Choisissez le plan ou l’espace, puis entrez les coordonnées des deux vecteurs a et b et les coefficients k et l. La formule ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coordonnées directement dedans.
Entrez uniquement des nombres. Les décimaux, les nombres négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une coordonnée vide compte pour 0, et un coefficient k ou l vide compte pour 1.
Résultat et figure
Saisissez les coordonnées des vecteurs dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
-
Norme d’un vecteur (à partir de ses coordonnées)
-
Somme et différence de vecteurs (on additionne ou on soustrait coordonnée par coordonnée)
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Produit d’un vecteur par un réel
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Produit scalaire (un calcul qui transforme deux vecteurs en un nombre)
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Angle entre deux vecteurs
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Conditions d’orthogonalité et de colinéarité de deux vecteurs
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Vecteur unitaire (ne garder que la direction et le sens)
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez simplement les coordonnées des vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) du plan (2D) ou de l’espace (3D) pour obtenir d’un coup la somme \(\vec{a}+\vec{b}\), la différence \(\vec{a}-\vec{b}\) et la combinaison linéaire \(k\vec{a}+l\vec{b}\)
- La norme \(\|\vec{a}\|\) s’affiche à la fois en valeur exacte, avec la racine simplifiée comme \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), et en valeur décimale
- Vous obtenez aussi le produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), l’angle entre les deux vecteurs \(\theta\) (en degrés et en radians, avec la valeur exacte pour les angles remarquables comme \(45^{\circ}\)), les vecteurs unitaires et un test d’orthogonalité et de colinéarité
- Le calculateur affiche les vecteurs en colonne, comme on les écrit à la main, et vous pouvez modifier les coordonnées directement dedans
- Les coordonnées et les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Un vecteur de norme 0 (le vecteur nul) n’a pas de direction : on ne peut donc pas parler d’angle avec un autre vecteur, ni de vecteur unitaire. Ce calculateur ne calcule pas si \(\vec{a}\) ou \(\vec{b}\) est le vecteur nul.
À quoi sert ce calcul ?
Additionner des forces (physique, bâtiment et ingénierie)
Quand plusieurs forces s’exercent sur un objet, leur effet combiné est la somme des vecteurs (la résultante). Décomposer la tension d’une corde tirée en biais en une partie horizontale et une partie verticale, puis additionner, c’est exactement ce calcul.
Pour concevoir des ponts et des bâtiments, on additionne comme des vecteurs le poids propre de la structure, le vent ou les séismes, afin de trouver la direction et l’intensité de la force sur chaque élément. Additionner seulement les intensités sans tenir compte des directions conduirait à un calcul dangereux : travailler avec des vecteurs est indispensable.
Jeux vidéo 3D et images de synthèse
Dans un jeu, le déplacement d’un personnage se calcule par « vecteur position + vecteur vitesse », et la direction de la caméra ou d’un projectile sont des vecteurs. Les vecteurs unitaires servent à chaque image dès qu’on n’a besoin que d’une direction (direction de déplacement, direction du regard).
Le produit scalaire est aussi la clé de l’éclairage. Plus le produit scalaire entre l’orientation d’une surface (son vecteur normal) et la direction de la lumière est grand, plus la lumière frappe la surface de face, et cette valeur fixe la luminosité à l’écran. Si le produit scalaire est négatif ou nul, la lumière n’atteint pas la surface.
La route d’un avion ou d’un bateau (composition des vitesses)
La trajectoire réelle d’un avion est la somme de son vecteur vitesse dans la direction du nez et du vecteur vitesse du vent. Pour voler plein est avec un vent du nord, il faut orienter le nez en partie face au vent, et l’angle de correction se trouve en soustrayant des vecteurs.
En mer, les navires additionnent et soustraient le vecteur du courant pour choisir le cap. Pouvoir traiter vitesse et durée coordonnée par coordonnée, c’est une force des vecteurs.
Mesurer la ressemblance entre des textes ou des produits (IA et recommandations)
Les moteurs de recherche et l’IA générative transforment les textes en longues listes de nombres, c’est-à-dire en vecteurs. La ressemblance entre deux textes se juge par l’angle entre leurs vecteurs : plus \(\cos\theta\) est proche de 1, plus ils se ressemblent (la similarité cosinus).
Les fonctions « les clients ayant consulté cet article ont aussi aimé » des sites marchands transforment aussi les historiques d’achat en vecteurs et cherchent les personnes et les produits dont les vecteurs forment un petit angle. Ici, la direction (le profil de goûts) compte plus que la longueur (par exemple le montant total dépensé), et c’est pourquoi mesurer par l’angle fonctionne bien.
Les appareils qui mesurent position et inclinaison (drones, GPS et smartphones)
Les drones et les smartphones calculent leur inclinaison à partir de l’angle entre le vecteur gravité mesuré par l’accéléromètre et un vecteur de référence de l’appareil. Le passage de l’écran du mode portrait au mode paysage est le résultat de ce calcul.
En navigation GPS et en topographie, la différence entre les coordonnées de deux points est traitée comme un vecteur : sa norme est la distance, et sa direction le cap. En 3D, il suffit d’ajouter la coordonnée de hauteur, et les mêmes formules fonctionnent telles quelles.
Formules et figures
Norme d’un vecteur (à partir de ses coordonnées)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\|\vec{a}\|\)
\(=\)
\(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\|\vec{a}\|\) : norme du vecteur \(\vec{a}\) (longueur de la flèche)
\(=\)
①
racine carrée de la somme des carrés des coordonnées, \(a_1^{2}+a_2^{2}\)
La formule en mots
①
Si \(\vec{a}\) a pour coordonnées \((a_1\,;\,a_2)\), on calcule la
racine carrée de \(a_1^{2}+a_2^{2}\), le carré de l’abscisse plus le carré de l’ordonnée
,
②
et on obtient la
\(\|\vec{a}\|\) : norme du vecteur \(\vec{a}\) (longueur de la flèche)
Exemple simple
La norme de \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) (la longueur d’une flèche qui va de 4 vers la droite et de 2 vers le haut) est
norme de \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\)
\(=\)
racine carrée de \(4^2+2^2=20\)
\(\|\vec{a}\| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)
L’idée clé
Cette formule, c’est le théorème de Pythagore. Les coordonnées \(a_1\) et \(a_2\) découpent la flèche en « combien vers la droite » et « combien vers le haut » : la flèche est donc l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent \(a_1\) et \(a_2\). C’est pourquoi sa longueur vaut \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
Pour un vecteur de l’espace \(\vec{a}\,(a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\), on ajoute aussi le carré de la cote : \(\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). Il y a juste un terme de plus ; la méthode est la même.
Écrivez toujours la racine du résultat sous forme simplifiée (par exemple \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Ce calculateur affiche aussi la valeur exacte simplifiée et la valeur décimale. Certains manuels notent la norme \(|\vec{a}|\) avec des barres simples, comme une valeur absolue : c’est la même chose.
Somme et différence de vecteurs (on additionne ou on soustrait coordonnée par coordonnée)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
somme de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
\(=\)
①
vecteur obtenu en additionnant les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles
④
différence de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
\(=\)
③
vecteur obtenu en soustrayant les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles
La formule en mots
①
Le
vecteur obtenu en additionnant les abscisses et les ordonnées, \((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\)
est la
②
somme de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\)
, et le
③
vecteur obtenu en soustrayant les abscisses et les ordonnées, \((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\)
est la
④
différence de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)
Exemple simple
Avec \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) et \(\vec{b}\,(-1\,;\,2)\)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((4+(-1)\,;\,2+2)\)
\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1)\,;\,2+2) = (3\,;\,4)\)
\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1)\,;\,2-2) = (5\,;\,0)\)
L’idée clé
Sur la figure, la somme \(\vec{a}+\vec{b}\) est la flèche obtenue en plaçant l’origine de \(\vec{b}\) à l’extrémité de \(\vec{a}\) : elle va de la toute première origine à la toute dernière extrémité (c’est la relation de Chasles). C’est aussi la diagonale du parallélogramme construit sur \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), d’où le nom de règle du parallélogramme.
La différence \(\vec{a}-\vec{b}\), c’est \(\vec{a}+(-\vec{b})\) : on retourne \(\vec{b}\), puis on additionne. Sur la figure, c’est la flèche qui va de l’extrémité de \(\vec{b}\) à l’extrémité de \(\vec{a}\). Le sens est facile à confondre ; retenez : « de l’extrémité du vecteur qu’on retire (\(\vec{b}\)) vers l’extrémité de celui dont on le retire (\(\vec{a}\)) ». Si vous gardez en tête que la flèche pointe vers \(\vec{a}\), vous ne la dessinerez pas à l’envers.
Dans l’espace, il y a juste un terme de plus, qui additionne ou soustrait les cotes \(z\) ; la méthode est la même.
Produit d’un vecteur par un réel
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\(k\vec{a}\)
\(=\)
\((ka_1\,;\,ka_2)\)
②
\(k\) fois \(\vec{a}\)
\(=\)
①
vecteur dont chaque coordonnée est multipliée par \(k\)
La formule en mots
①
Le
vecteur dont chaque coordonnée est multipliée par \(k\), \((ka_1\,;\,ka_2)\)
est
②
\(k\) fois le vecteur \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\)
Exemple simple
En multipliant \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) par 2 (une flèche de même sens, deux fois plus longue), on obtient
\(2\vec{a}\)
\(=\)
\((2 \times 4\,;\,2 \times 2)\)
\(2\vec{a} = (2 \times 4\,;\,2 \times 2) = (8\,;\,4)\)
\(\|2\vec{a}\| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2\|\vec{a}\|\)
L’idée clé
Multiplier un vecteur par un réel, c’est étirer ou rétrécir la flèche. Si \(k>0\), le sens ne change pas et la longueur est multipliée par \(k\). Si \(k<0\), le sens s’inverse et la longueur est multipliée par \(|k|\) (\(k=-1\) donne le vecteur opposé \(-\vec{a}\)). La norme vaut \(\|k\vec{a}\|=|k|\,\|\vec{a}\|\).
Ce calculateur travaille sous la forme \(k\vec{a}+l\vec{b}\) (une combinaison linéaire). Avec \(k=1\) et \(l=1\) on obtient la somme, avec \(k=1\) et \(l=-1\) la différence : il suffit de changer les coefficients pour calculer aussi des expressions comme \(2\vec{a}-3\vec{b}\).
Avec \(k=0\), on obtient le vecteur nul \(\vec{0}\), dont toutes les coordonnées valent 0. Le vecteur nul a une longueur de 0 et pas de direction.
Produit scalaire (un calcul qui transforme deux vecteurs en un nombre)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(\|\vec{a}\|\)
\(\times\)
\(\|\vec{b}\|\)
\(\times\)
\(\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(a_1b_1+a_2b_2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
produit scalaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
\(=\)
①
norme de \(\vec{a}\)
\(\times\)
②
norme de \(\vec{b}\)
\(\times\)
③
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
⑥
produit scalaire de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\)
\(=\)
⑤
produit des abscisses plus produit des ordonnées
La formule en mots
①
En multipliant la
norme de \(\vec{a}\), \(\|\vec{a}\|\)
, la
②
norme de \(\vec{b}\), \(\|\vec{b}\|\)
et le
③
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
, on obtient le
④
produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
. Avec les coordonnées, le
⑤
produit des abscisses plus produit des ordonnées, \(a_1b_1+a_2b_2\)
donne la même valeur : il donne donc lui aussi le
⑥
produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
Exemple simple
Le produit scalaire de \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) et \(\vec{b}\,(-1\,;\,2)\) est
produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(4 \times (-1) + 2 \times 2\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)
L’idée clé
Le résultat d’un produit scalaire n’est pas un vecteur, mais un simple nombre (un scalaire), d’où son nom. Le mot « produit » fait penser à une multiplication, mais voyez-le plutôt comme un calcul spécial qui transforme deux flèches en un nombre. Écrivez-le toujours avec un point centré : \(\vec{a}\wedge\vec{b}\) (ou \(\vec{a}\times\vec{b}\)) désigne un autre calcul, le produit vectoriel.
Sur la figure, c’est « la longueur de l’ombre de \(\vec{b}\) projetée perpendiculairement sur la direction de \(\vec{a}\) (le projeté orthogonal), \(\|\vec{b}\|\cos\theta\), multipliée par \(\|\vec{a}\|\) ». Plus les deux directions sont alignées, plus le produit scalaire est grand. À angle droit, l’ombre a une longueur de 0, donc le produit scalaire vaut 0. Quand les sens sont presque opposés, l’ombre part dans l’autre sens, et le produit scalaire est négatif.
