Calculadora de la distribución binomial

Escribe el número de pruebas n, la probabilidad de éxito en cada prueba p y el número de éxitos k. Obtienes la probabilidad de exactamente k éxitos, las probabilidades acumuladas de como máximo k y al menos k, la media, la varianza y la desviación típica, y un diagrama de barras de toda la distribución.

Número de pruebas n

Probabilidad de éxito p

Número de éxitos k

Escribe la probabilidad p como un decimal de 0 a 1 (para el 25 %, escribe 0,25) o como una fracción como 1/4. n es un número entero de 1 a 50 y k es un número entero de 0 a n.

Resultado y gráfico

Escribe el número de pruebas y la probabilidad en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado y un gráfico de barras de la distribución aparecerán aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y gráficos
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce solo 3 números para hallar «la probabilidad de que algo de probabilidad \(p\) ocurra exactamente \(k\) veces en \(n\) intentos», \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), al instante
La respuesta se muestra tanto como fracción irreducible, como \(\dfrac{3}{8}\) (el valor exacto), como en decimal y en porcentaje. También puedes ver los pasos del número de combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
También calcula a la vez las probabilidades acumuladas, «como máximo \(k\) veces» \(P(X \le k)\) y «al menos \(k\) veces» \(P(X \ge k)\)
Muestra el valor esperado \(E(X) = np\), la varianza \(V(X) = np(1-p)\) y la desviación típica \(\sigma\), y comprueba la regla práctica para usar la aproximación normal
Toda la distribución, de 0 a \(n\) éxitos, se dibuja como un diagrama de barras, así que ves de un vistazo qué números de éxitos son más probables

Sirve para pruebas repetidas en las que la probabilidad es la misma cada vez y los resultados no se afectan entre sí (son independientes). No sirve cuando la probabilidad cambia de un intento a otro, como al sacar papeletas sin devolverlas.

¿Para qué sirve este cálculo?

Estimar «k premios de n intentos» en cajas de botín y sorteos (juegos)

Si abres 100 cajas de botín con una probabilidad de obtención del 1 %, el número de objetos raros sigue la distribución binomial \(B(100\,;\,0{,}01)\) (suponiendo, como se publica, que cada intento tiene la misma probabilidad y es independiente). La probabilidad de no conseguir nada es \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\,\%\), así que la distribución muestra que la intuición «100 intentos al 1 % es casi seguro» es arriesgada.
Estimar «el valor esperado \(np\) más la dispersión» cuando planificas cuánto gastar es exactamente el cálculo de esta página.

Diseñar reglas de aceptación en el control por muestreo (fabricación y control de calidad)

En lugar de revisar todas las piezas, las fábricas usan el muestreo de aceptación: «se toman \(n\) piezas de un lote y se acepta el lote si hay \(c\) defectos o menos». La probabilidad de que se acepte un lote con una tasa de defectos \(p\) es exactamente la probabilidad binomial acumulada \(P(X \le c)\). Por ejemplo, si tomas 20 piezas de un lote con un 1 % de defectos y lo aceptas solo con 0 defectos, la probabilidad de aceptación es \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\,\%\).
Este cálculo se usa para diseñar reglas de inspección que aceptan los lotes buenos con alta probabilidad y rechazan los malos.

Estimar los aciertos por suerte en un examen tipo test (educación y oposiciones)

Si contestas al azar las 20 preguntas de un examen tipo test de 4 opciones cada una, el número de aciertos sigue la distribución binomial \(B(20\,;\,0{,}25)\), y el valor esperado es \(20 \times 0{,}25 = 5\) preguntas. La probabilidad de acertar 8 o más por suerte es de solo un 10 % aproximadamente, lo que confirma con probabilidades que contestar solo al azar rara vez llega al aprobado.
Quienes preparan exámenes también tienen en cuenta esta distribución al fijar el número de preguntas y la nota de corte, para que sea difícil aprobar por suerte.

Leer las rachas y los bajones de las estadísticas deportivas (baloncesto y más)

Cuando un jugador con un 70 % de acierto en tiros libres lanza 10 tiros, la probabilidad de encestar exactamente 7 es de solo \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0{,}7^{7} \times 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\,\%\) (tratando cada tiro como independiente con una tasa de acierto fija). Que un jugador del 70 % enceste exactamente 7 de 10 no es tan normal como parece. Encestar 6 u 8 ocurre continuamente.
La distribución binomial ayuda a distinguir cuánto de una «buena racha» o de un «bajón» es simple variación aleatoria normal.

De dónde sale el margen de error de las encuestas y de las audiencias de televisión (estudios estadísticos)

En las encuestas de valoración y en las audiencias de televisión, el número de personas de las \(n\) encuestadas que dan una cierta respuesta se trata como una distribución binomial. El margen de error de «más o menos unos puntos» se calcula con la desviación típica \(\sqrt{np(1-p)}\) y la aproximación normal.
Decidir a cuántas personas encuestar para que el margen de error baje hasta un tamaño objetivo se basa directamente en las propiedades de la distribución binomial.

Fórmulas y gráficos

Probabilidad binomial (probabilidad de exactamente \(k\) éxitos)

Gráfico

Notación matemática (la notación habitual)

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑥ \(P(X = k)\): probabilidad de exactamente \(k\) éxitos \(=\) ⑤ \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): formas de elegir en qué pruebas hay éxito \(\times\) ① \(p\): probabilidad de éxito ② \(k\): número de éxitos \(\times\) ③ \(1 - p\): probabilidad de fracaso ④ \(n - k\): número de fracasos

La fórmula en palabras

① Toma la \(p\): probabilidad de éxito

② y multiplícala por sí misma tantas veces como indique el \(k\): número de éxitos

③ después toma la \(1 - p\): probabilidad de fracaso

④ y multiplícala por sí misma tantas veces como indique el \(n - k\): número de fracasos

⑤ multiplica los resultados por el \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): número de formas de elegir en qué pruebas hay éxito

⑥ y obtendrás la \(P(X = k)\): probabilidad de exactamente \(k\) éxitos

Un ejemplo sencillo

Si lanzas una moneda (probabilidad de cara \(\dfrac{1}{2}\)) 4 veces, la probabilidad de sacar exactamente 2 caras es

probabilidad de exactamente 2 \(P(X = 2)\) \(=\) número de ordenaciones \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\times\) cara \(\dfrac{1}{2}\), dos veces \(\times\) cruz \(\dfrac{1}{2}\), dos veces

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\,\%)\)

La idea clave

La probabilidad de una ordenación concreta con \(k\) éxitos y \(n-k\) fracasos es \(p^{k} (1-p)^{n-k}\). Hay \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) ordenaciones así (formas de elegir en qué pruebas hay éxito), así que multiplicando por ese número se obtiene la respuesta. La distribución que reúne la probabilidad de cada número posible de éxitos \(X\) (0, 1, …, \(n\) éxitos) se llama distribución binomial y se escribe \(B(n,\ p)\). La calculadora de esta página dibuja toda la distribución como un diagrama de barras.

Probabilidad acumulada (como máximo \(k\) y al menos \(k\) éxitos)

Notación matemática (la notación habitual)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(P(X \le k)\): probabilidad de como máximo \(k\) éxitos \(=\) ① suma de las probabilidades de exactamente 0 hasta exactamente \(k\)

⑤ \(P(X \ge k)\): probabilidad de al menos \(k\) éxitos \(=\) ③ \(1\): probabilidad total \(-\) ④ probabilidad de como máximo \(k-1\) éxitos

La fórmula en palabras

① Suma todas las probabilidades de exactamente 0, exactamente 1, …, exactamente \(k\)

② y obtendrás la \(P(X \le k)\): probabilidad de como máximo \(k\) éxitos

③ Para «al menos \(k\)», el suceso contrario da un cálculo más corto. Parte de la \(1\): probabilidad total

④ réstale la \(P(X \le k-1)\): probabilidad de como máximo \(k-1\) éxitos

⑤ y obtendrás la \(P(X \ge k)\): probabilidad de al menos \(k\) éxitos

Un ejemplo sencillo

Si lanzas una moneda 4 veces, la probabilidad de como máximo 2 caras y la de al menos 2 caras son

probabilidad de como máximo 2 \(P(X \le 2)\) \(=\) suma para 0, 1 y 2

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

La idea clave

«Como máximo» y «al menos» incluyen el propio número (como máximo 2 significa 0, 1 o 2). El método habitual es sumar sin más las probabilidades exactas de «como máximo \(k\)», y restar «como máximo \(k-1\)» del total 1 para «al menos \(k\)» (con el suceso contrario). «La probabilidad de que ocurra al menos una vez» es \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Es el uso más habitual del suceso contrario.

Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial

Notación matemática (la notación habitual)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(V(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(E(X)\): valor esperado (número medio de éxitos) \(=\) ① \(n\): número de pruebas \(\times\) ② \(p\): probabilidad de éxito

⑤ \(V(X)\): varianza (cuánto se dispersan) \(=\) \(n\): número de pruebas \(\times\) \(p\): probabilidad de éxito \(\times\) ④ \(1 - p\): probabilidad de fracaso

⑦ \(\sigma\): desviación típica (dispersión habitual) \(=\) ⑥ raíz cuadrada de la varianza \(V(X)\)

La fórmula en palabras

① Multiplica el \(n\): número de pruebas

② por la \(p\): probabilidad de éxito

③ y obtendrás el \(E(X)\): valor esperado (número medio de éxitos)

④ Multiplica eso además por la \(1 - p\): probabilidad de fracaso

⑤ y obtendrás la \(V(X)\): varianza (cuánto se dispersan)

⑥ La raíz cuadrada de la varianza \(V(X)\) es la

⑦ \(\sigma\): desviación típica (dispersión habitual)

Un ejemplo sencillo

Para el número de veces que sale un 1 al lanzar un dado 30 veces (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)):

valor esperado \(E(X)\) \(=\) número de pruebas \(30\) \(\times\) probabilidad de un 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

La idea clave

El valor esperado \(np\) coincide exactamente con tu intuición: «Si haces algo con probabilidad \(\dfrac{1}{6}\) 30 veces, de media ocurre unas \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) veces.» La varianza y la desviación típica te dicen a qué distancia del valor esperado suele estar el número real. Con una desviación típica de unos 2, puedes leer el resultado como «normalmente, alrededor de 3 a 7 veces» y no como «exactamente 5 veces». Para el mismo \(n\), la varianza \(np(1-p)\) es máxima cuando \(p = \dfrac{1}{2}\) (cuando éxito y fracaso son igual de probables, el resultado es lo más difícil de predecir).

Aproximación normal (regla práctica: \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\))

Gráfico

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(B(n,\ p)\) \(\approx\) \(N\left(np,\ \sqrt{np(1 - p)}\right)\)

① \(B(n,\ p)\): distribución binomial \(\approx\) ② distribución normal de media \(np\) y desviación típica \(\sqrt{np(1-p)}\)

La fórmula en palabras

① La \(B(n,\ p)\): distribución binomial se puede sustituir aproximadamente, cuando \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\) (la regla práctica), por la

② \(N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\): distribución normal de media \(np\) y desviación típica \(\sqrt{np(1-p)}\)

Un ejemplo sencillo

El número de caras al lanzar una moneda 20 veces (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) es

distribución binomial \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) distribución normal \(N(10,\ \sqrt{5})\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \approx N\left(10,\ \sqrt{5}\right)\)

La idea clave

A medida que \(n\) crece, el diagrama de barras de la distribución binomial se parece cada vez más a una campana simétrica, casi igual que la distribución normal. Por eso, cuando \(n\) es grande, puedes sustituir las largas sumas de la distribución binomial por la tabla de la distribución normal (o por los valores z). Es la aproximación normal, y \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\) es la regla práctica habitual para saber cuándo usarla. En la notación \(N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\), el orden es «media, desviación típica» (así se escribe en los libros españoles; otros libros escriben la varianza en lugar de la desviación típica). Después de aproximar, puedes hallar cosas como «la probabilidad de al menos un cierto número» en nuestra página de la calculadora de probabilidad de la distribución normal.

La distribución binomial es la distribución de «cuántas veces ocurre algo de probabilidad \(p\) en \(n\) intentos». La probabilidad de exactamente \(k\) éxitos es \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), el valor esperado es \(np\) y la varianza es \(np(1-p)\). Cuando \(n\) es grande, se puede aproximar por la distribución normal \(N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\).

