Escribe los coeficientes a, b y c del primer miembro, ax² + bx + c, y el signo que lo compara con 0. La inecuación de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar los coeficientes directamente en ella.
Se pueden usar decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una a en blanco se toma como 1 (x² equivale a 1x²) y una b o c en blanco se toma como 0. Si a es 0, se resuelve como una inecuación de primer grado.
Resultado y gráfico
Escribe los coeficientes a, b y c y el signo de la inecuación en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el conjunto solución, los pasos y una gráfica.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y gráficas
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Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(>0\) es «fuera de las dos raíces»)
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Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(<0\) es «entre las dos raíces»)
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El discriminante (decide la forma de la solución)
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Coeficiente de \(x^{2}\) negativo (se multiplican los dos miembros por \(-1\) para hacerlo positivo)
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
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Cómo calcularlo con Excel
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Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
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Cómo calcularlo con Python
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La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
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Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
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Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Halla el conjunto solución de una inecuación de segundo grado como \(ax^{2}+bx+c>0\) con solo escribir los coeficientes y elegir el signo. Se admiten los cuatro signos, \(>\), \(\ge\), \(<\) y \(\le\)
- Los pasos se separan en casos según el signo del discriminante \(D=b^{2}-4ac\), línea a línea y en el mismo orden que un libro de texto. Además de «fuera de las dos raíces» y «entre las dos raíces», también resuelve respuestas que suelen confundir, como \(x \neq \alpha\), sin solución y todos los números reales
- Cuando el coeficiente de \(x^{2}\) es negativo, los pasos también muestran cómo se multiplican los dos miembros por \(-1\) y se invierte el signo de la desigualdad
- Las raíces se muestran con valores exactos y radicales simplificados, como \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), y con decimales cuando son irracionales. Los coeficientes pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4
- Una gráfica de la parábola con colores para el conjunto solución te permite ver que «la solución de \(y>0\) es el intervalo de \(x\) en el que la gráfica está por encima del eje \(x\)»
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
El segundo miembro está fijado en 0. Si hay una expresión en el segundo miembro, como en \(x^{2}+2x > 3x+1\), pasa primero todo al primer miembro (aquí, escribe \(x^{2}-x-1>0\)). Si escribes 0 en el coeficiente \(a\) de \(x^{2}\), no es una inecuación de segundo grado, así que se resuelve como la inecuación de primer grado \(bx+c>0\) (si \(b\) también es 0, solo queda una constante y la respuesta es «todos los números reales» o «sin solución»).
¿Para qué sirve este cálculo?
Cuándo está una pelota lanzada hacia arriba por encima de cierta altura (deporte y física)
La altura de un objeto lanzado hacia arriba es una función cuadrática del tiempo \(t\) en segundos: \(h = v_{0}t - 4{,}9t^{2}\) metros, donde \(v_{0}\) es la velocidad inicial en metros por segundo (con \(g = 9{,}8\) m/s²). Preguntar «¿durante qué tiempo está por encima de cierta altura?» da directamente una inecuación de segundo grado.
Para una pelota lanzada hacia arriba a 20 metros por segundo, el tiempo que está a 15 metros o más de altura sale de \(20t - 4{,}9t^{2} \ge 15\), es decir, \(4{,}9t^{2} - 20t + 15 \le 0\), que da de 0,99 s a 3,09 s después del lanzamiento, unos 2,1 segundos en total. No se tiene en cuenta la resistencia del aire, pero da una idea aproximada de cuánto tiempo se ven los fuegos artificiales o cuánto tiempo está en el aire un balón lanzado a lo alto.
Hallar la velocidad máxima para poder detenerse con seguridad (seguridad vial)
La distancia de detención de un coche es la distancia que recorre mientras reaccionas y empiezas a frenar (distancia de reacción) más la que recorre mientras frena (distancia de frenado). La distancia de reacción crece en proporción a la velocidad, pero la de frenado crece con el cuadrado de la velocidad, así que la distancia de detención es una función cuadrática de la velocidad.
Con un tiempo de reacción de 1 segundo y un coeficiente de rozamiento entre neumático y calzada de 0,7, la distancia de detención es aproximadamente \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72}\) metros (\(v\) en metros por segundo). Para detenerte dentro de 40 metros de visibilidad libre, resuelve \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72} \le 40\): la velocidad debe ser como máximo de unos 17,5 metros por segundo, unos 63 km/h. Los límites de velocidad y las recomendaciones de distancia de seguridad se basan en relaciones cuadráticas como esta.
Hallar el intervalo de precios con el que hay beneficios (negocios)
Subir el precio aumenta el beneficio por unidad, pero se venden menos unidades. Cuando el número de unidades vendidas es una función de primer grado del precio, el beneficio (beneficio por unidad × unidades vendidas − costes fijos) es una función cuadrática del precio, y «los precios con los que el beneficio es 0 o más» salen de una inecuación de segundo grado.
Supón que fabricar un artículo cuesta 3 €, que al precio de \(p\) euros se venden \(1000 - 200p\) unidades y que los costes fijos son 100 €. Al resolver \((p-3)(1000-200p) - 100 \ge 0\) se obtiene que hay beneficio entre unos 3,29 € y 4,71 €. La sensación de que «demasiado barato o demasiado caro dan pérdidas» se confirma con números.
Conseguir la superficie necesaria con una longitud fija de material (diseño, bricolaje y agricultura)
En un rectángulo de perímetro fijo, al elegir el largo también queda fijado el ancho, así que el área es una función cuadrática del largo. «¿Qué medidas dan al menos el área que necesito?» es una inecuación de segundo grado.
Supón que cercas un jardín rectangular con 40 metros de valla y quieres al menos 91 metros cuadrados. Con un largo de \(x\) metros, el ancho es \(20-x\) metros, así que \(x(20-x) \ge 91\), y sale un largo de 7 a 13 metros. También se ve que cuanto más se acerca a un cuadrado, mayor es el área (aquí el máximo es 100 metros cuadrados con 10 metros).
Hallar qué anchura tiene la altura suficiente en un arco (construcción y transporte)
La sección de un puente en arco o de un túnel parabólico se puede escribir como una función cuadrática. «¿A qué distancia del centro puede pasar un vehículo alto?» es exactamente una inecuación de segundo grado.
Supón que un arco de 30 metros de ancho y 4,5 metros de altura en el centro es \(y = -0{,}02x^{2} + 4{,}5\) (\(x\) es la distancia al centro). La parte con al menos 4 metros de altura sale de \(-0{,}02x^{2} + 4{,}5 \ge 4\): 5 metros a cada lado del centro, 10 metros de ancho en total. Decisiones como reservar el paso de los camiones grandes cerca del centro o colocar una señal de limitación de altura se basan en cálculos como este.
Fórmulas y gráficas
Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(>0\) es «fuera de las dos raíces»)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{o}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(x\): solución
\(<\)
①
\(\alpha\): raíz menor
\(\ \text{o}\ \)
②
\(\beta\): raíz mayor
\(<\)
\(x\): solución
La fórmula en palabras
①
Sean \(\alpha < \beta\) las dos raíces de la ecuación de segundo grado \(ax^{2}+bx+c=0\). Los valores menores que
\(\alpha\): raíz menor
y
②
los valores mayores que
\(\beta\): raíz mayor
(es decir, fuera de las dos raíces)
③
son
\(x\): solución
(porque una parábola con las ramas hacia arriba queda por encima del eje \(x\) fuera de los dos puntos de corte)
Un ejemplo sencillo
La solución de \(x^{2}-3x+2>0\) (como \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\), las raíces de \(=0\) son \(x=1,\ 2\)) es
\(x\): solución
\(<\)
raíz menor (1)
\(\ \text{o}\ \)
raíz mayor (2)
\(<\)
\(x\): solución
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{o}\ 2 < x\)
La idea clave
Piensa en una inecuación de segundo grado no como «un cálculo» sino como «leer en qué parte la gráfica está por encima (o por debajo) del eje \(x\)». Así hay mucho menos que memorizar.
Una parábola con \(x^{2}\) de coeficiente positivo tiene las ramas hacia arriba (forma de valle). Cuando corta el eje \(x\) en dos puntos, solo la parte central, incluido el fondo del valle, queda por debajo del eje \(x\), y las partes de fuera quedan por encima. Por eso la solución de \(>0\) está fuera de las raíces y la de \(<0\), entre ellas.
«Fuera» son dos intervalos separados, así que se escriben unidos con «o», como en \(x<1\) o \(2<x\). Escribirlos como una sola cadena, \(2<x<1\), es un error, porque significaría que \(x\) es mayor que 2 y menor que 1 a la vez.
Cuando el signo incluye la igualdad, como en \(\ge 0\), las propias raíces también forman parte de la solución: \(x \le 1\) o \(2 \le x\).
Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(<0\) es «entre las dos raíces»)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(\alpha\): raíz menor
\(<\)
③
\(x\): solución
\(<\)
②
\(\beta\): raíz mayor
La fórmula en palabras
①
Los valores mayores que
\(\alpha\): raíz menor
y
②
y menores que
\(\beta\): raíz mayor
(es decir, entre las dos raíces)
③
son
\(x\): solución
(porque una parábola con las ramas hacia arriba queda por debajo del eje \(x\) entre los dos puntos de corte)
Un ejemplo sencillo
La solución de \(x^{2}-3x+2<0\) (las raíces de \(=0\) son \(x=1,\ 2\), como antes) es
raíz menor (1)
\(<\)
\(x\): solución
\(<\)
raíz mayor (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
La idea clave
Con la misma expresión \(x^{2}-3x+2\), basta cambiar el sentido del signo para que la solución pase de «fuera» a «entre». Si el primer miembro es el mismo, las raíces (las soluciones de \(=0\)) son siempre las mismas; lo único que cambia es de qué lado de ellas te quedas.
\(1<x<2\) significa los valores de \(x\) que cumplen a la vez \(1<x\) y \(x<2\): «mayor que 1 y menor que 2». Resolver varias inecuaciones a la vez se llama sistema de inecuaciones, y la forma \(A<B<C\) lo escribe como una sola cadena.
Cuando el signo incluye la igualdad, como en \(\le 0\), queda \(1 \le x \le 2\), y los extremos 1 y 2 también son soluciones.
El discriminante (decide la forma de la solución)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(D\): discriminante
\(=\)
①
\(b^{2}\): el coeficiente de \(x\) al cuadrado
\(-\)
②
\(4ac\): 4 por el coeficiente de \(x^{2}\) por el término independiente
La fórmula en palabras
①
A
\(b^{2}\): el coeficiente de \(x\) al cuadrado
②
réstale
\(4ac\): 4 por el coeficiente \(a\) de \(x^{2}\) por el término independiente \(c\)
③
y obtienes
\(D\): discriminante
(su signo por sí solo decide cómo corta la parábola el eje \(x\), que es la forma de la solución)
Un ejemplo sencillo
El discriminante de \(x^{2}-3x+2\) es
\(D\): discriminante
\(=\)
\(-3\) al cuadrado
\(-\)
4 por 1 por 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
La idea clave
El discriminante te dice cuántas veces corta la parábola el eje \(x\): en dos puntos si \(D>0\), lo toca en un punto si \(D=0\) y no lo corta si \(D<0\). Incluso en un polinomio de segundo grado que no se puede factorizar, este único valor decide la forma de la solución.
Cuando el coeficiente de \(x^{2}\) es positivo (la parábola tiene las ramas hacia arriba), los cuatro signos dan estas soluciones:
\(D>0\) (corta en dos puntos): \(>0\) y \(\ge 0\) son fuera de las dos raíces; \(<0\) y \(\le 0\) son entre ellas.
\(D=0\) (toca en un punto): con el punto de tangencia en \(x=\alpha\), \(>0\) es \(x \neq \alpha\) (solo se excluye el punto de tangencia), \(\ge 0\) es todos los números reales, \(<0\) es sin solución y \(\le 0\) es el único punto \(x=\alpha\).
\(D<0\) (no corta): toda la parábola queda por encima del eje \(x\), así que \(>0\) y \(\ge 0\) son todos los números reales, y \(<0\) y \(\le 0\) son sin solución.
Cuando \(D=0\) o \(D<0\), la respuesta no es un intervalo, y estos casos se olvidan a menudo en los exámenes. Dibuja la gráfica y pregúntate «¿alguna parte de la parábola queda por debajo del eje \(x\)?» y no te perderás.
Coeficiente de \(x^{2}\) negativo (se multiplican los dos miembros por \(-1\) para hacerlo positivo)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(ax^{2}+bx+c\): un polinomio de segundo grado con \(a\) negativo
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): todos los signos cambiados (\(x^{2}\) con coeficiente positivo)
\(> 0\)
La fórmula en palabras
①
La inecuación en la que
\(ax^{2}+bx+c\): un polinomio de segundo grado con el coeficiente \(a\) de \(x^{2}\) negativo
es menor que 0
②
se puede reescribir como
\(-ax^{2}-bx-c\): el polinomio con todos los signos cambiados (\(x^{2}\) con coeficiente positivo)
mayor que 0 (se multiplicaron los dos miembros por el número negativo \(-1\), así que el signo de la desigualdad también se invierte)
Un ejemplo sencillo
Al multiplicar los dos miembros de \(-x^{2}+4x-3 \ge 0\) por \(-1\) se obtiene
\(-x^{2}+4x-3\) (\(x^{2}\) con coeficiente \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (\(x^{2}\) con coeficiente \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
La idea clave
Si el coeficiente de \(x^{2}\) sigue siendo negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo (forma de colina) y «fuera» y «entre» se intercambian, lo que confunde. Multiplica primero los dos miembros por \(-1\) para convertirla en una parábola con las ramas hacia arriba y solo tendrás que recordar un patrón.
En una inecuación, multiplicar o dividir los dos miembros por un número negativo invierte el signo. Por ejemplo, al multiplicar los dos miembros de \(2<3\) por \(-1\) se obtiene \(-2>-3\), porque cambiar los signos intercambia la izquierda y la derecha en la recta numérica. En las ecuaciones no pasa esto; solo importa en las inecuaciones.
Multiplicar los dos miembros por \(-1\) no cambia el discriminante \(D\) (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). En el ejemplo, \(-x^{2}+4x-3\) y \(x^{2}-4x+3\) tienen \(D=4\).
Para resolver una inecuación de segundo grado, haz primero positivo el coeficiente de \(x^{2}\) (si es negativo, multiplica los dos miembros por \(-1\) e invierte el signo) y luego distingue casos según el signo del discriminante \(D=b^{2}-4ac\). Cuando \(D>0\), \(>0\) es fuera de las dos raíces y \(<0\) es entre ellas; cuando \(D=0\) o \(D<0\), la respuesta puede ser «todos los números reales», «sin solución» o «un solo punto». Imagina una parábola con las ramas hacia arriba y lee dónde queda por encima del eje \(x\), y todos los casos funcionan igual.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Los coeficientes de la inecuación de segundo grado \(ax^{2}+bx+c>0\): \(a\) es el coeficiente de \(x^{2}\), \(b\) el de \(x\) y \(c\) el término independiente. Por costumbre, las primeras letras del alfabeto, \(a,\ b,\ c\), representan números dados de antemano. |
| \(x\) | equis | El número desconocido. Una inecuación de segundo grado pregunta «¿entre qué valores de \(x\) se cumple?», así que la respuesta es un intervalo y no un solo número. Por costumbre, las últimas letras del alfabeto, \(x,\ y,\ z\), se usan para las incógnitas. |
| \(D\) | de | El discriminante, \(b^{2}-4ac\). \(D\) es la inicial de «discriminante» (lo que distingue los casos). Su signo por sí solo decide cómo corta la parábola el eje \(x\) (la forma de la solución). |
| \(\alpha,\ \beta\) | alfa, beta | Nombres de las dos raíces de la ecuación de segundo grado \(ax^{2}+bx+c=0\). Son la primera y la segunda letra del alfabeto griego y, por costumbre, \(\alpha < \beta\) (\(\alpha\) es la menor). En una inecuación de segundo grado, estas dos son los extremos del conjunto solución. |
| \(>,\ <\) | mayor que, menor que | Signos de desigualdad. \(A>B\) significa «\(A\) es mayor que \(B\)» y \(A<B\) significa «\(A\) es menor que \(B\)»; el lado abierto siempre mira al número mayor. No incluyen la igualdad, así que las propias raíces no son soluciones. |
| \(\ge,\ \le\) | mayor o igual que, menor o igual que | Signos de desigualdad que incluyen la igualdad. \(A \ge B\) significa «\(A\) es mayor o igual que \(B\)» y \(A \le B\) significa «\(A\) es menor o igual que \(B\)». Las propias raíces también son soluciones. En algunos países, como Japón, se escriben con una doble raya bajo el signo (≧, ≦); el significado es el mismo. |
| \(\neq\) | distinto de | El símbolo de «no es igual a». \(x \neq 3\) significa «\(x\) puede tener cualquier valor salvo 3». En las inecuaciones de segundo grado, esta forma de respuesta aparece cuando la parábola toca el eje \(x\) (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | raíz cuadrada | El símbolo del número positivo cuyo cuadrado es el número de dentro (la raíz cuadrada). \(\sqrt{5}\) es «el número positivo cuyo cuadrado es 5», aproximadamente 2,236. Se dice que viene de una r estilizada, por la palabra latina radix, «raíz». Aparece cuando las raíces no salen exactas. |
| \(\Longleftrightarrow\) | si y solo si (equivale a) | Un símbolo que dice que los dos lados significan lo mismo. \(P \Longleftrightarrow Q\) significa «cuando \(P\) es cierto, \(Q\) es cierto, y al revés». Al reescribir una inecuación, hay que conservar esta relación (para que la solución no cambie). |
| \(y\) | i griega | El valor de la función cuadrática \(y=ax^{2}+bx+c\), la «altura» de la parábola. Resolver \(ax^{2}+bx+c>0\) es lo mismo que hallar el intervalo de \(x\) en el que esta altura es mayor que 0 (donde la gráfica está por encima del eje \(x\)). |
Términos
| inecuación de segundo grado | Una inecuación con un término en \(x^{2}\), como \(ax^{2}+bx+c>0\). La respuesta es un intervalo de \(x\) y no un solo número. Se estudia en 4.º de ESO y 1.º de Bachillerato (15-17 años). |
| inecuación | Una expresión que compara dos cantidades con \(>\), \(<\), \(\ge\) o \(\le\). Sumar o restar el mismo número en los dos miembros no cambia el sentido, pero multiplicar o dividir por un número negativo lo invierte. |
| función cuadrática | Una función de la forma \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)). Su gráfica es una parábola. Una inecuación de segundo grado se puede plantear como leer dónde esta gráfica queda por encima o por debajo del eje \(x\). |
| parábola | La curva suave y simétrica que es la gráfica de una función cuadrática. Una pelota lanzada en diagonal sigue esta forma. |
| ramas hacia arriba | Una parábola con forma de valle (las dos ramas apuntan hacia arriba). Ocurre cuando el coeficiente de \(x^{2}\) es positivo. Cuando el coeficiente es negativo, tiene forma de colina y las ramas hacia abajo. |
| discriminante | \(D=b^{2}-4ac\). Indica cuántas soluciones reales tiene la ecuación de segundo grado (cuántas veces corta la parábola el eje \(x\)): 2 si \(D>0\), 1 (una raíz doble) si \(D=0\) y 0 si \(D<0\). |
| solución real | Una solución que es un número corriente de la recta numérica (un número real). Cuando \(D<0\), no hay soluciones reales y la parábola no corta el eje \(x\). |
| raíz doble | La solución cuando \(D=0\). Dos soluciones iguales se juntan, como en \((x-3)^{2}=0\), y la parábola toca el eje \(x\) en un punto. |
| fórmula general | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\). Resuelve las ecuaciones de segundo grado aunque no se puedan factorizar y, en las inecuaciones de segundo grado, da las raíces. |
| factorización | Reescribir una expresión como un producto, como en \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). En una inecuación de segundo grado, si sabes factorizar, ves las raíces de un vistazo. |
| raíz | Un valor donde empieza o termina el conjunto solución. En una inecuación de segundo grado, son las soluciones de \(ax^{2}+bx+c=0\), las coordenadas \(x\) donde la parábola corta el eje \(x\). Se incluyen con \(\ge\) o \(\le\) y se excluyen con \(>\) o \(<\). |
| conjunto solución | Todos los valores de \(x\) que hacen cierta la inecuación. Puede ser un solo intervalo, como \(1<x<2\), o dos intervalos separados, como \(x<1\) o \(2<x\). |
| sistema de inecuaciones | Hallar los \(x\) que cumplen varias inecuaciones a la vez. El intervalo que cumple a la vez \(1<x\) y \(x<2\) se escribe como una sola cadena, \(1<x<2\). |
| sin solución | No hay ningún \(x\) que haga cierta la inecuación. Ocurre, por ejemplo, con \(x^{2}+2x+5<0\), donde una parábola con las ramas hacia arriba nunca pasa por debajo del eje \(x\). |
| todos los números reales | La inecuación es cierta para cualquier \(x\). Con \(x^{2}\) de coeficiente positivo, es la respuesta de \(>0\) o \(\ge 0\) cuando \(D<0\) (la parábola nunca corta el eje \(x\)). Cuando \(D=0\), \(\ge 0\) también da todos los números reales, porque el punto de tangencia cuenta gracias a la igualdad. (Con el mismo \(D<0\), \(<0\) o \(\le 0\) es sin solución.) |
| recta numérica | Un dibujo que coloca los números en una recta. Para mostrar la solución de una inecuación de segundo grado, se dibuja el intervalo como una línea gruesa, con un círculo relleno en una raíz incluida y un círculo vacío en una que no lo está. |
| transposición de términos (pasar al otro miembro) | Pasar un término de una inecuación o ecuación al otro miembro cambiándole el signo. Si hay una expresión en el segundo miembro, pásala al primero para que el segundo miembro sea 0 antes de resolver. |
| término independiente | Un término que es solo un número, sin \(x\), como el 5 de \(x^{2}+3x+5\). Se llama independiente porque no cambia sea cual sea el valor de \(x\). |
| coeficiente | El número que va delante de una letra. En \(3x^{2}\), el coeficiente es 3. Cuando no se escribe ningún número, como en \(x^{2}\), el coeficiente es 1. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Propiedades de las desigualdades (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| Factorización (3.º–4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Resolución de ecuaciones de segundo grado (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
| Gráficas de funciones cuadráticas (3.º–4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| La recta numérica y los intervalos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para dos raíces, fuera (ax²+bx+c > 0)
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Raíz menor α | =(-B2-RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Raíz mayor β | =(-B2+RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Conjunto solución (fuera) | ="x < "&B5&" o "&B6&" < x" |
Tabla para dos raíces, entre (ax²+bx+c < 0)
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Raíz menor α | =(-B2-RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Raíz mayor β | =(-B2+RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Conjunto solución (entre) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabla para hallar el discriminante D = b²−4ac
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Número de puntos de corte con el eje x | =SI(B4>0;2;SI(B4=0;1;0)) |
Tabla para comprobar el cambio de signo cuando el coeficiente de x² es negativo
| Coeficiente de x², a | -1 |
| Coeficiente de x, b | 4 |
| Término independiente c | -3 |
| Coeficiente de x² por −1 | =-B1 |
| Coeficiente de x por −1 | =-B2 |
| Término independiente por −1 | =-B3 |
| Discriminante tras el cambio (igual que antes) | =B5^2-4*B4*B6 |
Después de pegar, las tres filas de arriba (los coeficientes a, b y c) son los datos y las filas de abajo se calculan solas.
«^» significa potencia, «RAIZ» es la raíz cuadrada y «&» une textos.
La primera y la segunda tabla usan a=1, b=−3, c=2 (es decir, x²−3x+2). El discriminante es 1, las raíces son 1 y 2, y las soluciones son «x < 1 o 2 < x» (fuera) y «1 < x < 2» (entre). Si escribes coeficientes que hagan negativo el discriminante, RAIZ devuelve un error, así que comprueba primero el número de puntos de corte con la tercera tabla.
La tercera tabla halla solo el discriminante, y la función SI también decide el número de puntos de corte con el eje x (2, 1 o 0).
La cuarta tabla cambia todos los signos cuando el coeficiente de x² es negativo (a=−1, b=4, c=−3). Los nuevos coeficientes son 1, −4 y 3, y puedes comprobar que el discriminante es 4 antes y después del cambio.
«^» significa potencia, «RAIZ» es la raíz cuadrada y «&» une textos.
La primera y la segunda tabla usan a=1, b=−3, c=2 (es decir, x²−3x+2). El discriminante es 1, las raíces son 1 y 2, y las soluciones son «x < 1 o 2 < x» (fuera) y «1 < x < 2» (entre). Si escribes coeficientes que hagan negativo el discriminante, RAIZ devuelve un error, así que comprueba primero el número de puntos de corte con la tercera tabla.
La tercera tabla halla solo el discriminante, y la función SI también decide el número de puntos de corte con el eje x (2, 1 o 0).
La cuarta tabla cambia todos los signos cuando el coeficiente de x² es negativo (a=−1, b=4, c=−3). Los nuevos coeficientes son 1, −4 y 3, y puedes comprobar que el discriminante es 4 antes y después del cambio.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para dos raíces, fuera (ax²+bx+c > 0)
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Raíz menor α | =(-B2-RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Raíz mayor β | =(-B2+RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Conjunto solución (fuera) | ="x < "&B5&" o "&B6&" < x" |
Tabla para dos raíces, entre (ax²+bx+c < 0)
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Raíz menor α | =(-B2-RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Raíz mayor β | =(-B2+RAIZ(B4))/(2*B1) |
| Conjunto solución (entre) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabla para hallar el discriminante D = b²−4ac
| Coeficiente de x², a | 1 |
| Coeficiente de x, b | -3 |
| Término independiente c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Número de puntos de corte con el eje x | =SI(B4>0;2;SI(B4=0;1;0)) |
Tabla para comprobar el cambio de signo cuando el coeficiente de x² es negativo
| Coeficiente de x², a | -1 |
| Coeficiente de x, b | 4 |
| Término independiente c | -3 |
| Coeficiente de x² por −1 | =-B1 |
| Coeficiente de x por −1 | =-B2 |
| Término independiente por −1 | =-B3 |
| Discriminante tras el cambio (igual que antes) | =B5^2-4*B4*B6 |
Se pueden usar las mismas fórmulas que en Excel (con los nombres de las funciones en español). Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y cambia los coeficientes por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
import math
# Coeficientes de la inecuación de segundo grado (el primer miembro a*x^2 + b*x + c se compara con 0) y el signo (">", ">=", "<" o "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Hacer positivo el coeficiente de x^2 (si es negativo, se multiplican los dos miembros por -1 y se invierte el signo)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} o {beta} {mark} x" # fuera de las dos raíces
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # entre las dos raíces
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "todos los números reales",
"<": "sin solución", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "todos los números reales" if is_greater else "sin solución"
print(f"Discriminante D = {discriminant}")
print(f"Conjunto solución: {answer}")
Funciona solo con la biblioteca estándar. Si haces que los coeficientes sean fractions.Fraction, el signo del discriminante no se ve afectado por los errores de redondeo decimales. Este ejemplo es x² − 3x + 2 > 0 y, al ejecutarlo, muestra dos líneas: el valor del discriminante (1) y el conjunto solución (x < 1 o 2 < x). Cambia los coeficientes y el signo y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(>0\) es «fuera de las dos raíces»)
x < α o β < x
x < \alpha \ \text{o}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> o </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " o " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α o β < x
Coeficiente de \(x^{2}\) positivo y dos raíces (\(<0\) es «entre las dos raíces»)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
El discriminante (decide la forma de la solución)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Coeficiente de \(x^{2}\) negativo (se multiplican los dos miembros por \(-1\) para hacerlo positivo)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de álgebra. Resuelve el siguiente problema ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni adivinando). Resuelve la inecuación de segundo grado x² − 3x + 2 > 0. Muestra cada uno de estos puntos: 1. El valor del discriminante D = b² − 4ac 2. Las raíces (las soluciones de x² − 3x + 2 = 0) 3. El conjunto solución (indica también si es «fuera de las dos raíces», «entre las dos raíces», «todos los números reales» o «sin solución») 4. Si el coeficiente de x² fuera negativo, muestra también el paso de multiplicar los dos miembros por −1 e invertir el signo En Python, usa a la vez solve_univariate_inequality de sympy y un cálculo exacto del discriminante con fractions, y responde solo después de confirmar que los resultados coinciden.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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