Elige qué quieres contar y escribe después el número de tipos n y el número de elementos r (o una palabra, para reordenar letras). La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes editar directamente los números en ella.
Escribe n y r como números enteros (n de 1 a 1000, r de 0 a 1000). Se muestran exactamente todas las cifras de la respuesta, aunque tenga decenas de cifras. Para reordenar letras, puedes escribir hasta 30 caracteres. Los espacios se ignoran y las mayúsculas y las minúsculas cuentan como letras distintas.
Resultado y figura
Elige qué quieres contar en los campos de la izquierda, escribe el número de tipos y de elementos (o una palabra) y haz clic en «Calcular». El resultado y una figura aparecerán aquí.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y figuras
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Variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r}\) (ordenar \(r\) elementos, con repetición)
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Combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (elegir \(r\) elementos, con repetición)
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Permutaciones con repetición (reordenar elementos entre los que hay idénticos, como los anagramas)
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¿Qué fórmula usar? (ordenar o solo elegir × con repetición o sin ella)
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
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Cómo calcularlo con Excel
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Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
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Cómo calcularlo con Python
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La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
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Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
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Las ventajas de DataChef
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Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Calcula las variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\), que ordenan \(r\) elementos de \(n\) tipos cuando se puede usar el mismo tipo cualquier número de veces (ejemplo: un PIN de 4 cifras con los 10 dígitos del 0 al 9)
- Calcula las combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\), que eligen \(r\) elementos cuando se puede elegir el mismo tipo cualquier número de veces (ejemplo: comprar 5 botellas de 3 tipos de zumo)
- Escribe una palabra como «TOMATO» para contar las formas de reordenar sus letras aunque haya letras repetidas (permutaciones con repetición o anagramas, hasta 30 letras)
- ¿No sabes si usar \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) o \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)? Se incluye un diagrama de decisión basado en «¿Importa el orden?» y «¿Se puede elegir otra vez el mismo elemento?»
- Las respuestas se muestran con todas sus cifras, sin redondear, aunque tengan decenas de cifras. En las respuestas largas se añade un valor aproximado como \(1{,}2345 \times 10^{18}\)
- En esta misma página también encontrarás diagramas de las combinaciones con repetición con círculos y barras (estrellas y barras) y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Si solo necesitas las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) o las combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) sin repetición (un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido), consulta la página de la calculadora de variaciones, permutaciones y combinaciones.
¿Para qué sirve este cálculo?
Poner un número a lo difícil que es adivinar un PIN o una contraseña (seguridad)
Un PIN de 4 cifras formado con los 10 dígitos del 0 al 9, en el que se puede usar el mismo dígito cualquier número de veces, tiene \(10^{4} = 10000\) posibilidades. Cada cifra más lo multiplica por 10, así que 6 cifras dan 1 millón.
Una contraseña que puede usar 62 tipos de caracteres (mayúsculas, minúsculas y dígitos) tiene \(62^{8} = 218.340.105.584.896\) posibilidades con 8 caracteres (unos 218 billones). La fórmula de las variaciones con repetición te permite comparar cuánto ayudan «más tipos de caracteres» y «una contraseña más larga».
Cuánta información puede expresar un dato digital (informática)
Los ordenadores representan la información con solo 2 tipos de símbolos, 0 y 1. Un byte, una fila de 8 de ellos, puede mostrar \(2^{8} = 256\) patrones. Por eso se dice que un byte tiene 256 niveles.
El color completo, con 8 bits para el rojo, 8 para el verde y 8 para el azul, da \(2^{24} = 16.777.216\) colores, unos 16,7 millones. El número de colores de pantalla, la profundidad de bits del audio, el número de direcciones IP y demás, el «cuántas cosas puede representar» de cualquier dispositivo digital, se reduce a las variaciones con repetición.
Por qué el código genético usa 3 letras cada vez (ciencias de la vida)
El ADN está formado por 4 tipos de bases, A, T, G y C, y cada grupo de 3 seguidas (un codón) representa 1 aminoácido de los que se usan para construir el cuerpo. La misma base puede repetirse, así que hay \(4^{3} = 64\) tipos de codones.
El cuerpo usa 20 tipos de aminoácidos, y con grupos de 2 solo habría \(4^{2} = 16\), que no bastan. Las variaciones con repetición confirman por qué basta con grupos de 3 para que la vida funcione.
Contar surtidos y pedidos (comercio y hostelería)
Preparar una caja de una docena de donuts de 5 sabores, con cualquier cantidad de cada sabor, se puede hacer de \({}_{5}\mathrm{H}_{12} = {}_{16}\mathrm{C}_{12} = 1820\) formas, porque no importa el orden (combinaciones con repetición).
Contar los pedidos o el desglose de existencias de «cuántos de cada producto» es el mismo tipo de cálculo. Puedes estimar con números reales, y no solo con una sensación, cuántos patrones más tienes que gestionar cuando añades un producto más.
Contar los caminos más cortos (logística y diseño de circuitos)
En una cuadrícula de manzanas de casas, el número de caminos más cortos que avanzan 3 manzanas a la derecha y 2 hacia arriba es el mismo que el de reordenaciones de las 5 letras «D, D, D, A, A», así que es \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\). Las permutaciones con repetición sirven directamente aquí.
Este cálculo es la base para estimar el número de rutas de reparto posibles o de patrones de cableado de una placa de circuito, y muestra en números cómo crecen de forma explosiva las opciones al agrandarse la cuadrícula.
Fórmulas y figuras
Variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r}\) (ordenar \(r\) elementos, con repetición)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\): formas de ordenar \(r\) elementos con repetición
\(=\)
①
\(n\): número de tipos para cada lugar
②
\(r\): número de elementos que se ordenan
La fórmula en palabras
①
Multiplica el
\(n\): número de tipos para cada lugar
por sí mismo
②
tantas veces como indique el
\(r\): número de elementos que se ordenan
③
y obtendrás las
\({}_{n}\Pi_{r}\): formas de ordenar \(r\) elementos con repetición
Un ejemplo sencillo
El número de formas de hacer un PIN de 4 cifras con los 10 dígitos del 0 al 9 es
formas de hacer un PIN de 4 cifras
\(=\)
dígitos para cada lugar (10)
número de cifras (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
La idea clave
Como se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces, el número de opciones se queda en \(n\) para el segundo lugar, el tercero y así sucesivamente. Nunca baja. Por eso se multiplica por \(n\) cada vez, y multiplicar \(n\) por sí mismo \(r\) veces da \(n^{r}\).
Esta es la única diferencia con las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\), en las que las opciones bajan 1 cada vez que eliges. Pregúntate «¿se agota la reserva o no?» y sabrás distinguirlas.
La \(\Pi\) de \({}_{n}\Pi_{r}\) es la letra griega pi mayúscula, que representa un producto (una multiplicación). Coincide con la P de «producto».
Sin embargo, este símbolo no se usa ni de lejos tanto como \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) y \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). En los libros españoles, las variaciones con repetición se escriben \(VR_{n,r}\) y se calculan como \(n^{r}\). En los deberes y los exámenes, escribir \(n^{r}\) siempre se entiende.
Combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (elegir \(r\) elementos, con repetición)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
formas de elegir \(r\) elementos con repetición
\(=\)
①
\(n+r-1\): lugares para círculos y barras
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\): lugares que reciben un círculo
La fórmula en palabras
①
Se colocan \(r\) círculos y \(n-1\) barras que marcan las separaciones entre tipos. De los
\(n+r-1\): lugares para círculos y barras en total
,
②
cuenta las formas de elegir los
\(r\): lugares que reciben un círculo
③
y obtendrás las
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\): formas de elegir \(r\) elementos con repetición
Un ejemplo sencillo
El número de formas de comprar 5 botellas de 3 tipos de zumo (manzana, naranja y uva), con cualquier cantidad de cada tipo, es
formas de comprar 5 de 3 tipos
\(=\)
lugares (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
lugares para círculos (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
La idea clave
¿Por qué, si solo estábamos eligiendo, se convierte en la combinación \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)? El secreto es reescribir la elección como círculos y barras (un método conocido como «estrellas y barras»). Antes de memorizarlo como fórmula, sigue los pasos de abajo.
Primero, fija el orden de los tipos: manzana, naranja, uva. Después escribe cada botella que compras como un círculo ○ y cada separación entre tipos como una barra |. Comprar 2 de manzana, 1 de naranja y 2 de uva se convierte en ○○|○|○○. Comprar 3 de manzana, 0 de naranja y 2 de uva se convierte en ○○○||○○. Un tipo del que no compras nada aparece simplemente como dos barras seguidas, así que también se puede escribir.
Al revés, si te dan primero una fila de círculos y barras, puedes leer de ella exactamente una forma de comprar. Mira los 3 espacios separados por las barras, de izquierda a derecha. El número de círculos de cada espacio es el número de botellas de manzana, de naranja y de uva. ○○||○○○ significa 2 de manzana, 0 de naranja y 3 de uva. De una compra a una fila de símbolos, y de una fila de símbolos a una compra, siempre hay exactamente una respuesta. Así, las compras y las filas de símbolos se corresponden una a una, sin dejarse ninguna y sin contar ninguna dos veces.
Ahora solo hay que contar las filas de símbolos. Las barras separan 3 tipos, así que hay 2 (\(n-1\) en general), y hay \(r\) círculos, uno por cada botella. Eso hace \(n+r-1\) símbolos en total, en lugares numerados 1, 2, … desde la izquierda. Elegir una fila es lo mismo que elegir cuáles \(r\) de los \(n+r-1\) lugares numerados reciben un círculo. En este punto es una combinación corriente, en la que no se puede elegir dos veces el mismo lugar. Por eso \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
También puedes elegir los lugares de las barras en lugar de los de los círculos. Los lugares restantes reciben círculos automáticamente, así que sale lo mismo. Escribir \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) da la misma respuesta.
Se dice que la \(\mathrm{H}\) viene de «homogéneo», como en el conjunto de todos los términos del mismo grado. En los libros españoles se escribe \(CR_{n,r}\), o simplemente la respuesta como \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) o \(\binom{n+r-1}{r}\), usando estrellas y barras como arriba.
Permutaciones con repetición (reordenar elementos entre los que hay idénticos, como los anagramas)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(N\): formas de ordenar \(n\) elementos entre los que hay idénticos
\(=\)
①
\(n!\): ordenaciones si todos los elementos fueran distintos
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\): formas de reordenar entre sí los elementos idénticos
La fórmula en palabras
①
Toma las
\(n!\): ordenaciones si todos los elementos fueran distintos
②
divídelas entre las
\(p! \times q! \times \cdots\): formas de reordenar entre sí los elementos idénticos
para eliminar las repeticiones
③
y obtendrás las
\(N\): formas de ordenar \(n\) elementos entre los que hay idénticos
Un ejemplo sencillo
El número de palabras (con sentido o no) que se pueden formar reordenando las 6 letras de «TOMATO» (dos T, dos O, una M y una A) es
reordenaciones de TOMATO
\(=\)
las 6 letras todas distintas (6!)
\(\div\)
reordenaciones de las letras idénticas (2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
La idea clave
Pon a las dos T etiquetas provisionales, \(\mathrm{T}_1\) y \(\mathrm{T}_2\), y las 6 letras pasan a ser distintas, así que hay \(6! = 720\) ordenaciones. Pero al borrar las etiquetas, \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) y \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) se ven exactamente iguales, así que cada ordenación se ha contado dos veces.
Si una letra aparece \(p\) veces, las \(p!\) formas de reordenar esas \(p\) copias se ven iguales, así que se divide entre \(p!\) por cada tipo de letra. Una letra que aparece una sola vez da \(1! = 1\), así que escribirla o no escribirla no cambia la respuesta.
Ojo con lo que significan aquí las letras. A diferencia de la \(n\) de las dos fórmulas de arriba (el número de tipos entre los que eliges), la \(n\) de esta fórmula es el número total de elementos que se ordenan. «TOMATO» tiene 4 tipos de letras, T, O, M y A, pero ordenas 6 letras, así que \(n = 6\).
Las \(p,\ q,\ r,\ \dots\) del denominador son los recuentos de cada tipo, así que siempre suman \(p + q + r + \cdots = n\). Para TOMATO, \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), que coincide con el número de letras. Si esta suma no coincide, es señal de que se te ha pasado algo o has contado algo dos veces. (La \(r\) de aquí es solo la tercera letra que se usa para un recuento. No es el «número de elementos \(r\)» de las fórmulas de arriba.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) también se llama coeficiente multinomial. Junto con las combinaciones con repetición, es una forma clásica de contar ordenaciones con elementos idénticos. El número de caminos más cortos en una cuadrícula de manzanas de casas que avanzan 3 manzanas a la derecha y 2 hacia arriba, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), es otro uso de esta fórmula.
¿Qué fórmula usar? (ordenar o solo elegir × con repetición o sin ella)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
ordenar × se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces
②
solo elegir × se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces
③
ordenar × un elemento no se puede elegir otra vez una vez elegido
④
solo elegir × un elemento no se puede elegir otra vez una vez elegido
La fórmula en palabras
①
Si importa el orden (puesto, posición o lugar de la cifra) y se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces, usa las
variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Si solo importa la selección y se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces, usa las
combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Si importa el orden y un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido, usa las
variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Si solo importa la selección y un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido, usa las
combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Un ejemplo sencillo
Aunque los números sean los mismos, 4 y 3, la fórmula cambia según la situación
formas de comprar 3 bolas de helado de 4 sabores (se puede repetir cualquier sabor)
\(=\)
combinaciones con repetición
formas de elegir a 3 de 4 personas para el primer, el segundo y el tercer puesto
\(=\)
variaciones
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
La idea clave
Antes de llegar a estas 4, hay una bifurcación. ¿Es una situación en la que eliges \(r\) elementos de \(n\) tipos? ¿O es una en la que los elementos ya están delante de ti y los ordenas todos, como las 6 letras de TOMATO? En el segundo caso no hay elección, así que, en lugar de las 4 fórmulas de arriba, usa las permutaciones con repetición \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Primero, distingue «elegir y después ordenar» de «ordenar todo lo que tienes».
Una vez que sabes que es una situación de elegir, comprueba estas 2 preguntas en este orden. (1) ¿Ordenas o solo cuentas la selección? (2) ¿Se puede elegir el mismo elemento dos o más veces, o se acaba al elegirlo?
La pista de (1) es si cada lugar tiene un significado propio. Si los lugares tienen puestos, como el primer y el segundo puesto, capitán y vicecapitán, o la primera y la segunda cifra de un PIN, ordenas. Si solo importa el grupo, como 2 personas para borrar la pizarra o lo que hay en una cesta de la compra, solo eliges.
La pista de (2) es si la reserva se agota. Si elegir no gasta nada, como cuando lanzas un dado una y otra vez, compras cualquier cantidad del mismo sabor o repites el mismo dígito, se permiten repeticiones. Si sí gasta, como cuando una persona no puede tener 2 cargos o no se puede sacar dos veces la misma papeleta, no hay repeticiones.
La diferencia entre \(n^{r}\) y \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) crece a medida que crece \(r\) (elegir 4 de 10 tipos da \(10^{4} = 10000\) frente a \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\)). Confundir (2) puede casi duplicar la respuesta, así que no te saltes esta comprobación.
Para ordenar con repetición, usa las variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). Para solo elegir con repetición, usa las combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Para ordenar todo lo que tienes cuando algunos elementos son idénticos, usa \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). La idea clave de este tema es que reescribir una combinación con repetición como círculos y barras (estrellas y barras) la convierte en una combinación corriente \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(n\) | ene | El número de tipos entre los que eliges. (Ejemplo: al elegir entre 3 tipos de zumo, \(n = 3\); con los dígitos del 0 al 9, \(n = 10\).) La letra \(n\), de «número», se usa a menudo para los recuentos. Solo en las permutaciones con repetición \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) significa otra cosa: el número total de elementos que se ordenan («TOMATO» tiene 4 tipos de letras, pero \(n = 6\)). |
| \(r\) | erre | El número de elementos que eliges (u ordenas) con repetición. (Ejemplo: al comprar 5 botellas de zumo, \(r = 5\); en un PIN de 4 cifras, \(r = 4\).) Ocupa la misma posición que en los símbolos de las variaciones y las combinaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) y \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). |
| \(n!\) | n factorial | El producto de todos los números enteros de \(n\) a \(1\). Es el número de formas de ordenar los \(n\) elementos en fila. Por definición, \(0! = 1\). (Ejemplo: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n pi r | Variaciones con repetición: el número de formas de elegir \(r\) elementos de \(n\) tipos, con repetición, y ordenarlos. Su valor es \(n^{r}\). \(\Pi\) es la letra griega pi mayúscula, que representa un producto y coincide con la P de «producto». En los libros españoles se escribe \(VR_{n,r}\) o simplemente \(n^{r}\), así que sigue la notación que uses en clase. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | Combinaciones con repetición: el número de formas de elegir \(r\) elementos de \(n\) tipos, con repetición, sin que importe el orden. Su valor es \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Se dice que la \(\mathrm{H}\) viene de «homogéneo», como en el conjunto de todos los términos del mismo grado. En los libros españoles se escribe \(CR_{n,r}\) o \(\binom{n+r-1}{r}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Variaciones: el número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos y ordenarlos, sin que un elemento se pueda volver a elegir una vez elegido. P es la inicial de «permutation», el nombre inglés. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Combinaciones: el número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos, sin que un elemento se pueda volver a elegir una vez elegido y sin que importe el orden. C es la inicial de «combinación». |
| \(N\) | N mayúscula | En esta página, la letra del número de permutaciones con repetición. Es la inicial de «número» en mayúscula y se suele usar para un total que quieres hallar. |
| \(p,\ q\) | p, q | En las permutaciones con repetición, las letras del número de copias de cada elemento idéntico. (Ejemplo: en «TOMATO», la T aparece \(p = 2\) veces, la O \(q = 2\) veces, la M una vez y la A una vez.) Con 3 o más tipos, se continúa con \(p,\ q,\ r,\ \dots\) (esta \(r\) no es el «número de elementos \(r\)»). Siempre suman \(p + q + r + \cdots = n\), el número total de elementos que se ordenan. |
| \(\bigcirc\) y \(|\) | círculo y barra | Los símbolos que se usan para contar las combinaciones con repetición (un método conocido como «estrellas y barras»). Un círculo ○ es un elemento elegido y una barra \(|\) es una separación entre tipos. ○○|○|○○ significa 2 del primer tipo, 1 del segundo y 2 del tercero. |
Términos
| combinatoria | Hallar cuántos resultados posibles hay en total. Las variaciones, las combinaciones y sus versiones con repetición son herramientas para contar de forma eficiente. |
| repetición | Que el mismo elemento aparezca dos o más veces. En este tema significa que se puede elegir el mismo elemento dos o más veces. También se describe como elegir «con reemplazamiento». |
| variación con repetición | Una ordenación de \(r\) elementos elegidos entre \(n\) tipos, en la que se puede elegir el mismo tipo cualquier número de veces y en la que importa el orden. Hay \(n^{r}\), que como símbolo se escribe \({}_{n}\Pi_{r}\) (en España, \(VR_{n,r}\)). |
| combinación con repetición | Una selección de \(r\) elementos de \(n\) tipos, en la que se puede elegir el mismo tipo cualquier número de veces y no importa el orden. Hay \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) (en España, \(CR_{n,r}\)). |
| permutación con repetición | Una ordenación de los \(n\) elementos cuando algunos son idénticos, como en «TOMATO». Hay \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\): se divide entre las reordenaciones de los elementos idénticos para quitar las repeticiones. En una palabra, se llaman anagramas. |
| variación | Una forma de elegir \(r\) de \(n\) elementos y colocarlos en fila, donde importa el orden. El símbolo es \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), y un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido. |
| combinación | Una forma de elegir \(r\) de \(n\) elementos en la que no importa el orden. El símbolo es \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\), y un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido. |
| factorial | Multiplicar todos los números enteros de \(n\) a \(1\). El símbolo es \(n!\), y da el número de formas de ordenar los \(n\) elementos. |
| estrellas y barras | El método de contar las combinaciones con repetición con símbolos: una barra \(|\) marca cada separación entre tipos y una estrella (un círculo ○ en esta página) marca cada elemento. Separar \(n\) tipos requiere \(n-1\) barras, así que el problema pasa a ser elegir los lugares de los círculos entre \(n+r-1\) lugares. |
| coeficiente multinomial | Otro nombre del número de permutaciones con repetición, \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). El nombre viene de que los coeficientes que aparecen al desarrollar \((a+b+c)^{n}\) tienen esta forma. |
| diagrama de árbol | Un diagrama ramificado que enumera todos los resultados posibles, de modo que cada uno se cuenta exactamente una vez. Las variaciones con repetición corresponden a un árbol en el que cada rama se divide en el mismo número de ramas. |
| camino más corto | En una cuadrícula de calles, un recorrido hasta el destino sin rodeos. El número de caminos más cortos que avanzan \(p\) manzanas a la derecha y \(q\) hacia arriba es el de las permutaciones con repetición \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar los temas de esta tabla es el camino más rápido.
| Multiplicación y división (de 3.º a 5.º de Primaria, 8-11 años) |
|
| Potencias y exponentes (de 1.º a 3.º de ESO, 12-15 años) |
|
| Recuento de casos y diagramas de árbol (de 6.º de Primaria a 3.º de ESO, 11-15 años) |
|
| Factoriales (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Variaciones y combinaciones (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular las variaciones con repetición nΠr
| Número de tipos n | 10 |
| Elementos que se ordenan r | 4 |
| Variaciones con repetición nΠr | =B1^B2 |
Tabla para calcular las combinaciones con repetición nHr
| Número de tipos n | 3 |
| Elementos que se eligen r | 5 |
| Lugares para círculos y barras | =B1+B2-1 |
| Combinaciones con repetición nHr | =COMBINAT(B3;B2) |
Tabla para calcular las permutaciones con repetición
| Total de letras n (TOMATO) | 6 |
| Número de T | 2 |
| Número de O | 2 |
| Número de M | 1 |
| Número de A | 1 |
| Ordenaciones N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Al pegar la tabla, las filas de arriba son tus datos y la última fila se calcula automáticamente.
«^» es el símbolo de la potencia, FACT es el factorial y COMBINAT es la función de Excel para las combinaciones (nCr).
La primera tabla es el PIN de 4 cifras con los 10 dígitos del 0 al 9, y B3 muestra 10000.
La segunda tabla es comprar 5 botellas de 3 tipos de zumo. B3 muestra 7 (= 3 + 5 − 1) y B4 muestra 21.
La tercera tabla reordena «TOMATO», y B6 muestra 180. Si hay más tipos de letras repetidas, multiplica más términos FACT en el denominador.
Ten en cuenta que Excel solo guarda 15 cifras significativas, así que cuando la respuesta tiene 16 o más cifras, las últimas cifras se redondean.
«^» es el símbolo de la potencia, FACT es el factorial y COMBINAT es la función de Excel para las combinaciones (nCr).
La primera tabla es el PIN de 4 cifras con los 10 dígitos del 0 al 9, y B3 muestra 10000.
La segunda tabla es comprar 5 botellas de 3 tipos de zumo. B3 muestra 7 (= 3 + 5 − 1) y B4 muestra 21.
La tercera tabla reordena «TOMATO», y B6 muestra 180. Si hay más tipos de letras repetidas, multiplica más términos FACT en el denominador.
Ten en cuenta que Excel solo guarda 15 cifras significativas, así que cuando la respuesta tiene 16 o más cifras, las últimas cifras se redondean.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular las variaciones con repetición nΠr
| Número de tipos n | 10 |
| Elementos que se ordenan r | 4 |
| Variaciones con repetición nΠr | =B1^B2 |
Tabla para calcular las combinaciones con repetición nHr
| Número de tipos n | 3 |
| Elementos que se eligen r | 5 |
| Lugares para círculos y barras | =B1+B2-1 |
| Combinaciones con repetición nHr | =COMBINAT(B3;B2) |
Tabla para calcular las permutaciones con repetición
| Total de letras n (TOMATO) | 6 |
| Número de T | 2 |
| Número de O | 2 |
| Número de M | 1 |
| Número de A | 1 |
| Ordenaciones N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel (FACT y COMBINAT tienen los mismos nombres en Hojas de cálculo de Google).
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números según tu situación.
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números según tu situación.
Cómo calcularlo con Python
import math
from collections import Counter
# 1) variaciones con repetición (elegir r de n tipos con repetición, e importa el orden)
kinds = 10 # número de tipos n (los 10 dígitos 0-9)
picks = 4 # número de elementos que se ordenan r (4 cifras)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) combinaciones con repetición (elegir r de n tipos con repetición, no importa el orden)
juice_kinds = 3 # número de tipos n (3 tipos de zumo)
bottles = 5 # número de elementos que se eligen r (5 botellas)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) permutaciones con repetición (reordenar una palabra con letras repetidas)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"Variaciones con repetición (ordenar {picks} de {kinds} tipos): {repeated_permutations}")
print(f"Combinaciones con repetición (elegir {bottles} de {juice_kinds} tipos): {repeated_combinations}")
print(f"Reordenaciones de {word}: {same_item_permutations}")
Funciona solo con la biblioteca estándar (math.comb necesita Python 3.8 o posterior). Al ejecutarlo se muestran 10000, 21 y 180. Los enteros de Python no tienen límite de cifras, así que la respuesta sigue siendo exacta aunque tenga cientos de cifras. Cambia los números y la palabra del principio y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Variaciones con repetición \({}_{n}\Pi_{r}\) (ordenar \(r\) elementos, con repetición)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Combinaciones con repetición \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (elegir \(r\) elementos, con repetición)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Permutaciones con repetición (reordenar elementos entre los que hay idénticos, como los anagramas)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de combinatoria (variaciones, combinaciones y permutaciones). Haz los siguientes 3 cálculos ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). 1. ¿Cuántos PIN de 4 cifras se pueden formar con los 10 dígitos del 0 al 9? (Se puede usar el mismo dígito cualquier número de veces.) 2. ¿De cuántas formas se pueden comprar 5 botellas de 3 tipos de zumo, con cualquier cantidad de cada tipo? (Cuenta solo cuántas hay de cada tipo, no el orden de elección.) 3. ¿Cuántas cadenas distintas se pueden formar reordenando las 6 letras de «TOMATO»? En cada caso, indica si has usado variaciones con repetición, combinaciones con repetición o permutaciones con repetición, explica por qué y muestra los números del resultado de la ejecución. En Python, usa el módulo math (math.comb y math.factorial) y collections.Counter.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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