Calculadora de la ecuación de la circunferencia (ecuación general y reducida, centro, radio y recta)

Elige el sentido de la conversión y escribe los coeficientes de la circunferencia. La ecuación de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar sus coeficientes directamente en la ecuación. Para comprobar cómo se corta una recta con la circunferencia, elige «Comprobar también la recta px + qy + s = 0» en el último menú desplegable.

Conversión

Coeficiente l de x

Coeficiente m de y

Término independiente n

Coordenada x del centro, a

Coordenada y del centro, b

Segundo miembro (radio al cuadrado, r²)

Circunferencia y recta

Coeficiente p de x en la recta

Coeficiente q de y en la recta

Término independiente s de la recta

Escribe solo números. Se admiten decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Un coeficiente en blanco de x o de y cuenta como 1 (x es lo mismo que 1x), y un término independiente o una coordenada del centro en blanco cuenta como 0. Escribe 0 en los términos que no uses.

Resultado y gráfico

Escribe los coeficientes en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura de la circunferencia.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Completa cuadrados para pasar la ecuación general de una circunferencia, \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), a la ecuación reducida, \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), y obtén el centro y el radio como valores exactos con fracciones y \(\sqrt{\ }\) (con los pasos)
También puedes hacerlo al revés: desarrollar a partir del centro y del segundo miembro (el radio al cuadrado) para obtener la ecuación general
Si el segundo miembro \(r^{2}\) es 0 o negativo, la ecuación no es una circunferencia (es un solo punto, o no tiene gráfica). La calculadora te dice cuál de los dos casos es, y por qué
También te dice cómo se corta una recta \(px + qy + s = 0\) con la circunferencia (secante en dos puntos, tangente o exterior), comparando la distancia \(d\) del centro a la recta con el radio \(r\), y da los puntos de corte como valores exactos
La calculadora muestra la ecuación de la circunferencia tal como la escribirías a mano, y puedes cambiar los coeficientes directamente en la propia ecuación. Puedes comprobar el resultado en una figura de la circunferencia y la recta

Las coordenadas y los coeficientes pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4.

¿Para qué sirve este cálculo?

Detección de colisiones en videojuegos (áreas de colisión circulares)

En los videojuegos 2D es habitual modelar el área de colisión de un personaje o de una bala como una circunferencia. Que la trayectoria de una bala (una recta) alcance o no a la circunferencia de un enemigo se decide exactamente con la comprobación de esta página: comparar la distancia \(d\) del centro a la recta con el radio \(r\). Que dos circunferencias se solapen se decide de la misma manera, comparando la distancia entre sus centros con la suma de sus radios.
Se usan circunferencias porque su forma no cambia al girar y basta un cálculo de distancia para resolver la comprobación. Si aprendes a programar videojuegos, verás las ecuaciones de la circunferencia funcionando en cada fotograma.

Modelar la cobertura de una señal (antenas de telefonía y wifi)

En condiciones ideales, sin obstáculos, el área a la que llega una antena de telefonía móvil o un router wifi se modela como una circunferencia con centro en la antena (radio = el alcance). «¿Este sitio tiene cobertura?» es comparar la distancia al centro con el radio; dicho de otro modo, comprobar si el sitio está dentro o fuera de la circunferencia.
Las señales reales se ven afectadas por el terreno y los edificios, así que no siguen esto exactamente. Aun así, los modelos con circunferencias son un punto de partida para decidir dónde colocar las antenas de modo que no queden huecos sin cobertura.

La idea del posicionamiento (GPS y la ubicación del móvil)

El posicionamiento por GPS se basa en esta idea: cuando conoces tu distancia a un satélite, los lugares donde puedes estar quedan reducidos a una esfera (una circunferencia, si piensas en un plano). Al resolver juntas las circunferencias (esferas) de las distancias a varios satélites se obtiene el punto en el que coinciden, que es tu ubicación.
El cálculo real es en 3D y además corrige los errores del reloj, así que es más complicado. Pero la idea de la ecuación de la circunferencia, «el conjunto de puntos a una distancia fija», es su fundamento.

Diseño, dibujo técnico y CAD (control de arcos y de la posición de los agujeros)

Los planos de piezas mecánicas y de edificios están llenos de circunferencias: agujeros de tornillos, bordes curvos, secciones de tuberías, etc. El software de CAD guarda una circunferencia como «las coordenadas del centro y el radio», que es la información de la ecuación reducida, y calcula cada vez que editas una forma dónde se cortan las circunferencias y las rectas, y las rectas tangentes.
Comprobaciones como «si hago un agujero aquí, ¿queda lo bastante lejos del borde?» también se reducen a calcular distancias a un centro.

Diseño de curvas de carreteras y ferrocarriles (curvas circulares)

La forma básica de una curva de una carretera o de una vía férrea es un arco de circunferencia, llamado curva circular, y los planos de diseño lo manejan con su centro y su radio. Cuanto menor es el radio, más cerrada es la curva, por eso las normas de diseño de carreteras fijan un radio mínimo de curva para cada velocidad de proyecto.
Donde un tramo recto enlaza suavemente con una curva se usa directamente la condición «la recta es tangente a la circunferencia». La idea de recta tangente da forma a las carreteras reales.

Fórmulas y figuras

Ecuación de la circunferencia (ecuación reducida)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① cuadrado de la diferencia entre \(x\) y la \(a\) del centro \(+\) ② cuadrado de la diferencia entre \(y\) y la \(b\) del centro \(=\) ③ \(r^{2}\): radio al cuadrado

La fórmula en palabras

① Para cualquier punto \((x\,;\,y)\) de la circunferencia, el cuadrado de la distancia horizontal al centro, \(x - a\)

② más el cuadrado de la distancia vertical al centro, \(y - b\)

③ es igual al cuadrado del radio \(r\)

Un ejemplo sencillo

La ecuación de la circunferencia de centro (1 ; 2) y radio 3 es

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

La idea clave

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia fija (el radio \(r\)) del centro. Si escribes con el teorema de Pitágoras la distancia entre un punto \((x\,;\,y)\) de la circunferencia y el centro \((a\,;\,b)\), obtienes \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). Al elevar al cuadrado los dos miembros aparece la ecuación reducida. Es decir, la ecuación reducida es la definición de circunferencia, «a distancia \(r\) del centro», escrita como ecuación. Fíjate en que el segundo miembro es \(r^{2}\), el radio al cuadrado. El radio de \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) no es 9, sino \(\sqrt{9} = 3\).

Ecuación general → ecuación reducida (hallar el centro y el radio completando cuadrados)

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2}\,;\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(\mathrm{C}\): centro \(=\) ① la mitad del coeficiente \(l\) de \(x\) y la mitad del coeficiente \(m\) de \(y\), con el signo cambiado

④ \(r^{2}\): radio al cuadrado \(=\) ③ la suma de los cuadrados de las mitades de los coeficientes, menos el término independiente \(n\)

La fórmula en palabras

① Al completar cuadrados en la ecuación general \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), las mitades de los coeficientes \(l\) y \(m\), con el signo cambiado,

② dan el centro \(\mathrm{C}\)

③ y la suma de los cuadrados de las mitades de los coeficientes menos el término independiente \(n\)

④ es el radio al cuadrado \(r^{2}\)

Un ejemplo sencillo

Completar cuadrados en \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) da

centro \((2\,;\,3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

La idea clave

Completar cuadrados es reescribir «un término al cuadrado más un término lineal», como \(x^{2} - 4x\), como «algo al cuadrado más una constante», como \((x - 2)^{2} - 4\). Construyes \((x - 2)^{2}\) a partir de la mitad del coeficiente de \(x\) (la mitad de \(-4\) es \(-2\)). Al desarrollarlo aparece un \(+4\) de más, así que se resta esa cantidad para que los dos miembros sigan siendo iguales. El segundo miembro del resultado es \(r^{2}\). Comprueba siempre su signo. Si el segundo miembro es 0, solo un punto, el centro, cumple la ecuación. Si es negativo, ningún punto la cumple, porque una suma de cuadrados nunca es negativa. Por eso una ecuación en ecuación general no siempre describe una circunferencia: lo es solo cuando el segundo miembro es positivo.

Posición relativa de una recta y una circunferencia (comparar la distancia d del centro a la recta con el radio r)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(d\): distancia del centro \((a\,;\,b)\) a la recta \(=\) ① valor absoluto del primer miembro de la ecuación de la recta en el centro, dividido entre \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

La fórmula en palabras

① Para la recta \(px + qy + s = 0\), el valor absoluto del primer miembro al sustituir las coordenadas del centro \((a\,;\,b)\), dividido entre \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② es la distancia \(d\) del centro a la recta . Compara esta \(d\) con el radio \(r\) y sabrás cómo se corta la recta con la circunferencia

Un ejemplo sencillo

Para la circunferencia \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (centro \((2\,;\,3)\), radio 2) y la recta \(3x + 4y - 8 = 0\)

distancia \(d = 2\) \(=\) radio \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

La idea clave

Hay tres casos, según cuál sea mayor, la distancia \(d\) o el radio \(r\). Si \(d < r\), la recta corta a la circunferencia en dos puntos distintos (recta secante). Si \(d = r\), la toca en un solo punto (la recta es tangente y el punto común es el punto de tangencia). Si \(d > r\), no se cortan (recta exterior). Comparar números con \(\sqrt{\ }\) es fácil de hacer mal, así que esta calculadora compara \(d^{2}\) y \(r^{2}\) como fracciones exactas. Puedes usar el mismo truco a mano. Otro método es resolver juntas las ecuaciones de la circunferencia y de la recta: se elimina \(y\) (o \(x\)) y se mira el signo del discriminante \(D\) de la ecuación de segundo grado resultante (\(D > 0\): dos puntos; \(D = 0\): tangente; \(D < 0\): ningún punto). Para hallar las coordenadas de los puntos de corte hay que resolver este sistema.

La ecuación de la circunferencia se puede escribir de dos formas: la ecuación reducida \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), que muestra el centro y el radio, y la ecuación general desarrollada \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Completar cuadrados convierte la ecuación general en la ecuación reducida, pero es una circunferencia solo cuando el segundo miembro (el valor que ocupa el lugar de \(r^{2}\)) es positivo. La posición relativa de una recta y una circunferencia se decide comparando la distancia \(d\) del centro a la recta con el radio \(r\).

Símbolos y términos

Símbolos

\((x\,;\,y)\)	equis, i griega	Las coordenadas de un punto que se mueve por la circunferencia. La ecuación de la circunferencia dice: «reúne todos los \((x\,;\,y)\) que cumplen esto y obtendrás la circunferencia».
\(a,\ b\)	a, b	Las letras del centro \((a\,;\,b)\) de la circunferencia. Por costumbre, las letras del principio del alfabeto representan números fijos. A diferencia de \(x\) e \(y\), que se mueven, \(a\) y \(b\) quedan fijas para una misma circunferencia. Muchos libros escriben el centro como \((x_0\,;\,y_0)\) o \((h\,;\,k)\).
\(r\)	erre	El radio de la circunferencia (\(r\) es la inicial de «radio»). Ten en cuenta que el segundo miembro de la ecuación reducida no es \(r\), sino su cuadrado \(r^{2}\).
\(\mathrm{C}\)	ce	Una letra que se usa a menudo para el centro de una circunferencia (\(\mathrm{C}\) es la inicial de «centro»). A veces también se llama \(C\) a la propia circunferencia.
\(l,\ m,\ n\)	ele, eme, ene	Los coeficientes de la ecuación general \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Los libros de España suelen escribirlos \(D,\ E,\ F\) (\(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\)); el significado es el mismo.
\(d\)	de	La distancia del centro a la recta (\(d\) es la inicial de «distancia»). Al compararla con el radio \(r\) sabes cómo se corta la recta con la circunferencia.
\(p,\ q,\ s\)	pe, cu, ese	Los coeficientes de la recta \(px + qy + s = 0\) en esta página. Una recta suele escribirse \(ax + by + c = 0\) (o \(Ax + By + C = 0\)), pero esta página usa otras letras para que no se confundan con el centro \((a\,;\,b)\).
\(\sqrt{\ }\)	raíz cuadrada (signo radical)	El signo de la raíz cuadrada: el número positivo cuyo cuadrado es el número que hay dentro. El radio se halla como \(r = \sqrt{r^{2}}\). Por ejemplo, si \(r^{2} = 8\), entonces \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Términos

circunferencia	La figura formada por todos los puntos de un plano que están a una distancia fija (el radio) de un punto (el centro). La ecuación de la circunferencia es esta definición de «distancia fija» escrita como ecuación. (El círculo es la superficie que encierra la circunferencia.)
ecuación de la circunferencia	Una ecuación que describe una circunferencia en el plano cartesiano. Los puntos \((x\,;\,y)\) que la cumplen forman exactamente la circunferencia. Se estudia en 1.º de Bachillerato (geometría analítica).
ecuación reducida	La forma \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) (a menudo escrita \((x - x_0)^{2} + (y - y_0)^{2} = r^{2}\); también se llama ecuación canónica). Su ventaja es que el centro \((a\,;\,b)\) y el radio \(r\) se leen con solo mirarla.
ecuación general	La forma \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), que resulta de desarrollar y ordenar la ecuación reducida. El centro y el radio no se leen directamente, pero, como ya está desarrollada, es cómoda para operar.
completar cuadrados	Reescribir una expresión como \(x^{2} + lx\) como «algo al cuadrado más una constante», como en \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). También sirve para hallar el vértice de una función cuadrática, y es la técnica central de esta página.
centro	El punto central de una circunferencia, a la misma distancia (el radio) de todos los puntos de la circunferencia. El \((a\,;\,b)\) de la ecuación reducida son directamente las coordenadas del centro.
radio	La distancia \(r\) del centro a un punto de la circunferencia. Por ser una longitud, siempre es positivo. Se halla tomando la raíz cuadrada del segundo miembro \(r^{2}\) de la ecuación reducida.
teorema de Pitágoras	El teorema que dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es la base de la distancia entre dos puntos, y la ecuación reducida de una circunferencia es este teorema escrito como ecuación. Se estudia en 2.º–3.º de ESO.
punto de corte	Un punto que pertenece a las dos figuras. Para una circunferencia y una recta hay 2 cuando la recta corta a la circunferencia, 1 cuando es tangente y 0 cuando no se cortan. Las coordenadas se hallan resolviendo juntas las dos ecuaciones.
tangente	Una recta es tangente a una circunferencia cuando tienen exactamente un punto en común. Ese punto es el punto de tangencia. La distancia del centro a una recta tangente es exactamente el radio.
cuerda	Cuando una recta corta a una circunferencia en dos puntos, el segmento entre esos puntos es una cuerda. La perpendicular trazada desde el centro a una cuerda la corta exactamente por la mitad, así que la mitad de la cuerda, la distancia \(d\) del centro a la recta y el radio \(r\) están relacionados por el teorema de Pitágoras.
distancia de un punto a una recta	La longitud de la perpendicular trazada desde un punto a una recta (la distancia más corta del punto a la recta). Se calcula con \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) y se usa para decidir cómo se corta una recta con una circunferencia.
discriminante	La expresión \(D = b^{2} - 4ac\) que dice cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado \(ax^{2} + bx + c = 0\). El discriminante de la ecuación de segundo grado que resulta al resolver juntas las ecuaciones de la circunferencia y de la recta también indica cómo se cortan (\(D > 0\): dos puntos; \(D = 0\): tangente; \(D < 0\): ningún punto).
plano cartesiano	Un plano formado al cruzar en ángulo recto una recta numérica horizontal (el eje \(x\)) y una vertical (el eje \(y\)), de modo que cada punto se puede escribir como un par de números \((x\,;\,y)\). Es donde se encuentran la geometría y las ecuaciones.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

El plano cartesiano y las coordenadas de un punto (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber escribir la posición de un punto como un par de números \((x\,;\,y)\) (por ejemplo, el punto \((2\,;\,3)\) está 2 a la derecha y 3 arriba del origen) Tener la intuición de que «todos los puntos que cumplen una ecuación forman su gráfica (una figura)»
Teorema de Pitágoras y distancia entre dos puntos (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Saber que la distancia entre dos puntos es \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\) (es el propio teorema de Pitágoras)
Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber hallar el número positivo cuyo cuadrado es un número dado, como en \(\sqrt{4} = 2\) Saber simplificar una raíz sacando los factores cuadrados fuera del radical, como en \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Desarrollo, factorización y completar cuadrados (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber desarrollar expresiones como \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) Saber completar cuadrados, como en \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (el mismo paso que se usa para hallar el vértice de una función cuadrática) Saber resolver ecuaciones de segundo grado por factorización o con la fórmula, y saber cómo se relaciona el signo del discriminante \(D = b^{2} - 4ac\) con el número de soluciones
Distancia de un punto a una recta (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber escribir una recta como \(ax + by + c = 0\) (ecuación general), incluido cómo pasar desde \(y = mx + k\) Saber que la distancia del punto \((x_0\,;\,y_0)\) a la recta \(ax + by + c = 0\) es \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla de ecuación general → ecuación reducida (centro y radio)

Coeficiente l de x	-4
Coeficiente m de y	-6
Término independiente n	9
Coordenada x del centro (−l/2)	=-B1/2
Coordenada y del centro (−m/2)	=-B2/2
Radio al cuadrado, r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radio r (es una circunferencia solo si r² > 0)	=SI(B6>0;RAIZ(B6);"no es una circunferencia")

Tabla de ecuación reducida → ecuación general

Coordenada x del centro, a	1
Coordenada y del centro, b	-2
Segundo miembro (radio al cuadrado, r²)	9
Coeficiente l de x (−2a)	=-2*B1
Coeficiente m de y (−2b)	=-2*B2
Término independiente n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabla para comprobar cómo se corta una recta con la circunferencia

Coordenada x del centro, a	2
Coordenada y del centro, b	3
Radio r	2
Coeficiente p de x en la recta	3
Coeficiente q de y en la recta	4
Término independiente s de la recta	-8
Distancia d del centro a la recta	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/RAIZ(B4^2+B5^2)
Resultado	=SI(B7<B3;"dos puntos";SI(B7=B3;"tangente";"ningún punto"))

Al pegar, las filas de arriba (los coeficientes, etc.) son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas. «^» es una potencia, RAIZ da la raíz cuadrada y ABS da el valor absoluto.
La primera tabla es el ejemplo x²+y²−4x−6y+9=0: centro (2 ; 3), r²=4 y radio 2. Si r² es 0 o negativo, la ecuación no es una circunferencia y la celda muestra «no es una circunferencia».
La segunda tabla es el ejemplo de centro (1 ; −2) y r²=9: l=−2, m=4, n=−4, así que la ecuación es x²+y²−2x+4y−4=0.
La tercera tabla es el ejemplo de la circunferencia (x−2)²+(y−3)²=4 y la recta 3x+4y−8=0. d=2 es igual al radio 2, así que el resultado es «tangente». RAIZ puede tener pequeños errores decimales, así que, para comprobar con exactitud si es tangente, es más seguro comparar d² y r² (compara =(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) con B3^2).

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla de ecuación general → ecuación reducida (centro y radio)

Coeficiente l de x	-4
Coeficiente m de y	-6
Término independiente n	9
Coordenada x del centro (−l/2)	=-B1/2
Coordenada y del centro (−m/2)	=-B2/2
Radio al cuadrado, r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radio r (es una circunferencia solo si r² > 0)	=SI(B6>0;RAIZ(B6);"no es una circunferencia")

Tabla de ecuación reducida → ecuación general

Coordenada x del centro, a	1
Coordenada y del centro, b	-2
Segundo miembro (radio al cuadrado, r²)	9
Coeficiente l de x (−2a)	=-2*B1
Coeficiente m de y (−2b)	=-2*B2
Término independiente n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabla para comprobar cómo se corta una recta con la circunferencia

Coordenada x del centro, a	2
Coordenada y del centro, b	3
Radio r	2
Coeficiente p de x en la recta	3
Coeficiente q de y en la recta	4
Término independiente s de la recta	-8
Distancia d del centro a la recta	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/RAIZ(B4^2+B5^2)
Resultado	=SI(B7<B3;"dos puntos";SI(B7=B3;"tangente";"ningún punto"))

Sirven las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los coeficientes por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Coeficientes de la ecuación general x² + y² + lx + my + n = 0 (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Centro: ({center_x} ; {center_y})")
print(f"Radio al cuadrado r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Radio r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("No es una circunferencia: describe un único punto, el centro")
else:
    print("No es una circunferencia: ningún punto cumple esta ecuación")

# Posición respecto de la recta px + qy + s = 0 (d² y r² se comparan como fracciones, así que no hay error de redondeo)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("La circunferencia y la recta se cortan en dos puntos distintos")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("La recta es tangente a la circunferencia")
else:
    print("La circunferencia y la recta no se cortan")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar, el cálculo se mantiene en fracciones exactas, sin errores de redondeo. Este ejemplo usa la circunferencia x²+y²−4x−6y+9=0 y la recta 3x+4y−8=0. Al ejecutarlo se muestran el centro (2 ; 3), r²=4, el radio 2 y «La recta es tangente a la circunferencia». La distancia y el radio se comparan como d² y r² para que los errores decimales de la raíz cuadrada no falseen la comprobación de la tangencia. Cambia los coeficientes y vuelve a ejecutarlo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Ecuación de la circunferencia (ecuación reducida)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Ecuación general → ecuación reducida (hallar el centro y el radio completando cuadrados)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Posición relativa de una recta y una circunferencia (comparar la distancia d del centro a la recta con el radio r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
      <msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo matemático para geometría analítica. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Para la circunferencia x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0, muestra cada uno de estos puntos:
1. La ecuación reescrita en forma reducida (x−a)² + (y−b)² = r² completando cuadrados
2. El centro y el radio (como valores exactos)
3. Cómo se corta la recta 3x + 4y − 8 = 0 con la circunferencia (en dos puntos distintos / tangente / exterior), y las coordenadas de los puntos de corte, si los hay

En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar (o sympy) para calcular con exactitud, y compara la distancia con el radio comparando d² con r². Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula