Escribe el número total de elementos n y el número que eliges r. La calculadora halla a la vez las variaciones nPr (importa el orden) y las combinaciones nCr (no importa el orden). La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes editar n y r directamente en ella.
Escribe n y r como números enteros de 0 o más (r no puede ser mayor que n). n puede llegar hasta 10000, y se muestran exactamente todas las cifras de la respuesta, aunque tenga decenas de cifras.
Resultado
Escribe el número total de elementos n y el número que eliges r en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmula
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce solo el número total de elementos \(n\) y el número que eliges \(r\). Obtienes a la vez las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (formas de elegir cuando importa el orden) y las combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (formas de elegir cuando no importa el orden)
- Resuelve preguntas de recuento como «¿De cuántas formas puede un equipo de fútbol de 11 jugadores elegir un capitán y un portero?» o «¿de cuántas formas puede elegir 2 delanteros?» de un solo paso
- Aunque \(n\) sea grande y la respuesta tenga decenas o cientos de cifras, se muestran todas las cifras exactas, sin redondear
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trata variaciones y combinaciones sin repetición, donde un elemento no se puede volver a elegir una vez elegido. Cuando se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces, como las caras de un dado (variaciones o combinaciones con repetición), las fórmulas son distintas, así que esta calculadora no las trata.
¿Para qué sirve este cálculo?
Poner un número a las probabilidades de la lotería
En el Euromillones, eliges 5 números de 50 y 2 estrellas de 12. El orden de los números no importa, así que son una combinación: \({}_{50}\mathrm{C}_{5} = 2.118.760\) formas. Con las estrellas ocurre lo mismo: \({}_{12}\mathrm{C}_{2} = 66\) formas. Multiplicando, se obtienen \(139.838.160\) combinaciones posibles. Solo 1 de ellas gana el bote, así que la probabilidad es de aproximadamente 1 entre 140 millones.
La fórmula de las combinaciones te permite comprobar con números, y no con una sensación vaga, lo difícil que es ganar una lotería o un sorteo.
Contar las formas de elegir delegados o encargados
En una clase de 30 alumnos, elegir un delegado y un subdelegado significa que los puestos son distintos, así que es una variación: \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \times 29 = 870\) formas. En cambio, elegir solo a 2 alumnos para borrar la pizarra no depende del orden, así que es una combinación: \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\) formas.
Cuando sabes que el recuento cambia según importen o no los puestos o el orden, puedes contar correctamente en sorteos y elecciones.
Hallar el número de partidos de una liguilla
En una liguilla, cada equipo juega una vez contra cada uno de los demás. Cada partido es una elección de 2 equipos, así que \(n\) equipos juegan \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\) partidos. Con 10 equipos, son \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\) partidos.
Quienes organizan torneos usan este cálculo para estimar cuántos partidos, días y campos necesitan. (Si hay partidos de ida y de vuelta, se duplica: una liga de 20 equipos juega \(2 \times {}_{20}\mathrm{C}_{2} = 380\) partidos.)
Contar los códigos PIN y los códigos de los candados (seguridad)
Si formas un código de 4 cifras con los 10 dígitos del 0 al 9 sin repetir ninguno, importa el orden, así que hay \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\) códigos. Cuantos más códigos hay, más difícil es abrir el candado probándolos todos, y las variaciones también muestran cuánto ayuda añadir una cifra más.
Por cierto, un «candado de combinación» solo se abre cuando los números se introducen en el orden correcto, así que matemáticamente es un candado de variaciones y no de combinaciones.
Control de calidad por muestreo (fabricación)
Cuando se eligen 5 productos para inspeccionarlos de un lote de 100, hay \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75.287.520\) formas de elegirlos.
La teoría del muestreo estadístico de inspección se basa en recuentos como este. Halla la probabilidad de que una inspección detecte un producto defectuoso del lote, y es una parte clave del control de calidad en las fábricas.
