto) puedes confirmar que mcd(a, b) y mcd(b, resto) son el mismo valor (los dos son 6).
En la cuarta tabla, mcd × mcm y a × b dan 216, lo que confirma la relación con el MCM. Solo tienes que sustituir los números de entrada por los tuyos.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el MCD de dos números

Primer número a	12
Segundo número b	18
MCD mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)

Tabla para hallar el MCD de 3 o más números

Número 1	16
Número 2	88
Número 3	104
MCD	=M.C.D(B1:B3)

Tabla para comprobar el algoritmo de Euclides

Número mayor a	48
Número menor b	18
Resto de a ÷ b (a mod b)	=RESIDUO(B1;B2)
mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)
mcd(b, resto) (coincide con el anterior)	=M.C.D(B2;B3)

Tabla para comprobar que MCD × MCM = producto de los dos números

Primer número a	12
Segundo número b	18
MCD mcd(a, b)	=M.C.D(B1;B2)
MCM mcm(a, b)	=M.C.M(B1;B2)
mcd × mcm	=B3*B4
a × b (coincide con el anterior)	=B1*B2

Hojas de cálculo de Google tiene las funciones M.C.D, M.C.M y RESIDUO con los mismos nombres que Excel, así que sirven las mismas fórmulas.
Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números de entrada por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

from math import gcd
from functools import reduce

numbers = [330, 75, 450, 225]  # números enteros cuyo MCD se calcula (cualquier cantidad)

greatest_common_divisor = reduce(gcd, numbers)  # aplica gcd de dos en dos desde el principio

print(f"MCD de {numbers}: {greatest_common_divisor}")

Funciona solo con la biblioteca estándar. math.gcd halla el MCD de dos números enteros y reduce se encarga de la parte de «dos en dos». Sustituye la lista de arriba por tus números y ejecuta el código (este ejemplo muestra 15).

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Con la descomposición en factores primos (el método básico)

mcd(a, b) = p₁ × p₂ × ⋯

\mathrm{mcd}(a, b) = p_1 \times p_2 \times \cdots

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
  </mrow>
</math>

mcd(a, b) = p_1 xx p_2 xx cdots

GCD[a, b]

igcd(a, b);

g = gcd(a, b);

mcd(a, b) = p_1 × p_2 × ⋯

El algoritmo de Euclides (el método para números grandes)

mcd(a, b) = mcd(b, a mod b)

\mathrm{mcd}(a, b) = \mathrm{mcd}(b,\ a \bmod b)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>b</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

mcd(a, b) = mcd(b, a mod b)

GCD[a, b] == GCD[b, Mod[a, b]]

igcd(a, b) = igcd(b, a mod b);

gcd(a, b) == gcd(b, mod(a, b))

mcd(a, b) = mcd(b, a mod b)

MCD de 3 o más números

mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c)

\mathrm{mcd}(a, b, c) = \mathrm{mcd}(\mathrm{mcd}(a, b),\ c)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>,</mo><mi>c</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c)

GCD[a, b, c]

igcd(igcd(a, b), c);

g = gcd(gcd(a, b), c);

mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c)

Relación entre el MCD y el MCM

mcd(a, b) × mcm(a, b) = a × b

\mathrm{mcd}(a, b) \times \mathrm{mcm}(a, b) = a \times b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>mcd</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>mcm</mi>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

mcd(a, b) xx mcm(a, b) = a xx b

GCD[a, b]*LCM[a, b] == a*b

igcd(a, b)*ilcm(a, b) = a*b;

gcd(a, b)*lcm(a, b) == a*b

mcd(a, b) × mcm(a, b) = a × b

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo con números enteros. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Para los cuatro números enteros 330, 75, 450 y 225, halla cada uno de los siguientes valores:
1. El máximo común divisor (MCD) de los cuatro números
2. La descomposición en factores primos de cada número
3. Los factores primos que comparten los cuatro números

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula