Calculadora de TIR (tasa interna de retorno a partir de flujos de caja)

Introduce la inversión inicial y el flujo de caja de cada año a partir del año 1 (el dinero recibido ese año). La calculadora halla el tipo de descuento que hace que el VAN (valor actual neto) sea exactamente 0, que es la TIR (tasa interna de retorno).

Inversión inicial (€)

Escribe los importes en euros como números. Escribe la inversión inicial como una cantidad positiva (se trata como un desembolso negativo). Si invertiste más en un año posterior, escribe una cantidad negativa en ese año (por ejemplo, -50000); deja en blanco o en 0 los años en los que no se mueve dinero. Puedes añadir filas con «Añadir una fila» hasta 20 años (20 años bastan para la mayoría de las decisiones de inversión).

Resultado y gráfico

Escribe a la izquierda la inversión inicial y el flujo de caja de cada año y pulsa «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y gráficos
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce la inversión inicial y el flujo de caja de cada año (el dinero recibido ese año) y obtendrás la TIR (tasa interna de retorno, por año)
También se muestran a la vez el periodo de inversión, el retorno total (la ganancia o pérdida de todo el periodo) y el retorno bruto
Los importes de cada año pueden ser todos distintos, y se admiten inversiones adicionales en años posteriores (flujos de caja negativos)
Un gráfico del VAN (valor actual neto) muestra de un vistazo dónde el VAN se hace 0, que es la TIR
En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Esta página supone un flujo de caja por año. Para hallar el tipo de una inversión con pagos iguales en cada periodo, es útil la «Calculadora financiera» de las páginas relacionadas (despejando I/Y). La TIR de esta página es un cálculo matemático que no incluye comisiones ni impuestos, y esta página no recomienda ninguna inversión.

¿Para qué sirve este cálculo?

Decidir sobre una inversión en equipos (presupuesto de capital y tipo mínimo exigido)

«Si instalamos una máquina de 4.000.000 €, esperamos un ahorro de costes de 1.000.000 €, 2.000.000 € y 3.000.000 € en 3 años». Con esta estimación, la TIR es de aproximadamente un 19,4 % anual. En las decisiones de inversión de las empresas, el uso habitual es comparar esta TIR con la rentabilidad mínima exigida (el tipo mínimo exigido, como el tipo de endeudamiento o el coste de capital) y aceptar el proyecto si es mayor. Todos los manuales de finanzas corporativas lo explican.
Los flujos de caja futuros son solo estimaciones, así que es buena práctica calcular también con una estimación prudente.

Evaluar un piso de alquiler (el alquiler de cada año más la venta final)

El dinero de una inversión inmobiliaria fluye así: compras el inmueble primero, entra el alquiler cada año y al final entra el precio de venta, así que los importes de cada año son todos distintos. La fortaleza de la TIR es convertir flujos de caja irregulares como estos en una sola tasa anual, y los inversores inmobiliarios la usan mucho para comparar inmuebles.
A diferencia de la rentabilidad bruta (alquiler ÷ precio), también incluye la ganancia o pérdida de la venta y los años en los que los periodos sin inquilino recortan el alquiler.

Comprobar si las placas solares o los equipos de ahorro energético se amortizan

La energía solar de una vivienda tiene un flujo de caja que encaja con la TIR: pagas primero la instalación y después, cada año, ahorras en la factura de la luz y, si tu instalación se acoge a la compensación simplificada de excedentes del autoconsumo (Real Decreto 244/2019, para instalaciones renovables de hasta 100 kW), la energía que viertes a la red se descuenta de la parte de energía de tu factura. Por ejemplo, si la instalación cuesta 8000 €, anota los ahorros anuales y calcula la TIR, y podrás comparar la instalación con una cuenta de ahorro o un fondo indexado en la misma escala: «este equipo es como una inversión que rinde un X % al año».
El resultado cambia cuando cambian los supuestos, como el precio de la electricidad, las reglas de la compensación o la vida útil del equipo, así que conviene calcular varios escenarios. (El importe de 8000 € es solo un ejemplo.)

Medir el rendimiento de fondos y de operaciones de M&A (carreras financieras)

En los fondos de inversión como el capital riesgo (venture capital) y el private equity, la TIR es la medida estándar del rendimiento del fondo. El momento en que se reclama el dinero a los inversores y el momento en que se devuelve es distinto en cada fondo, así que solo la TIR, que tiene en cuenta el tiempo, permite una comparación justa.
Los bancos de inversión y las empresas que estudian una operación de M&A (fusiones y adquisiciones) también calculan la TIR a partir del precio de compra y del plan de beneficios futuros para decidir si siguen adelante. Es uno de los primeros cálculos que se aprenden al orientarse a una carrera en finanzas.

Comprobar con números que el dinero que vuelve antes vale más

Supón que las inversiones A y B cuestan 100.000 € cada una y las dos devuelven 150.000 € en total en 5 años (un retorno total de 50.000 € y un retorno bruto del 50 %). A paga más al principio (5000 €, 20.000 €, 25.000 €, 40.000 €, 60.000 €), mientras que B paga sobre todo al final (0 €, 10.000 €, 30.000 €, 30.000 €, 80.000 €).
Los totales son iguales, pero la TIR de A es del 11,290 % anual y la de B, del 10,259 %, así que A, que devuelve el dinero antes, sale ganando. El dinero que vuelve se puede volver a invertir. La TIR te muestra en números este valor temporal del dinero.

Fórmulas y gráficos

Convertir el dinero de dentro de \(t\) años en su valor de hoy (valor actual)

Gráfico

Notación matemática (la notación habitual)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(PV\): valor actual \(=\) ① \(CF_t\): flujo de caja del año \(t\) \(\div\) ② factor de descuento de un año \((1+r)\) ③ \(t\): años

La fórmula en palabras

① Toma el \(CF_t\): flujo de caja del año \(t\)

② y divídelo entre el factor de descuento de un año \((1+r)\) (\(r\) es el tipo de descuento)

③ multiplicado por sí mismo una vez por cada uno de los \(t\): años

④ y obtendrás el \(PV\): valor actual

Un ejemplo sencillo

Con un tipo de descuento del 10 %, el valor actual de 1.210.000 € que recibes dentro de 2 años es (en unidades de 10.000 €)

\(PV\): valor actual \(=\) dinero dentro de 2 años (1.210.000 €) \(\div\) factor de descuento (1,1) años (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

La idea clave

Si el dinero puede rendir un 10 % anual, «1.000.000 € hoy» y «1.210.000 € dentro de 2 años» valen lo mismo. Convertir el dinero futuro en lo que vale hoy se llama actualización (o descuento), y el tipo anual \(r\) que se usa se llama tipo de descuento. El dinero tiene un valor temporal: esta es la idea en la que se basa la TIR.

La fórmula del VAN (valor actual neto)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ VAN: valor actual neto \(=\) ① \(CF_0\): inversión inicial (un valor negativo) \(+\) ② suma de los valores actuales de los flujos de caja del año 1 al año \(n\)

La fórmula en palabras

① Al \(CF_0\): inversión inicial (dinero que pagas, así que es negativo)

② súmale la suma de los valores actuales del flujo de caja de cada año (el dinero de cada año convertido en valor de hoy con la fórmula 1 y después sumado)

③ y obtendrás el VAN: valor actual neto

Un ejemplo sencillo

Con un tipo de descuento del 10 %, el VAN de una inversión de 1.000.000 € que devuelve 550.000 € el año 1 y 605.000 € el año 2 es (en unidades de 10.000 €)

VAN: valor actual neto \(=\) inversión inicial (−1.000.000 €) \(+\) suma de los valores actuales de 550.000 € y 605.000 €

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

La idea clave

El VAN es lo que obtienes al convertir todo el dinero que entra y sale de una inversión en valor de hoy y sumarlo. Si es positivo, la inversión rinde más que el tipo de descuento \(r\); si es negativo, menos; si es exactamente 0, exactamente igual que ganar \(r\). El VAN del ejemplo es exactamente 0 porque esta inversión rinde justo un 10 % anual.

Definición de la TIR (tasa interna de retorno)

Gráfico

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① el VAN calculado con la \(\mathrm{TIR}\) como tipo de descuento \(=\) ② exactamente \(0\)

La fórmula en palabras

① El VAN calculado con la \(\mathrm{TIR}\) como tipo de descuento

② es exactamente \(0\) . El tipo de descuento que cumple esto es la tasa interna de retorno, la TIR, y muestra la rentabilidad por año de la inversión

Un ejemplo sencillo

Para la inversión de 1.000.000 € que devuelve 550.000 € el año 1 y 605.000 € el año 2, el VAN es exactamente 0 con un tipo de descuento del 10 %, como en el ejemplo de la fórmula 2, así que

VAN (con un tipo de descuento del 10 %) \(=\) exactamente 0

\(\mathrm{TIR} = 0{,}10\ \ (10\,\%)\)

La idea clave

Esta ecuación no se puede reordenar para dejarla en la forma \(\mathrm{TIR}=\cdots\) (se convierte en una ecuación de grado \(n\)). En su lugar, un ordenador cambia poco a poco el tipo de descuento \(r\), calcula el VAN y busca dónde se hace 0 (un método numérico). La calculadora de esta página la resuelve igual. Una advertencia: cuando los signos (más y menos) de los flujos de caja cambian dos veces o más, por ejemplo «invertir → cobrar → volver a invertir una cantidad grande», más de un tipo de descuento puede hacer que el VAN sea 0 (el problema de las TIR múltiples). En ese caso la calculadora muestra un aviso. En las inversiones con varias TIR, lo habitual es decidir por el VAN y no por la TIR.

Retorno total y retorno bruto

Notación matemática (la notación habitual)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(TR\): retorno total \(=\) ① \(S\): total del dinero recibido \(-\) ② \(C_0\): inversión inicial

⑤ \(G\): retorno bruto \(=\) \(TR\): retorno total \(\div\) ④ \(C_0\): inversión inicial

La fórmula en palabras

① Al \(S\): total del dinero recibido

② réstale la \(C_0\): inversión inicial

③ para obtener el \(TR\): retorno total (la ganancia o pérdida de todo el periodo). Divídelo de nuevo entre la

④ \(C_0\): inversión inicial

⑤ y obtendrás el \(G\): retorno bruto (multiplica por 100 para escribirlo en %)

Un ejemplo sencillo

Si inviertes 4.000.000 € y recibes 1.000.000 € el año 1, 2.000.000 € el año 2 y 3.000.000 € el año 3 (en unidades de 10.000 €)

\(TR\): retorno total \(=\) total recibido (6.000.000 €) \(-\) inversión inicial (4.000.000 €)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)

La idea clave

El retorno bruto es el % que ganaste en comparación con la inversión a lo largo de todo el periodo, e ignora el tiempo. Ganar un 50 % en 3 años y ganar un 50 % en 10 años son cosas muy distintas. La TIR tiene en cuenta el valor temporal y convierte el resultado en una rentabilidad por año, y es el valor principal de esta página. De hecho, el retorno bruto de este ejemplo es del 50 %, pero la TIR es del 19,438 % anual.

La TIR (tasa interna de retorno) es el tipo de descuento que hace que el VAN (valor actual neto) sea exactamente 0, es decir, la rentabilidad por año de la inversión. No se puede despejar reordenando la fórmula, así que se halla numéricamente cambiando poco a poco el tipo de descuento. Aun con el mismo retorno total, cuanto antes vuelve el dinero, mayor es la TIR.

Símbolos y términos

Símbolos

TIR	te i erre	La tasa interna de retorno (Internal Rate of Return, IRR en inglés). El tipo de descuento que hace que el VAN sea exactamente 0; muestra la rentabilidad por año de la inversión. (Ejemplo - si inviertes 4.000.000 € y recibes 1.000.000 €, 2.000.000 € y 3.000.000 € a lo largo de 3 años, la TIR es del 19,438 % anual.)
VAN	uve a ene	El valor actual neto (Net Present Value, NPV en inglés). Todo el dinero que entra y sale de una inversión, convertido en valor de hoy y sumado. Si es positivo, la inversión rinde más que el tipo de descuento.
\(CF_t\)	ce efe sub te	El flujo de caja del año \(t\). El dinero recibido ese año (negativo si fue dinero pagado).
\(CF_0\)	ce efe sub cero	El flujo de caja del año 0 (ahora). La inversión inicial es dinero pagado, así que es negativa. En esta calculadora la escribes como una cantidad positiva y se trata como negativa.
\(r\)	erre	El tipo de descuento. El tipo anual que se usa para convertir el dinero futuro en valor de hoy. La TIR es la \(r\) especial para la que el VAN es 0.
\(t\)	te	El número del año. Cuenta en qué año está el dinero, con el momento de la inversión como año 0.
\(n\)	ene	El periodo de inversión en años. El año del último flujo de caja.
\(PV\)	pe uve	El valor actual (Present Value; en español se abrevia VA). El dinero futuro convertido en su valor de hoy.
\(S\)	ese	El total del dinero recibido. Todos los flujos de caja del año 1 al año \(n\) sumados (las inversiones adicionales se suman como cantidades negativas).
\(TR\)	te erre	El retorno total (Total Return). El total recibido menos la inversión inicial, la ganancia o pérdida de todo el periodo.
\(G\)	ge	El retorno bruto (Gross Return). El retorno total como % de la inversión inicial, un % de todo el periodo que ignora el tiempo. Ten en cuenta que en el sector de los fondos de inversión «rentabilidad bruta» suele significar otra cosa, la rentabilidad antes de comisiones.

Términos

flujo de caja	El dinero que entra o sale. El dinero recibido es un número positivo y el dinero pagado, un número negativo. Para la TIR importan tanto cuándo como cuánto se mueve el dinero.
tipo de descuento	El tipo anual que se usa para convertir el dinero futuro en valor de hoy (para actualizarlo). Por ejemplo, 110.000 € dentro de un año, actualizados al 10 % anual, son 100.000 € hoy.
valor actual	Lo que vale hoy el dinero futuro. Como el dinero tiene un valor temporal, cuanto más tarde recibes los mismos 1.000.000 €, menor es su valor actual.
VAN (valor actual neto)	La suma de los valores actuales de todos los flujos de caja de una inversión. Un VAN positivo indica que la inversión rinde más que el tipo de descuento. Es la vara de medir más básica para decidir una inversión.
TIR (tasa interna de retorno)	El tipo de descuento que hace que el VAN sea exactamente 0. Muestra en una sola cifra a qué rentabilidad por año equivale la inversión, por lo que se usa mucho para evaluar proyectos empresariales e inmuebles.
tipo mínimo exigido	La rentabilidad mínima que se exige a una inversión (como el coste de capital). En la práctica, un proyecto se acepta si su TIR supera el tipo mínimo exigido (en inglés, hurdle rate).
problema de las TIR múltiples	Una propiedad matemática: cuando los signos de los flujos de caja cambian dos veces o más, dos o más tipos de descuento pueden hacer que el VAN sea 0. En ese caso la TIR sola no permite decidir, así que se decide por el VAN.
método numérico	Una forma de resolver una ecuación que no se puede resolver reordenando, en la que un ordenador prueba valores poco a poco y se acerca a la respuesta. La TIR se halla así (bisección, método de Newton y otros).

Qué conviene saber de antemano

Aquí tienes lo que te ayudará a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.

Porcentajes (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que un porcentaje se halla como «parte ÷ total» Saber pasar de decimales a porcentajes y al revés, como 0,5 y 50 %
Números enteros (1.º de ESO, 12-13 años)	Escribir un pago (dinero que sale) como un número negativo Sumar números positivos y negativos juntos
Potencias (1.º–2.º de ESO, 12-14 años)	Saber que una potencia es una multiplicación repetida del mismo número, como en \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\) Tener la intuición de que multiplicar una y otra vez por un número mayor que 1 hace que el resultado siga creciendo
La idea de una ecuación (1.º–2.º de ESO, 12-14 años)	Entender una ecuación como la búsqueda del valor de una letra que hace iguales los dos lados Saber que algunas ecuaciones no se pueden resolver reordenando, y que entonces puedes acercarte a la respuesta probando valores (un método numérico)
Interés compuesto y valor temporal del dinero (Bachillerato, Economía y Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, 16-18 años)	Saber que el dinero que rinde \(r\) al año se multiplica por \((1+r)\) cada año Saber que, al revés, dividir el dinero futuro entre \((1+r)\) lo convierte en su valor de hoy (la actualización y el valor actual)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para el valor actual del dinero de dentro de t años

Dinero recibido dentro de t años (€)	110000
Tipo de descuento (%)	10
Años t	1
Valor actual (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabla para el VAN (valor actual neto)

Inversión inicial (escríbela en negativo)	-1000000
Flujo de caja del año 1	550000
Flujo de caja del año 2	605000
Tipo de descuento (%)	10
VAN (€)	=VNA(B4/100;B2:B3)+B1

Tabla para la TIR (tasa interna de retorno)

Inversión inicial (escríbela en negativo)	-4000000
Flujo de caja del año 1	1000000
Flujo de caja del año 2	2000000
Flujo de caja del año 3	3000000
TIR (%)	=TIR(B1:B4)*100

Tabla para el retorno total y el retorno bruto

Inversión inicial	4000000
Total del dinero recibido	6000000
Retorno total (€)	=B2-B1
Retorno bruto (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel tiene una función propia para la TIR. Como en la tercera tabla, pasa la lista de flujos de caja, con la inversión inicial escrita en negativo, a «=TIR(B1:B4)» y obtendrás aproximadamente 19,438 (%) en el ejemplo.
La función VNA de la segunda tabla (la del VAN) tiene una trampa muy conocida. La función VNA de Excel debe incluir en su rango solo el dinero a partir del año 1; la inversión inicial (año 0) se suma fuera de la función (el ejemplo da exactamente 0).
La primera tabla da exactamente 100000, y la cuarta da un retorno total de 2000000 y un retorno bruto del 50 %. Solo tienes que cambiar la columna B por tus propios números.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para el valor actual del dinero de dentro de t años

Dinero recibido dentro de t años (€)	110000
Tipo de descuento (%)	10
Años t	1
Valor actual (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabla para el VAN (valor actual neto)

Inversión inicial (escríbela en negativo)	-1000000
Flujo de caja del año 1	550000
Flujo de caja del año 2	605000
Tipo de descuento (%)	10
VAN (€)	=VNA(B4/100;B2:B3)+B1

Tabla para la TIR (tasa interna de retorno)

Inversión inicial (escríbela en negativo)	-4000000
Flujo de caja del año 1	1000000
Flujo de caja del año 2	2000000
Flujo de caja del año 3	3000000
TIR (%)	=TIR(B1:B4)*100

Tabla para el retorno total y el retorno bruto

Inversión inicial	4000000
Total del dinero recibido	6000000
Retorno total (€)	=B2-B1
Retorno bruto (%)	=(B2-B1)/B1*100

Las mismas fórmulas y las mismas funciones TIR y VNA que en Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia la columna B por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

initial_investment = 4000000                     # inversión inicial (€)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # flujo de caja de cada año a partir del año 1 (€)

# VAN (valor actual neto): convertir cada flujo de caja en valor de hoy y sumarlos
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# Hallar por bisección el tipo de descuento para el que el VAN es 0 (la TIR)
# (una versión sencilla para inversiones normales cuyos signos cambian una sola vez)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"TIR: {irr * 100:.3f} %")
print(f"Retorno total: {total_return} €")
print(f"Retorno bruto: {gross_return:.3f} %")

Funciona solo con la biblioteca estándar. La TIR no se puede despejar reordenando la fórmula, así que se halla por bisección (un método numérico que reduce a la mitad, una y otra vez, el intervalo para acercarse a la respuesta). Cambia la inversión inicial y la lista de flujos de caja del principio y ejecútalo (el ejemplo da 19,438 %). Ten en cuenta que Python escribe los decimales con punto.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Convertir el dinero de dentro de \(t\) años en su valor de hoy (valor actual)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

La fórmula del VAN (valor actual neto)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Definición de la TIR (tasa interna de retorno)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Retorno total y retorno bruto

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de inversiones. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Invertí 4.000.000 € y recibí 1.000.000 € el año 1, 2.000.000 € el año 2 y 3.000.000 € el año 3.
Halla lo siguiente:
1. La TIR (tasa interna de retorno, en %, con 3 decimales) = la r que hace que VAN(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3 sea 0
2. El retorno total (en euros)
3. El retorno bruto (en %, con 3 decimales)

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