Calculadora para simplificar fracciones (fracción irreducible)

Escribe la fracción tal como se ve (campo de arriba = numerador, campo de abajo = denominador). Para un número mixto como \(2\dfrac{21}{98}\), usa también el campo del entero que hay a la izquierda de la fracción. Para una fracción normal, deja ese campo en blanco.

En una fracción negativa, pon el signo menos en el campo del entero. Los decimales como 1,5 también valen: el numerador y el denominador se multiplican por 10, 100 y así sucesivamente para obtener números enteros antes de simplificar. El denominador no puede ser 0.

Resultado

Escribe el numerador y el denominador en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe el numerador y el denominador y la fracción se simplifica hasta la fracción irreducible (la forma que ya no se puede simplificar más)
También se pueden simplificar tal cual los números mixtos (con parte entera) como \(2\dfrac{21}{98}\), y el resultado se muestra como fracción impropia (numerador igual o mayor que el denominador) y como número mixto
También valen las fracciones negativas y las fracciones con decimales, como \(\dfrac{1{,}5}{2}\). Se muestran además el valor en forma decimal y cada paso del cálculo
En esta misma página tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Simplificar no cambia el valor de la fracción. Consiste en dividir el numerador y el denominador entre el mismo número (su máximo común divisor) para que la fracción tenga el aspecto más sencillo posible.

¿Para qué sirve este cálculo?

Evitar perder puntos en los exámenes por no simplificar (clase de mates)

En los exámenes de matemáticas, el resultado de una fracción se espera normalmente como fracción irreducible, y olvidarse de simplificar suele costar puntos.
«Cuando tengas un resultado, comprueba al final que el numerador y el denominador ya no tienen ningún divisor común.» Este hábito es una jugada básica desde las fracciones de Primaria hasta las pruebas de acceso a la universidad (PAU). Si divides entre el máximo común divisor, terminas de un solo paso, así que comprobarlo también es rápido.

El «16:9» de las pantallas y las teles sale de simplificar

Una pantalla Full HD mide 1920 × 1080 píxeles, pero su proporción se llama 16:9: \(\dfrac{1920}{1080}\) simplificada con el máximo común divisor 120 es \(\dfrac{16}{9}\).
Escribir una razón en su forma irreducible te permite ver de un vistazo si dos formas son iguales, así que esta idea se usa a diario en vídeo, diseño e impresión.

Leer la relación de transmisión de una bicicleta o de una máquina

En una bicicleta con 48 dientes en el plato delantero y 18 en el piñón trasero, la relación de transmisión es \(\dfrac{48}{18}\), que simplificada da \(\dfrac{8}{3}\). Se ve enseguida que «una vuelta de los pedales hace girar la rueda trasera \(\dfrac{8}{3}\) de vuelta (unas 2,67 vueltas)».
En el diseño de máquinas con engranajes, la razón simplificada es el lenguaje básico para describir las especificaciones.

Recordar una receta como una razón para preparar cualquier cantidad

Un concentrado de zumo (o un sirope) suele indicar que se mezcle una botella de 250 ml con 750 ml de agua. Simplifica \(\dfrac{250}{750}\) a \(\dfrac{1}{3}\) y recuérdalo como «1 parte de concentrado por 3 partes de agua», y podrás preparar el mismo sabor para 2 personas o para 10.
Las recetas profesionales suelen escribirse como razones del tipo «1:3» porque se han simplificado a la razón más sencilla.

Leer una probabilidad como «una vez cada tantas veces»

La probabilidad de que dos dados sumen 3 es \(\dfrac{2}{36}\) si te limitas a contar, pero simplificada a \(\dfrac{1}{18}\), puedes leerla como «más o menos una vez cada 18 lanzamientos».
Las probabilidades suelen salir de un cálculo sin simplificar, y desde las probabilidades de la lotería hasta la planificación de los seguros, simplificar es imprescindible siempre que le expliques una probabilidad a alguien.

Fórmula

Simplificar (dividir el numerador y el denominador entre el MCD)

Notación matemática (la notación habitual)

\(N\) \(=\) \(n\) \(\div\) \(g\)

\(D\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(g\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(N\): numerador simplificado \(=\) ① \(n\): numerador original \(\div\) ② \(g\): máximo común divisor

⑥ \(D\): denominador simplificado \(=\) ④ \(d\): denominador original \(\div\) ⑤ \(g\): máximo común divisor

La fórmula en palabras

① Divide el \(n\): numerador original

② entre el \(g\): máximo común divisor

③ y obtienes el \(N\): numerador simplificado

④ Divide el \(d\): denominador original

⑤ entre el mismo \(g\): máximo común divisor

⑥ y obtienes el \(D\): denominador simplificado

Un ejemplo sencillo

Al simplificar \(\dfrac{12}{18}\) (el máximo común divisor de 12 y 18 es 6)

\(N\): numerador simplificado \(=\) numerador original (12) \(\div\) MCD (6)

\(D\): denominador simplificado \(=\) denominador original (18) \(\div\) MCD (6)

\(12 \div 6 = 2,\quad 18 \div 6 = 3\)

\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\)

La idea clave

Una fracción conserva el mismo valor si multiplicas o divides su numerador y su denominador por el mismo número. Simplificar usa esta propiedad. Si divides entre el máximo común divisor, con una sola división llegas directamente a la forma que ya no se puede simplificar más (la fracción irreducible). Dividir entre un divisor común más pequeño (por ejemplo, 2) no es un error, pero después tienes que volver a simplificar.

Cómo hallar el máximo común divisor \(g\)

Notación matemática (la notación habitual)

\(g\) \(=\) \(\gcd(\) \(n\) \(,\) \(d\) \()\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(g\): máximo común divisor \(=\) \(\gcd(\) ① \(n\): numerador \(,\) ② \(d\): denominador \()\)

La fórmula en palabras

① De los números que dividen a la vez al \(n\): numerador

② y al \(d\): denominador de forma exacta (los divisores comunes), el mayor es el

③ \(g\): máximo común divisor

Un ejemplo sencillo

El máximo común divisor de 12 y 18 (descompón cada uno en factores primos y multiplica los factores primos comunes)

\(g\): máximo común divisor \(=\) \(\gcd(\) numerador (12) \(,\) denominador (18) \()\)

\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(g = 2 \times 3 = 6\)

La idea clave

Con números pequeños, basta con escribir los divisores y buscar el mayor que tengan en común (los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12, y los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18, así que el mayor común es 6). Con números grandes, puedes usar la descomposición en factores primos y multiplicar los factores primos comunes, o usar el algoritmo de Euclides (dividir el número mayor entre el menor y seguir sustituyendo por el resto). En Excel, la función M.C.D lo halla de un solo paso, y en Python, math.gcd.

Pasar un número mixto a fracción impropia

Notación matemática (la notación habitual)

\(N\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(d\) \(+\) \(n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(N\): numerador de la fracción impropia \(=\) ① \(w\): parte entera \(\times\) ② \(d\): denominador \(+\) ③ \(n\): numerador

La fórmula en palabras

① Multiplica la \(w\): parte entera

② por el \(d\): denominador

③ y suma el \(n\): numerador

④ y obtienes el \(N\): numerador de la fracción impropia (el denominador no cambia)

Un ejemplo sencillo

Al pasar el número mixto \(2\dfrac{21}{98}\) (dos y veintiuno noventa y ochoavos) a fracción impropia

\(N\): numerador de la fracción impropia \(=\) parte entera (2) \(\times\) denominador (98) \(+\) numerador (21)

\(2 \times 98 + 21 = 217\)

\(2\dfrac{21}{98} = \dfrac{217}{98}\)

La idea clave

Un número mixto es difícil de simplificar tal cual, así que primero pásalo a fracción impropia (una fracción cuyo numerador es igual o mayor que su denominador). Para ver por qué funciona la fórmula, piensa en la parte entera como tantas fracciones iguales a 1 con el mismo denominador (2 son dos veces \(\dfrac{98}{98}\), es decir, \(\dfrac{196}{98}\)).

Pasar una fracción impropia a número mixto

Notación matemática (la notación habitual)

\(N\) \(=\) \(q\) \(\times\) \(D\) \(+\) \(r\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(N\): numerador de la fracción impropia \(=\) ③ \(q\): cociente (la parte entera) \(\times\) ② \(D\): denominador \(+\) ④ \(r\): resto (el nuevo numerador)

La fórmula en palabras

① Divide el \(N\): numerador de la fracción impropia

② entre el \(D\): denominador

③ El \(q\): cociente pasa a ser la parte entera del número mixto, y

④ el \(r\): resto pasa a ser el numerador de la parte fraccionaria (el denominador sigue siendo \(D\))

Un ejemplo sencillo

Al pasar la fracción impropia \(\dfrac{31}{14}\) a número mixto (31 ÷ 14 = 2, resto 3)

numerador de la fracción impropia (31) \(=\) cociente (2) \(\times\) denominador (14) \(+\) resto (3)

\(31 = 2 \times 14 + 3\)

\(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\)

La idea clave

Con el cociente y el resto de «numerador ÷ denominador», puedes pasar una fracción impropia a número mixto. En una fracción negativa, quita el signo, haz el mismo cálculo y al final pon el signo delante de todo el número mixto (por ejemplo, \(-\dfrac{31}{14}\) → \(-2\dfrac{3}{14}\)).

Para simplificar una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador entre su máximo común divisor. Pasa un número mixto a fracción impropia antes de simplificar, y después convierte el resultado otra vez en número mixto o en decimal si lo necesitas.

Símbolos y términos

Símbolos

\(n\)	n minúscula	El numerador (el número de arriba) de la fracción antes de simplificar. Ejemplo: el 21 de \(\dfrac{21}{98}\)
\(d\)	d minúscula	El denominador (el número de abajo) de la fracción antes de simplificar. Ejemplo: el 98 de \(\dfrac{21}{98}\)
\(g\)	g	El máximo común divisor del numerador y el denominador. Para simplificar, se dividen los dos entre este número. Ejemplo: para 21 y 98, es 7
\(N\)	N mayúscula	El nuevo numerador después de un cálculo. En esta página es el numerador simplificado, o el numerador que se obtiene al pasar un número mixto a fracción impropia.
\(D\)	D mayúscula	El nuevo denominador después de simplificar. Ejemplo: el 14 de \(\dfrac{3}{14}\), la forma simplificada de \(\dfrac{21}{98}\)
\(w\)	w	La parte entera de un número mixto (la «w» viene del inglés «whole number»). Ejemplo: el 2 de \(2\dfrac{3}{14}\)
\(q\)	q	El cociente de dividir el numerador entre el denominador (la «q» viene del inglés «quotient»). Pasa a ser la parte entera del número mixto.
\(r\)	r	El resto de dividir el numerador entre el denominador (la «r» viene de «resto»). Pasa a ser el numerador de la parte fraccionaria del número mixto.
\(\gcd(n, d)\)	mcd de n y d	La notación de «el máximo común divisor de \(n\) y \(d\)». GCD son las siglas inglesas de «greatest common divisor»; en español también se escribe m.c.d.(n, d).

Términos

simplificar	Dividir el numerador y el denominador de una fracción entre un divisor común para dejarla más sencilla. También se llama reducir una fracción. El valor en sí no cambia.
fracción irreducible	Una fracción es irreducible cuando ya no se puede simplificar más. El máximo común divisor de su numerador y su denominador es 1. Cuando un examen dice «simplifica el resultado», esta es la forma que hay que usar.
divisor común	Un divisor que comparten dos o más números. Ejemplo: los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6.
máximo común divisor (MCD)	El mayor de los divisores comunes. En inglés se llama «greatest common factor» (GCF) o «greatest common divisor» (GCD).
fracción impropia	Una fracción como \(\dfrac{31}{14}\), cuyo numerador es igual o mayor que su denominador. Su valor es 1 o más.
número mixto	Un número como \(2\dfrac{3}{14}\), escrito con una parte entera seguida de una parte fraccionaria. Tiene el mismo valor que una fracción impropia, pero hace que el tamaño sea más fácil de imaginar.
fracción propia	Una fracción como \(\dfrac{3}{14}\), cuyo numerador es menor que su denominador. Su valor es menor que 1. La parte fraccionaria de un número mixto es siempre una fracción propia.
descomposición en factores primos	Escribir un número como un producto de números primos (por ejemplo, \(12 = 2 \times 2 \times 3\)). Al multiplicar los factores primos que comparten dos números se obtiene su máximo común divisor.
algoritmo de Euclides	Un método para hallar el máximo común divisor que divide el número mayor entre el menor y repite el proceso con la pareja «divisor y resto». Es rápido incluso con números grandes.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.

Qué es una fracción (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber que una fracción representa «un número de las partes iguales en que se divide 1» Conocer los nombres y las funciones del numerador (el número de arriba) y del denominador (el número de abajo)
Divisores, divisores comunes y MCD (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber escribir todos los divisores de un número (por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12) Saber que el mayor de los divisores que comparten dos números (sus divisores comunes) es el máximo común divisor
Fracciones equivalentes, simplificación, fracciones impropias y números mixtos (5.º de Primaria, 10-11 años)	Saber que multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número no cambia el valor de una fracción Saber pasar de fracciones impropias a números mixtos y al revés (por ejemplo, \(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\))
División con resto (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber dividir con cociente y resto, como en «31 ÷ 14 = 2, resto 3»

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para simplificar (dividir el numerador y el denominador entre el MCD)

Numerador original n	21
Denominador original d	98
Máximo común divisor g	=M.C.D(B1;B2)
Numerador simplificado N	=B1/B3
Denominador simplificado D	=B2/B3

Tabla para hallar el máximo común divisor

Primer número (numerador)	12
Segundo número (denominador)	18
Máximo común divisor g	=M.C.D(B1;B2)

Tabla para hallar el numerador al pasar un número mixto a fracción impropia

Parte entera w	2
Numerador n	21
Denominador d	98
Numerador de la fracción impropia N	=B1*B3+B2

Tabla para pasar una fracción impropia a número mixto

Numerador de la fracción impropia N	31
Denominador D	14
Parte entera (cociente) q	=COCIENTE(B1;B2)
Resto (numerador de la parte fraccionaria) r	=RESIDUO(B1;B2)

Al pegar la tabla, las filas de arriba son tus datos y las celdas que empiezan por «=» se calculan solas.
M.C.D halla el máximo común divisor, COCIENTE halla el cociente (la parte entera) y RESIDUO halla el resto.
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra el máximo común divisor 7, B4 el numerador simplificado 3 y B5 el denominador simplificado 14 (\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)).
Para pasar una fracción negativa a número mixto, calcula sin el signo y añádelo al final.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para simplificar (dividir el numerador y el denominador entre el MCD)

Numerador original n	21
Denominador original d	98
Máximo común divisor g	=M.C.D(B1;B2)
Numerador simplificado N	=B1/B3
Denominador simplificado D	=B2/B3

Tabla para hallar el máximo común divisor

Primer número (numerador)	12
Segundo número (denominador)	18
Máximo común divisor g	=M.C.D(B1;B2)

Tabla para hallar el numerador al pasar un número mixto a fracción impropia

Parte entera w	2
Numerador n	21
Denominador d	98
Numerador de la fracción impropia N	=B1*B3+B2

Tabla para pasar una fracción impropia a número mixto

Numerador de la fracción impropia N	31
Denominador D	14
Parte entera (cociente) q	=COCIENTE(B1;B2)
Resto (numerador de la parte fraccionaria) r	=RESIDUO(B1;B2)

Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual (M.C.D, COCIENTE y RESIDUO también existen en las Hojas de cálculo de Google en español).
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números de la columna B por los de tu fracción.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction
from math import gcd

whole = 2          # parte entera del número mixto (0 si es una fracción normal)
numerator = 21     # numerador
denominator = 98   # denominador

improper_numerator = whole * denominator + numerator    # numerador al pasar a fracción impropia
g = gcd(improper_numerator, denominator)                # máximo común divisor del numerador y del denominador
simplified = Fraction(improper_numerator, denominator)  # fracción irreducible (Fraction simplifica solo)
q, r = divmod(abs(simplified.numerator), simplified.denominator)  # parte entera y resto para el número mixto

print(f"Como fracción impropia: {improper_numerator}/{denominator}")
print(f"Máximo común divisor: {g}")
print(f"Fracción irreducible: {simplified}")
print(f"Como número mixto: {q} {r}/{simplified.denominator}")
print(f"En forma decimal: {float(simplified)}")

Funciona solo con la biblioteca estándar. Fraction es un tipo que simplifica las fracciones solo, y math.gcd es una función que halla el máximo común divisor. Cambia los tres números del principio y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Simplificar (dividir el numerador y el denominador entre el MCD)

n/d = (n ÷ g)/(d ÷ g)

\dfrac{n}{d} = \dfrac{n \div g}{d \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n/d = (n -: g)/(d -: g)

(n/g)/(d/g)

(n/g)/(d/g);

N = n/g; D = d/g;

n/d = (n/g)/(d/g)

Cómo hallar el máximo común divisor \(g\)

g = gcd(n, d)

g = \gcd(n,\ d)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>gcd</mi>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
</math>

g = gcd(n, d)

GCD[n, d]

g := gcd(n, d);

g = gcd(n, d);

g = gcd(n, d)

Pasar un número mixto a fracción impropia

N = w × d + n

N = w \times d + n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>w</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

N = w xx d + n

w*d + n

N := w*d + n;

N = w*d + n;

N = w × d + n

Pasar una fracción impropia a número mixto

N = q × D + r

N = q \times D + r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>D</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

N = q xx D + r

q*d + r  (* d en minúscula porque D (el operador derivada) es una palabra reservada de Mathematica *)

N := q*d + r;  # d en minúscula porque D (el operador derivada) es una palabra reservada de Maple

N = q*D + r;

N = q × D + r

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo con fracciones. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Simplifica el número mixto «2 y 21/98» a su forma más sencilla.
Halla cada uno de estos puntos:
1. El número mixto escrito como fracción impropia
2. El máximo común divisor del numerador y del denominador
3. La fracción irreducible (como fracción impropia y como número mixto)
4. El valor en forma decimal

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula