Escribe la media, la desviación típica y los límites inferior y superior del intervalo que quieres. La calculadora halla la probabilidad de caer en ese intervalo y una tabla de intervalos de confianza.
Si no hay límite inferior, escribe «-inf». Si no hay límite superior, escribe «inf» (significan menos infinito y más infinito).
Resultado y gráfico
Escribe la media, la desviación típica y el intervalo en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
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Fórmula y gráfico
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe la media \(\mu\) y la dispersión (la desviación típica \(\sigma\)) y obtendrás al instante la probabilidad de que un valor caiga en un intervalo dado
- También calcula la probabilidad de estar por encima (o por debajo) de un valor, como «¿qué porcentaje del alumnado sacó un 80 o más?»
- También se muestra a la vez una tabla con los intervalos que más se usan en estadística (como el intervalo que contiene el 95 % del total)
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de la distribución normal y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Úsala cuando los datos se reparten de forma parecida a una distribución normal (una campana simétrica alrededor de la media). Se sabe que muchos datos reales, como las notas de un examen, las estaturas y los pesos de los productos, se parecen a esta forma.
¿Para qué sirve este cálculo?
Leer bien las puntuaciones y los percentiles (CI y pruebas estandarizadas)
Las puntuaciones de CI se fijan de modo que la media sea 100 y una desviación típica sean 15 puntos. En una distribución normal, solo alrededor del 16 % de las personas está a \(+1\sigma\) o más (un CI de 115 o más) y solo alrededor del 2,3 % está a \(+2\sigma\) o más (130 o más).
Cuando ves esta relación, los percentiles de las pruebas estandarizadas dejan de ser un misterio. Puedes leer en números, y no solo a ojo, lo que representan realmente «una subida de 10 puntos» o «el percentil 90».
Leer con calma el «valor de referencia» de los resultados de un análisis (salud)
Los «valores de referencia» de los análisis de sangre y otros resultados de laboratorio se fijan a menudo como el intervalo que contiene el 95 % central de las medidas de personas sanas (aproximadamente la media \(\pm 2\sigma\)).
Así, en cualquier prueba, alrededor del 5 % de las personas sanas (1 de cada 20) queda fuera del intervalo de referencia. En una analítica con muchos parámetros, de hecho es habitual que una persona sana tenga al menos uno marcado. Sabiéndolo, entiendes que «un poco fuera del intervalo» no es automáticamente señal de que «algo va mal», y puedes escuchar con calma la explicación de tu médico. Es especialmente útil si los resultados de los análisis suelen preocuparte.
Control de calidad en una fábrica: ¿cuántos productos no cumplen la especificación?
Los pesos y los tamaños de los productos varían de una forma que se parece a una distribución normal. Por ejemplo, si unas bolsas etiquetadas con 500 g se llenan con una media de 502 g y una desviación típica de 1 g, las bolsas por debajo de 500 g son las que quedan más allá de \(-2\sigma\), alrededor del 2,3 %.
Las fábricas usan este cálculo para predecir la tasa de defectos y decidir dónde fijar el llenado medio (cuánto poner de más) para equilibrar las reclamaciones de los clientes y el coste.
Decidir pruebas A/B en sitios web y aplicaciones (marketing)
Cuando comparas si el diseño A o el diseño B consigue una tasa de clics más alta, usas la distribución normal (un intervalo de confianza) para decidir si la diferencia es solo casualidad o una diferencia real.
La fila «0,95» de la tabla que aparece en el resultado es justo el «intervalo de confianza del 95 %» que más se usa en la práctica. Detrás de decisiones que mueven grandes sumas de dinero, como los presupuestos de publicidad, este cálculo se usa todos los días.
Las matemáticas que hacen funcionar los seguros (ciencias actuariales)
Los profesionales llamados actuarios estiman el riesgo de pagar siniestros como probabilidades y fijan a partir de ellas las primas de los seguros.
Los siniestros individuales no se pueden predecir, pero el total de muchos asegurados se acerca a una distribución normal (el teorema central del límite), así que el pago total se puede predecir con una precisión sorprendente. Estas matemáticas son la razón por la que podemos conseguir una gran cobertura por una prima asequible.
Fórmula y gráfico
Probabilidad de caer en un intervalo (con la función de distribución \(\Phi\))
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(P(a \le X \le b)\)
\(=\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\)
\(-\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
probabilidad de estar entre \(a\) y \(b\)
\(=\)
①
parte que queda hasta el límite superior \(b\)
\(-\)
②
parte que queda hasta el límite inferior \(a\)
La fórmula en palabras
①
Halla la
parte que queda hasta el límite superior \(b\)
con la función de distribución \(\Phi\) (fi). Dentro del paréntesis de \(\Phi\) está el valor \(z\): la distancia a la media \(\mu\) dividida entre la desviación típica \(\sigma\)
②
halla la
parte que queda hasta el límite inferior \(a\)
de la misma forma y réstala
③
para obtener la
probabilidad de estar entre \(a\) y \(b\)
Un ejemplo sencillo
En un examen de 100 puntos con una media de 62 puntos y una desviación típica de 14 puntos, la parte de notas entre 50 y 80 es
probabilidad de 50 a 80 puntos
\(=\)
parte hasta 80 puntos \(\Phi((80-62)/14)\)
\(-\)
parte hasta 50 puntos \(\Phi((50-62)/14)\)
\(\Phi(1{,}29) - \Phi(-0{,}86) \approx 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \ (70\,\%)\)
La idea clave
Dividir la distancia a la media \(\mu\) entre la desviación típica \(\sigma\) se llama tipificación (convertir un valor en un valor \(z\)). Sean cuales sean la media y la desviación típica de una distribución normal, si reescribes los valores como \(z = (x - \mu) \div \sigma\), puedes hallar las probabilidades con una única distribución normal estándar de media 0 y desviación típica 1, \(N(0,\,1)\) (una regla común). Esta calculadora también hace esta conversión internamente antes de calcular. Las puntuaciones de CI (cociente intelectual) se construyen con la misma idea: CI \(= 100 + 15 \times z\).
Fórmula de la curva normal (función de densidad)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(f(x)\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
\(\times\)
\(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
altura de la curva en \(x\), \(f(x)\)
\(=\)
②
factor de escala (hace que el área total sea 1)
\(\times\)
①
parte que disminuye al alejarse de la media
La fórmula en palabras
①
La
parte que disminuye al alejarse de la media
cae rápidamente a medida que \(x\) se aleja de la media \(\mu\), y eso forma la campana
②
el
factor de escala (hace que el área total sea 1)
hace que el área bajo la curva sea exactamente 1
③
y juntos dan la
altura de la curva en \(x\), \(f(x)\)
(el área entre la curva y el eje horizontal es la probabilidad)
Un ejemplo sencillo
Rara vez calcularás esta fórmula a mano. Lo habitual es convertir a un valor \(z\) como en la primera fórmula, o usar la calculadora de esta página o Excel.
La idea clave
En una distribución normal, aproximadamente el 68,3 % de los datos queda a menos de \(\pm 1\sigma\) de la media (una desviación típica), aproximadamente el 95,4 % a menos de \(\pm 2\sigma\) y aproximadamente el 99,7 % a menos de \(\pm 3\sigma\) (la regla empírica 68-95-99,7). Por ejemplo, con una media de 62 puntos y una desviación típica de 14 puntos, alrededor del 68 % del alumnado saca entre 48 y 76. Ten presente esta regla práctica y te harás una idea de cómo se corresponde la forma de la curva con las probabilidades.
La clave de las probabilidades de la distribución normal: sean cuales sean la media y la desviación típica, si reescribes un valor como «a cuántas desviaciones típicas está de la media» (el valor \(z\)), puedes hallar la probabilidad con una regla común.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(\mu\) | mi | La media. Es donde está el centro del pico de la distribución. Una letra griega que corresponde a la m. |
| \(\sigma\) | sigma | La desviación típica. Es el tamaño de la dispersión de los datos y determina la anchura del pico. Cuanto mayor es, más bajo y más ancho es el pico. Una letra griega que corresponde a la s. |
| \(X\) | X (variable aleatoria) | Una letra que representa una cantidad cuyo valor puede cambiar cada vez que la mides, como la nota de un examen o una estatura. |
| \(\Phi\) | fi mayúscula | La función de distribución de la distribución normal estándar (media 0, desviación típica 1). Devuelve la probabilidad de obtener ese valor o menos. |
| \(z\) | z (valor z) | Un número que indica a cuántas desviaciones típicas de la media está un valor. Se halla con \(z = (x - \mu) \div \sigma\). |
| \(e\) | e (número de Euler) | Una constante, aproximadamente 2,71828…, que es la base del logaritmo neperiano. Es un número especial que está en el centro de las funciones exponenciales. |
| \(\pi\) | pi | Una constante, aproximadamente 3,14159…, el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En la fórmula de la distribución normal aparece para que el área total bajo la curva sea exactamente 1. |
Términos
| distribución normal | Una distribución repartida simétricamente alrededor de la media en forma de campana. Se usa como modelo de datos en los que los valores cercanos a la media son los más frecuentes y los valores son más raros cuanto más lejos están de la media, como las estaturas, las notas de un examen y los pesos de los productos. |
| desviación típica (desviación estándar) | Un número que indica lo dispersos que están los datos. Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media pero dispersiones distintas. Cuanto mayor es la desviación típica, más bajo y más ancho es el pico de la distribución. |
| tipificación (valor z) | Reescribir un valor como «a cuántas desviaciones típicas está de la media» (el valor \(z\)). Cualquier distribución normal, una vez tipificada, se puede tratar con la única distribución normal estándar de media 0 y desviación típica 1. Las puntuaciones de CI usan la misma idea: CI \(= 100 + 15 \times z\). |
| función de distribución (función de distribución acumulada) | Una función que devuelve la probabilidad de obtener ese valor o menos. En la distribución normal estándar se escribe \(\Phi\) (fi). La probabilidad de un intervalo es «\(\Phi\) hasta el límite superior» menos «\(\Phi\) hasta el límite inferior». |
| función de densidad | La fórmula de la propia curva de la distribución. La altura de la curva no es una probabilidad, sino una densidad de probabilidad. El área entre la curva y el eje horizontal sobre un intervalo es la probabilidad. En la distribución normal, es una curva en forma de campana. |
| intervalo de confianza | La tabla del resultado indica, para cada porcentaje, el intervalo centrado en la media que contiene esa parte de toda la distribución (\(\mu \pm z \times \sigma\)) y su multiplicador \(z\). En sentido estricto, un «intervalo de confianza del 95 %» en estadística es un intervalo para el valor verdadero (como la media de la población) estimado a partir de los datos de una muestra. Pero cuando se supone una distribución normal, usa el mismo \(z\) (1,96 para el 95 %), así que los valores \(z\) de esta tabla se aplican directamente. Se usa a menudo para hallar el «margen de error» de las encuestas y de los resultados de las pruebas. |
| regla empírica (regla 68-95-99,7) | Una regla práctica muy útil: en una distribución normal, aproximadamente el 68,3 % de los datos queda a menos de \(\pm 1\sigma\) de la media, aproximadamente el 95,4 % a menos de \(\pm 2\sigma\) y aproximadamente el 99,7 % a menos de \(\pm 3\sigma\). |
| teorema central del límite | El hecho matemático de que una cantidad formada por muchos pequeños efectos aleatorios (una suma o una media) se acerca a una distribución normal, sea cual sea la distribución original. Es la razón por la que tantos datos reales se parecen a una distribución normal. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| La media (6.º de Primaria, 11-12 años) |
|
| Estadística y desviación típica (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Leer partes como áreas (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años) |
|
| Tipificación y valores z (2.º de Bachillerato, 17-18 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar la probabilidad de un intervalo
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Límite inferior | 50 |
| Límite superior | 80 |
| Probabilidad entre los límites | =DISTR.NORM.N(B4;B1;B2;VERDADERO)-DISTR.NORM.N(B3;B1;B2;VERDADERO) |
Tabla para hallar la probabilidad de un valor o más (qué porcentaje queda por encima)
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Valor (del que quieres saber la parte igual o superior) | 80 |
| Probabilidad de ese valor o más | =1-DISTR.NORM.N(B3;B1;B2;VERDADERO) |
Tabla para hallar la altura de la curva en un punto (densidad de probabilidad)
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Punto x | 80 |
| Altura de la curva en ese punto | =DISTR.NORM.N(B3;B1;B2;FALSO) |
DISTR.NORM.N es la función de la distribución normal. DISTR.NORM.N(x; media; desv_estándar; VERDADERO) devuelve la probabilidad de obtener x o menos.
La probabilidad de un intervalo es «la probabilidad del límite superior o menos» menos «la probabilidad del límite inferior o menos».
Si pones FALSO en el último argumento, obtienes la altura de la curva en ese punto (el valor de la función de densidad) en lugar de una probabilidad.
Al pegar la tabla, la columna B contiene tus datos y la fórmula de la última fila se calcula automáticamente. La primera tabla muestra aproximadamente 0,70 (alrededor del 70 %) y la segunda, aproximadamente 0,10 (alrededor del 10 %, es decir, aproximadamente el 10 % superior).
La probabilidad de un intervalo es «la probabilidad del límite superior o menos» menos «la probabilidad del límite inferior o menos».
Si pones FALSO en el último argumento, obtienes la altura de la curva en ese punto (el valor de la función de densidad) en lugar de una probabilidad.
Al pegar la tabla, la columna B contiene tus datos y la fórmula de la última fila se calcula automáticamente. La primera tabla muestra aproximadamente 0,70 (alrededor del 70 %) y la segunda, aproximadamente 0,10 (alrededor del 10 %, es decir, aproximadamente el 10 % superior).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar la probabilidad de un intervalo
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Límite inferior | 50 |
| Límite superior | 80 |
| Probabilidad entre los límites | =DISTR.NORM(B4;B1;B2;VERDADERO)-DISTR.NORM(B3;B1;B2;VERDADERO) |
Tabla para hallar la probabilidad de un valor o más (qué porcentaje queda por encima)
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Valor (del que quieres saber la parte igual o superior) | 80 |
| Probabilidad de ese valor o más | =1-DISTR.NORM(B3;B1;B2;VERDADERO) |
Tabla para hallar la altura de la curva en un punto (densidad de probabilidad)
| Media μ | 62 |
| Desv. típica σ | 14 |
| Punto x | 80 |
| Altura de la curva en ese punto | =DISTR.NORM(B3;B1;B2;FALSO) |
En Hojas de cálculo de Google, usa la función DISTR.NORM (funciona igual que DISTR.NORM.N en Excel).
DISTR.NORM(x; media; desv_estándar; VERDADERO) devuelve la probabilidad de obtener x o menos, así que el valor del límite superior menos el del límite inferior es la probabilidad del intervalo.
Si pones FALSO en el último argumento, obtienes la altura de la curva en ese punto (la densidad de probabilidad) en lugar de una probabilidad.
DISTR.NORM(x; media; desv_estándar; VERDADERO) devuelve la probabilidad de obtener x o menos, así que el valor del límite superior menos el del límite inferior es la probabilidad del intervalo.
Si pones FALSO en el último argumento, obtienes la altura de la curva en ese punto (la densidad de probabilidad) en lugar de una probabilidad.
Cómo calcularlo con Python
from statistics import NormalDist
mean = 62 # media
standard_deviation = 14 # desviación típica
lower_bound = 50 # límite inferior del intervalo
upper_bound = 80 # límite superior del intervalo
distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)
print(f"Probabilidad entre {lower_bound} y {upper_bound}: {p_between}")
Con Python 3.8 o posterior, te basta el módulo statistics de la biblioteca estándar (no hay que instalar nada más). cdf(x) devuelve la probabilidad de obtener x o menos, así que el código resta el valor del límite inferior al del límite superior.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Probabilidad de caer en un intervalo (con la función de distribución \(\Phi\))
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>≤</mo><mi>X</mi><mo>≤</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)
CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);
p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)
Fórmula de la curva normal (función de densidad)
f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>σ</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msqrt></mrow>
</mfrac>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>2</mn><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))
PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]
with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);
y = normpdf(x, mu, sigma);
f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de probabilidades. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). Las notas de un examen siguen una distribución normal con una media de 62 puntos y una desviación típica de 14 puntos. Calcula cada uno de estos valores: 1. La probabilidad de que una nota esté entre 50 y 80 puntos 2. La probabilidad de que una nota sea de 80 puntos o más (qué porcentaje superior) 3. La probabilidad de que una nota sea de 50 puntos o menos Usa statistics.NormalDist de Python y muestra el código que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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