Introduce las longitudes de los tres lados del triángulo. Aunque no conozcas la altura, la fórmula de Herón permite calcular el área. También se muestra el semiperímetro s.
Introduce los tres lados en la misma unidad (por ejemplo, todos en cm). El área se muestra en esa unidad al cuadrado (cm² si introduces cm). La suma de dos lados cualesquiera debe ser mayor que el tercero; si no, no se puede formar ningún triángulo.
Resultado y figura
Introduce las longitudes de los tres lados del triángulo en los campos de la izquierda y pulsa «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce las longitudes de los tres lados de un triángulo y obtienes su área al instante (no hace falta medir la altura)
- El cálculo usa la fórmula de Herón \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) y muestra también el semiperímetro \(s\) que se obtiene por el camino
- También incluye, con explicaciones sencillas, la conocida «base × altura ÷ 2» y el área de un triángulo equilátero, \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Introduce los tres lados en la misma unidad (por ejemplo, todos en cm). El área se muestra en esa unidad al cuadrado (cm² si introduces cm). Además, si los tres lados no cumplen la desigualdad triangular («la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercero»), no se puede formar ningún triángulo y no se puede calcular el área.
¿Para qué sirve este cálculo?
Medir la superficie de un terreno (topografía e inmobiliaria)
Dividir un terreno en triángulos y sumar sus áreas es una forma clásica de calcular su superficie. Cuando la altura de cada triángulo es difícil de medir sobre el terreno, se miden los tres lados y se aplica la fórmula de Herón.
Por ejemplo, una parcela triangular con lados de 30 m, 45 m y 50 m tiene un área de unos 666,6 m². Poder comprobar por ti mismo que la superficie de un anuncio o de una escritura tiene sentido es una tranquilidad al comprar un terreno, una de las mayores compras de la vida.
Calcular la pintura y los materiales de tejados y paredes (construcción y bricolaje)
En los edificios hay muchas superficies triangulares, como el hastial de una casa (el triángulo bajo un tejado a dos aguas) o los bordes de los tejados inclinados. Un hastial triangular de 8 m de base y 3 m de altura tiene \(8 \times 3 \div 2 = 12\) m².
En el bote de pintura se indica cuántos m² cubre (por ejemplo, unos 10 m² por litro y mano), así que, una vez que conoces el área, puedes calcular tú mismo cuántos botes necesitas y cuánto te costarán.
Calcular los materiales de manualidades y costura
En las manualidades se usan a menudo piezas triangulares, como las banderolas o los retales de un patchwork. Una banderola triangular de 20 cm de base y 30 cm de altura tiene un área de \(20 \times 30 \div 2 = 300\) cm².
Suma el área de todas las piezas que necesitas y podrás decidir cuánta tela comprar sin desperdiciar.
Los gráficos 3D y los videojuegos están hechos de triángulos
Los modelos 3D de los videojuegos y las películas se construyen combinando un número enorme de pequeños triángulos (polígonos). Incluso la cara de un personaje que parece suavemente curvada es un conjunto de triángulos cuando te acercas.
Para un ordenador es fácil manejar la fórmula de Herón, que halla el área a partir de las distancias entre tres vértices (las longitudes de los tres lados), y se sigue usando como pieza básica de los programas de procesamiento de geometría. Es una de las matemáticas que hay detrás del trabajo de los programadores de videojuegos y de los diseñadores de gráficos.
Fórmulas y figuras
Fórmula de Herón (el área a partir de las longitudes de los tres lados)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(s\)
\(=\)
\((a+b+c)\)
\(\div\)
\(2\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(s\): semiperímetro
\(=\)
①
\((a+b+c)\): suma de los tres lados
\(\div\)
②
2 (para tomar la mitad)
⑤
\(S\): área del triángulo
\(=\)
④
raíz cuadrada del producto de \(s\), \(s-a\), \(s-b\) y \(s-c\)
La fórmula en palabras
①
Divide la
suma de los tres lados \((a+b+c)\)
②
entre
2 (para tomar la mitad)
③
y obtienes el
semiperímetro \(s\)
④
Después halla la
raíz cuadrada del producto de los cuatro números \(s\), \(s-a\), \(s-b\) y \(s-c\)
⑤
y obtienes el
área del triángulo \(S\)
Un ejemplo sencillo
Para un triángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m, primero se halla el semiperímetro y después
semiperímetro \(s\)
\(=\)
suma de los tres lados (3 + 4 + 5)
\(\div\)
2
área del triángulo \(S\)
\(=\)
\(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(s = (3 + 4 + 5) \div 2 = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
La idea clave
Lo más importante de la fórmula de Herón es que da el área solo con las longitudes de los tres lados, sin medir la altura. Lleva el nombre de Herón de Alejandría, un matemático de hacia el siglo I. En España suele verse en Bachillerato, al resolver triángulos con trigonometría (1.º de Bachillerato, 16-17 años).
Cuando los tres lados no pueden formar un triángulo (es decir, cuando no cumplen la desigualdad triangular de la fórmula 4), el número que queda bajo la raíz cuadrada es 0 o negativo y no se puede calcular ningún área. La propia fórmula te dice si tres lados pueden formar un triángulo.
Base × altura ÷ 2 (la fórmula básica de Primaria)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(S\): área del triángulo
\(=\)
①
\(b\): base
\(\times\)
②
\(h\): altura
\(\div\)
③
2 (para tomar la mitad)
La fórmula en palabras
①
Multiplica la
base \(b\)
②
por la
altura \(h\)
③
divide entre
2 (para tomar la mitad)
④
y obtienes el
área del triángulo \(S\)
Un ejemplo sencillo
El área de un triángulo de base 6 cm y altura 4 cm es
área del triángulo \(S\)
\(=\)
base (6 cm)
\(\times\)
altura (4 cm)
\(\div\)
2
\(6 \times 4 \div 2 = 12\)
La idea clave
¿Por qué se divide entre 2? Si tomas una segunda copia del mismo triángulo, le das la vuelta y la pegas, obtienes exactamente un paralelogramo de «base × altura». El triángulo es la mitad, por eso se divide entre 2. Cualquier lado puede ser la base. La altura es la distancia del vértice opuesto a la base (o a su prolongación), medida en perpendicular.
Si conoces la altura, esta fórmula es la forma más rápida. Por ejemplo, el triángulo de lados 3, 4 y 5 es rectángulo, así que con base 3 y altura 4 resulta \(3 \times 4 \div 2 = 6\). Coincide con el área 6 que se obtiene con la fórmula de Herón.
Área de un triángulo equilátero (a partir de la longitud de un lado)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\times\)
\(a^2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(S\): área del triángulo equilátero
\(=\)
②
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\): constante (aprox. 0,433)
\(\times\)
①
\(a^2\): la longitud del lado \(a\), al cuadrado
La fórmula en palabras
①
Eleva al cuadrado la
longitud del lado \(a\)
②
multiplícala por la
constante \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) (aprox. 0,433)
③
y obtienes el
área del triángulo equilátero \(S\)
Un ejemplo sencillo
El área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado es
área del triángulo equilátero \(S\)
\(=\)
constante (aprox. 0,433)
\(\times\)
lado al cuadrado (10 × 10 = 100)
\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2} \approx 0{,}433 \times 100 = 43{,}3\)
La idea clave
Los tres lados de un triángulo equilátero son iguales, así que al sustituir \(a = b = c\) en la fórmula de Herón se simplifica hasta esta forma (\(s = \frac{3a}{2}\) y \(s - a = \frac{a}{2}\), luego \(S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times (\frac{a}{2})^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)).
Como \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), resulta \(\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}433\). Si recuerdas «aproximadamente el 43 % del lado al cuadrado», puedes hacer estimaciones rápidas de cabeza.
Desigualdad triangular (¿pueden los tres lados formar un triángulo?)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a + b\)
\(>\)
\(c\)
\(b + c\)
\(>\)
\(a\)
\(c + a\)
\(>\)
\(b\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(a + b\): suma de los lados \(a\) y \(b\)
\(>\)
②
\(c\): el lado restante
\(b + c\): suma de los lados \(b\) y \(c\)
\(>\)
\(a\): el lado restante
\(c + a\): suma de los lados \(c\) y \(a\)
\(>\)
\(b\): el lado restante
La fórmula en palabras
①
Solo cuando la
suma de dos lados
②
es mayor que el
lado restante
en las tres combinaciones, los tres lados pueden formar un triángulo
Un ejemplo sencillo
Con los lados 1, 2 y 10, los otros dos lados juntos (1 + 2 = 3) no llegan a cubrir el lado más largo, 10, así que no se puede formar ningún triángulo
suma de dos lados (1 + 2 = 3)
\(<\)
lado restante (10)
\(1 + 2 = 3 < 10\)
La idea clave
Tampoco sirve cuando la suma de dos lados es exactamente igual al tercero (por ejemplo, 1, 2 y 3). Los tres lados se aplastan sobre una misma recta (área 0), y eso no cuenta como triángulo. Esta calculadora también trata el caso de igualdad como un error.
La relación con la fórmula de Herón también es bonita: cuando los lados no cumplen la desigualdad triangular, el número bajo la raíz cuadrada, \(s(s-a)(s-b)(s-c)\), es 0 o negativo y no se puede calcular ningún área.
Si solo conoces los tres lados, halla el semiperímetro s y usa la fórmula de Herón. Si conoces la altura, usa base × altura ÷ 2. Por cualquiera de los dos caminos llegas al mismo área. Antes de calcular, comprueba solo que los tres lados pueden formar un triángulo (la desigualdad triangular).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a\), \(b\), \(c\) | a, be, ce | Las longitudes de los tres lados del triángulo. Usa la misma unidad para los tres (si uno está en cm, todos en cm). |
| \(s\) | s (minúscula) | El semiperímetro: la mitad de la suma de los tres lados (el perímetro), \(s = (a+b+c) \div 2\). Se usa como paso intermedio en la fórmula de Herón. |
| \(S\) | S (mayúscula) | El área del triángulo que quieres hallar (en muchos libros de texto españoles se usa \(A\) para el área). Ten en cuenta que no es lo mismo que la \(s\) minúscula (el semiperímetro). |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | raíz cuadrada (signo radical) | El signo de la raíz cuadrada: el número que, elevado al cuadrado, da el número original. Ejemplo: \(\sqrt{36} = 6\) (6 al cuadrado es 36). |
| \(b\), \(h\) (en la fórmula 2) | be, hache | En la fórmula «base × altura ÷ 2», \(b\) es la base y \(h\) es la altura. Ten en cuenta que esta \(b\) no significa lo mismo que el lado \(b\) de la fórmula de Herón. |
Términos
| fórmula de Herón | Una fórmula que da el área de un triángulo solo a partir de las longitudes de sus tres lados. Lleva el nombre de Herón de Alejandría, un matemático de hacia el siglo I. |
| semiperímetro | La mitad del perímetro (la suma de los tres lados). Es una cantidad intermedia de la fórmula de Herón y su símbolo es la \(s\) minúscula. |
| desigualdad triangular | La condición para que tres longitudes formen un triángulo, es decir, que la suma de dos lados cualesquiera sea mayor que el tercero. Si dos lados suman exactamente lo mismo que el tercero, la figura se aplasta sobre una recta y no es un triángulo. |
| base | El lado que se elige como referencia para hallar el área. Se puede elegir cualquier lado, y la altura depende del lado elegido como base. |
| altura | La longitud del segmento perpendicular trazado desde el vértice opuesto a la base hasta la base (o su prolongación). Cambia según el lado que elijas como base. |
| triángulo equilátero | Un triángulo cuyos tres lados son iguales. La longitud del lado \(a\) basta para determinar el área: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). |
| raíz cuadrada | El número que, elevado al cuadrado, da el número original. Su signo es \(\sqrt{\phantom{a}}\) (el signo radical). Ejemplo: \(\sqrt{144} = 12\). Se estudia en ESO (2.º–3.º de ESO, 13-15 años). |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, volver a estos temas es el camino más rápido para avanzar.
| Área del triángulo (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| La desigualdad triangular (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Expresiones algebraicas y sustitución (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el área con la fórmula de Herón
| Lado a | 3 |
| Lado b | 4 |
| Lado c | 5 |
| Semiperímetro s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Área del triángulo S | =RAIZ(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tabla para hallar el área con base × altura ÷ 2
| Base | 6 |
| Altura | 4 |
| Área del triángulo S | =B1*B2/2 |
Tabla para hallar el área de un triángulo equilátero
| Longitud del lado a | 10 |
| Área del triángulo equilátero S | =RAIZ(3)/4*B1^2 |
En la primera tabla, B1 a B3 son los datos de los tres lados, y B4 (el semiperímetro) y B5 (el área) se calculan automáticamente. «RAIZ» es la función de Excel para la raíz cuadrada (√) y «^2» significa «al cuadrado».
Por ejemplo, la primera tabla muestra 6 en B4 y 6 en B5 (un triángulo de lados 3, 4 y 5 tiene área 6). La segunda tabla muestra 12 en B3 y la tercera, aproximadamente 43,3 en B2. Solo tienes que sustituir los números de entrada por los valores de tu propio triángulo.
Por ejemplo, la primera tabla muestra 6 en B4 y 6 en B5 (un triángulo de lados 3, 4 y 5 tiene área 6). La segunda tabla muestra 12 en B3 y la tercera, aproximadamente 43,3 en B2. Solo tienes que sustituir los números de entrada por los valores de tu propio triángulo.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el área con la fórmula de Herón
| Lado a | 3 |
| Lado b | 4 |
| Lado c | 5 |
| Semiperímetro s | =(B1+B2+B3)/2 |
| Área del triángulo S | =RAIZ(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
Tabla para hallar el área con base × altura ÷ 2
| Base | 6 |
| Altura | 4 |
| Área del triángulo S | =B1*B2/2 |
Tabla para hallar el área de un triángulo equilátero
| Longitud del lado a | 10 |
| Área del triángulo equilátero S | =RAIZ(3)/4*B1^2 |
Las mismas fórmulas y la misma función (RAIZ) de Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números de entrada por los valores de tu propio triángulo.
Cómo calcularlo con Python
import math
edge_a = 3.0 # longitud del lado a
edge_b = 4.0 # longitud del lado b
edge_c = 5.0 # longitud del lado c
# Primero se comprueba la desigualdad triangular (la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercero)
if edge_a + edge_b > edge_c and edge_b + edge_c > edge_a and edge_c + edge_a > edge_b:
half_perimeter = (edge_a + edge_b + edge_c) / 2 # semiperímetro s
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - edge_a)
* (half_perimeter - edge_b) * (half_perimeter - edge_c))
print(f"Semiperímetro s: {half_perimeter}")
print(f"Área del triángulo S: {area}")
else:
print("Con estos tres lados no se puede formar un triángulo")
Funciona solo con math, de la biblioteca estándar. math.sqrt(...) calcula la raíz cuadrada (√). Cambia las tres longitudes del principio por tus propios valores y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula de Herón (el área a partir de las longitudes de los tres lados)
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
s = (a + b + c)/2; Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)]
s := (a + b + c)/2; S := sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
s = (a + b + c)/2; S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
Base × altura ÷ 2 (la fórmula básica de Primaria)
S = b × h ÷ 2
S = \dfrac{1}{2} b h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 b h
b*h/2
S := b*h/2;
S = b*h/2;
S = bh/2
Área de un triángulo equilátero (a partir de la longitud de un lado)
S = (√3 / 4) × a²
S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = (sqrt(3)/4) a^2
Sqrt[3]/4*a^2
S := sqrt(3)/4*a^2;
S = sqrt(3)/4*a^2;
S = (√3/4)a^2
Desigualdad triangular (¿pueden los tres lados formar un triángulo?)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>></mo><mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>></mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c && b + c > a && c + a > b
is(a + b > c and b + c > a and c + a > b);
(a + b > c) && (b + c > a) && (c + a > b)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de geometría. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Los tres lados de un triángulo miden 7,5 m ; 10,2 m ; 12,3 m. 1. Comprueba si estos tres lados pueden formar un triángulo (desigualdad triangular). 2. Halla el semiperímetro s = (a + b + c) ÷ 2. 3. Halla el área del triángulo con la fórmula de Herón S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
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Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
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Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
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Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
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Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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