Arrangements et combinaisons (nPr, nCr)

Saisissez le nombre total d’éléments n et le nombre d’éléments choisis r. Le calculateur donne en même temps les arrangements nPr (l’ordre compte) et les combinaisons nCr (l’ordre ne compte pas), avec la notation des touches de calculatrice. La formule ci-dessous est reliée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier n et r directement dedans.

Nombre total n

Nombre choisi r

Entrez n et r sous forme de nombres entiers positifs ou nuls (r ne doit pas dépasser n). n peut aller jusqu’à 10 000, et tous les chiffres de la réponse s’affichent exactement, même quand elle en compte des dizaines.

Résultat

Saisissez le nombre total d’éléments n et le nombre d’éléments choisis r dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez simplement le nombre total d’éléments \(n\) et le nombre d’éléments choisis \(r\). Vous obtenez à la fois le nombre d’arrangements \(A_n^r\) (choix où l’ordre compte, touche nPr des calculatrices) et le nombre de combinaisons \(\binom{n}{r}\) (choix où l’ordre ne compte pas, touche nCr)
Répondez en une étape à des questions de dénombrement comme « De combien de façons une équipe de foot de 11 joueurs peut-elle choisir un capitaine et un gardien ? » ou « … choisir 2 attaquants ? »
Même pour un grand \(n\), quand la réponse compte des dizaines ou des centaines de chiffres, tous les chiffres s’affichent exactement, sans arrondi
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Cette page traite les arrangements et les combinaisons sans répétition, où un élément déjà choisi ne peut plus l’être. Quand le même élément peut être choisi autant de fois qu’on veut, comme les faces d’un dé (k-uplets ou combinaisons avec répétition), les formules sont différentes et ce calculateur ne les traite pas.

À quoi sert ce calcul ?

Chiffrer la difficulté de gagner au Loto

Au Loto de la FDJ, on choisit 5 numéros parmi 49 et 1 numéro Chance parmi 10. L’ordre des 5 numéros ne compte pas : c’est une combinaison, \(\binom{49}{5} = 1\,906\,884\) possibilités. En multipliant par les 10 numéros Chance possibles, on obtient \(19\,068\,840\) grilles différentes. Une seule gagne le premier rang : environ 1 chance sur 19 millions.
La formule des combinaisons permet de vérifier avec de vrais chiffres, et pas seulement au feeling, à quel point il est difficile de gagner à une loterie ou à un tirage au sort.

Compter les façons de désigner des délégués ou des volontaires

Dans une classe de 30 élèves, élire un délégué et son suppléant : les rôles sont différents, c’est donc un arrangement, \(A_{30}^2 = 30 \times 29 = 870\) façons. En revanche, choisir simplement 2 élèves pour ranger la salle ne dépend pas de l’ordre : c’est une combinaison, \(\binom{30}{2} = 435\) façons.
Une fois que l’on sait que le nombre change selon que les rôles ou l’ordre comptent ou non, on compte juste pour les tirages au sort et les élections.

Trouver le nombre de matchs d’un championnat

Dans un championnat où chaque équipe rencontre une fois chacune des autres, chaque match correspond au choix de 2 équipes : \(n\) équipes jouent donc \(\binom{n}{2}\) matchs. Avec 10 équipes, cela fait \(\binom{10}{2} = 45\) matchs. En Ligue 1 (18 clubs, matchs aller et retour), on compte \(2 \times \binom{18}{2} = 306\) matchs.
Les organisateurs de tournois utilisent ce calcul pour estimer le nombre de matchs, de jours et de terrains nécessaires.

Compter les codes et les combinaisons de cadenas (sécurité)

Si l’on forme un code à 4 chiffres avec les 10 chiffres de 0 à 9 sans utiliser deux fois le même chiffre, l’ordre compte : il y a \(A_{10}^4 = 5\,040\) codes. Plus il y a de codes, plus il est difficile de forcer le cadenas en les essayant tous, et les arrangements montrent aussi ce qu’apporte un chiffre de plus.
Au passage, un « cadenas à combinaison » ne s’ouvre que si les chiffres sont entrés dans le bon ordre : mathématiquement, c’est un cadenas à arrangement, pas à combinaison.

Contrôle qualité par échantillonnage (industrie)

Quand on prélève 5 produits pour contrôle dans un lot de 100, il y a \(\binom{100}{5} = 75\,287\,520\) façons de les choisir.
La théorie du contrôle statistique par échantillonnage repose sur ce type de dénombrement. Elle calcule la probabilité qu’un contrôle détecte un produit défectueux dans le lot, et c’est un élément clé de l’assurance qualité en usine.

Formule

Factorielle \(n!\) (nombre de permutations de \(n\) éléments)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(n!\) \(=\) \(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(n!\) : façons de ranger les \(n\) éléments \(=\) ① le produit des entiers de \(n\) à \(1\)

La formule en mots

① On multiplie entre eux

② et on obtient les

Exemple simple

Le nombre de façons d’aligner 4 personnes (A, B, C et D) est

façons d’aligner les 4 personnes \(4!\) \(=\) le produit de 4 à 1

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

L’idée clé

Il y a \(n\) choix pour la première place, puis \((n-1)\) choix pour la suivante parmi ceux qui restent, et ainsi de suite. Le nombre de choix diminue de 1 à chaque fois : en les multipliant tous, on obtient le nombre de façons de tout ranger, appelé nombre de permutations des \(n\) éléments. Par convention, \(0! = 1\) (il y a exactement 1 façon de ne rien ranger). Grâce à cette règle, les formules des arrangements et des combinaisons ci-dessous fonctionnent telles quelles quand \(r = n\) ou \(r = 0\).

Arrangements \(A_n^r\) (l’ordre compte)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(A_n^r\) \(=\) \(n!\) \(\div\) \((n-r)!\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(A_n^r\) : nombre de choix ordonnés \(=\) ① \(n!\) : façons de ranger les \(n\) éléments \(\div\) ② \((n-r)!\) : façons de ranger le reste

La formule en mots

① On prend les

② on divise par les

③ et on obtient le

Exemple simple

Le nombre de façons de choisir un capitaine et un gardien parmi les 11 joueurs d’une équipe de foot (les rôles sont différents, donc l’ordre compte) est

2 parmi 11 dans l’ordre \(A_{11}^2\) \(=\) façons de ranger les 11 (11!) \(\div\) façons de ranger les 9 autres (9!)

\(A_{11}^2 = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)

L’idée clé

Parmi les \(n!\) façons de ranger les \(n\) éléments, l’ordre des \((n-r)\) éléments non choisis n’a pas d’importance : on divise donc par \((n-r)!\). C’est le sens de cette formule. Quand on calcule à la main, la fraction se simplifie en « multiplier \(r\) nombres en descendant à partir de \(n\) ». Pour \(A_{11}^2\), cela donne \(11 \times 10 = 110\). Un arrangement compte « capitaine A, gardien B » et « capitaine B, gardien A » comme deux choix différents. Sur la calculatrice, c’est la touche nPr (ou Arrangement).

Combinaisons \(\binom{n}{r}\) (l’ordre ne compte pas)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\binom{n}{r}\) \(=\) \(A_n^r\) \(\div\) \(r!\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\binom{n}{r}\) : nombre de façons de choisir \(=\) ① \(A_n^r\) : choix ordonnés \(\div\) ② \(r!\) : façons de réordonner les \(r\) éléments choisis

La formule en mots

① On prend les

② on divise par les pour supprimer les doublons dus à l’ordre

③ et on obtient le

Exemple simple

Le nombre de façons de choisir 2 attaquants parmi les 11 joueurs d’une équipe de foot (l’ordre des 2 ne compte pas) est

2 parmi 11 \(\binom{11}{2}\) \(=\) choix ordonnés (110 façons) \(\div\) façons de réordonner 2 personnes (2! = 2)

\(\binom{11}{2} = \dfrac{A_{11}^2}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)

L’idée clé

Parmi les 110 arrangements, chaque paire de personnes est comptée \(2! = 2\) fois, une fois « A et B » et une fois « B et A ». En divisant par \(r!\), on supprime ces doublons et il ne reste que le nombre de groupes différents. En remplaçant \(A_n^r\) par \(\dfrac{n!}{(n-r)!}\), on obtient la forme bien connue des manuels \(\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), qui se lit « \(r\) parmi \(n\) ». Ce nombre s’appelle aussi coefficient binomial. Sur la calculatrice, c’est la touche nCr (ou Combinaison).

Les arrangements \(A_n^r\) (nPr) comptent les choix où l’ordre compte, et les combinaisons \(\binom{n}{r}\) (nCr) les choix où l’ordre ne compte pas. Le plus simple pour s’en souvenir : on calcule d’abord les arrangements, puis on divise par \(r!\) pour supprimer les doublons dus à l’ordre, et on obtient les combinaisons.

Symboles et termes

Symboles

\(n\)	n	Le nombre total d’éléments parmi lesquels on choisit. (Exemple : pour choisir parmi 11 personnes, \(n = 11\))
\(r\)	r	Le nombre d’éléments choisis. (Exemple : pour choisir 2 personnes, \(r = 2\)). Les manuels français l’appellent souvent \(k\).
\(n!\)	factorielle n	Le produit de tous les entiers de \(n\) à \(1\). C’est le nombre de façons de ranger les \(n\) éléments en ligne (le nombre de permutations). Par convention, \(0! = 1\). (Exemple : \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\))
\(A_n^r\)	A n r	Le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) en tenant compte de l’ordre (les arrangements). A est l’initiale de « arrangement ».
\(\binom{n}{r}\)	r parmi n	Le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l’ordre (les combinaisons). On le note aussi \(C_n^r\) dans les anciens manuels.
\({}_{n}\mathrm{P}_{r},\ {}_{n}\mathrm{C}_{r}\)	n P r, n C r	La notation des touches de calculatrice (nPr et nCr) et de certains pays : \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = A_n^r\) (P comme « permutation » en anglais) et \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \binom{n}{r}\). Le calculateur de cette page utilise cette notation dans sa formule et ses résultats.

Termes

dénombrement	Le fait de compter combien d’issues possibles il y a au total. Les arrangements et les combinaisons sont deux outils de dénombrement.
arrangement	Une façon de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) et de les ranger en ligne, en tenant compte de l’ordre. Des rôles ou des rangs différents, comme « capitaine et vice-capitaine », sont comptés comme différents. Quand \(r = n\), on parle de permutation.
combinaison	Une façon de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l’ordre. Comme pour « les 2 élèves qui rangent la salle », un même groupe de personnes compte pour 1 seule façon.
factorielle	Le produit de tous les entiers de \(n\) à \(1\). Son symbole est \(n!\) ; c’est le nombre de façons de ranger les \(n\) éléments (le nombre de permutations).
coefficient binomial	Un autre nom de \(\binom{n}{r}\). Ce nom vient de ce que les coefficients obtenus en développant \((a+b)^n\) (formule du binôme de Newton) sont exactement les \(\binom{n}{r}\).
arbre	Un schéma à branches qui liste toutes les issues possibles, pour compter chacune exactement une fois. Les formules des arrangements et des combinaisons font le même dénombrement qu’un arbre, en un seul calcul.
k-uplet	Une liste ordonnée où le même élément peut apparaître plusieurs fois (arrangement avec répétition). Il y en a \(n^r\). Le calculateur de cette page ne traite que le cas sans répétition.
combinaison avec répétition	Une combinaison où le même élément peut être choisi plusieurs fois. Le calculateur de cette page ne traite que le cas sans répétition.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Multiplication et division (du CE2 au CM2, 8-11 ans)	Savoir multiplier des nombres entiers, comme \(11 \times 10\), et diviser, comme \(110 \div 2\)
Dénombrement et arbres (collège, 12-15 ans)	Savoir lister toutes les issues possibles avec un arbre ou un tableau, en comptant chacune exactement une fois Voir que ranger (l’ordre compte) et choisir (l’ordre ne compte pas) sont deux façons de compter différentes
La factorielle (terminale, 17-18 ans)	Savoir que \(n!\) veut dire « multiplier tous les entiers de \(n\) à \(1\) » Connaître la convention \(0! = 1\)
Arrangements et combinaisons (terminale, 17-18 ans)	Savoir choisir entre les deux : les arrangements \(A_n^r\) quand l’ordre compte, les combinaisons \(\binom{n}{r}\) quand il ne compte pas Savoir expliquer que les combinaisons sont « les arrangements divisés par \(r!\) pour supprimer les doublons dus à l’ordre »

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la factorielle n!

Nombre d’éléments à ranger n	4
Nombre de rangements n!	=FACT(B1)

Tableau pour trouver les arrangements nPr

Nombre total n	11
Nombre choisi r	2
Arrangements nPr	=PERMUTATION(B1;B2)

Tableau pour trouver les combinaisons nCr

Nombre total n	11
Nombre choisi r	2
Combinaisons nCr	=COMBIN(B1;B2)

Après le collage, B1 (et B2) sont vos valeurs et la dernière ligne se calcule automatiquement.
FACT, PERMUTATION et COMBIN sont les fonctions Excel de la factorielle, des arrangements et des combinaisons.
Par exemple, B3 affiche 110 dans le deuxième tableau et 55 dans le troisième. Il suffit de remplacer B1 et B2 par vos propres nombres.
Attention : Excel ne garde que 15 chiffres significatifs. Quand n est grand et que la réponse compte des dizaines de chiffres, les derniers chiffres sont arrondis.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la factorielle n!

Nombre d’éléments à ranger n	4
Nombre de rangements n!	=FACT(B1)

Tableau pour trouver les arrangements nPr

Nombre total n	11
Nombre choisi r	2
Arrangements nPr	=PERMUTATION(B1;B2)

Tableau pour trouver les combinaisons nCr

Nombre total n	11
Nombre choisi r	2
Combinaisons nCr	=COMBIN(B1;B2)

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 et B2 par vos propres nombres.

Calculer avec Python

import math

total_items = 11    # nombre total d’éléments n
chosen_items = 2    # nombre d’éléments choisis r

permutations = math.perm(total_items, chosen_items)   # arrangements nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items)   # combinaisons nCr

print(f"Arrangements nPr (l’ordre compte) : {permutations}")
print(f"Combinaisons nCr (l’ordre ne compte pas) : {combinations}")

Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard (math.perm et math.comb n’existent pas dans les très anciennes versions de Python). Les entiers de Python n’ont pas de limite de chiffres, donc la réponse reste exacte même avec des centaines de chiffres. Modifiez les deux premiers nombres, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Factorielle \(n!\) (nombre de permutations de \(n\) éléments)

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi><mo>!</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1

Factorial[n]

nFactorial := factorial(n);

n_factorial = factorial(n);

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

Arrangements \(A_n^r\) (l’ordre compte)

Aₙʳ = n! ÷ (n − r)!

A_n^r = \dfrac{n!}{(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msubsup><mi>A</mi><mi>n</mi><mi>r</mi></msubsup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

A_n^r = (n!)/((n-r)!)

n!/(n - r)!

nPr := factorial(n)/factorial(n - r);

npr = factorial(n)/factorial(n - r);

A_n^r = n!/(n − r)!

Combinaisons \(\binom{n}{r}\) (l’ordre ne compte pas)

C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)

\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>r</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow>
        <mi>r</mi><mo>!</mo>
        <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

((n),(r)) = (n!)/(r!(n-r)!)

Binomial[n, r]

nCr := binomial(n, r);

ncr = nchoosek(n, r);

C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en dénombrement (arrangements et combinaisons). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Une équipe de foot compte 11 joueurs.
1. De combien de façons peut-on choisir un capitaine et un gardien ? (Les rôles sont différents : c’est un arrangement.)
2. De combien de façons peut-on choisir 2 attaquants ? (L’ordre des 2 ne compte pas : c’est une combinaison.)

Pour chaque question, indique si tu as utilisé les arrangements (nPr) ou les combinaisons (nCr), et donne les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule