Calculadora de vectores (suma, resta, módulo, producto escalar y ángulo)

Elige plano (2D) o espacio (3D) e introduce las componentes de los dos vectores a y b y los coeficientes k y l. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar las componentes directamente dentro de ella.

Plano o espacio

Vector a, componente x

Vector a, componente y

Vector a, componente z

Vector b, componente x

Vector b, componente y

Vector b, componente z

Coeficiente k (multiplica a)

Coeficiente l (multiplica b)

Escribe solo números. Sirven decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una componente en blanco se toma como 0 y un coeficiente k o l en blanco, como 1.

Resultado y figura

Introduce las componentes de los vectores en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce solo las componentes de los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) del plano (2D) o del espacio (3D) y obtén de una vez la suma \(\vec{a}+\vec{b}\), la resta \(\vec{a}-\vec{b}\) y la combinación lineal \(k\vec{a}+l\vec{b}\)
El módulo \(|\vec{a}|\) se muestra tanto como valor exacto con el radical simplificado, por ejemplo \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), como en decimales
También obtienes el producto escalar \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), el ángulo entre los vectores \(\theta\) (en grados y en radianes, con valores exactos para los ángulos notables como \(45^{\circ}\)), los vectores unitarios y la comprobación de si son perpendiculares o paralelos
La calculadora muestra los vectores en columna, tal como los escribirías a mano, y puedes cambiar las componentes directamente dentro de ellos
Las componentes y los coeficientes pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4
En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Un vector de módulo 0 (el vector nulo) no tiene dirección, así que no existe el ángulo entre él y otro vector ni su vector unitario. Esta calculadora no calcula cuando \(\vec{a}\) o \(\vec{b}\) es el vector nulo.

¿Para qué sirve este cálculo?

Composición de fuerzas (física, arquitectura e ingeniería)

Cuando varias fuerzas actúan sobre un objeto, su efecto combinado es la suma de vectores. Descomponer la tensión de una cuerda que tira en ángulo en componentes horizontal y vertical y sumarlas es exactamente este cálculo.
En el diseño de puentes y edificios, fuerzas como el peso propio de la estructura, el viento y los terremotos se componen como vectores para hallar la dirección y el tamaño de la fuerza sobre cada parte. Sumar solo los tamaños e ignorar las direcciones llevaría a un diseño peligroso, así que trabajar con vectores es imprescindible.

Videojuegos 3D y gráficos por ordenador

En un videojuego, el movimiento de un personaje se calcula como «vector de posición + vector velocidad», y la dirección de la cámara y de un proyectil en vuelo son también vectores. Los vectores unitarios se usan en cada fotograma siempre que solo hace falta una dirección (el sentido de avance, la dirección de la mirada).
El producto escalar es además la clave de la iluminación. Cuanto mayor es el producto escalar entre la dirección hacia la que mira una superficie (su vector normal) y la dirección de la luz, más directamente le da la luz, y ese valor fija el brillo en pantalla. Si el producto escalar es 0 o menor, la luz no llega a la superficie.

El rumbo de un avión o un barco (composición de velocidades)

La trayectoria real de un avión es la suma de su vector velocidad en la dirección en que apunta el morro y del vector velocidad del viento. Para volar hacia el este con viento del norte, el morro tiene que apuntar en parte contra el viento, y cuánto hay que girarlo se halla restando vectores.
En el mar, los barcos suman y restan el vector de la corriente para decidir hacia dónde gobernar. Poder tratar la velocidad y el tiempo componente a componente es una fortaleza de los vectores.

Medir lo parecidos que son textos o productos (IA y recomendaciones)

Los buscadores y la IA generativa convierten los textos en largas listas de números, es decir, en vectores. Si dos textos se parecen se decide por el ángulo entre sus vectores: cuanto más se acerca \(\cos\theta\) a 1, más se parecen (similitud del coseno).
Las funciones de las tiendas en línea del tipo «los clientes que vieron esto también compraron» también convierten los historiales de compra en vectores y buscan personas y productos con un ángulo pequeño entre ellos. Aquí importa más la dirección (el patrón de gustos) que la longitud (por ejemplo, cuánto gasta alguien en total), y por eso medir con el ángulo funciona bien.

Aparatos que miden la posición y la inclinación (drones, navegadores GPS y móviles)

Los drones y los móviles calculan cuánto están inclinados a partir del ángulo entre el vector de la gravedad medido por el acelerómetro y un vector de dirección de referencia del aparato. Que la pantalla cambie entre vertical y horizontal es el resultado de este cálculo.
En los navegadores GPS y en topografía, la diferencia entre las coordenadas de dos puntos se trata como un vector: su módulo es la distancia y su dirección es el rumbo. En 3D, solo hay que añadir la componente de la altura y las mismas fórmulas sirven tal cual.

Fórmulas y figuras

Módulo de un vector (a partir de sus componentes)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(|\vec{a}|\) \(=\) \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(|\vec{a}|\): módulo del vector \(\vec{a}\) (longitud de la flecha) \(=\) ① raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes, \(a_1^{2}+a_2^{2}\)

La fórmula en palabras

① Si \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2)\) en componentes, calcula la raíz cuadrada de \(a_1^{2}+a_2^{2}\), la componente \(x\) al cuadrado más la componente \(y\) al cuadrado ,

② y obtienes el \(|\vec{a}|\): módulo del vector \(\vec{a}\) (longitud de la flecha)

Un ejemplo sencillo

El módulo de \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (la longitud de una flecha que avanza 4 hacia la derecha y 2 hacia arriba) es

módulo de \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) \(=\) raíz cuadrada de \(4^2+2^2=20\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)

La idea clave

Esta fórmula es el teorema de Pitágoras tal cual. Las componentes \(a_1\) y \(a_2\) descomponen la flecha en «cuánto a la derecha» y «cuánto hacia arriba», así que la flecha es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos son \(a_1\) y \(a_2\). Por eso su longitud es \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). Para un vector 3D \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\), suma también el cuadrado de la componente de la altura: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). Solo hay un término más; los pasos son los mismos. Escribe siempre el radical del resultado en su forma más simple (por ejemplo, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Esta calculadora muestra tanto el valor exacto simplificado como un decimal.

Suma y resta de vectores (se suma o se resta componente a componente)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\)

\(\vec{a}-\vec{b}\) \(=\) \((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② suma de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) \(=\) ① vector que resulta de sumar las componentes \(x\) y las componentes \(y\)

④ resta de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) \(=\) ③ vector que resulta de restar las componentes \(x\) y las componentes \(y\)

La fórmula en palabras

① El vector que resulta de sumar las componentes \(x\) y las componentes \(y\), \((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\) es la

② suma de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\) , y el

③ vector que resulta de restar las componentes \(x\) y las componentes \(y\), \((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\) es la

④ resta de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)

Un ejemplo sencillo

Si \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) y \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\)

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((4+(-1)\,;\,2+2)\)

\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1)\,;\,2+2) = (3\,;\,4)\)

\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1)\,;\,2-2) = (5\,;\,0)\)

La idea clave

En la figura, la suma \(\vec{a}+\vec{b}\) es la flecha que se obtiene al colocar el origen de \(\vec{b}\) en el extremo de \(\vec{a}\), desde el primer origen hasta el último extremo. Es la diagonal del paralelogramo de lados \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), y por eso se llama regla del paralelogramo. La resta \(\vec{a}-\vec{b}\) es \(\vec{a}+(-\vec{b})\): invierte \(\vec{b}\) y luego suma. En la figura, es la flecha que va del extremo de \(\vec{b}\) al extremo de \(\vec{a}\). El sentido es fácil de equivocar, así que recuerda: «desde el extremo del vector que se resta (\(\vec{b}\)) hasta el extremo de aquel al que se resta (\(\vec{a}\))». Si tienes presente que la flecha apunta hacia \(\vec{a}\), no la dibujarás al revés. En 3D, solo hay un término más, que suma o resta las componentes \(z\); los pasos son los mismos.

Producto de un vector por un escalar

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(k\vec{a}\) \(=\) \((ka_1\,;\,ka_2)\)

② \(k\) veces \(\vec{a}\) \(=\) ① vector con cada componente multiplicada por \(k\)

La fórmula en palabras

① El vector con cada componente multiplicada por \(k\), \((ka_1\,;\,ka_2)\) es

② \(k\) veces el vector \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\)

Un ejemplo sencillo

Al duplicar \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (una flecha con la misma dirección y sentido y el doble de larga) se obtiene

\(2\vec{a}\) \(=\) \((2 \times 4\,;\,2 \times 2)\)

\(2\vec{a} = (2 \times 4\,;\,2 \times 2) = (8\,;\,4)\)

\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)

La idea clave

Multiplicar por un escalar estira o encoge la flecha. Si \(k>0\), la dirección y el sentido se mantienen y la longitud se multiplica por \(k\). Si \(k<0\), el sentido se invierte y la longitud se multiplica por \(|k|\) (con \(k=-1\) se obtiene el vector opuesto \(-\vec{a}\)). El módulo es \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\). Esta calculadora trabaja con la forma \(k\vec{a}+l\vec{b}\). Con \(k=1,\ l=1\) obtienes la suma y con \(k=1,\ l=-1\) la resta, así que solo cambiando los coeficientes también puedes calcular expresiones como \(2\vec{a}-3\vec{b}\). Con \(k=0\) obtienes el vector nulo \(\vec{0}\), cuyas componentes son todas 0. El vector nulo tiene longitud 0 y no tiene dirección.

Producto escalar (un cálculo que convierte dos vectores en un número)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(|\vec{a}|\) \(\times\) \(|\vec{b}|\) \(\times\) \(\cos\theta\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(a_1b_1+a_2b_2\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ producto escalar de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) \(=\) ① módulo de \(\vec{a}\) \(\times\) ② módulo de \(\vec{b}\) \(\times\) ③ \(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\)

⑥ producto escalar de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) \(=\) ⑤ producto de las componentes \(x\) más producto de las componentes \(y\)

La fórmula en palabras

① Multiplica el módulo de \(\vec{a}\), \(|\vec{a}|\) , el

② módulo de \(\vec{b}\), \(|\vec{b}|\) y el

③ \(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\) para obtener el

④ producto escalar \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) . En componentes, la

⑤ suma del producto de las componentes \(x\) y del producto de las componentes \(y\), \(a_1b_1+a_2b_2\) da el mismo valor, así que también obtienes el

⑥ producto escalar \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)

Un ejemplo sencillo

El producto escalar de \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) y \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\) es

producto escalar \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(4 \times (-1) + 2 \times 2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)

La idea clave

El resultado de un producto escalar no es un vector sino un simple número (un escalar). El nombre suena a multiplicación, pero piensa en él como un cálculo especial que convierte dos flechas en un número. Escríbelo siempre con un punto centrado; \(\vec{a}\times\vec{b}\) es otro cálculo (el producto vectorial). En la figura, es «la longitud de la sombra de \(\vec{b}\) proyectada sobre la dirección de \(\vec{a}\) (la proyección ortogonal), \(|\vec{b}|\cos\theta\), multiplicada por \(|\vec{a}|\)». Así, cuanto más alineadas están las dos direcciones, mayor es el producto escalar. En un ángulo recto la sombra mide 0, así que el producto escalar es 0. Cuando las direcciones son casi opuestas, la sombra apunta al otro lado, así que el producto escalar es negativo. Usa la definición (módulos y ángulo) cuando conozcas el ángulo, y la fórmula con componentes cuando conozcas las coordenadas. En 3D se añade un término \(a_3b_3\): \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).

Ángulo entre dos vectores

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\) \(=\) ① \(\dfrac{\text{producto escalar }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{producto de los módulos }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

La fórmula en palabras

① Calcula \(\dfrac{\text{producto escalar }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{producto de los módulos }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) para obtener el

② \(\cos\theta\): coseno del ángulo \(\theta\) , y de él el ángulo \(\theta\)

Un ejemplo sencillo

El ángulo entre \(\vec{a}=(1\,;\,1)\) y \(\vec{b}=(2\,;\,0)\) (el producto escalar es \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\) y los módulos son \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) y \(|\vec{b}|=2\)) es

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)

La idea clave

Es solo la definición del producto escalar, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), despejando \(\cos\theta\). Fíjate en que lo primero que obtienes es el valor de \(\cos\theta\), no el ángulo. Para obtener el ángulo a partir de \(\cos\theta\), compáralo con los valores de los ángulos notables: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) es \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) es \(60^{\circ}\) y \(0\) es \(90^{\circ}\). Para otros valores, usa el arcocoseno \(\cos^{-1}\) (arccos); esta calculadora muestra el resultado en decimales. Por convenio, el ángulo entre dos vectores se da en el intervalo \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\). Solo con el signo de \(\cos\theta\) ya sabes el tipo de ángulo: positivo es agudo, 0 es recto y negativo es obtuso. Si queda un radical en el denominador, racionalízalo, como en \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Condiciones para que los vectores sean perpendiculares o paralelos

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{b}=k\vec{a}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son perpendiculares \(\iff\) ② el producto escalar es 0

③ \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son paralelos \(\iff\) ④ uno es un múltiplo escalar del otro

La fórmula en palabras

① Cuando ni \(\vec{a}\) ni \(\vec{b}\) son el vector nulo, \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) forman un ángulo recto equivale a que

② el producto escalar sea 0, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) , y

③ \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) sean paralelos equivale a que

④ \(\vec{b}=k\vec{a}\) para algún número real \(k\)

Un ejemplo sencillo

Si \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) y \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\), el producto escalar es \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\), así que

\(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son perpendiculares \(\iff\) el producto escalar es \(0\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)

\(\vec{c} = (8\,;\,4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)

La idea clave

Para comprobar si dos vectores son perpendiculares no necesitas el ángulo: basta ver si el producto escalar es 0. Como \(\cos 90^{\circ}=0\), toda la definición \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) se hace 0. Es una herramienta habitual en las demostraciones de geometría para probar que un ángulo es recto (también se dice que los vectores son ortogonales). En el plano, la condición de paralelismo \(\vec{b}=k\vec{a}\) escrita con componentes es \(a_1b_2-a_2b_1=0\). Es cómoda porque se comprueba sin hallar \(k\) (dice lo mismo que la proporcionalidad de las componentes, \(a_1:a_2=b_1:b_2\)). Las dos condiciones suponen que ni \(\vec{a}\) ni \(\vec{b}\) son el vector nulo. El vector nulo tiene producto escalar 0 con cualquier vector, pero, como no tiene dirección, no se dice que sea perpendicular y no se pregunta si es paralelo. Por eso los libros de texto enuncian las condiciones con «si \(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\)».

Vector unitario (quedarse solo con la dirección y el sentido)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(=\) \(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|}\,;\,\dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② vector con la misma dirección y sentido que \(\vec{a}\) y módulo 1 \(=\) ① \(\dfrac{\text{componentes originales }(a_1\,;\,a_2)}{\text{módulo del vector }|\vec{a}|}\)

La fórmula en palabras

① Divide cada componente entre el módulo, como en \(\dfrac{\text{componentes originales }(a_1\,;\,a_2)}{\text{módulo del vector }|\vec{a}|}\) , para obtener el

② vector con la misma dirección y sentido que \(\vec{a}\) y módulo 1 (el vector unitario)

Un ejemplo sencillo

El vector unitario con la dirección y el sentido de \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (de módulo \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)) es

vector unitario con la dirección y el sentido de \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) \(=\) \(\dfrac{(4\,;\,2)}{2\sqrt{5}}\)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}\,;\,\dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)

La idea clave

Un vector unitario es un vector que descarta la información de la longitud y conserva solo la dirección y el sentido. Al dividir entre el módulo siempre sale longitud 1, porque \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\), así que no hace falta comprobar de nuevo la longitud después de dividir. Con solo la dirección y el sentido, puedes escribir «el punto situado a 5 unidades en la dirección de \(\vec{a}\)» como «5 × el vector unitario». Es una herramienta para los casos en que la longitud no importa y solo cuenta la dirección, como el sentido de avance, la dirección de la mirada o hacia dónde apunta una superficie (la normal). Al dividir las componentes entre el módulo aparece un radical en el denominador, así que racionaliza el resultado, como en \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Hay un vector de módulo 1 para cada dirección y sentido, así que di «con la dirección y el sentido de \(\vec{a}\)» para distinguirlo del vector unitario de sentido contrario, \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\). En 3D, solo hay un término más, que divide la componente \(z\) entre el mismo módulo; los pasos son los mismos.

Un vector es una magnitud con dirección, sentido y módulo, y escribirlo en componentes, \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2)\), simplifica mucho los cálculos. La suma, la resta y el producto por un escalar se hacen componente a componente, el módulo es \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (el teorema de Pitágoras) y el producto escalar es la suma de los productos de las componentes, \(a_1b_1+a_2b_2\). Al dividir el producto escalar entre el producto de los módulos se obtiene \(\cos\theta\), que da el ángulo entre los dos vectores. Si el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares; si uno es un múltiplo escalar del otro, son paralelos.

Símbolos y términos

Símbolos

\(\vec{a}\)	vector a	El símbolo de un vector. La flecha sobre la letra indica que es una magnitud con dirección y sentido. Algunos libros de texto usan negrita, como en \(\boldsymbol{a}\); es el mismo vector. El segmento orientado del punto A al punto B se escribe \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) (el vector de A a B).
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a sub uno, a sub dos, a sub tres	Las componentes del vector \(\vec{a}\). El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) indica de qué componente se trata: \(a_1\) es el avance en la dirección \(x\), \(a_2\) en la dirección \(y\) y \(a_3\) en la dirección \(z\). Algunos libros usan \(x\) e \(y\) como subíndices, como en \(\vec{a}=(a_x\,;\,a_y)\), o escriben \(\vec{u}=(u_1\,;\,u_2)\).
\(\|\vec{a}\|\)	módulo del vector a	El módulo del vector \(\vec{a}\) (la longitud de la flecha). Usa las mismas barras verticales que el valor absoluto de un número real, con la misma idea: quitar la dirección y mirar solo el tamaño. El valor es siempre 0 o mayor.
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)	a punto b	El producto escalar. Por convenio se escribe con un punto centrado y el resultado es un número, no un vector. En inglés se llama «dot product» por la forma de este símbolo.
\(\theta\)	theta	El ángulo entre dos vectores. Es costumbre usar letras griegas para los ángulos, y \(\theta\) es la más habitual. El ángulo entre vectores es la abertura entre ellos cuando parten del mismo punto, en el intervalo de \(0^{\circ}\) a \(180^{\circ}\).
\(\cos\theta\)	coseno de theta	El coseno del ángulo \(\theta\). En un triángulo rectángulo, es el cateto contiguo dividido entre la hipotenusa, y toma valores de \(-1\) a \(1\). Es el enlace clave entre el producto escalar y el ángulo.
\(\cos^{-1}\)	arcocoseno (coseno inverso)	El arcocoseno. Una función que da el ángulo \(\theta\) a partir del valor de \(\cos\theta\); también se escribe \(\arccos\). El \(-1\) de arriba a la derecha significa «la operación inversa», no \(\cos\) elevado a \(-1\). En una calculadora, es la tecla marcada en pequeño encima de cos (suele activarse con SHIFT o 2nd).
\(k,\ l\)	ka, ele	Números reales (escalares) que indican cuántas veces se multiplica un vector. La letra \(k\) se usa a menudo para las constantes. En esta calculadora se introducen como coeficientes de \(k\vec{a}+l\vec{b}\).
\(\vec{0}\)	vector nulo	El vector cuyas componentes son todas 0 (el vector nulo). Es un vector especial de módulo 0 y sin dirección, así que no tiene ángulo ni vector unitario.
\(\perp\)	es perpendicular a	El símbolo de «es perpendicular a». \(\vec{a}\perp\vec{b}\) se lee «\(\vec{a}\) es perpendicular a \(\vec{b}\)». El símbolo es un dibujo de un ángulo recto.
\(\parallel\)	es paralelo a	El símbolo de «es paralelo a». \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) se lee «\(\vec{a}\) es paralelo a \(\vec{b}\)». El símbolo son dos rectas paralelas una junto a otra.
\(\iff\)	si y solo si	Un símbolo que indica que el miembro izquierdo y el derecho son equivalentes. Significa «el derecho es cierto cuando el izquierdo es cierto, y solo entonces», y se escribe como una flecha de doble sentido.
\(\sqrt{\ }\)	raíz cuadrada	El símbolo de la raíz cuadrada. \(\sqrt{20}\) es «el número positivo que da 20 al elevarlo al cuadrado». Los módulos de los vectores se escriben con este símbolo y se dan en forma de radical simplificado, sacando del radical los factores cuadrados, como en \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Términos

vector	Una magnitud que tiene dirección, sentido y tamaño (módulo). Describe cosas como la velocidad, la fuerza y el desplazamiento, en las que el tamaño no basta y hace falta también la dirección y el sentido. Se dibuja como una flecha, y si la desplazas sin girarla (misma dirección, sentido y longitud) sigue siendo el mismo vector.
escalar	Un simple número sin dirección (como una longitud, un peso o una temperatura). Se usa para distinguirlo de un vector. El resultado de un producto escalar es un escalar.
segmento orientado	Un segmento con sentido: la propia flecha, con un origen y un extremo fijados. Un vector es lo que queda al conservar solo su dirección, sentido y longitud, sin importar su posición.
componentes	Escribir un vector como un conjunto de números que dice «cuánto en la dirección \(x\), cuánto en la dirección \(y\)». Además de escribirlo en fila, como en \(\vec{a}=(4\,;\,2)\), también se puede escribir como vector columna; las dos formas son equivalentes. En los libros de texto de España se ve también \(\vec{a}=(4,\ 2)\); aquí se usa el punto y coma para no confundirlo con la coma decimal. En componentes, las sumas y los productos escalares son simples cálculos con números.
módulo	La longitud de la flecha del vector. También se llama norma o longitud, y se obtiene a partir de las componentes con \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
vector unitario	Un vector de módulo 1. Al calcular \(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\) se obtiene un vector con la misma dirección y sentido que \(\vec{a}\) y longitud 1. Se usa cuando solo quieres indicar una dirección y un sentido.
vector nulo	El vector \(\vec{0}\) cuyas componentes son todas 0. Su módulo es 0 y no tiene dirección. Aparece como la resta de un vector consigo mismo, como en \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\).
vector opuesto	El vector \(-\vec{a}\), con el mismo módulo y el sentido exactamente contrario. Es el producto por un escalar con \(k=-1\) y se usa en la resta \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).
producto por un escalar	Un vector multiplicado por un número \(k\). La longitud se multiplica por \(k\) con la misma dirección y sentido, y si \(k\) es negativo el sentido se invierte.
regla del paralelogramo	La regla según la cual la suma de dos vectores es la diagonal del paralelogramo que tiene esos dos vectores como lados. Se usa directamente para componer fuerzas en un dibujo.
producto escalar	Un cálculo que convierte dos vectores en un número. Se define como \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\) y con componentes es \(a_1b_1+a_2b_2\). Expresa con un número lo alineadas que están las dos direcciones.
ángulo entre dos vectores	El ángulo \(\theta\) que forman dos vectores cuando parten del mismo punto. Se toma en el intervalo de \(0^{\circ}\) a \(180^{\circ}\).
proyección ortogonal	La sombra de un vector proyectada sobre la dirección de otro con una luz que cae en perpendicular. La longitud de la proyección de \(\vec{b}\) sobre la dirección de \(\vec{a}\) es \(\|\vec{b}\|\cos\theta\) (la proyección escalar), y el producto escalar se puede interpretar como esa longitud de la sombra por \(\|\vec{a}\|\).
perpendicular	Dos vectores que forman un ángulo recto (también se dice ortogonales). Para dos vectores distintos del vector nulo, equivale a que el producto escalar sea 0.
paralelo	Dos vectores con la misma dirección, con el mismo sentido o con sentido contrario. Equivale a que uno se pueda escribir como un múltiplo escalar del otro (se dice también que son proporcionales), y en el plano se comprueba solo con las componentes mediante \(a_1b_2-a_2b_1=0\).
vector de posición	Un vector que parte del origen y muestra la posición de un punto. El vector de posición del punto A es \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), y las coordenadas del punto son sus componentes. Es el punto de partida para estudiar figuras con vectores.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

El plano y el espacio cartesianos (1.º de ESO a 1.º de Bachillerato, 12-17 años)	Saber describir la posición de un punto con una pareja de números como \((4\,;\,2)\) (\(x\) es izquierda–derecha, \(y\) es abajo–arriba) Saber que en 3D se añade una coordenada de altura \(z\), así que un punto se describe con tres números como \((4\,;\,2\,;\,4)\) Saber que las coordenadas negativas están a la izquierda o debajo del origen (y, en 3D, hacia ti o justo hacia abajo)
Operaciones con números negativos (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber sumar y restar números negativos correctamente, como en \(4+(-1)\) y \(4-(-1)\) Saber multiplicar números de distinto signo, como en \(4 \times (-1) = -4\)
Raíces cuadradas (3.º de ESO, 14-15 años)	Saber que \(\sqrt{20}\) es «el número positivo que da 20 al elevarlo al cuadrado» Saber simplificar un radical sacando factores cuadrados, como en \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) Saber quitar un radical del denominador (racionalizar), como en \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
El teorema de Pitágoras (2.º de ESO, 13-14 años)	Saber que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)) Saber hallar la hipotenusa a partir de los catetos (el módulo de un vector es exactamente esto)
Trigonometría: el coseno (4.º de ESO, 15-16 años)	Saber que \(\cos\theta\) toma valores de \(-1\) a \(1\) y disminuye cuando el ángulo aumenta (entre \(0^{\circ}\) y \(180^{\circ}\)) Conocer los valores de los ángulos notables, como \(\cos 0^{\circ}=1\), \(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), \(\cos 90^{\circ}=0\) y \(\cos 180^{\circ}=-1\) Saber que, para recuperar el ángulo a partir del valor de \(\cos\theta\), se usa el arcocoseno \(\cos^{-1}\) (la operación inversa de cos en la calculadora)
Ecuaciones y fracciones (1.º a 3.º de ESO, 12-15 años)	Saber resolver una ecuación de primer grado como \(2x-12=0\) Saber seguir operando con fracciones como \(\dfrac{3}{5}\) y simplificarlas

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el módulo de un vector

Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3 (0 en 2D)	4
Módulo \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabla para hallar la suma y la resta de vectores

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
a, componente z a3	4
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
b, componente z b3	2
Suma, componente x	=B1+B4
Suma, componente y	=B2+B5
Suma, componente z	=B3+B6
Resta, componente x	=B1-B4
Resta, componente y	=B2-B5
Resta, componente z	=B3-B6

Tabla para hallar el producto de un vector por un escalar

Escalar k	2
Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3	4
k veces, componente x	=B1*B2
k veces, componente y	=B1*B3
k veces, componente z	=B1*B4

Tabla para hallar el producto escalar

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
a, componente z a3	4
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
b, componente z b3	2
Producto escalar a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabla para hallar el ángulo entre dos vectores

Producto escalar a·b	8
Módulo \|a\|	6
Módulo \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(ACOS(B4))
Ángulo θ (radianes)	=ACOS(B4)

Tabla para comprobar las condiciones de perpendicularidad y paralelismo (2D)

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
Producto escalar a·b	=B1B3+B2B4
¿Perpendiculares?	=SI(B5=0;"Perpendiculares";"No perpendiculares")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
¿Paralelos?	=SI(B7=0;"Paralelos";"No paralelos")

Tabla para hallar el vector unitario

Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3 (0 en 2D)	4
Módulo \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Vector unitario, componente x	=B1/B4
Vector unitario, componente y	=B2/B4
Vector unitario, componente z	=B3/B4
Comprobación: módulo del vector unitario	=RAIZ(B5^2+B6^2+B7^2)

Al pegar la tabla, las filas de arriba (las componentes y los coeficientes) son los datos de entrada y las de abajo muestran los resultados calculados.
«^» es una potencia, RAIZ es la raíz cuadrada, ACOS es el arcocoseno (una función que halla el ángulo a partir de un coseno) y GRADOS convierte radianes en grados.
Las tablas 1 a 4 usan los vectores 3D a = (4 ; 2 ; 4) y b = (−1 ; 2 ; 2). El módulo |a| es 6, la suma es (3 ; 4 ; 6), la resta es (5 ; 0 ; 2), 2a es (8 ; 4 ; 8) y el producto escalar es 8. Para vectores 2D, pon 0 en las celdas de la componente z.
La tabla 5 halla el ángulo a partir de ese producto escalar de 8 y los módulos 6 y 3. cosθ es 0,4444… y el ángulo es de unos 63,61 grados (unos 1,1102 radianes).
La tabla 6 usa los vectores 2D a = (4 ; 2) y b = (−1 ; 2). El producto escalar es 0, así que muestra «Perpendiculares», y a1b2 − a2b1 vale 10, no 0, así que muestra «No paralelos».
La tabla 7 halla el vector unitario del mismo a = (4 ; 2 ; 4) de la tabla 1. Cada componente se divide entre el módulo 6, lo que da (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667), y la fila de abajo confirma que su módulo es exactamente 1.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para hallar el módulo de un vector

Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3 (0 en 2D)	4
Módulo \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabla para hallar la suma y la resta de vectores

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
a, componente z a3	4
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
b, componente z b3	2
Suma, componente x	=B1+B4
Suma, componente y	=B2+B5
Suma, componente z	=B3+B6
Resta, componente x	=B1-B4
Resta, componente y	=B2-B5
Resta, componente z	=B3-B6

Tabla para hallar el producto de un vector por un escalar

Escalar k	2
Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3	4
k veces, componente x	=B1*B2
k veces, componente y	=B1*B3
k veces, componente z	=B1*B4

Tabla para hallar el producto escalar

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
a, componente z a3	4
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
b, componente z b3	2
Producto escalar a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabla para hallar el ángulo entre dos vectores

Producto escalar a·b	8
Módulo \|a\|	6
Módulo \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(ACOS(B4))
Ángulo θ (radianes)	=ACOS(B4)

Tabla para comprobar las condiciones de perpendicularidad y paralelismo (2D)

a, componente x a1	4
a, componente y a2	2
b, componente x b1	-1
b, componente y b2	2
Producto escalar a·b	=B1B3+B2B4
¿Perpendiculares?	=SI(B5=0;"Perpendiculares";"No perpendiculares")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
¿Paralelos?	=SI(B7=0;"Paralelos";"No paralelos")

Tabla para hallar el vector unitario

Componente x a1	4
Componente y a2	2
Componente z a3 (0 en 2D)	4
Módulo \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Vector unitario, componente x	=B1/B4
Vector unitario, componente y	=B2/B4
Vector unitario, componente z	=B3/B4
Comprobación: módulo del vector unitario	=RAIZ(B5^2+B6^2+B7^2)

Las mismas fórmulas de Excel sirven tal cual (RAIZ, ACOS, GRADOS y SI tienen el mismo nombre en las dos). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia las componentes por tus propios números.
Hojas de cálculo de Google también tiene una función llamada SUMAPRODUCTO. Dale los dos rangos de componentes, como en «=SUMAPRODUCTO(B1:B3;B4:B6)», y halla el producto escalar en una sola fórmula.

Cómo calcularlo con Python

import math
from fractions import Fraction

# Componentes de los vectores (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4); en 2D, usa dos elementos)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)

# Suma, resta y combinación lineal (componente a componente)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]

# Producto escalar, módulos y ángulo
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))

print(f"Suma: {vector_sum}")
print(f"Resta: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"Producto escalar: {dot}")
print(f"Módulo |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, ángulo: {theta_degrees} grados")

# Vector unitario y comprobación de perpendicularidad
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Vector unitario con la dirección y el sentido de a: {unit_a}")
print("Perpendiculares" if dot == 0 else "No perpendiculares")

Usa solo la biblioteca estándar. Si guardas las componentes como Fraction (fracciones), la suma, la resta y el producto escalar salen exactos, sin error de redondeo. Los módulos y el ángulo llevan raíces cuadradas, así que se calculan en decimales con el módulo math. Este ejemplo usa a = (4 ; 2 ; 4) y b = (−1 ; 2 ; 2), y muestra el producto escalar 8, los módulos 6 y 3 y un ángulo de unos 63,61 grados (Python escribe los decimales con punto). Cambia las componentes y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Módulo de un vector (a partir de sus componentes)

|a| = √(a₁² + a₂²)

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)

Norm[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);

norm([a1 a2])

|a| = √(a_1^2 + a_2^2)

Suma y resta de vectores (se suma o se resta componente a componente)

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

{a1, a2} + {b1, b2}

Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);

[a1 a2] + [b1 b2]

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

Producto de un vector por un escalar

ka = (ka₁, ka₂)

k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

k vec a = (k a_1, k a_2)

k {a1, a2}

k * Vector([a1, a2]);

k * [a1 a2]

ka = (k a_1, k a_2)

Producto escalar (un cálculo que convierte dos vectores en un número)

a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>

vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]

DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

dot([a1 a2], [b1 b2])

a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2

Ángulo entre dos vectores

cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
        <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))

ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]

VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))

cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)

Condiciones para que los vectores sean perpendiculares o paralelos

a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0,  a∥b ⟺ b = ka

\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22A5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0

Dot[a, b] == 0

evalb(DotProduct(a, b) = 0);

dot(a, b) == 0

a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0

Vector unitario (quedarse solo con la dirección y el sentido)

a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)

\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))

Normalize[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);

[a1 a2] / norm([a1 a2])

a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas (vectores). Haz los cálculos siguientes ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

Para los vectores 3D a = (4, 2, 4) y b = (−1, 2, 2), halla cada uno de los siguientes.
1. Las componentes de la suma a + b, la resta a − b y 2a + 3b
2. Los módulos |a| y |b| (tanto como valores exactos con los radicales simplificados como en decimales)
3. El producto escalar a·b
4. El ángulo θ entre ellos (en grados y en radianes, con el valor exacto si es un ángulo notable)
5. El vector unitario con la dirección y el sentido de a
6. Si a y b son perpendiculares o paralelos, y por qué

En Python, usa los módulos fractions y math (y sympy si hace falta), y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado.

Cómo usar

1

Introduce los números

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2

Calcula

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Calculadora de vectores (suma, resta, módulo, producto escalar y ángulo)

Índice

Qué puedes hacer en esta página

¿Para qué sirve este cálculo?

Fórmulas y figuras

Símbolos y términos

Símbolos

Términos

Qué conviene saber de antemano

Cómo calcularlo con Excel

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Cómo calcularlo con Python

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Cómo usar

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