Símbolos y términos

Símbolos

\(X\)	X	La variable aleatoria del número de éxitos. Por convención, los números que decide el azar se escriben con mayúsculas del final del alfabeto, como \(X,\ Y,\ Z\).
\(P(X = k)\)	P de X igual a k	La probabilidad de que el número de éxitos \(X\) sea exactamente \(k\). \(P\) es la inicial de «probabilidad».
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	n sobre k	El número de combinaciones de \(k\) elementos elegidos entre \(n\) (el número combinatorio). \(C\) es la inicial de «combinación». Muchos libros españoles lo escriben \(\dbinom{n}{k}\) y lo leen «\(n\) sobre \(k\)».
\(n\)	ene	El número de pruebas (cuántas veces se repite). Para los recuentos suele usarse la letra \(n\), de «número».
\(p\)	pe	La probabilidad de éxito en una prueba. Viene de «probabilidad», y la minúscula se usa a menudo para la probabilidad de un único intento.
\(1 - p\)	uno menos p	La probabilidad de fracaso en una prueba (no tener éxito). Siempre ocurre el éxito o el fracaso, así que es lo que queda al restar \(p\) del total \(1\). También se escribe \(q\).
\(k\)	ka	El número de éxitos, un número entero de \(0\) a \(n\). La letra \(k\) se usa a menudo para decir «cuántas veces».
\(P(X \le k)\)	P de X menor o igual que k	La probabilidad de como máximo \(k\) éxitos (cualquiera de 0 a \(k\)). Es una probabilidad acumulada, las probabilidades exactas sumadas hasta \(k\).
\(P(X \ge k)\)	P de X mayor o igual que k	La probabilidad de al menos \(k\) éxitos (cualquiera de \(k\) a \(n\)). Restar \(P(X \le k-1)\) del total \(1\) (el suceso contrario) acorta la suma.
\(E(X)\)	E de X	El valor esperado (el número medio de éxitos). \(E\) es la inicial de «esperanza». Para la distribución binomial, \(E(X) = np\). También se llama media y se escribe \(\mu\).
\(V(X)\)	V de X	La varianza (cuánto se dispersan los resultados). \(V\) es la inicial de «varianza». Para la distribución binomial, \(V(X) = np(1-p)\). También se escribe \(\mathrm{Var}(X)\) o \(\sigma^2\).
\(\sigma\)	sigma	La desviación típica. Es la letra griega sigma minúscula, la «s» griega de «desviación típica». Es la raíz cuadrada de la varianza, \(\sigma = \sqrt{V(X)}\), e indica la distancia habitual al valor esperado.
\(B(n,\ p)\)	B de n, p	La distribución binomial con \(n\) pruebas y probabilidad de éxito \(p\). \(B\) es la inicial de «binomial». «\(X\) sigue una distribución binomial» se escribe \(X \sim B(n,\ p)\).
\(N(\mu,\ \sigma)\)	N de mi, sigma	La distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\). \(N\) es la inicial de «normal». En los libros españoles, el orden dentro del paréntesis es «media, desviación típica»; otros libros escriben la varianza \(\sigma^2\) en lugar de la desviación típica.
\(\approx\)	aproximadamente igual a	El símbolo de «aproximadamente igual». En esta página indica que la distribución binomial se puede sustituir aproximadamente por la distribución normal.

Términos

distribución binomial	La distribución de probabilidad de «cuántas veces ocurre algo de probabilidad \(p\) en \(n\) intentos». El nombre viene de que el \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) de la fórmula es el número combinatorio (los coeficientes del binomio de Newton). En España se estudia en Bachillerato, en la asignatura de Matemáticas.
variable aleatoria	Una variable cuyo valor lo decide el azar. En esta página, el número de éxitos es la variable aleatoria. Toma los valores de 0 hasta n, cada uno con su propia probabilidad.
prueba (experimento aleatorio)	Una realización de un experimento u observación cuyo resultado depende del azar, como un lanzamiento de una moneda o una extracción de una papeleta.
pruebas repetidas	Repetir la misma prueba con la misma probabilidad cada vez, de modo que los resultados no se afectan entre sí (de forma independiente). También se llaman pruebas de Bernoulli. La distribución binomial es la distribución del número de éxitos en pruebas repetidas.
independiente	Cuando el resultado de una prueba no afecta al resultado de otra. El primer y el segundo lanzamiento de un dado son independientes, pero sacar papeletas sin devolverlas no lo es (los resultados anteriores cambian cuántas papeletas premiadas quedan).
combinación (número combinatorio)	Una forma de elegir \(k\) de \(n\) elementos sin que importe el orden. El número total es \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\). En la distribución binomial cuenta las formas de elegir cuáles de las \(n\) pruebas son éxitos.
probabilidad acumulada	Las probabilidades exactas sumadas hasta un cierto número. La probabilidad de como máximo \(k\), \(P(X \le k)\), es el ejemplo típico.
suceso contrario	El suceso de que algo no ocurra. Las probabilidades siempre suman 1, así que una probabilidad como «al menos \(k\)» se halla fácilmente restando de 1 el lado contrario (como máximo \(k-1\)).
valor esperado (esperanza matemática)	El valor medio cuando repites las pruebas muchas veces. Para la distribución binomial es el número medio de éxitos, dado por la sencilla fórmula \(np\).
varianza	Una medida de cuánto tienden a alejarse los valores reales del valor esperado (la dispersión). Se define como la media de las diferencias al cuadrado.
desviación típica	La raíz cuadrada de la varianza. La varianza está en unidades al cuadrado, así que su raíz cuadrada la devuelve a la unidad original (aquí, el número de éxitos) como medida de dispersión.
distribución normal	Una distribución simétrica con forma de campana en la que los valores cercanos a la media son los más probables y los más alejados lo son menos. Muchas magnitudes reales, como la estatura y los errores de medida, se acercan a esta forma, y la distribución binomial también se acerca a ella cuando \(n\) es grande.
aproximación normal	Sustituir la distribución binomial por la distribución normal \(N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)\) cuando \(n\) es grande. La regla práctica habitual es \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\).

