Elige lo que buscas y luego introduce el grosor, el fondo y la luz (distancia entre apoyos) de la balda, el material y la carga. Al elegir un material se proponen un módulo de elasticidad y una tensión admisible habituales, que puedes modificar. Para un cálculo a la inversa, indica la flecha admisible (en mm o en la forma L/n).
mm
mm
mm
kg
veces
Valores del material (propuestos según el material; modificables)
GPa
N/mm²
El resultado es una estimación sacada de las fórmulas básicas de una tabla uniforme apoyada en sus dos extremos. La rigidez y la resistencia varían según el producto, la clase, los nudos y la humedad, y no se tiene en cuenta la resistencia de las uniones ni de los soportes. Para estantes que llevan objetos pesados, sobre los que alguien podría subirse, o para un uso estructural, consulta las características del fabricante o a un profesional cualificado.
Resultado y figura
Introduce a la izquierda el grosor, el fondo y la luz (distancia entre apoyos) de la balda, el material y la carga, y pulsa «Calcular». Aquí aparecen la flecha máxima (en mm), la flecha relativa (L/δ), la comparación con las referencias prácticas, la tensión de flexión (orientativa) y un dibujo exagerado de la balda flexionada.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Momento de inercia y módulo resistente (la resistencia de la sección de la balda a la flexión)
-
Flecha máxima (carga repartida de manera uniforme = carga repartida)
-
Flecha máxima (carga concentrada en el centro = carga puntual)
-
Flecha a largo plazo (fluencia) y flecha relativa L/δ
-
Cálculo a la inversa (luz máxima y carga máxima a partir de una flecha admisible)
-
Tensión de flexión (orientativa, una referencia para saber si el material se rompe)
-
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- A partir del grosor, del fondo, de la luz (distancia entre apoyos), del material y de la carga de una balda, obtienes la flecha máxima en mm y la flecha relativa (\(L/\delta\): cuántas veces contiene la luz a la flecha)
- Elige un material (cedro japonés, ciprés hinoki, pino o tablero alistonado de pino, roble, contrachapado, DM, aglomerado, vidrio, aluminio o acero) y se propone un módulo de elasticidad habitual (puedes modificarlo)
- Introduce la carga como «total en kg repartido», «kg por metro» o «kg en el centro», y elige los apoyos: «simplemente apoyada en soportes o escuadras (apoyos simples)» o «atornillada a los laterales o encajada en una ranura (extremos empotrados)»
- A partir de una flecha admisible, como «no más de 3 mm» o «no más de 1/300 de la luz», obtienes la luz máxima, la carga máxima o el grosor necesario
- Tiene en cuenta la fluencia (la madera que se flexiona más con el tiempo bajo una carga permanente) con un coeficiente, y muestra la tensión de flexión comparada con una tensión admisible habitual del material, a título orientativo
Esta calculadora asimila la balda a una tabla uniforme (una viga) apoyada en sus dos extremos y aplica las fórmulas básicas de la resistencia de materiales para calcular solo la flecha. El módulo de elasticidad y la tensión admisible son valores habituales que se citan a menudo, y varían mucho según el producto, la clase, los nudos y la humedad, incluso para un mismo material. La carga admisible (¿se rompe la balda?) es solo orientativa y no garantiza la seguridad. Para estantes que llevan objetos pesados, sobre los que alguien podría subirse, o para elementos estructurales de un edificio, consulta las características del fabricante o a un profesional cualificado.
¿Para qué sirve este cálculo?
Elegir el grosor de las baldas y la separación entre laterales de una estantería hecha en casa (bricolaje)
«Quiero hacer una estantería de 900 mm de ancho: ¿basta un tablero alistonado de 18 mm?» es un gran clásico. Contando 30 kg de libros por metro (una referencia prudente para una estantería que mezcla revistas y libros de arte), una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm de fondo, 18 mm de grosor y 860 mm de luz se flexiona aproximadamente 1,9 mm justo tras poner la carga, y aproximadamente 3,8 mm (\(L/224\)) con una fluencia de 2: supera la referencia de \(L/300\) y es posible que la flecha se note. Las cifras permiten juzgarlo.
Con un grosor de 25 mm, la flecha se multiplica por \((18/25)^3 \approx 0{,}37\); con un lateral intermedio que divida la luz entre dos, se divide entre 16. Puedes comparar, antes de fabricar, qué funciona mejor: una tabla más gruesa, un lateral más o un fondo reducido para llevar menos.
Comprobar que una balda comprada aguanta la carga prevista (almacenaje, mobiliario)
Las baldas de los muebles de montaje suelen ser de aglomerado o de DM, cuyo módulo de elasticidad es solo aproximadamente un tercio del de la madera con el mismo grosor. Una balda de aglomerado de 18 mm de grosor, 300 mm de fondo y 800 mm de luz cargada con 25 kg de archivadores y revistas se flexiona aproximadamente 4,5 mm justo tras poner la carga y aproximadamente 9 mm a largo plazo: motivo de sobra para poner los libros y la vajilla pesados en los estantes estrechos.
Si el fabricante indica una carga admisible («carga máxima por balda: … kg»), ese valor manda. Este cálculo sirve de referencia para los estantes sin indicación de carga, o cuando añades tú mismo una balda.
Elegir la separación de las escuadras de una balda de pared o de un estante de cocina (vivienda, reforma)
Cuando se fija una tabla a la pared con escuadras, la separación de las escuadras es la luz. Una balda de 1200 mm sujeta por dos escuadras tiene una luz de unos 1100 mm: con tablero alistonado de pino de 250 mm de fondo y 20 mm de grosor, 20 kg de vajilla dan una flecha de aproximadamente 2,3 mm justo tras poner la carga, y de aproximadamente 4,5 mm (\(L/243\)) con una fluencia de 2. Con tres escuadras que dividen la luz entre dos, la flecha se divide entre 16 para la misma disposición.
La carga admisible de las propias escuadras y la solidez de la pared (placa de yeso laminado o soporte macizo) no entran en este cálculo: compruébalas aparte, con las características de las escuadras y la naturaleza de la pared (tacos adecuados).
Estimar la flecha de un mueble de televisión o de un soporte de acuario con un objeto pesado en el medio (electrodomésticos, acuariofilia)
Un acuario de 60 cm pesa de 70 a 80 kg con el agua y la grava, y esa carga se concentra cerca del centro de la tapa. Con el mismo peso, una carga en el centro hace que se flexione 1,6 veces más que una carga repartida: calcular «en el centro» va del lado de la seguridad. El resultado cambia mucho según que la tapa sea de madera maciza gruesa o de tablero fino melaminado.
Para los objetos que no deben inclinarse, como un acuario o un televisor, se suele querer limitar la flecha a 1 o 2 mm: entonces resulta útil el modo que calcula el grosor necesario. Pero un acuario se coloca, en principio, sobre un mueble previsto para ello (estabilidad, riesgo de vuelco); este cálculo sigue siendo una referencia para diseñar un soporte hecho en casa.
Elegir la separación de los rastreles bajo las tablas de una tarima de madera (exterior, bricolaje)
Una tabla de tarima es una viga apoyada en los rastreles, cuya luz es la separación de los rastreles. Cuando una persona (60 kg) camina sobre tablas de pino de 27 × 145 mm colocadas sobre rastreles separados 600 mm, una parte de su peso actúa como una carga puntual sobre una tabla. Suponiendo 30 kg en el medio de una tabla, la flecha es de aproximadamente 0,6 mm; con una separación de 900 mm, se multiplica por \((900/600)^3 \approx 3{,}4\), es decir, aproximadamente 2,1 mm.
Las cifras muestran que acercar los rastreles es lo más eficaz para una tarima que no «haga de trampolín». En un suelo por el que se camina, la resistencia y la fijación (número de tornillos) cuentan tanto como la flecha: sigue las instrucciones de instalación del fabricante o el consejo de un profesional.
Comprobar que «la flecha es proporcional a la luz elevada a 4» (física en Bachillerato, estudios de ingeniería)
La fórmula de la flecha de una viga es una de las primeras que se aprenden en resistencia de materiales, en la línea de la ley de Hooke (proporcionalidad entre fuerza y alargamiento) aplicada a la flexión. Que la luz cuente elevada a 4 y el grosor al cubo, esa «diferencia de efecto de las potencias», se encuentra en el diseño de puentes, edificios y piezas mecánicas.
Al comprobar con cifras en una estantería corriente que «separar los laterales un 10 % aumenta la flecha aproximadamente un 50 % (\(1{,}1^4 \approx 1{,}46\))» y que «una tabla un 10 % más gruesa reduce la flecha aproximadamente un 25 % (\(1 \div 1{,}1^3 \approx 0{,}75\))», se entiende por qué las vigas de los puentes tienen una sección alta y por qué las baldas largas llevan un apoyo en el medio.
Fórmulas y figuras
Momento de inercia y módulo resistente (la resistencia de la sección de la balda a la flexión)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(I\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h^{3}\)
\(\div\ 12\)
\(Z\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h^{2}\)
\(\div\ 6\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(=\)
①
\(b\): fondo de la balda (mm)
\(\times\)
②
\(h^3\): grosor \(h\) al cubo
\(\div\ 12\)
⑤
\(Z\): módulo resistente (mm³)
\(=\)
\(b\): fondo de la balda (mm)
\(\times\)
④
\(h^2\): grosor \(h\) al cuadrado
\(\div\ 6\)
La fórmula en palabras
①
Se multiplica el
\(b\): fondo de la balda
por el
②
\(h^3\): grosor al cubo
y se divide entre 12 para obtener el
③
\(I\): momento de inercia
(se usa para la flecha)
④
Se multiplica el mismo fondo por el
\(h^2\): grosor al cuadrado
y se divide entre 6 para obtener el
⑤
\(Z\): módulo resistente
(se usa para la tensión de flexión)
Un ejemplo sencillo
Para una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm de fondo y 18 mm de grosor, el momento de inercia y el módulo resistente valen
\(I\): momento de inercia
\(=\)
fondo (250 mm)
\(\times\)
grosor (18 mm) al cubo
\(\div\ 12\)
\(Z\): módulo resistente
\(=\)
fondo (250 mm)
\(\times\)
grosor (18 mm) al cuadrado
\(\div\ 6\)
\(I = \dfrac{250 \times 18^{3}}{12} = \dfrac{250 \times 5832}{12} = 121{.}500\ (\mathrm{mm^4})\)
\(Z = \dfrac{250 \times 18^{2}}{6} = \dfrac{250 \times 324}{6} = 13{.}500\ (\mathrm{mm^3})\)
La idea clave
Cuando una tabla se flexiona, su cara superior se comprime, su cara inferior se tracciona, y la capa del medio (el eje neutro) ni se alarga ni se acorta. Cuanto más lejos del eje neutro está una parte de la tabla, más se alarga o se acorta, y más resiste a la flexión. Lo que decide la resistencia a la flexión es, por tanto, la cantidad de material de la sección y su distancia al eje neutro. El momento de inercia \(I\) lo resume en un solo número. Para una sección rectangular, \(I = \dfrac{b h^3}{12}\).
Lo importante es que el grosor \(h\) cuenta al cubo. Pasar de 18 mm a 25 mm multiplica \(I\) por \(\left(\dfrac{25}{18}\right)^3 \approx 2{,}7\): la flecha pasa a ser aproximadamente 1/2,7. El fondo \(b\) solo cuenta una vez: duplicar el fondo solo divide la flecha entre dos (y una balda más profunda suele llevar el doble, así que al final no cambia gran cosa).
El módulo resistente \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) sirve para calcular la tensión de flexión (la fuerza en la superficie del material). Es \(I\) dividido entre la distancia del eje neutro a la superficie, \(\dfrac{h}{2}\) (\(\dfrac{b h^3}{12} \div \dfrac{h}{2} = \dfrac{b h^2}{6}\)).
Flecha máxima (carga repartida de manera uniforme = carga repartida)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\delta\)
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{4}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\delta\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{384}\)
\(\times\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{4}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(\delta\): flecha máxima (mm), apoyos simples
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
①
\(w\): carga por mm (N/mm)
\(\times\)
②
\(L^4\): luz \(L\) elevada a 4
\(\div\)
③
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\div\)
④
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(\delta\): flecha máxima (mm), extremos empotrados
\(=\)
\(\dfrac{1}{384}\)
\(\times\)
\(w\): carga por mm (N/mm)
\(\times\)
\(L^4\): luz \(L\) elevada a 4
\(\div\)
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\div\)
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
La fórmula en palabras
①
Se toma la
\(w\): carga por mm
(la carga total \(W\) dividida entre la luz \(L\); los kg se multiplican por 9,80665 para obtener N),
②
se multiplica por la
\(L^4\): luz elevada a 4
y por \(\dfrac{5}{384}\) en apoyos simples (\(\dfrac{1}{384}\) con extremos empotrados),
③
se divide entre el
\(E\): módulo de elasticidad
④
y entre el
\(I\): momento de inercia
para obtener la
⑤
\(\delta\): flecha máxima
(el descenso del centro de la balda)
Un ejemplo sencillo
Una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm de fondo y 18 mm de grosor (\(I = 121{.}500\) mm⁴, módulo de elasticidad 9 GPa = 9000 N/mm²) se apoya en unos apoyos separados 900 mm, con 30 kg de libros repartidos encima (\(30 \times 9{,}80665 \div 900 \approx 0{,}3269\) N por mm). La flecha máxima es
\(\delta\): flecha máxima (apoyos simples)
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
carga por mm (0,3269 N/mm)
\(\times\)
luz (900 mm) elevada a 4
\(\div\)
módulo de elasticidad (9000 N/mm²)
\(\div\)
momento de inercia (121.500 mm⁴)
\(\delta = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 900^{4}}{384 \times 9000 \times 121{.}500} = \dfrac{5 \times 0{,}3269 \times 6{,}561 \times 10^{11}}{4{,}199 \times 10^{11}} \approx 2{,}55\ (\mathrm{mm})\)
\(\text{Con extremos empotrados: } \delta \approx 2{,}55 \times \dfrac{1}{5} \approx 0{,}51\ (\mathrm{mm})\)
La idea clave
Es la fórmula conocida de la flecha máxima de una viga en apoyos simples bajo carga repartida, en resistencia de materiales. Se aplica tal cual a las baldas, a las tablas de suelo, a las vigas de un puente y a cualquier elemento sujeto por sus dos extremos y cargado transversalmente. El numerador es «intensidad de la carga × luz elevada a 4», y el denominador «rigidez del material (módulo de elasticidad) × resistencia de la sección a la flexión (momento de inercia)». La fórmula traduce lo evidente: cuanto más pesado y largo, más se flexiona; cuanto más rígido y grueso, menos.
Lo importante es que cada elemento cuenta de forma distinta. La luz \(L\) va elevada a 4: alargar la luz un 10 % multiplica la flecha por \(1{,}1^4 \approx 1{,}46\), y un 20 % por \(1{,}2^4 \approx 2{,}07\). El grosor \(h\) cuenta al cubo en \(I\): una tabla un 10 % más gruesa se flexiona \(1{,}1^3 \approx 1{,}33\) veces menos. «Si una balda se flexiona, añade un apoyo en el medio para acortar la luz, o usa una tabla más gruesa» se deduce de esa potencia 4 y de ese cubo.
Con extremos empotrados (atornillada a los laterales o en una ranura), los extremos no pueden girar: la flecha baja a \(\dfrac{1}{5}\) de la de los apoyos simples. Pero una balda real nunca está perfectamente empotrada y se sitúa entre los dos casos. Para quedarte del lado de la seguridad, es razonable calcular con apoyos simples.