Fórmula
Factorial \(n!\) (permutaciones de los \(n\) elementos)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(n!\)
\(=\)
\(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(n!\): formas de ordenar los \(n\) elementos
\(=\)
①
el producto de los números enteros de \(n\) a \(1\)
La fórmula en palabras
①
Multiplica
todos los números enteros de \(n\) a \(1\)
entre sí
②
y obtendrás
\(n!\): formas de ordenar los \(n\) elementos
Un ejemplo sencillo
El número de formas de colocar a 4 personas (A, B, C y D) en fila es
formas de colocar a las 4 personas \(4!\)
\(=\)
el producto de 4 a 1
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
La idea clave
Hay \(n\) opciones para el primer puesto, luego \((n-1)\) opciones para el siguiente entre los que quedan, y así sucesivamente. El número de opciones baja de 1 en 1, así que multiplicarlas todas da el número de formas de ordenar todo. En los libros españoles se llaman permutaciones y se escriben \(P_n = n!\).
Por definición, \(0! = 1\) (hay exactamente 1 forma de ordenar nada). Gracias a esta regla, las fórmulas de las variaciones y las combinaciones de abajo también valen tal cual cuando \(r = n\) o \(r = 0\).
Variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (importa el orden)
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}P_{r}\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\((n-r)!\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): número de formas de elegir y ordenar
\(=\)
①
\(n!\): formas de ordenar los \(n\) elementos
\(\div\)
②
\((n-r)!\): formas de ordenar los restantes
La fórmula en palabras
①
Toma
\(n!\): formas de ordenar los \(n\) elementos
②
divídelo entre
\((n-r)!\): formas de ordenar los \((n-r)\) elementos no elegidos
③
y obtendrás
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos ordenándolos
Un ejemplo sencillo
El número de formas de elegir un capitán y un portero entre los 11 jugadores de un equipo de fútbol (los puestos son distintos, así que importa el orden) es
2 de 11 personas en orden \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)
\(=\)
formas de ordenar a los 11 (11!)
\(\div\)
formas de ordenar a los otros 9 (9!)
\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)
La idea clave
De las \(n!\) formas de ordenar los \(n\) elementos, el orden de los \((n-r)\) elementos que no se han elegido no importa, así que se divide entre \((n-r)!\). Eso es lo que significa esta fórmula.
Al calcularla a mano, la fracción se simplifica y queda «multiplica \(r\) números, contando hacia atrás desde \(n\)». Para \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) es \(11 \times 10 = 110\). Una variación cuenta «capitán A, portero B» y «capitán B, portero A» como dos elecciones distintas. En los libros españoles se llaman variaciones (sin repetición) y se escriben \(V_{n,r}\).
Combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (no importa el orden)
Notación matemática
(la notación habitual)
\({}_{n}C_{r}\)
\(=\)
\({}_{n}P_{r}\)
\(\div\)
\(r!\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): número de formas de elegir
\(=\)
①
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): elecciones ordenadas
\(\div\)
②
\(r!\): formas de reordenar los \(r\) elementos elegidos
La fórmula en palabras
①
Toma las
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): elecciones ordenadas
②
divídelas entre
\(r!\): formas de reordenar los \(r\) elementos elegidos
para eliminar las repeticiones debidas al orden
③
y obtendrás
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos
Un ejemplo sencillo
El número de formas de elegir 2 delanteros entre los 11 jugadores de un equipo de fútbol (el orden de los 2 no importa) es
2 de 11 personas \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\)
\(=\)
elecciones ordenadas (110 formas)
\(\div\)
formas de reordenar a 2 personas (2! = 2 formas)
\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)
La idea clave
Entre las 110 variaciones, cada pareja de personas se cuenta \(2! = 2\) veces, una como «A y B» y otra como «B y A». Dividir entre \(r!\) elimina estas repeticiones y deja solo el número de grupos distintos.
Sustituye la fórmula de las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) y obtendrás la forma conocida de los libros de texto \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) también se llama número combinatorio y suele escribirse \(\binom{n}{r}\), que se lee «\(n\) sobre \(r\)».
Las variaciones nPr cuentan las formas de elegir cuando importa el orden, y las combinaciones nCr cuentan las formas de elegir cuando no importa el orden. La forma más fácil de recordarlas es esta relación: halla primero las variaciones, divide entre \(r!\) para eliminar las repeticiones debidas al orden y tendrás las combinaciones.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(n\) | ene | El número total de elementos entre los que eliges. (Ejemplo: al elegir entre 11 personas, \(n = 11\)) |
| \(r\) | erre | El número de elementos que eliges del total. (Ejemplo: al elegir 2 personas, \(r = 2\)) |
| \(n!\) | n factorial | El producto de todos los números enteros de \(n\) a \(1\). Es el número de formas de ordenar los \(n\) elementos en fila (las permutaciones de \(n\) elementos). Por definición, \(0! = 1\). (Ejemplo: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | El número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos y ordenarlos (variaciones). P es la inicial de «permutation», el nombre inglés. También se escribe \(V_{n,r}\) (variaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\)). |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | El número de formas de elegir \(r\) de \(n\) elementos (combinaciones). C es la inicial de «combinación». También se escribe \(C_{n,r}\). |
| \(\binom{n}{r}\) | n sobre r (número combinatorio) | Otra forma de escribir \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Es la forma que más se usa en los libros de Bachillerato. |
Términos
| combinatoria | Hallar cuántos resultados posibles hay en total. Las variaciones, las permutaciones y las combinaciones son herramientas para contar. |
| variación | Una forma de elegir \(r\) de \(n\) elementos y colocarlos en fila, donde importa el orden. Los distintos puestos o posiciones, como «capitán y vicecapitán», se cuentan como distintos. En los libros españoles se llaman variaciones (sin repetición). |
| permutación | Una forma de ordenar todos los elementos de un conjunto: son las variaciones en el caso \(r = n\), y su número es \(n!\). Por ejemplo, las formas de ordenar 4 personas en fila son \(4! = 24\). En inglés se usa la palabra «permutation» también para las variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\). |
| combinación | Una forma de elegir \(r\) de \(n\) elementos donde no importa el orden. Como en «2 alumnos para borrar la pizarra», el mismo grupo de personas cuenta como 1 forma. |
| factorial | Multiplicar todos los números enteros de \(n\) a \(1\). El símbolo es \(n!\), y da el número de formas de ordenar los \(n\) elementos. |
| número combinatorio | Otro nombre de \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). El nombre viene de que los coeficientes que aparecen al desarrollar \((a+b)^n\) (el binomio de Newton) son exactamente los valores de \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). |
| diagrama de árbol | Un diagrama ramificado que enumera todos los resultados posibles, de modo que cada uno se cuenta exactamente una vez. Las fórmulas de las variaciones y las combinaciones hacen el mismo recuento que un diagrama de árbol en un solo cálculo. |
| variación con repetición | Una variación en la que se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces. Hay \(n^r\). La calculadora de esta página solo trata el caso sin repetición. |
| combinación con repetición | Una combinación en la que se puede elegir el mismo elemento cualquier número de veces. La calculadora de esta página solo trata el caso sin repetición. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| Multiplicación y división (de 3.º a 5.º de Primaria, 8-11 años) |
|
| Recuento de casos y diagramas de árbol (de 6.º de Primaria a 3.º de ESO, 11-15 años) |
|
| Notación factorial (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| Variaciones, permutaciones y combinaciones (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el factorial n!
| Elementos que se ordenan n | 4 |
| Todas las ordenaciones n! | =FACT(B1) |
Tabla para calcular las variaciones nPr
| Total de elementos n | 11 |
| Elementos elegidos r | 2 |
| Variaciones nPr | =PERMUTACIONES(B1;B2) |
Tabla para calcular las combinaciones nCr
| Total de elementos n | 11 |
| Elementos elegidos r | 2 |
| Combinaciones nCr | =COMBINAT(B1;B2) |
Al pegar la tabla, B1 (y B2) son tus datos y la última fila se calcula automáticamente.
FACT, PERMUTACIONES y COMBINAT son las funciones de Excel para el factorial, las variaciones y las combinaciones.
Por ejemplo, B3 muestra 110 en la segunda tabla y 55 en la tercera. Solo tienes que cambiar B1 y B2 por tus propios números.
Ten en cuenta que Excel solo guarda 15 cifras significativas, así que cuando n es grande y la respuesta tiene decenas de cifras, las últimas cifras se redondean.
FACT, PERMUTACIONES y COMBINAT son las funciones de Excel para el factorial, las variaciones y las combinaciones.
Por ejemplo, B3 muestra 110 en la segunda tabla y 55 en la tercera. Solo tienes que cambiar B1 y B2 por tus propios números.
Ten en cuenta que Excel solo guarda 15 cifras significativas, así que cuando n es grande y la respuesta tiene decenas de cifras, las últimas cifras se redondean.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el factorial n!
| Elementos que se ordenan n | 4 |
| Todas las ordenaciones n! | =FACT(B1) |
Tabla para calcular las variaciones nPr
| Total de elementos n | 11 |
| Elementos elegidos r | 2 |
| Variaciones nPr | =PERMUTACIONES(B1;B2) |
Tabla para calcular las combinaciones nCr
| Total de elementos n | 11 |
| Elementos elegidos r | 2 |
| Combinaciones nCr | =COMBINAT(B1;B2) |
Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel (FACT, PERMUTACIONES y COMBINAT tienen los mismos nombres en Hojas de cálculo de Google).
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye B1 y B2 por tus propios números.
Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye B1 y B2 por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
import math
total_items = 11 # número total de elementos n
chosen_items = 2 # número de elementos elegidos r
permutations = math.perm(total_items, chosen_items) # variaciones nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items) # combinaciones nCr
print(f"Variaciones nPr (importa el orden): {permutations}")
print(f"Combinaciones nCr (no importa el orden): {combinations}")
Funciona solo con la biblioteca estándar math (math.perm y math.comb necesitan Python 3.8 o posterior). Los enteros de Python no tienen límite de cifras, así que la respuesta sigue siendo exacta aunque tenga cientos de cifras. Cambia los dos primeros números y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Factorial \(n!\) (permutaciones de los \(n\) elementos)
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi><mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<mi>n</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1
Factorial[n]
nFactorial := factorial(n);
n_factorial = factorial(n);
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
Variaciones \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (importa el orden)
ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!
{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>P</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(n, r) = (n!)/((n-r)!)
n!/(n - r)!
nPr := factorial(n)/factorial(n - r);
npr = factorial(n)/factorial(n - r);
P(n,r) = n!/(n − r)!
Combinaciones \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (no importa el orden)
ₙCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)
{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)
Binomial[n, r]
nCr := binomial(n, r);
ncr = nchoosek(n, r);
C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de combinatoria (variaciones y combinaciones). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). Un equipo de fútbol tiene 11 jugadores. 1. ¿De cuántas formas se puede elegir un capitán y un portero? (Los puestos son distintos, así que son variaciones.) 2. ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 delanteros? (El orden de los 2 no importa, así que son combinaciones.) En cada pregunta, indica si has usado las variaciones nPr o las combinaciones nCr, y muestra los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de probabilidad de dos sucesos independientes
Calcula la probabilidad de que ocurran los dos, de que ocurra al menos uno y más a partir de dos probabilidades
Calculadora de probabilidad de pruebas repetidas (n seguidas, al menos una vez)
Calcula la probabilidad de que algo ocurra n veces seguidas o al menos una vez en n intentos
Calculadora de probabilidad de la distribución normal
Calcula la probabilidad de que un valor caiga en un rango a partir de la media y la desviación típica