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar los temas de esta tabla es el camino más rápido.

Probabilidad básica (3.º de ESO, 14-15 años)	Saber que una probabilidad indica lo probable que es algo mediante un número de 0 a 1 (incluida la lectura de 0,25 como 25 %) Saber que las probabilidades de todos los resultados posibles suman siempre 1
Operaciones con fracciones (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber multiplicar fracciones (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), simplificarlas y hallar denominadores comunes Estar cómodo dejando las respuestas como fracciones (y pasar \(\dfrac{3}{8}\) a 0,375)
Potencias y exponentes (1.º–3.º de ESO, 12-15 años)	Saber que el número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica, como en \(p^{3} = p \times p \times p\) Saber elevar una fracción a una potencia, como en \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Combinatoria y combinaciones (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años)	Saber que \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) es «el número de formas de elegir \(k\) de \(n\) elementos cuando no importa el orden» Saber calcularlo, como en \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
Probabilidad de pruebas repetidas y suceso contrario (4.º de ESO y Bachillerato, 15-18 años)	Entender el planteamiento de las pruebas repetidas, «repetidas de forma independiente con la misma probabilidad cada vez» Saber usar el suceso contrario para hallar «al menos una vez» como \(1 - P(X = 0)\)
Variables aleatorias, valor esperado y varianza (Bachillerato, 16-18 años)	Saber qué significan variable aleatoria (una variable cuyo valor lo decide el azar) y distribución de probabilidad Saber que el valor esperado es la media y que la varianza y la desviación típica indican la dispersión
La distribución normal (Bachillerato, 16-18 años)	Saber que la distribución normal es una distribución simétrica con forma de campana en la que los valores cercanos a la media son los más probables (lo necesitas para la tarjeta de la aproximación normal) Saber que el orden dentro de \(N(\mu,\ \sigma)\) es «media, desviación típica» (otros libros escriben la varianza \(\sigma^2\))

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la probabilidad de exactamente k éxitos

Número de pruebas n	4
Probabilidad de éxito p	0,5
Número de éxitos k	2
Probabilidad de exactamente k, P(X=k)	=DISTR.BINOM.N(B3;B1;B2;FALSO)

Tabla para calcular las probabilidades acumuladas (como máximo k, al menos k)

Número de pruebas n	4
Probabilidad de éxito p	0,5
Número de éxitos k	2
Probabilidad de como máximo k, P(X≤k)	=DISTR.BINOM.N(B3;B1;B2;VERDADERO)
Probabilidad de al menos k, P(X≥k)	=1-DISTR.BINOM.N(B3-1;B1;B2;VERDADERO)

Tabla para calcular la media, la varianza y la desviación típica

Número de pruebas n	30
Probabilidad de éxito p	=1/6
Media E(X) = np	=B1*B2
Varianza V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Desviación típica σ	=RAIZ(B4)

Tabla para comprobar la regla práctica de la aproximación normal

Número de pruebas n	20
Probabilidad de éxito p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
¿Se cumple la regla práctica?	=Y(B3>=5;B4>=5)

Al pegar la tabla, las filas de arriba (n, p y k) son tus datos y las filas de abajo se calculan automáticamente.
DISTR.BINOM.N es la función de la distribución binomial. Sus argumentos son, en orden, «número de éxitos; número de pruebas; probabilidad de éxito; acumulada o no». FALSO al final da la probabilidad exacta y VERDADERO da la probabilidad acumulada de ese número o menos.
La primera tabla es el ejemplo de exactamente 2 caras en 4 lanzamientos de una moneda, y la respuesta es 0,375 (= 3/8).
Las dos respuestas de la segunda tabla son 0,6875. «Al menos k» se halla restando «como máximo k−1» de 1 (esta fórmula da un error si k es 0, pero la probabilidad de 0 o más es siempre 1).
La tercera tabla es el número de unos en 30 lanzamientos de un dado: media 5, varianza 4,1667 y desviación típica 2,0412.
La cuarta tabla muestra VERDADERO cuando np y n(1−p) son ambos 5 o más (se cumple la regla práctica de la aproximación normal) y FALSO en caso contrario.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular la probabilidad de exactamente k éxitos

Número de pruebas n	4
Probabilidad de éxito p	0,5
Número de éxitos k	2
Probabilidad de exactamente k, P(X=k)	=DISTR.BINOM(B3;B1;B2;FALSO)

Tabla para calcular las probabilidades acumuladas (como máximo k, al menos k)

Número de pruebas n	4
Probabilidad de éxito p	0,5
Número de éxitos k	2
Probabilidad de como máximo k, P(X≤k)	=DISTR.BINOM(B3;B1;B2;VERDADERO)
Probabilidad de al menos k, P(X≥k)	=1-DISTR.BINOM(B3-1;B1;B2;VERDADERO)

Tabla para calcular la media, la varianza y la desviación típica

Número de pruebas n	30
Probabilidad de éxito p	=1/6
Media E(X) = np	=B1*B2
Varianza V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Desviación típica σ	=RAIZ(B4)

Tabla para comprobar la regla práctica de la aproximación normal

Número de pruebas n	20
Probabilidad de éxito p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
¿Se cumple la regla práctica?	=Y(B3>=5;B4>=5)

En Hojas de cálculo de Google, la función se llama DISTR.BINOM (los argumentos van en el mismo orden que en DISTR.BINOM.N de Excel: «número de éxitos; número de pruebas; probabilidad de éxito; acumulada o no»). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye n, p y k por tus propios números.
Como en Excel, la fórmula de «al menos k» da un error si k es 0 (la probabilidad de 0 o más es siempre 1).

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # número de pruebas n
success_prob = Fraction(1, 2)    # probabilidad de éxito p (también vale un decimal como 0.3)
success_count = 2                # número de éxitos k

failure_prob = 1 - success_prob

# probabilidad de exactamente k éxitos P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Probabilidad de exactamente {success_count}: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# probabilidades acumuladas (como máximo k, al menos k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Probabilidad de como máximo {success_count}: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Probabilidad de al menos {success_count}: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# media, varianza y desviación típica
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Media: {mean}  Varianza: {variance}  Desviación típica: {sqrt(variance)}")

Funciona solo con la biblioteca estándar. El módulo fractions mantiene el cálculo en fracciones exactas, sin errores de redondeo decimal (comb es el número de combinaciones nCk). Este ejemplo es exactamente 2 caras en 4 lanzamientos de una moneda. Al ejecutarlo se muestra la probabilidad 3/8 = 0,375, 11/16 = 0,6875 para como máximo 2 y para al menos 2, y media 2, varianza 1 y desviación típica 1,0. Cambia los tres números n, p y k y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Probabilidad binomial (probabilidad de exactamente \(k\) éxitos)

P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

Probabilidad acumulada (como máximo \(k\) y al menos \(k\) éxitos)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial

E(X) = np,  V(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Aproximación normal (regla práctica: \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\))

B(n, p) ≈ N(np, √(np(1 − p)))

B(n,\ p) \approx N\left(np,\ \sqrt{np(1 - p)}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n, p) ~~ N(np, sqrt(np(1-p)))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n, p) ≈ N(np, √(np(1-p)))

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas (probabilidad y estadística). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones).

Participas 10 veces en un sorteo y cada participación tiene una probabilidad de 1/6 de ganar. Para la distribución binomial del número de premios, calcula:
1. La probabilidad de ganar exactamente 2 veces, P(X=2) (como fracción irreducible y como decimal)
2. La probabilidad de ganar como máximo 2 veces, P(X≤2), y al menos 2 veces, P(X≥2)
3. La media E(X), la varianza V(X) y la desviación típica σ
4. Si se cumple la regla práctica de la aproximación normal, np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5

En Python, calcula con exactitud con fractions y math.comb de la biblioteca estándar, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula