Calculadora de la fórmula de De Moivre (potencias y raíces n-ésimas de números complejos, con pasos y polígono)
Elige qué quieres hallar y luego introduce la parte real a y la parte imaginaria b de z = a + bi, y el número entero n. La expresión de abajo está vinculada a los campos, así que también puedes editar los números directamente en ella.
Las partes real e imaginaria pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4 (un campo en blanco se trata como 0). n es un número entero de 1 a 20 para las potencias y de 2 a 12 para las raíces.
Resultado y figura
Introduce los números en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico en el plano complejo.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Halla la potencia \(n\)-ésima \(z^n\) de un número complejo \(z = a + bi\) para un número entero \(n\) (de 1 a 20) al instante. Basados en la fórmula de De Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), los pasos muestran uno a uno el módulo elevado a la potencia, \(r^n\), y el argumento multiplicado por \(n\), \(n\theta\)
- La respuesta \(z^n\) se muestra siempre como valor exacto con números enteros y fracciones. Cuando el argumento es un ángulo notable (sobre un eje o múltiplo de 45°), los pasos usan también razones trigonométricas exactas
- En el modo de raíces n-ésimas, lista los \(n\) números complejos \(w\) con \(w^n = z\) (las raíces \(n\)-ésimas de \(z\)), de \(k = 0\) a \(n-1\) (\(n\) de 2 a 12). Las raíces que se pueden escribir de forma exacta se dan como valores exactos, como \(-1 + \sqrt{3}i\)
- También puedes ver el resultado en el plano complejo. Las raíces \(n\)-ésimas aparecen como un polígono regular de \(n\) lados, repartidas a distancias iguales sobre una circunferencia de radio \(\sqrt[n]{r}\), y una potencia aparece como los puntos \(z\) y \(z^n\) con arcos para sus argumentos
- La expresión de encima de los campos (MathLive) está vinculada a ellos, así que también puedes editar los números de \(\left(1 + i\right)^{4}\) directamente
Esta página trata la fórmula de De Moivre que se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años). Las partes real e imaginaria pueden ser fracciones o decimales (números racionales); no se pueden introducir directamente números irracionales como √3. Por eso el argumento es una fracción exacta de π solo cuando el punto está sobre un eje o el ángulo es múltiplo de 45° (para los ángulos basados en 30° y 60°, el cociente de las partes real e imaginaria es un número irracional como √3, que no puede salir de datos racionales). Los demás argumentos se aproximan con decimales, pero la respuesta de la potencia en sí es el valor exacto obtenido multiplicando repetidamente.
¿Para qué sirve este cálculo?
Deducir las fórmulas del ángulo doble y del ángulo triple (Bachillerato)
Toma \(n = 2\) o \(3\) en la fórmula de De Moivre, desarrolla el primer miembro y compara las partes real e imaginaria. Así salen de golpe las fórmulas del ángulo doble y del ángulo triple, como \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) y \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
Lo bueno es que puedes reconstruir las fórmulas por tu cuenta a partir de esta fórmula en lugar de memorizarlas, y «usa la fórmula de De Moivre para deducir la fórmula del ángulo triple» es un ejercicio clásico de Bachillerato. Es una fórmula con muy buenas vistas, que une la trigonometría y los números complejos, dos temas que estudiaste por separado.
Procesamiento digital de música e imágenes (transformada discreta de Fourier)
Detrás de escuchar música o de guardar una foto en el móvil hay un cálculo llamado transformada discreta de Fourier, que descompone una señal en «cuánto hay de cada tono de onda». El corazón de este cálculo son las raíces de la unidad \(n\)-ésimas: cada dato de la señal se multiplica por una potencia de una raíz \(n\)-ésima de la unidad y los resultados se suman.
La compresión de audio, la compresión de imágenes (las transformadas que usa JPEG), la eliminación de ruido, el reconocimiento de voz y otras tecnologías de sonido e imagen digitales se construyen sobre los «números complejos que dividen una circunferencia en partes iguales» de esta página.
Electricidad trifásica (generación, transporte y motores)
La corriente alterna trifásica que se envía desde las centrales a las fábricas y a los edificios grandes está formada por tres ondas desfasadas 120° entre sí. Escritos con números complejos, estos «desfases de 120°» son exactamente las raíces de la unidad cúbicas \(1,\ \omega,\ \omega^2\). Las tres ondas suman 0 (\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)), y esta cancelación es la razón misma de que la corriente trifásica ahorre cable en el transporte.
El diseño de la red eléctrica y el control de los motores de las fábricas se basan en esta propiedad de las raíces de la unidad cúbicas.
Colocar los vértices de un polígono regular (videojuegos, gráficos por ordenador y diseño)
En videojuegos y gráficos, tareas como «colocar enemigos a distancias iguales alrededor de una circunferencia», «colocar las esquinas de un gráfico de radar» o «dibujar las marcas de la esfera de un reloj» consisten solo en hallar las coordenadas \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n}\,;\,\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) de los puntos que dividen una circunferencia en \(n\) partes iguales. Es exactamente la disposición de las raíces de la unidad \(n\)-ésimas.
En programación, basta multiplicar un número complejo por una raíz \(n\)-ésima de la unidad para «girar un punto hasta el siguiente vértice», así que se usa como herramienta sencilla para girar y repartir cosas a distancias iguales.
Fórmulas y figuras
Fórmula de De Moivre
Figura (sobre la circunferencia goniométrica, cada multiplicación suma θ al argumento)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
dirección dada por el argumento \(\theta\)
②
número entero \(n\)
\(=\)
③
dirección dada por el argumento multiplicado por \(n\)
La fórmula en palabras
①
Eleva la
parte de dirección del argumento \(\theta\), \(\cos\theta + i\sin\theta\)
②
a la potencia del
número entero \(n\)
③
y obtienes la
parte de dirección del argumento multiplicado por \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
Un ejemplo sencillo
Al elevar al cubo la dirección de \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°), el argumento se triplica hasta \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°):
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
La idea clave
Esta fórmula se apoya en la regla del producto en forma polar: «se multiplican los módulos y se suman los argumentos». Si multiplicas el número complejo \(\cos\theta + i\sin\theta\), cuyo módulo es 1, por sí mismo \(n\) veces, se suma \(\theta\) \(n\) veces y se obtiene el argumento \(n\theta\). Eso es todo lo que dice la fórmula.
Como comprobación rápida, al elevar al cuadrado \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (la dirección de 90°), el argumento se duplica hasta \(\pi\) (180°) y resulta \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\). Es exactamente \(i^2 = -1\). La idea de que «multiplicar por \(i\) es un giro de 90°» en el plano complejo se extiende a cualquier ángulo con esta fórmula.
La fórmula también vale cuando \(n\) es un entero negativo (\(n = -1\) es un giro en el sentido contrario). La calculadora de esta página trabaja con números enteros positivos.
La potencia \(n\)-ésima de un número complejo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(z\) elevado a \(n\)
\(=\)
①
módulo \(r\) elevado a \(n\)
②
dirección dada por el argumento multiplicado por \(n\)
La fórmula en palabras
①
Toma el
módulo \(r\) elevado a \(n\)
(la distancia al origen)
②
y multiplícalo por la
parte de dirección del argumento multiplicado por \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
③
y obtienes la
potencia \(n\)-ésima de \(z\), \(z^n\)
Un ejemplo sencillo
La cuarta potencia de \(z = 1 + i\) (módulo \(r = \sqrt{2}\), argumento \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), o 45°) es
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
La idea clave
«Eleva el módulo a la potencia \(n\)-ésima y multiplica el argumento por \(n\).» Calcula por separado estas dos cosas y obtienes la potencia \(n\)-ésima de una vez.
Si calculas el mismo \(\left(1 + i\right)^4\) en forma binómica, tienes que desarrollar una y otra vez: primero \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), y luego elevar eso al cuadrado. Una cuarta potencia aún se hace bien a mano, pero para una potencia décima o vigésima, desarrollar es casi imposible. En forma polar solo calculas \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) y \(10 \times 45^{\circ}\), y el trabajo apenas cambia sea cual sea la potencia. Esa es la mayor ventaja de esta fórmula.
Las raíces \(n\)-ésimas de un número complejo
Figura (raíces cúbicas de 8: un triángulo equilátero con los vértices a distancias iguales sobre una circunferencia de radio 2)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
raíz \(n\)-ésima número \(k\) de \(z\)
\(=\)
①
raíz \(n\)-ésima del módulo \(r\) (radio de la circunferencia)
②
dirección: argumento más \(k\) vueltas completas, dividido entre \(n\)
La fórmula en palabras
①
Toma la
raíz \(n\)-ésima del módulo, \(\sqrt[n]{r}\)
(el radio de la circunferencia en la que están todas las raíces)
②
y multiplícala por la
parte de dirección del argumento \(\theta\) más \(k\) vueltas completas (\(2\pi\) cada una), dividido entre \(n\)
③
y obtienes la
raíz \(n\)-ésima número \(k\) de \(z\), \(w_k\)
(haciendo que \(k\) recorra \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) se obtienen las \(n\) raíces)
Un ejemplo sencillo
Las raíces cúbicas de \(z = 8\) (módulo \(r = 8\), argumento \(\theta = 0\)), con radio \(\sqrt[3]{8} = 2\), son
raíz cúbica \(w_k\)
\(=\)
radio \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
La idea clave
¿Por qué hay hasta \(n\) raíces? La clave es que sumar una vuelta completa (\(2\pi\)) a un argumento da la misma dirección. El argumento de \(z\) se puede escribir como \(\theta\), como \(\theta + 2\pi\) o como \(\theta + 4\pi\). Para hallar raíces \(n\)-ésimas se divide el argumento entre \(n\), así que estas formas distintas de escribirlo se convierten en direcciones distintas: \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Cuando \(k\) llega a \(n\), has dado exactamente una vuelta completa y vuelves al mismo punto que con \(k = 0\), así que hay exactamente \(n\) puntos distintos.
Las raíces vecinas siempre se diferencian en \(\dfrac{2\pi}{n}\) de argumento (una vuelta completa dividida en \(n\) partes iguales), así que las \(n\) raíces están a distancias iguales sobre la misma circunferencia. Dicho de otro modo, las raíces \(n\)-ésimas son los vértices de un polígono regular de \(n\) lados. Por eso en el gráfico de esta calculadora siempre aparece un polígono regular.
Las raíces de la unidad (\(n\)-ésimas)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
raíz \(n\)-ésima número \(k\) de 1
\(=\)
①
dirección número \(k\) al dividir una vuelta completa en \(n\) partes iguales
La fórmula en palabras
①
Divide una vuelta completa de la circunferencia de radio 1 en \(n\) partes iguales. La
dirección número \(k\), \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
es la
raíz \(n\)-ésima número \(k\) de 1, \(z_k\)
(hay \(n\), para \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Un ejemplo sencillo
Las raíces cúbicas de 1 (los números complejos con \(z^3 = 1\)) dividen una vuelta completa de la circunferencia goniométrica en 3 partes iguales:
raíz cúbica \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
La idea clave
\(z = 1\) tiene módulo \(1\) y argumento \(0\), así que este es el caso particular \(r = 1,\ \theta = 0\) de la fórmula de las raíces \(n\)-ésimas de arriba. Todas las raíces están en la circunferencia goniométrica (la circunferencia de radio 1) y forman un polígono regular de \(n\) lados que tiene \(z_0 = 1\) como uno de sus vértices.
La raíz cúbica imaginaria de 1 (\(z_1\) de arriba) se llama \(\omega\) (omega), un tema favorito en los cursos avanzados y en las olimpiadas matemáticas. Cumple \(\omega^3 = 1\) y \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\), y \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\).
Además, la suma de las \(n\) raíces \(n\)-ésimas de 1 es \(0\) (para \(n \ge 2\)). Tiene sentido geométricamente: los vértices del polígono regular están repartidos uniformemente alrededor del origen, así que su centro de equilibrio está exactamente en el origen.
La fórmula de De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), es lo que resulta de repetir \(n\) veces «multiplicar números complejos suma sus argumentos». Con ella, la potencia \(n\)-ésima de un número complejo sale en un solo paso: se eleva el módulo a la potencia \(n\)-ésima y se multiplica el argumento por \(n\). Usada al revés, da las \(n\) raíces \(n\)-ésimas: se toma la raíz \(n\)-ésima del módulo y se divide el argumento entre \(n\) (tras sumar \(k\) vueltas completas). Lo más llamativo es la imagen: las raíces \(n\)-ésimas forman un polígono regular sobre una circunferencia.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(i\) | i | La unidad imaginaria, el número cuyo cuadrado es \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La letra viene de «imaginario». |
| \(z\) | z | La letra que se usa normalmente para un número complejo. Por costumbre, \(z\) y \(w\) se usan para números complejos, para distinguirlos de las variables reales \(x\) e \(y\). |
| \(w\) | w | En esta página, la letra de una raíz \(n\)-ésima de \(z\) (un número complejo con \(w^n = z\)). Sigue la costumbre de usar \(w\), una letra cercana a \(z\) en el alfabeto, para un segundo número complejo. |
| \(a,\ b\) | a, b | La parte real (\(a\)) y la parte imaginaria (\(b\)) de \(z = a + bi\). Ambas son números reales. En el plano complejo, \(a\) es la posición horizontal (sobre el eje real) y \(b\) es la posición vertical (sobre el eje imaginario). |
| \(r\) | r | La letra del módulo (la distancia del origen al punto \(z\)). Viene de «radio». En la forma polar es un número real mayor o igual que 0. |
| \(\theta\) | theta | La letra griega que se usa para el argumento. En matemáticas es la letra habitual para un ángulo. |
| \(n\) | n | En esta página, el número entero que es el exponente de una potencia (a qué potencia) o el índice de una raíz (qué raíz). Viene de «número». |
| \(k\) | k | La letra que numera las raíces \(n\)-ésimas (de \(0\) a \(n-1\)). Las letras para contar suelen ser \(i,\ j,\ k\), pero con números complejos la \(i\) se confunde fácilmente con la unidad imaginaria, así que lo habitual es \(k\). |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | raíz n-ésima | El signo de la raíz \(n\)-ésima. \(\sqrt[3]{8} = 2\) dice «el número positivo cuyo cubo es 8 es 2». El número pequeño de arriba a la izquierda es el índice de la raíz; sin número, es una raíz cuadrada. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | coseno de theta, seno de theta | Funciones trigonométricas. En la circunferencia de radio 1 (la circunferencia goniométrica), el punto en la dirección del ángulo \(\theta\) tiene posición horizontal \(\cos\theta\) y posición vertical \(\sin\theta\). En la forma polar son la parte que da la dirección. |
| \(\pi\) | pi | La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (aprox. 3,14159). En radianes, media vuelta, \(180^{\circ}\), es exactamente \(\pi\), y una vuelta completa es \(2\pi\). La letra griega \(\pi\) viene, según se dice, de la primera letra de la palabra griega para «perímetro». |
| \(\omega\) | omega | La letra habitual de la raíz cúbica imaginaria de 1 (\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)). Cumple \(\omega^3 = 1\) y \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\). Es la última letra del alfabeto griego y se usa mucho para las raíces de la unidad. |
Términos
| número complejo | Un número de la forma \(a + bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales. Es un sistema numérico que reúne los números reales y los imaginarios, y se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años). |
| unidad imaginaria | El número \(i\) cuyo cuadrado es \(-1\). Ningún número real tiene cuadrado negativo, así que se introdujo como un número nuevo. |
| plano complejo | El plano en el que \(a + bi\) se representa como el punto \((a\,;\,b)\). El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Su dibujo también se llama diagrama de Argand. Se estudia en 1.º de Bachillerato. |
| forma polar | Escribir un número complejo con su distancia \(r\) al origen y su ángulo de giro \(\theta\) desde el eje real, como \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). También se llama forma trigonométrica. La fórmula de De Moivre trata de los números complejos en esta forma. |
| módulo (valor absoluto) | La distancia del origen al punto \(z\), que se calcula como \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Al elevar a la potencia \(n\)-ésima, el módulo se eleva a la \(n\) (\(r^n\)). |
| argumento | El ángulo de la dirección del origen al punto \(z\), medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje real positivo. Sumar una vuelta completa (\(2\pi\)) da la misma dirección, así que por convención la respuesta se da en el intervalo \(0 \le \theta < 2\pi\). Al elevar a la potencia \(n\)-ésima, el argumento se multiplica por \(n\) (\(n\theta\)). |
| potenciación (elevar a una potencia) | Multiplicar el mismo número por sí mismo una y otra vez. \(z^4\) es \(z\) multiplicado 4 veces. El número pequeño de arriba es el exponente. |
| raíz n-ésima | Un número cuya potencia \(n\)-ésima es el número dado. Entre los números complejos, todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente \(n\) raíces \(n\)-ésimas (entre los números reales, 8 solo tiene una raíz cúbica, 2, pero entre los números complejos tiene tres). |
| raíz de la unidad (raíz n-ésima de la unidad) | Los números complejos con \(z^n = 1\). Son los \(n\) puntos que dividen la circunferencia goniométrica en \(n\) partes iguales, y forman un polígono regular de \(n\) lados que tiene \(1\) como uno de sus vértices. («Unidad» es otra manera de decir 1.) |
| fórmula de De Moivre | La fórmula \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), que lleva el nombre del matemático de origen francés Abraham de Moivre. Es el resultado de repetir \(n\) veces «multiplicar suma los argumentos». |
| circunferencia goniométrica | La circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Todo número complejo de módulo 1 (un número de la forma \(\cos\theta + i\sin\theta\)) está en esta circunferencia. |
| polígono regular | Un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y cuyos ángulos tienen todos el mismo tamaño (un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, etc.). Los \(n\) puntos de las raíces \(n\)-ésimas están a distancias iguales sobre una circunferencia, así que son los vértices de un polígono regular de \(n\) lados. |
| ángulo notable | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) y los ángulos relacionados (estos más múltiplos de \(90^{\circ}\)). Sus razones trigonométricas se pueden escribir de forma exacta, como \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y la mayoría de los problemas de libros de texto y de examen usan estos ángulos. |
| medida en radianes (radián) | Medir un ángulo por la longitud del arco que abarca en una circunferencia de radio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianes, y una vuelta completa son \(2\pi\) radianes. A partir de las funciones trigonométricas de Bachillerato, los radianes son la unidad habitual en lugar de los grados. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página comprendiéndolo de verdad y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Raíces cuadradas y radicales (3.º–4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Propiedades de las potencias (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| Números complejos (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| Trigonometría y circunferencia goniométrica (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Medida en radianes (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| El plano complejo y la forma polar (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para la potencia n-ésima de un número complejo
| Parte real a | 1 |
| Parte imaginaria b | 1 |
| Exponente n | 4 |
| z elevado a n | =IM.POT(COMPLEJO(B1;B2);B3) |
| Módulo elevado a n, r^n | =IM.ABS(COMPLEJO(B1;B2))^B3 |
| Argumento multiplicado por n, nθ (radianes) | =B3*IM.ANGULO(COMPLEJO(B1;B2)) |
Tabla para la raíz n-ésima número k de un número complejo
| Parte real a | 8 |
| Parte imaginaria b | 0 |
| Índice de la raíz n | 3 |
| Número de raíz k (de 0 a n−1) | 1 |
| Radio de la circunferencia de las raíces | =IM.ABS(COMPLEJO(B1;B2))^(1/B3) |
| Argumento de la raíz número k (radianes) | =(RESIDUO(IM.ANGULO(COMPLEJO(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Parte real de la raíz número k | =B5*COS(B6) |
| Parte imaginaria de la raíz número k | =B5*SENO(B6) |
Después de pegar, las filas de arriba son tus datos y las filas de abajo se calculan automáticamente.
En la primera tabla, COMPLEJO(parte real; parte imaginaria) crea un número complejo, e IM.POT devuelve su potencia como texto, por ejemplo «-4». Para el ejemplo z = 1 + i y n = 4, z elevado a n es casi exactamente -4 (puede aparecer una parte imaginaria minúscula por el error de coma flotante), r^n = 4 y nθ = π ≈ 3,14159.
La segunda tabla halla una raíz, la número k. IM.ANGULO devuelve el argumento (mayor que −π y hasta π), así que RESIDUO lo convierte primero en un valor de 0 hasta 2π (sin incluirlo); después se suman k vueltas completas y el resultado se divide entre n. Para el ejemplo z = 8, n = 3 y k = 1, el radio es 2 y el argumento es 2π/3 ≈ 2,0944, así que la parte real = −1 y la parte imaginaria ≈ 1,7320508 (= √3). Cambia k a 0, 1 y 2 para obtener las tres raíces.
Excel da decimales, así que si quieres valores exactos con raíces cuadradas o fracciones, usa la calculadora de esta página.
En la primera tabla, COMPLEJO(parte real; parte imaginaria) crea un número complejo, e IM.POT devuelve su potencia como texto, por ejemplo «-4». Para el ejemplo z = 1 + i y n = 4, z elevado a n es casi exactamente -4 (puede aparecer una parte imaginaria minúscula por el error de coma flotante), r^n = 4 y nθ = π ≈ 3,14159.
La segunda tabla halla una raíz, la número k. IM.ANGULO devuelve el argumento (mayor que −π y hasta π), así que RESIDUO lo convierte primero en un valor de 0 hasta 2π (sin incluirlo); después se suman k vueltas completas y el resultado se divide entre n. Para el ejemplo z = 8, n = 3 y k = 1, el radio es 2 y el argumento es 2π/3 ≈ 2,0944, así que la parte real = −1 y la parte imaginaria ≈ 1,7320508 (= √3). Cambia k a 0, 1 y 2 para obtener las tres raíces.
Excel da decimales, así que si quieres valores exactos con raíces cuadradas o fracciones, usa la calculadora de esta página.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para la potencia n-ésima de un número complejo
| Parte real a | 1 |
| Parte imaginaria b | 1 |
| Exponente n | 4 |
| z elevado a n | =IM.POT(COMPLEJO(B1;B2);B3) |
| Módulo elevado a n, r^n | =IM.ABS(COMPLEJO(B1;B2))^B3 |
| Argumento multiplicado por n, nθ (radianes) | =B3*IM.ANGULO(COMPLEJO(B1;B2)) |
Tabla para la raíz n-ésima número k de un número complejo
| Parte real a | 8 |
| Parte imaginaria b | 0 |
| Índice de la raíz n | 3 |
| Número de raíz k (de 0 a n−1) | 1 |
| Radio de la circunferencia de las raíces | =IM.ABS(COMPLEJO(B1;B2))^(1/B3) |
| Argumento de la raíz número k (radianes) | =(RESIDUO(IM.ANGULO(COMPLEJO(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Parte real de la raíz número k | =B5*COS(B6) |
| Parte imaginaria de la raíz número k | =B5*SENO(B6) |
Las mismas funciones de números complejos que en Excel (COMPLEJO, IM.POT, IM.ABS e IM.ANGULO) funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números por los tuyos.
Cómo calcularlo con Python
import cmath
import math
# Potencia n-ésima de un número complejo (da el mismo resultado que la fórmula de De Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z elevado a {n} = {z_power}")
# Partes de la forma polar (módulo y argumento)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r y θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # lo pasa al intervalo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Módulo r = {absolute_value}")
print(f"Argumento θ = {argument} rad")
# Raíces n-ésimas de un número complejo (las n, con k = 0 a n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
Puedes crear un número complejo con complex(parte real, parte imaginaria) y elevarlo a una potencia directamente con **. La primera mitad calcula la cuarta potencia de z = 1 + i e imprime (-4+0j), el módulo r = 1,4142135623730951 (una aproximación de √2) y el argumento θ = 0,7853981633974483 rad (una aproximación de π/4). La segunda mitad halla las raíces cúbicas de z = 8 e imprime tres raíces: w_0 = (2+0j), w_1 ≈ (-1+1,7320508…j) y w_2 ≈ (-1-1,7320508…j) (1,7320508… aproxima √3). cmath.polar devuelve el módulo y el ángulo (mayor que −π y hasta π), así que a un ángulo negativo se le suma 2π para pasarlo al intervalo de 0 a 2π. cmath.rect(radius, angle) crea un número complejo a partir de la forma polar. Algunos valores salen ligeramente desviados, como -0,9999999999999996 en lugar de -1, o un número minúsculo como 2,4e-16 en lugar de 0; son errores de redondeo de los decimales (números de coma flotante). Para obtener valores exactos con raíces cuadradas o fracciones, usa la calculadora de esta página. (Python escribe el separador decimal con punto.)
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula de De Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
La potencia \(n\)-ésima de un número complejo
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
Las raíces \(n\)-ésimas de un número complejo
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
Las raíces de la unidad (\(n\)-ésimas)
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas para el plano complejo y la fórmula de De Moivre. Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). 1. Halla la cuarta potencia z^4 del número complejo z = 1 + i. Muestra también el módulo r y el argumento θ, el módulo elevado a 4, r^4, y el argumento multiplicado por 4, 4θ. 2. Halla las tres raíces cúbicas del número complejo z = 8 (los números complejos cuyo cubo es 8), para k = 0, 1, 2. Si es posible, muéstralas también como valores exactos con raíces cuadradas. En Python, usa el tipo complex, cmath.polar y cmath.rect, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de la forma polar de un número complejo (módulo, argumento y pasos con el cuadrante, con plano complejo)
Pasa z=a+bi a forma polar r(cos θ + i sen θ), con el módulo como radical simplificado y los pasos del argumento, incluida la corrección del cuadrante
Calculadora de números complejos (suma, resta, multiplicación y división con pasos, conjugado, módulo y plano complejo)
Suma, resta, multiplica y divide dos números complejos z₁ y z₂, con los pasos de multiplicar por el conjugado, el conjugado, el módulo y un gráfico en el plano complejo