La carga \(w\) se expresa «en N por mm». Si la carga total sobre la balda es \(W\) (N), entonces \(w = W \div L\), y la fórmula se escribe también \(\delta = \dfrac{5 W L^3}{384 E I}\) (la potencia 4 pasa a ser un cubo). Esta página multiplica por 9,80665 el peso introducido en kg para convertirlo en newtons, y pasa el módulo de elasticidad de GPa a N/mm² (× 1000), para que las unidades concuerden.
Flecha máxima (carga concentrada en el centro = carga puntual)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\delta\)
\(=\)
\(P\)
\(\times\)
\(L^{3}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\div\ 48\)
\(\delta\)
\(=\)
\(P\)
\(\times\)
\(L^{3}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\div\ 192\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(\delta\): flecha máxima (mm), apoyos simples
\(=\)
①
\(P\): carga puntual en el centro (N)
\(\times\)
②
\(L^3\): luz \(L\) al cubo
\(\div\)
③
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\div\)
④
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(\div\ 48\)
\(\delta\): flecha máxima (mm), extremos empotrados
\(=\)
\(P\): carga puntual en el centro (N)
\(\times\)
\(L^3\): luz \(L\) al cubo
\(\div\)
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\div\)
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(\div\ 192\)
La fórmula en palabras
①
Se multiplica la
\(P\): carga puntual en el centro
(los kg se multiplican por 9,80665 para obtener N) por la
②
\(L^3\): luz al cubo
,
③
se divide entre el
\(E\): módulo de elasticidad
④
y entre el
\(I\): momento de inercia
, y luego entre 48 en apoyos simples (192 con extremos empotrados) para obtener la
⑤
\(\delta\): flecha máxima
(el descenso del centro, justo bajo la carga)
Un ejemplo sencillo
Una balda de roble de 300 mm de fondo y 25 mm de grosor (\(I = 390{.}625\) mm⁴, módulo de elasticidad 11 GPa = 11.000 N/mm²) tiene una luz de 800 mm, con un objeto de 20 kg (= 196,1 N) colocado en el medio. La flecha máxima es
\(\delta\): flecha máxima (apoyos simples)
\(=\)
carga puntual (196,1 N)
\(\times\)
luz (800 mm) al cubo
\(\div\)
módulo de elasticidad (11.000 N/mm²)
\(\div\)
momento de inercia (390.625 mm⁴)
\(\div\ 48\)
\(\delta = \dfrac{196{,}1 \times 800^{3}}{48 \times 11{.}000 \times 390{.}625} = \dfrac{196{,}1 \times 5{,}12 \times 10^{8}}{2{,}0625 \times 10^{11}} \approx 0{,}49\ (\mathrm{mm})\)
\(\text{Con extremos empotrados: } \delta \approx 0{,}49 \times \dfrac{1}{4} \approx 0{,}12\ (\mathrm{mm})\)
La idea clave
Es la fórmula de la flecha máxima de una viga en apoyos simples con una carga puntual en el centro. Respecto a la fórmula de la carga repartida, la luz va al cubo en lugar de elevada a 4, porque la carga se da como una fuerza total y no «por mm» (una carga repartida escrita con su total \(W\) también va al cubo: \(\dfrac{5 W L^3}{384 E I}\)).
Con el mismo peso total, una carga en el centro hace que la balda se flexione \(\dfrac{1/48}{5/384} = \dfrac{384}{240} = 1{,}6\) veces más que el mismo peso repartido. Conviene recordarlo: un solo objeto pesado, como un televisor o un acuario, en el medio de una balda la flexiona un 60 % más que unos libros del mismo peso. En cambio, desplazar un objeto pesado hacia un extremo (cerca de un apoyo) reduce mucho la flecha.
Con extremos empotrados, el 48 pasa a ser 192: la flecha es \(\dfrac{1}{4}\) de la de los apoyos simples. Es algo distinto del \(\dfrac{1}{5}\) de la carga repartida.
Flecha a largo plazo (fluencia) y flecha relativa L/δ
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\delta_{\text{lp}}\)
\(=\)
\(k_c\)
\(\times\)
\(\delta_0\)
\(n\)
\(=\)
\(L\)
\(\div\)
\(\delta_{\text{lp}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\delta_{\text{lp}}\): flecha a largo plazo (mm)
\(=\)
②
\(k_c\): coeficiente de fluencia
\(\times\)
①
\(\delta_0\): flecha justo tras poner la carga (mm)
⑤
\(n\): denominador de la flecha relativa (la \(n\) de \(L/n\))
\(=\)
④
\(L\): luz (mm)
\(\div\)
\(\delta_{\text{lp}}\): flecha a largo plazo (mm)
La fórmula en palabras
①
Se multiplica la
\(\delta_0\): flecha justo tras poner la carga
por el
②
\(k_c\): coeficiente de fluencia
(se cuenta a menudo de 1,5 a 2 para la madera) para obtener la
③
\(\delta_{\text{lp}}\): flecha a largo plazo
④
Se divide la
\(L\): luz
entre la flecha a largo plazo para obtener el
⑤
\(n\): denominador de la flecha relativa
. Se lee «la flecha es 1/\(n\) de la luz» (cuanto mayor es \(n\), menor es la flecha)
Un ejemplo sencillo
Una balda de contrachapado de 22 mm (300 mm de fondo, E = 7 GPa) con una luz de 1200 mm lleva 30 kg de libros por metro; su flecha justo tras poner la carga es de 4,26 mm. Con un coeficiente de fluencia de 2:
flecha a largo plazo
\(=\)
coeficiente de fluencia (2)
\(\times\)
flecha justo tras poner la carga (4,26 mm)
\(n\): denominador de la flecha relativa
\(=\)
luz (1200 mm)
\(\div\)
flecha a largo plazo (8,53 mm)
\(\delta_{\text{lp}} = 2 \times 4{,}263 \approx 8{,}53\ (\mathrm{mm})\)
\(n = 1200 \div 8{,}526 \approx 141 \quad \Rightarrow \quad \text{la flecha es } 1/141 \text{ de la luz}\)
La idea clave
La madera y los tableros de madera (contrachapado, DM, aglomerado) siguen flexionándose lentamente con el tiempo cuando la carga permanece puesta (fluencia). Para una balda cargada durante años, como en una estantería, se considera a menudo que la flecha alcanza de 1,5 a 2 veces su valor inicial, y más en un lugar húmedo o con aglomerado. Esta calculadora estima la flecha a largo plazo multiplicándola por el coeficiente de fluencia \(k_c\) (por defecto 1, el valor justo tras poner la carga; la fluencia es despreciable en el acero y el vidrio).
Si solo se mira «cuántos mm», las baldas largas parecen siempre peores. Por eso se usa a menudo la flecha relativa \(L/\delta\), «cuánto respecto a la luz». Las referencias prácticas que se citan habitualmente son \(L/300\) (1/300 de la luz) como máximo para una flecha que apenas se nota, y hasta aproximadamente \(L/200\) para ciertos usos. Una referencia absoluta como «3 mm como máximo» se usa a menudo en paralelo. Son referencias de experiencia ligadas al aspecto y a la comodidad de uso, no normas de seguridad. En esta calculadora, «Comparación con las referencias prácticas» contrasta la flecha a largo plazo con \(L/300\), \(L/200\) y 3 mm.
Cálculo a la inversa (luz máxima y carga máxima a partir de una flecha admisible)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(L_{\max}^{4}\)
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\)
\(\times\)
\(I\)
\(\times\)
\(\delta_a\)
\(\div\)
\(w\)
\(\div\)
\(k_c\)
\(w_{\max}\)
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\)
\(\times\)
\(I\)
\(\times\)
\(\delta_a\)
\(\div\)
\(k_c\)
\(\div\)
\(L^{4}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(L_{\max}^{4}\): luz máxima elevada a 4
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\times\)
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(\times\)
①
\(\delta_a\): flecha admisible (mm)
\(\div\)
②
\(w\): carga por mm (N/mm)
\(\div\)
③
\(k_c\): coeficiente de fluencia
⑥
\(w_{\max}\): carga máxima (N/mm)
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\): módulo de elasticidad (N/mm²)
\(\times\)
\(I\): momento de inercia (mm⁴)
\(\times\)
\(\delta_a\): flecha admisible (mm)
\(\div\)
\(k_c\): coeficiente de fluencia
\(\div\)
⑤
\(L^4\): luz \(L\) elevada a 4
La fórmula en palabras
①
Se multiplica la
\(\delta_a\): flecha admisible
por el módulo de elasticidad \(E\), el momento de inercia \(I\) y \(\dfrac{384}{5}\). Todo se divide entre la
②
\(w\): carga por mm
y entre el
③
\(k_c\): coeficiente de fluencia
para obtener la
④
\(L_{\max}^{4}\): luz máxima elevada a 4
(en carga repartida y apoyos simples; la raíz cuarta da la luz máxima \(L_{\max}\))
⑤
Se divide el mismo numerador entre el coeficiente de fluencia y entre la
\(L^4\): luz elevada a 4
para obtener la
⑥
\(w_{\max}\): carga máxima
(en N por mm; multiplicada por 1000 y dividida entre 9,80665, da kg/m)
Un ejemplo sencillo
Unos libros de 25 kg por metro (\(25 \times 9{,}80665 \div 1000 \approx 0{,}2452\) N por mm) se colocan en una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm × 18 mm (\(I = 121{.}500\) mm⁴, 9000 N/mm²), y quieres una flecha de 3 mm como máximo. La luz máxima (coeficiente de fluencia 1) y la carga máxima para una luz de 900 mm son
\(L_{\max}^{4}\): luz máxima elevada a 4
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
módulo de elasticidad (9000)
\(\times\)
momento de inercia (121.500)
\(\times\)
flecha admisible (3 mm)
\(\div\)
carga (0,2452 N/mm)
\(\div\)
coeficiente de fluencia (1)
\(L_{\max} = \sqrt[4]{\dfrac{384 \times 9000 \times 121{.}500 \times 3}{5 \times 0{,}2452 \times 1}} = \sqrt[4]{\dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{1{,}226}} \approx \sqrt[4]{1{,}0275 \times 10^{12}} \approx 1006{,}8\ (\mathrm{mm})\)
\(w_{\max} = \dfrac{384 \times 9000 \times 121{.}500 \times 3}{5 \times 1 \times 900^{4}} = \dfrac{1{,}2597 \times 10^{12}}{3{,}2805 \times 10^{12}} \approx 0{,}384\ (\mathrm{N/mm}) \quad \Rightarrow \quad 0{,}384 \times 1000 \div 9{,}80665 \approx 39{,}16\ (\mathrm{kg/m})\)
La idea clave
Solo se despeja la fórmula de la flecha \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I} \times k_c\) respecto a la magnitud buscada. La condición «flecha como máximo \(\delta_a\)» se escribe como \(\delta_a = \) (miembro de la derecha), y luego se despeja \(L\) para la luz máxima, o \(w\) para la carga máxima. Para el grosor, se calcula primero el momento de inercia necesario \(I_{\text{necesario}} = \dfrac{5 w L^4 k_c}{384 E \delta_a}\), y luego se despeja \(h\) en \(I = \dfrac{b h^3}{12}\): \(h_{\min} = \sqrt[3]{\dfrac{12 I_{\text{necesario}}}{b}}\) es el grosor necesario.
Para una carga puntual o unos extremos empotrados, el procedimiento es el mismo; solo cambian el coeficiente (\(\dfrac{5}{384}\) pasa a ser \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) o \(\dfrac{1}{192}\)) y la potencia de \(L\) (un cubo para una carga total o puntual). Esta calculadora se adapta automáticamente a tus elecciones.
Cuando la flecha admisible se da en la forma \(L/n\) (por ejemplo \(L/300\)), \(\delta_a\) aumenta a su vez con la luz: la fórmula de la luz máxima pasa de \(L^{4}\) a \(L^{3}\) (\(L_{\max} = \sqrt[3]{\dfrac{384 E I}{5 w k_c n}}\)).
Para quedarte del lado de la seguridad, los resultados se redondean hacia abajo (luz máxima al mm, carga máxima a la décima) o hacia arriba (grosor necesario a la décima de mm), y la flecha y la tensión se vuelven a calcular con esos valores (en el ejemplo, una luz máxima de 1006,8 mm → 1006 mm, y una carga máxima de 39,16 kg/m → 39,1 kg/m). Los tableros del comercio solo existen en ciertos grosores (12, 15, 18, 22, 25 mm, etc.): si el grosor necesario es 19,4 mm, se toma el grosor disponible inmediatamente superior, 22 mm o 25 mm.
Tensión de flexión (orientativa, una referencia para saber si el material se rompe)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(M\)
\(=\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{2}\)
\(\div\ 8\)
\(\sigma\)
\(=\)
\(M\)
\(\div\)
\(Z\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(M\): momento flector máximo (N·mm)
\(=\)
①
\(w\): carga por mm (N/mm)
\(\times\)
②
\(L^2\): luz \(L\) al cuadrado
\(\div\ 8\)
⑤
\(\sigma\): tensión de flexión (N/mm²)
\(=\)
\(M\): momento flector máximo (N·mm)
\(\div\)
④
\(Z = \dfrac{b h^2}{6}\): módulo resistente (mm³)
La fórmula en palabras
①
Se multiplica la
\(w\): carga por mm
por la
②
\(L^2\): luz al cuadrado
y se divide entre 8 (en carga repartida y apoyos simples) para obtener el
③
\(M\): momento flector máximo
(máximo en el centro de la balda)
④
Se divide entre el
\(Z\): módulo resistente
para obtener la
⑤
\(\sigma\): tensión de flexión
(la fuerza por unidad de superficie en las caras superior e inferior de la balda)
Un ejemplo sencillo
Para una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm × 18 mm (\(Z = 13{.}500\) mm³) con una luz de 900 mm, con 30 kg de libros repartidos (0,3269 N por mm), en apoyos simples, la tensión de flexión es
\(M\): momento flector máximo
\(=\)
carga (0,3269 N/mm)
\(\times\)
luz (900 mm) al cuadrado
\(\div\ 8\)
\(\sigma\): tensión de flexión
\(=\)
momento flector (33.097 N·mm)
\(\div\)
módulo resistente (13.500 mm³)
\(M = \dfrac{0{,}3269 \times 900^{2}}{8} = \dfrac{0{,}3269 \times 810{.}000}{8} \approx 33{.}097\ (\mathrm{N \cdot mm})\)
\(\sigma = \dfrac{33{.}097}{13{.}500} \approx 2{,}45\ (\mathrm{N/mm^2}) \quad \Rightarrow \quad \text{aproximadamente el } 27\,\% \text{ de la tensión admisible de } 9\ \mathrm{N/mm^2}\)
La idea clave
Flexionarse y romperse son dos cuestiones distintas. La flecha es cuestión de aspecto y de comodidad de uso; la rotura depende de la fuerza dentro del material (la tensión) respecto a su resistencia. En una viga, la tensión de flexión \(\sigma\), es decir, el momento flector \(M\) debido a la carga dividido entre el módulo resistente \(Z\), debe quedarse como mucho igual a la tensión admisible \(f_b\) del material. Esa es la referencia «no se rompe».
El momento flector máximo es \(\dfrac{w L^2}{8}\) (en el centro) con carga repartida sobre apoyos simples; \(\dfrac{w L^2}{12}\) (en los extremos) con carga repartida y extremos empotrados; \(\dfrac{P L}{4}\) (en el centro) para una carga puntual en el centro sobre apoyos simples; y \(\dfrac{P L}{8}\) (en los extremos) con extremos empotrados. Esta calculadora se adapta automáticamente a tus elecciones.
En una estantería corriente, la tensión de flexión suele quedarse en unos pocos N/mm², mientras que la tensión admisible de la madera ronda los 8 a 10 N/mm² bajo carga permanente. «Se flexiona demasiado para quedar bonita mucho antes de romperse» es, por tanto, el caso normal. Dicho de otro modo, una balda se dimensiona casi siempre por la flecha, y por eso esta página pone la flecha en primer plano. La tensión pasa a ser el problema con una carga pesada sobre una tabla fina, con un material poco resistente como el aglomerado, o con soportes que ceden primero (escuadras, tornillos que se arrancan).
Las tensiones admisibles indicadas aquí son valores habituales que se citan a menudo. La resistencia real varía mucho según la especie, la clase, los nudos, la humedad y el producto, y la resistencia de las uniones, como las escuadras, los soportes de balda y los tornillos, no entra en este cálculo. Esta indicación orientativa no garantiza la seguridad. Para estantes que llevan objetos pesados, sobre los que alguien podría subirse, o para elementos estructurales de un edificio, consulta las características del fabricante o a un profesional cualificado.
Una balda es una viga apoyada en sus dos extremos: su flecha máxima es carga × luz elevada a 4 (al cubo para una carga puntual) ÷ (módulo de elasticidad × momento de inercia), multiplicado por un coeficiente (\(\dfrac{5}{384}\), \(\dfrac{1}{384}\), \(\dfrac{1}{48}\) o \(\dfrac{1}{192}\)). El momento de inercia es fondo × grosor al cubo ÷ 12: para reducir la flecha, lo más eficaz es acortar la luz (cuenta elevada a 4) o engrosar la tabla (cuenta al cubo). Bajo una carga permanente, cuenta de 1,5 a 2 veces más por la fluencia, y toma como referencia práctica una flecha relativa de \(L/300\) a \(L/200\) o 3 mm. Para saber si se rompe, se compara la tensión de flexión \(M/Z\) con la tensión admisible, pero es solo un valor orientativo, no una garantía de seguridad.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(\delta\) | delta | La flecha máxima (mm). La letra griega delta \(\delta\) se usa a menudo para anotar un desplazamiento. En esta página, es el descenso del centro de la balda (también en el centro con extremos empotrados o con una carga puntual). \(\delta_0\) es la flecha justo tras poner la carga, \(\delta_{\text{lp}}\) la flecha a largo plazo con la fluencia, y \(\delta_a\) la flecha admisible (a de «admisible»). |
| \(w\) | w minúscula | La carga por mm (N/mm), la intensidad de una carga repartida. Viene de la palabra inglesa «weight» (peso). Es la carga total \(W\) sobre la balda dividida entre la luz \(L\). |
| \(W\) | W mayúscula | La carga total sobre la balda (N). El peso en kg se multiplica por 9,80665 para obtener N. La carga por mm es \(w = W \div L\). |
| \(P\) | P | La carga puntual en el centro (N). P es un símbolo habitual para una fuerza, usado para una carga o una carga puntual. |
| \(L\) | L | La luz (mm), de la inicial de «longitud»: la distancia entre los apoyos. Se toma la distancia entre las caras interiores de los laterales (o entre las escuadras), no el ancho exterior de la estantería. |
| \(E\) | E | El módulo de elasticidad (módulo de Young), de la palabra inglesa «elasticity». Indica la rigidez de un material. Se expresa en GPa (unos 9 GPa para el pino); en el cálculo, se pasa a N/mm² con \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\). |
| \(I\) | I | El momento de inercia (mm⁴), también llamado momento de inercia de la sección. Indica la resistencia de la forma de la sección a la flexión. Para un rectángulo, \(I = \dfrac{b h^3}{12}\). |
| \(b\) | b | El fondo de la balda (mm). Es el ancho de la sección de la viga (de la palabra inglesa «breadth»), la dimensión de delante a atrás de la balda. |
| \(h\) | h | El grosor de la balda (mm). Es la altura de la sección de la viga; cuenta al cubo en la flecha, así que es lo que más efecto tiene. \(h_{\min}\) es el grosor necesario para no pasar de la flecha admisible. |
| \(k_c\) | k sub c | El coeficiente de fluencia, c de «creep» (fluencia en inglés). Indica por cuánto se multiplica la flecha bajo una carga permanente. Por defecto 1 (la flecha justo tras poner la carga); para la madera y los tableros de madera, se cuenta a menudo de 1,5 a 2. |
| \(n\) | n | El denominador de la flecha relativa \(L/n\): la luz dividida entre la flecha. Se lee «la flecha es 1/\(n\) de la luz». Para \(L/300\), \(n = 300\). |
| \(M\) | M | El momento flector máximo (N·mm), de «momento». Indica con qué intensidad tiende la carga a doblar la tabla. Con carga repartida sobre apoyos simples, vale \(\dfrac{w L^2}{8}\) en el centro. |
| \(Z\) | Z | El módulo resistente (mm³), una característica de la sección que sirve para calcular la tensión de flexión. Para un rectángulo, \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) (también se anota \(W\) en España). |
| \(\sigma\) | sigma | La tensión de flexión (N/mm²). La letra griega sigma \(\sigma\) se usa para anotar una tensión (una fuerza por unidad de superficie). Se calcula con \(\sigma = M \div Z\) y se compara con la tensión admisible \(f_b\). |
| \(f_b\) | f sub b | La tensión admisible en flexión (N/mm²). f designa una resistencia o una tensión admisible, y el subíndice b viene de la palabra inglesa «bending» (flexión). Es el límite de tensión de flexión que se supone que un material soporta sin riesgo bajo una carga permanente: su resistencia de referencia dividida por un coeficiente de seguridad. |
| \(\mathrm{N}\) | newton | La unidad de fuerza. Un objeto de 1 kg es atraído hacia abajo con una fuerza de unos 9,80665 N (\(1\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\ \mathrm{N}\)). Esta página convierte internamente el peso introducido en kg a N. |
| \(\mathrm{N/mm^2}\) | newton por milímetro cuadrado | La unidad de las tensiones y del módulo de elasticidad: cuántos N se ejercen sobre 1 mm². \(1\ \mathrm{N/mm^2} = 1\ \mathrm{MPa}\) (megapascal). Para el módulo de elasticidad, \(1\ \mathrm{GPa} = 1000\ \mathrm{N/mm^2}\). |
| \(\approx\) | aproximadamente igual a | El signo «aproximadamente igual». Se usa cuando un valor que no es exacto se redondea a un número decimal. |
Términos
| flecha | Cuánto desciende una tabla o una barra respecto a su posición inicial cuando se ejerce una fuerza sobre ella de lado (en mm). El centro de una balda es lo que más desciende: la «flecha máxima» de esta página es el descenso del centro. Una flecha grande no es solo antiestética; también puede hacer que una balda se salga de sus soportes o que se atasque una puerta corredera. |
| viga | Un elemento largo, apoyado por ejemplo en sus dos extremos, que se flexiona bajo una carga transversal. Las baldas, los rastreles y viguetas, y las vigas de puentes y de edificios se calculan todas como vigas, y las fórmulas de esta página son las fórmulas básicas de la flecha de las vigas en resistencia de materiales. |
| luz | La distancia entre los apoyos (en mm). En una estantería, es la distancia entre las caras interiores de los laterales o entre las escuadras, no la longitud total de la tabla. La flecha es proporcional a la luz elevada a 4 (al cubo para una carga puntual): añadir un apoyo en el medio para dividir la luz entre dos divide la flecha entre 16. |
| carga repartida | Una carga repartida de manera uniforme por toda la tabla. Una estantería llena de libros o una balda cargada de vajilla se le acerca. Se expresa con la carga por mm \(w\) (N/mm). Si introduces el total \(W\) para toda la balda, se convierte con \(w = W \div L\). |
| carga puntual | Una carga en un solo punto, como un televisor o un acuario colocado solo en el medio de una balda. Con el mismo peso, da una flecha 1,6 veces mayor que una carga repartida. Acercar la carga a un apoyo reduce mucho la flecha. |
| apoyos simples | Una forma de sujetar en la que los dos extremos están simplemente apoyados y pueden girar libremente. Una balda regulable apoyada en escuadras o soportes de balda se le acerca, y se flexiona más que con extremos empotrados en las mismas condiciones. Si dudas, calcula así para quedarte del lado de la seguridad. |
| extremos empotrados | Una forma de sujetar en la que los dos extremos están bloqueados y no pueden girar. Una balda fija atornillada a los laterales o encajada en ranuras se le acerca: la flecha baja a 1/5 de la de los apoyos simples (1/4 para una carga puntual). Pero una balda real nunca está perfectamente empotrada y se sitúa entre los dos casos. |
| módulo de elasticidad | Un valor que indica la rigidez de un material, llamado también módulo de Young. Con la misma forma y la misma carga, un material con un módulo doble se flexiona la mitad. Valores que se citan habitualmente 7 a 12 GPa para la madera, 6 a 8 GPa para el contrachapado, 3 a 4 GPa para el DM, 2 a 3 GPa para el aglomerado, unos 70 GPa para el vidrio, unos 69 GPa para el aluminio y unos 200 GPa para el acero. En la madera, es muy distinto en el sentido de las fibras y en el transversal; esta página usa el valor en el sentido de la longitud de la balda (el sentido de las fibras). |
| momento de inercia | La resistencia de la forma de la sección a la flexión, en mm⁴. Para una sección rectangular, es fondo × grosor al cubo ÷ 12; se multiplica por 8 cuando el grosor se duplica. Con el mismo material, cuanto más «alta» es la sección, mayor es (por eso una tabla colocada de canto se dobla menos que plana). |
| módulo resistente | Una característica de la sección que sirve para calcular la tensión de flexión, en mm³. Es el momento de inercia dividido entre la distancia del eje neutro a la superficie (la mitad del grosor en un rectángulo); para una sección rectangular, es fondo × grosor al cuadrado ÷ 6. |
| eje neutro | Cuando una tabla se flexiona, su cara superior se comprime y la inferior se tracciona; entre las dos hay una capa que ni se alarga ni se acorta, el eje neutro (o fibra neutra). En una sección rectangular, está exactamente en el medio del grosor. Cuanto más lejos del eje neutro está una parte, más se alarga o se acorta, y más resiste a la flexión. |
| momento flector | La intensidad con la que una fuerza tiende a doblar la tabla (en N·mm). Es «fuerza × distancia al apoyo»; en una balda con carga repartida y apoyos simples, es máximo en el centro y vale \(\dfrac{w L^2}{8}\). Con extremos empotrados, es máximo en los extremos. |
| tensión de flexión | La fuerza por unidad de superficie que aparece en las caras (superior e inferior) del material a causa de la flexión (en N/mm²). Es momento flector ÷ módulo resistente; si no supera la tensión admisible del material, se considera que «no se rompe». |
| tensión admisible | Una referencia de la mayor tensión de flexión que se supone que un material soporta sin riesgo bajo una carga permanente (en N/mm²). Es la resistencia de referencia del material dividida por un coeficiente de seguridad; para la madera, se cita a menudo de 8 a 10 N/mm² bajo carga permanente. Varía mucho según la clase, los nudos, la humedad y el producto: el valor de esta página es orientativo y no garantiza la seguridad. |
| fluencia | Cuando una carga constante permanece puesta, la deformación sigue aumentando lentamente con el tiempo. Es marcada en los materiales derivados de la madera (madera, contrachapado, DM, aglomerado), cuya flecha a largo plazo alcanza a menudo de 1,5 a 2 veces la flecha inicial, y más si el aire es húmedo. En el acero y el vidrio, es despreciable a temperatura ambiente. |
| flecha relativa | La luz dividida entre la flecha (\(L/\delta\)): dice qué fracción de la luz representa la flecha. En la práctica, se cita a menudo que hasta \(L/300\) (1/300 de la luz) la flecha apenas se nota, y que \(L/200\) puede molestar según el uso. No es una norma de seguridad, sino una referencia de experiencia ligada al aspecto y a la comodidad de uso. |
| tablero alistonado | Un tablero hecho de pequeñas láminas de madera pegadas con las fibras en el mismo sentido. Es un clásico de las baldas que se venden en las tiendas de bricolaje, a menudo de pino. Se deforma menos que la madera maciza y su calidad es más regular, pero su módulo de elasticidad sigue siendo parecido al de la especie de origen. |
| MDF | Un tablero de fibras de madera aglomeradas con una resina, de la expresión inglesa Medium Density Fiberboard (tablero de fibras de densidad media), llamado en España DM o MDF. Su superficie es lisa y se trabaja con facilidad, pero su módulo de elasticidad es inferior a la mitad del de la madera (de 3 a 4 GPa): se flexiona con facilidad y su fluencia es más bien fuerte. Con el mismo grosor, se flexiona más que el tablero alistonado. |
| aglomerado | Un tablero de partículas (virutas) de madera aglomeradas con una resina, a menudo recubierto de un acabado de melamina en los muebles de montaje. Su módulo de elasticidad es bajo (de 2 a 3 GPa) y su resistencia también: está en desventaja tanto para la flecha como para la carga admisible. Sirve mal para baldas largas y libros pesados. |
| newton | La unidad de fuerza (N). Un objeto de 1 kg es atraído por la gravedad terrestre con una fuerza de unos 9,80665 N. Esta página multiplica por 9,80665 el peso introducido en kg para convertirlo en N y calcula con fuerzas. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, volver sobre estas nociones es el camino más corto.
| Potencias (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Proporcionalidad directa e inversa (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Expresiones algebraicas y transformación de igualdades (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Raíces cuadradas y raíces n-ésimas (3.º y 4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Notación científica y cálculos con números grandes (2.º a 4.º de ESO, 13-16 años) |
|
| Fuerzas, presión y ley de Hooke (Física y Química en ESO y Bachillerato) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para el momento de inercia y el módulo resistente
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Módulo resistente Z (mm³) | =B1*B2^2/6 |
Tabla para la flecha máxima (carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Luz L (mm) | 900 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 9 |
| Carga total W (kg) | 30 |
| Coeficiente de fluencia k_c | 1 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Carga por mm w (N/mm) | =B5*9,80665/B3 |
| Flecha máxima δ (mm) | =5*B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6 |
| Denominador n de la flecha relativa L/δ | =B3/B9 |
Tabla para la flecha máxima (carga puntual en el centro, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 300 |
| Grosor de la balda h (mm) | 25 |
| Luz L (mm) | 800 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 11 |
| Carga puntual en el centro P (kg) | 20 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Flecha máxima δ (mm) | =B5*9,80665*B3^3/(48*B4*1000*B6) |
Tabla para el cálculo a la inversa (luz máxima y carga máxima, carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 9 |
| Carga por metro w (kg/m) | 25 |
| Flecha admisible δa (mm) | 3 |
| Coeficiente de fluencia k_c | 1 |
| Luz L (mm, para la carga máxima) | 900 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Luz máxima L_max (mm) | =(384*B3*1000*B8*B5/(5*B4*9,80665/1000*B6))^(1/4) |
| Carga máxima w_max (kg/m) | =384*B3*1000*B8*B5/(5*B6*B7^4)*1000/9,80665 |
Tabla para la tensión de flexión (carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Luz L (mm) | 900 |
| Carga total W (kg) | 30 |
| Tensión admisible f_b (N/mm²) | 9 |
| Módulo resistente Z (mm³) | =B1*B2^2/6 |
| Momento flector máximo M (N·mm) | =B4*9,80665/B3*B3^2/8 |
| Tensión de flexión σ (N/mm²) | =B7/B6 |
| Parte de la tensión admisible (%) | =B8/B5*100 |
Al pegarla, las filas superiores de la columna B son tus datos y las filas inferiores se calculan automáticamente.
La primera tabla toma un fondo de 250 mm y un grosor de 18 mm: B3 vale 121.500 (mm⁴) y B4 13.500 (mm³). La segunda tabla es de tablero alistonado de pino (9 GPa), con una luz de 900 mm y 30 kg en total: B9 vale aproximadamente 2,55 (mm) y B10 aproximadamente 352 (la flecha es 1/352 de la luz). Para extremos empotrados, quita el «5*» de la fórmula de B9 para obtener «=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6».
La tercera tabla es de roble (11 GPa), con una luz de 800 mm y 20 kg en el medio: B7 vale aproximadamente 0,49 (mm). Para extremos empotrados, sustituye «48» por «192». La cuarta tabla toma una flecha admisible de 3 mm y 25 kg por metro: B9 vale aproximadamente 1006,8 (mm; la calculadora redondea a 1006 para quedarse del lado de la seguridad) y B10 aproximadamente 39,16 (kg/m; la calculadora redondea a la décima inferior, 39,1). La quinta tabla da la tensión de flexión: B8 vale aproximadamente 2,45 (N/mm²) y B9 aproximadamente 27 (%).
«^» es la potencia (B2^3 es el grosor al cubo), «*» la multiplicación y «/» la división. El módulo de elasticidad se introduce en GPa, y la fórmula lo multiplica por 1000 para pasarlo a N/mm². En Excel en español, el separador decimal es la coma (9,80665).
La primera tabla toma un fondo de 250 mm y un grosor de 18 mm: B3 vale 121.500 (mm⁴) y B4 13.500 (mm³). La segunda tabla es de tablero alistonado de pino (9 GPa), con una luz de 900 mm y 30 kg en total: B9 vale aproximadamente 2,55 (mm) y B10 aproximadamente 352 (la flecha es 1/352 de la luz). Para extremos empotrados, quita el «5*» de la fórmula de B9 para obtener «=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6».
La tercera tabla es de roble (11 GPa), con una luz de 800 mm y 20 kg en el medio: B7 vale aproximadamente 0,49 (mm). Para extremos empotrados, sustituye «48» por «192». La cuarta tabla toma una flecha admisible de 3 mm y 25 kg por metro: B9 vale aproximadamente 1006,8 (mm; la calculadora redondea a 1006 para quedarse del lado de la seguridad) y B10 aproximadamente 39,16 (kg/m; la calculadora redondea a la décima inferior, 39,1). La quinta tabla da la tensión de flexión: B8 vale aproximadamente 2,45 (N/mm²) y B9 aproximadamente 27 (%).
«^» es la potencia (B2^3 es el grosor al cubo), «*» la multiplicación y «/» la división. El módulo de elasticidad se introduce en GPa, y la fórmula lo multiplica por 1000 para pasarlo a N/mm². En Excel en español, el separador decimal es la coma (9,80665).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para el momento de inercia y el módulo resistente
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Módulo resistente Z (mm³) | =B1*B2^2/6 |
Tabla para la flecha máxima (carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Luz L (mm) | 900 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 9 |
| Carga total W (kg) | 30 |
| Coeficiente de fluencia k_c | 1 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Carga por mm w (N/mm) | =B5*9,80665/B3 |
| Flecha máxima δ (mm) | =5*B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6 |
| Denominador n de la flecha relativa L/δ | =B3/B9 |
Tabla para la flecha máxima (carga puntual en el centro, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 300 |
| Grosor de la balda h (mm) | 25 |
| Luz L (mm) | 800 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 11 |
| Carga puntual en el centro P (kg) | 20 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Flecha máxima δ (mm) | =B5*9,80665*B3^3/(48*B4*1000*B6) |
Tabla para el cálculo a la inversa (luz máxima y carga máxima, carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Módulo de elasticidad E (GPa) | 9 |
| Carga por metro w (kg/m) | 25 |
| Flecha admisible δa (mm) | 3 |
| Coeficiente de fluencia k_c | 1 |
| Luz L (mm, para la carga máxima) | 900 |
| Momento de inercia I (mm⁴) | =B1*B2^3/12 |
| Luz máxima L_max (mm) | =(384*B3*1000*B8*B5/(5*B4*9,80665/1000*B6))^(1/4) |
| Carga máxima w_max (kg/m) | =384*B3*1000*B8*B5/(5*B6*B7^4)*1000/9,80665 |
Tabla para la tensión de flexión (carga repartida, apoyos simples)
| Fondo de la balda b (mm) | 250 |
| Grosor de la balda h (mm) | 18 |
| Luz L (mm) | 900 |
| Carga total W (kg) | 30 |
| Tensión admisible f_b (N/mm²) | 9 |
| Módulo resistente Z (mm³) | =B1*B2^2/6 |
| Momento flector máximo M (N·mm) | =B4*9,80665/B3*B3^2/8 |
| Tensión de flexión σ (N/mm²) | =B7/B6 |
| Parte de la tensión admisible (%) | =B8/B5*100 |
Las mismas fórmulas que en Excel (incluido «^» para la potencia) funcionan tal cual en Google Sheets en español. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números de la columna B por los tuyos.
Cómo calcularlo con Python
# Se asimila la balda a una viga apoyada en sus dos extremos y se calcula la flecha máxima (unidades: mm, kg, GPa)
depth_mm = 250 # fondo de la balda b (mm)
thickness_mm = 18 # grosor de la balda h (mm)
span_mm = 900 # luz L (distancia entre apoyos, mm)
young_gpa = 9 # módulo de elasticidad E (GPa), valor habitual del tablero alistonado de pino
load_kg = 30 # carga total W (kg), repartida de manera uniforme
creep_factor = 1 # coeficiente de fluencia (de 1,5 a 2 aproximadamente para una carga permanente)
support = "simple" # "simple" = apoyada en escuadras (apoyos simples), "fixed" = extremos empotrados
allow_stress = 9 # tensión admisible f_b (N/mm²)
GRAVITY = 9.80665 # 1 kgf = 9,80665 N
young = young_gpa * 1000 # GPa → N/mm²
inertia = depth_mm * thickness_mm ** 3 / 12 # momento de inercia I (mm⁴)
section_modulus = depth_mm * thickness_mm ** 2 / 6 # módulo resistente Z (mm³)
load_n_per_mm = load_kg * GRAVITY / span_mm # carga por mm w (N/mm)
# Flecha máxima con carga repartida: apoyos simples 5wL⁴/(384EI), extremos empotrados wL⁴/(384EI)
coef = 5 / 384 if support == "simple" else 1 / 384
deflection = coef * load_n_per_mm * span_mm ** 4 / (young * inertia)
deflection_long = deflection * creep_factor
ratio_n = span_mm / deflection_long
print(f"Momento de inercia I = {inertia:,.1f} mm⁴")
print(f"Flecha máxima = {deflection:.2f} mm (largo plazo {deflection_long:.2f} mm, flecha relativa L/{ratio_n:.0f})")
# Tensión de flexión (orientativa): M = wL²/8 (apoyos simples) o wL²/12 (extremos empotrados), σ = M/Z
moment = load_n_per_mm * span_mm ** 2 / (8 if support == "simple" else 12)
stress = moment / section_modulus
print(f"Tensión de flexión = {stress:.2f} N/mm² ({stress / allow_stress * 100:.1f} % de la tensión admisible {allow_stress}, orientativo)")
# Cálculo a la inversa: luz máxima para una flecha de como mucho allow_mm (carga repartida, load_kg_per_m por metro) y carga máxima
allow_mm = 3
load_kg_per_m = 25
w = load_kg_per_m * GRAVITY / 1000 # kg/m → N/mm
span_max = (384 * young * inertia * allow_mm / (5 * w * creep_factor)) ** 0.25
w_max = 384 * young * inertia * allow_mm / (5 * creep_factor * span_mm ** 4)
# Los resultados se redondean hacia abajo para quedarse del lado de la seguridad (luz al mm, carga a la décima)
span_max_floor = int(span_max)
w_max_kg_per_m_floor = int(w_max * 1000 / GRAVITY * 10) / 10
print(f"Luz máxima para una flecha de {allow_mm} mm = {span_max_floor} mm ({load_kg_per_m} kg por metro, redondeada al mm inferior)")
print(f"Carga máxima para una luz de {span_mm} mm = {w_max_kg_per_m_floor} kg/m (redondeada a la décima inferior)")
Funciona solo con la biblioteca estándar. Sustituye por tus valores las medidas, el módulo de elasticidad y la carga de arriba, y ejecuta el código (en Python, el separador decimal es el punto). Para una carga puntual en el centro, sustituye la línea de la flecha por «load_kg * GRAVITY * span_mm ** 3 / (48 * young * inertia)» (192 para extremos empotrados) y el momento flector por «load_kg * GRAVITY * span_mm / 4» (8 para extremos empotrados). «** 3» es el cubo, y el exponente de la línea de span_max, elevar a la cuarta parte, da la raíz cuarta.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Momento de inercia y módulo resistente (la resistencia de la sección de la balda a la flexión)
I = b × h³ ÷ 12, Z = b × h² ÷ 6
I = \frac{b h^{3}}{12},\quad Z = \frac{b h^{2}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>I</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>Z</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>6</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
I = (b h^3) / 12, Z = (b h^2) / 6
{b*h^3/12, b*h^2/6}
Iz := b*h^3/12; Z := b*h^2/6;
I = b*h^3/12; Z = b*h^2/6; % b: fondo (mm), h: grosor (mm)
I = b h^3/12, Z = b h^2/6
Flecha máxima (carga repartida de manera uniforme = carga repartida)
δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (apoyos simples), δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (extremos empotrados)
\delta = \frac{5 w L^{4}}{384 E I}\ \text{(apoyos simples)},\quad \delta = \frac{w L^{4}}{384 E I}\ \text{(extremos empotrados)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
delta = (5 w L^4) / (384 E I), delta = (w L^4) / (384 E I)
{5*w*L^4/(384*Ey*Iz), w*L^4/(384*Ey*Iz)}
delta_simple := 5*w*L^4/(384*E*Iz); delta_fixed := w*L^4/(384*E*Iz);
delta_simple = 5*w*L^4/(384*E*I); delta_fixed = w*L^4/(384*E*I); % w en N/mm, L en mm, E en N/mm^2, I en mm^4
δ = 5 w L^4/(384 E I), δ = w L^4/(384 E I)
Flecha máxima (carga concentrada en el centro = carga puntual)
δ = P × L³ ÷ (48 × E × I) (apoyos simples), δ = P × L³ ÷ (192 × E × I) (extremos empotrados)
\delta = \frac{P L^{3}}{48 E I}\ \text{(apoyos simples)},\quad \delta = \frac{P L^{3}}{192 E I}\ \text{(extremos empotrados)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>48</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>192</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
delta = (P L^3) / (48 E I), delta = (P L^3) / (192 E I)
{P*L^3/(48*Ey*Iz), P*L^3/(192*Ey*Iz)}
delta_simple := P*L^3/(48*E*Iz); delta_fixed := P*L^3/(192*E*Iz);
delta_simple = P*L^3/(48*E*I); delta_fixed = P*L^3/(192*E*I); % P en N, L en mm, E en N/mm^2, I en mm^4
δ = P L^3/(48 E I), δ = P L^3/(192 E I)
Flecha a largo plazo (fluencia) y flecha relativa L/δ
δ_lp = k_c × δ₀, n = L ÷ δ_lp
\delta_{\mathrm{lp}} = k_c \, \delta_0,\quad n = \frac{L}{\delta_{\mathrm{lp}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>δ</mi><mi>lp</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msub><mi>δ</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>L</mi><msub><mi>δ</mi><mi>lp</mi></msub></mfrac>
</mrow>
</math>
delta_(lp) = k_c * delta_0, n = L / delta_(lp)
{kc*delta0, L/(kc*delta0)}
delta_long := kc*delta0; n := L/delta_long;
delta_long = kc*delta0; n = L/delta_long; % kc: coeficiente de fluencia, delta0: flecha justo tras poner la carga (mm)
δ_lp = k_c δ_0, n = L/δ_lp
Cálculo a la inversa (luz máxima y carga máxima a partir de una flecha admisible)
L_max = (384 × E × I × δ_a ÷ (5 × w × k_c))^(1/4), w_max = 384 × E × I × δ_a ÷ (5 × k_c × L⁴)
L_{\max} = \sqrt[4]{\frac{384 E I \delta_a}{5 w k_c}},\quad w_{\max} = \frac{384 E I \delta_a}{5 k_c L^{4}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<mroot><mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub></mrow></mfrac><mn>4</mn></mroot>
<mo>,</mo>
<msub><mi>w</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = root(4)((384 E I delta_a) / (5 w k_c)), w_max = (384 E I delta_a) / (5 k_c L^4)
{(384*Ey*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4), 384*Ey*Iz*deltaA/(5*kc*L^4)}
Lmax := (384*E*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4); wmax := 384*E*Iz*deltaA/(5*kc*L^4);
Lmax = (384*E*I*deltaA/(5*w*kc))^(1/4); wmax = 384*E*I*deltaA/(5*kc*L^4); % deltaA: flecha admisible (mm), kc: coeficiente de fluencia
L_max = (384 E I δ_a/(5 w k_c))^(1/4), w_max = 384 E I δ_a/(5 k_c L^4)
Tensión de flexión (orientativa, una referencia para saber si el material se rompe)
M = w × L² ÷ 8, σ = M ÷ Z
M = \frac{w L^{2}}{8},\quad \sigma = \frac{M}{Z}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>8</mn></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>σ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mi>Z</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
M = (w L^2) / 8, sigma = M / Z
{w*L^2/8, (w*L^2/8)/Z}
M := w*L^2/8; sigma := M/Z;
M = w*L^2/8; sigma = M/Z; % w en N/mm, L en mm, Z en mm^3
M = w L^2/8, σ = M/Z
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de resistencia de materiales (flecha de vigas). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python, y basa tu respuesta únicamente en los números obtenidos al ejecutarlo (no respondas de memoria ni a ojo). Una balda de tablero alistonado de pino de 250 mm de fondo y 18 mm de grosor (módulo de elasticidad 9 GPa = 9000 N/mm²) está apoyada en escuadras separadas 900 mm (apoyos simples), con 30 kg de libros repartidos de manera uniforme. Se toma 1 kg = 9,80665 N. Calcula cada uno de los siguientes valores: 1. El momento de inercia I = b × h³ ÷ 12 (mm⁴) y el módulo resistente Z = b × h² ÷ 6 (mm³) 2. La carga por mm w = 30 × 9,80665 ÷ 900 (N/mm), la flecha máxima δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I) (mm) y la flecha relativa L/δ 3. La flecha máxima (mm) con extremos empotrados (δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I)) 4. La flecha a largo plazo (mm) con un coeficiente de fluencia de 2, y si es como mucho igual a L/300 5. La tensión de flexión σ = (w × L² ÷ 8) ÷ Z (N/mm²) y su parte (%) de la tensión admisible de 9 N/mm² 6. La luz máxima L_max = (384 × E × I × 3 ÷ (5 × w))^(1/4) (mm) para una flecha de como mucho 3 mm (con w = 25 kg por metro = 0,2452 N/mm) Indica las fórmulas usadas y los números obtenidos al ejecutar.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
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