Utilisez la définition (normes et angle) quand vous connaissez l’angle, et la formule avec les coordonnées (dans un repère orthonormé) quand vous connaissez les coordonnées. Dans l’espace, on ajoute un terme \(a_3b_3\) : \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
Angle entre deux vecteurs
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{produit scalaire }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{produit des normes }\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}\)
La formule en mots
①
On calcule
\(\dfrac{\text{produit scalaire }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{produit des normes }\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}\)
pour obtenir le
②
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
, et on en déduit l’angle \(\theta\)
Exemple simple
L’angle entre \(\vec{a}\,(1\,;\,1)\) et \(\vec{b}\,(2\,;\,0)\) (le produit scalaire vaut \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\), et les normes valent \(\|\vec{a}\|=\sqrt{2}\) et \(\|\vec{b}\|=2\)) est donné par
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)
\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)
L’idée clé
C’est simplement la définition du produit scalaire, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta\), résolue en \(\cos\theta\). Attention : on obtient d’abord la valeur de \(\cos\theta\), pas l’angle lui-même.
Pour trouver l’angle à partir de \(\cos\theta\), comparez avec les valeurs des angles remarquables : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) correspond à \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) à \(60^{\circ}\) et \(0\) à \(90^{\circ}\). Pour les autres valeurs, utilisez la touche \(\cos^{-1}\) de la calculatrice (arccos) ; ce calculateur donne alors le résultat en valeur décimale. Par convention, l’angle entre deux vecteurs (l’angle géométrique) est pris dans l’intervalle \([0^{\circ}\,;\,180^{\circ}]\).
Le signe de \(\cos\theta\) suffit pour connaître la nature de l’angle : positif, il est aigu ; nul, il est droit ; négatif, il est obtus. S’il reste une racine au dénominateur, on peut l’en faire sortir, comme \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Conditions d’orthogonalité et de colinéarité de deux vecteurs
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{b}=k\vec{a}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont orthogonaux
\(\iff\)
②
le produit scalaire est nul
③
\(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont colinéaires
\(\iff\)
④
l’un est le produit de l’autre par un réel
La formule en mots
①
Quand ni \(\vec{a}\) ni \(\vec{b}\) n’est le vecteur nul,
\(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) forment un angle droit
exactement quand
②
le produit scalaire est nul, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
, et
③
\(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont colinéaires
exactement quand
④
\(\vec{b}=k\vec{a}\) pour un certain réel \(k\)
Exemple simple
Avec \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) et \(\vec{b}\,(-1\,;\,2)\), le produit scalaire vaut \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\), donc
\(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont orthogonaux
\(\iff\)
le produit scalaire vaut \(0\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\vec{c} = (8\,;\,4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)
L’idée clé
Pour savoir si deux vecteurs sont orthogonaux, pas besoin de calculer l’angle : il suffit de regarder si le produit scalaire est nul. Comme \(\cos 90^{\circ}=0\), toute la définition \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta\) vaut 0. C’est un outil classique pour démontrer qu’un angle est droit en géométrie.
Dans le plan, la condition de colinéarité \(\vec{b}=k\vec{a}\), écrite avec les coordonnées, devient \(a_1b_2-a_2b_1=0\) (le déterminant des deux vecteurs). C’est pratique, car on peut la vérifier sans chercher \(k\) (elle dit la même chose que « les coordonnées sont proportionnelles »).
Les deux conditions supposent qu’aucun des deux vecteurs n’est le vecteur nul. Par convention, le vecteur nul est orthogonal et colinéaire à tout vecteur, mais comme il n’a pas de direction, ce cas ne dit rien d’intéressant sur un angle. C’est pourquoi on énonce souvent ces conditions « pour \(\vec{a} \neq \vec{0}\) et \(\vec{b} \neq \vec{0}\) ».
Vecteur unitaire (ne garder que la direction et le sens)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{a_1}{\|\vec{a}\|}\,;\,\dfrac{a_2}{\|\vec{a}\|}\right)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
vecteur de même direction et de même sens que \(\vec{a}\), de norme 1
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{coordonnées de départ }(a_1\,;\,a_2)}{\text{norme du vecteur }\|\vec{a}\|}\)
La formule en mots
①
En divisant chaque coordonnée par la norme, comme
\(\dfrac{\text{coordonnées de départ }(a_1\,;\,a_2)}{\text{norme du vecteur }\|\vec{a}\|}\)
, on obtient le
②
vecteur de même direction et de même sens que \(\vec{a}\), de norme 1 (le vecteur unitaire)
Exemple simple
Le vecteur unitaire de même sens que \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\) (de norme \(\|\vec{a}\|=2\sqrt{5}\)) est
vecteur unitaire de même sens que \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\)
\(=\)
\(\dfrac{(4\,;\,2)}{2\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}\,;\,\dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)
\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)
L’idée clé
Un vecteur unitaire est un vecteur qui oublie la longueur et ne garde que la direction et le sens. Diviser par la norme donne toujours une longueur de 1, car \(\left\|\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\right\| = \dfrac{\|\vec{a}\|}{\|\vec{a}\|} = 1\) : pas besoin de revérifier la longueur après la division.
Avec la direction seule, « le point situé à 5 unités dans la direction de \(\vec{a}\) » s’écrit « 5 × le vecteur unitaire ». C’est l’outil des situations où seule la direction compte, pas la longueur : direction de déplacement, direction du regard, orientation d’une surface (la normale).
Diviser les coordonnées par la norme fait apparaître une racine au dénominateur ; on peut l’en faire sortir, comme \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Pour chaque direction, il existe deux vecteurs de norme 1 : précisez « de même sens que \(\vec{a}\) » pour le distinguer du vecteur unitaire de sens contraire, \(-\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\). Dans l’espace, il y a juste un terme de plus, qui divise la cote \(z\) par la même norme ; la méthode est la même.
Un vecteur est une grandeur qui a une direction, un sens et une longueur (sa norme), et l’écrire avec ses coordonnées, \(\vec{a}\,(a_1\,;\,a_2)\), simplifie beaucoup les calculs. Sommes, différences et produits par un réel se font coordonnée par coordonnée, la norme vaut \(\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (le théorème de Pythagore), et le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées, \(a_1b_1+a_2b_2\). En divisant le produit scalaire par le produit des normes, on obtient \(\cos\theta\), qui donne l’angle entre les deux vecteurs. Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux ; si l’un est le produit de l’autre par un réel, ils sont colinéaires.
Symboles et termes
Symboles
| \(\vec{a}\) | vecteur a | Le symbole d’un vecteur. La flèche au-dessus de la lettre indique une grandeur qui a une direction et un sens. Certains ouvrages utilisent plutôt le gras, comme \(\boldsymbol{a}\) ; c’est le même vecteur. Le vecteur qui va du point A au point B (représenté par le segment orienté de A vers B) s’écrit \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\). |
| \(a_1,\ a_2,\ a_3\) | a indice 1, a indice 2, a indice 3 | Les coordonnées du vecteur \(\vec{a}\). Le petit chiffre en bas à droite (l’indice) indique de quelle coordonnée il s’agit : \(a_1\) est le déplacement selon \(x\) (l’abscisse), \(a_2\) selon \(y\) (l’ordonnée) et \(a_3\) selon \(z\) (la cote). On écrit aussi \(\vec{a}\,(x\,;\,y)\), avec des lettres. |
| \(\|\vec{a}\|\) | norme du vecteur a | La norme du vecteur \(\vec{a}\) (la longueur de la flèche). En France, on l’écrit avec des doubles barres ; certains ouvrages utilisent des barres simples \(|\vec{a}|\), comme la valeur absolue d’un nombre, avec la même idée : oublier le sens et ne regarder que la taille. Elle est toujours positive ou nulle. |
| \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) | a scalaire b | Le produit scalaire. Par convention, il s’écrit avec un point centré, et le résultat est un nombre, pas un vecteur : c’est un scalaire, d’où le nom. En anglais, on l’appelle « dot product » (produit « point ») à cause de ce symbole. |
| \(\theta\) | thêta | L’angle entre deux vecteurs. On utilise souvent des lettres grecques pour les angles, et \(\theta\) est la plus courante. C’est l’ouverture entre les deux vecteurs quand ils partent du même point, prise entre \(0^{\circ}\) et \(180^{\circ}\). |
| \(\cos\theta\) | cosinus thêta | Le cosinus de l’angle \(\theta\). Dans un triangle rectangle, c’est le côté adjacent divisé par l’hypoténuse ; il prend des valeurs entre \(-1\) et \(1\). C’est le lien entre le produit scalaire et l’angle. |
| \(\cos^{-1}\) | arc cosinus | L’arc cosinus. Une fonction qui donne l’angle \(\theta\) à partir de la valeur de \(\cos\theta\), qu’on écrit aussi \(\arccos\). Le \(-1\) en haut à droite signifie « l’opération inverse », pas \(\cos\) à la puissance \(-1\). Sur une calculatrice, c’est la touche écrite en petit au-dessus de cos (souvent avec 2nde ou SHIFT). |
| \(k,\ l\) | k, l | Des nombres réels (des scalaires) qui disent par combien on multiplie un vecteur. La lettre \(k\) est souvent utilisée pour une constante. Dans ce calculateur, ce sont les coefficients de \(k\vec{a}+l\vec{b}\). |
| \(\vec{0}\) | vecteur nul | Le vecteur dont toutes les coordonnées valent 0 (le vecteur nul). C’est un vecteur spécial, de norme 0 et sans direction : on ne peut lui associer ni angle ni vecteur unitaire. |
| \(\perp\) | est orthogonal à | Le symbole de « est orthogonal à ». \(\vec{a}\perp\vec{b}\) se lit « \(\vec{a}\) est orthogonal à \(\vec{b}\) ». Le symbole dessine un angle droit. |
| \(\parallel\) | est colinéaire à | Le symbole utilisé ici pour « est colinéaire à ». \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) se lit « \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont colinéaires » (on dit aussi que leurs directions sont parallèles). Le symbole représente deux droites parallèles côte à côte. |
| \(\iff\) | équivaut à (si et seulement si) | Un symbole qui dit que la partie gauche et la partie droite sont équivalentes : « la droite est vraie quand la gauche est vraie, et seulement dans ce cas ». Il s’écrit avec une double flèche dans les deux sens. |
| \(\sqrt{\ }\) | racine carrée | Le symbole de la racine carrée. \(\sqrt{20}\) est « le nombre positif dont le carré vaut 20 ». Les normes des vecteurs s’écrivent avec ce symbole, et on donne le résultat sous forme simplifiée, en sortant les carrés de la racine, comme \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). |
Termes
| vecteur | Une grandeur qui a à la fois une direction, un sens et une longueur (sa norme). Il décrit par exemple une vitesse, une force ou un déplacement, pour lesquels la taille seule ne suffit pas : il faut aussi la direction. On le dessine par une flèche, et une flèche déplacée sans être tournée (même direction, même sens, même longueur) représente le même vecteur. |
| scalaire | Un simple nombre, sans direction (comme une longueur, une masse ou une température). Le mot sert à le distinguer d’un vecteur. Le résultat d’un produit scalaire est un scalaire. |
| segment orienté | Un segment muni d’un sens : la flèche elle-même, avec une origine et une extrémité fixées. Un vecteur, c’est ce qu’on obtient en ne gardant que sa direction, son sens et sa longueur, quelle que soit sa position. |
| coordonnées d’un vecteur | L’écriture d’un vecteur par des nombres qui disent « combien selon \(x\), combien selon \(y\) ». On peut les écrire en ligne, comme \(\vec{a}\,(4\,;\,2)\), ou en colonne, \(\vec{a}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), l’écriture habituelle des manuels de lycée ; les deux ont le même sens. Avec les coordonnées, sommes et produits scalaires deviennent de simples calculs de nombres. |
| norme | La longueur de la flèche d’un vecteur. Dans un repère orthonormé, on la calcule à partir des coordonnées avec \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). |
| vecteur unitaire | Un vecteur de norme 1. Le calcul \(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\) donne un vecteur de même sens que \(\vec{a}\), dont la longueur est ramenée à 1. On l’utilise quand on veut seulement indiquer une direction. |
| vecteur nul | Le vecteur \(\vec{0}\) dont toutes les coordonnées valent 0. Sa norme vaut 0 et il n’a pas de direction. Il apparaît comme la différence d’un vecteur avec lui-même : \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\). |
| vecteur opposé | Le vecteur \(-\vec{a}\), de même norme et de même direction, mais de sens contraire. C’est le produit par le réel \(k=-1\), et il sert dans la différence \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\). |
| produit par un réel | La multiplication d’un vecteur par un nombre réel \(k\). La direction ne change pas et la longueur est multipliée par \(|k|\) ; si \(k\) est négatif, le sens s’inverse. |
| combinaison linéaire | Une expression de la forme \(k\vec{a}+l\vec{b}\), où \(k\) et \(l\) sont des réels : on multiplie chaque vecteur par un réel, puis on additionne. La somme (\(k=l=1\)) et la différence (\(k=1,\ l=-1\)) en sont des cas particuliers. |
| règle du parallélogramme | La propriété selon laquelle la somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. On l’utilise directement pour additionner des forces sur un schéma. |
| produit scalaire | Un calcul qui transforme deux vecteurs en un nombre. Il vaut \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta\), et avec les coordonnées (repère orthonormé) \(a_1b_1+a_2b_2\). Il mesure par un nombre à quel point les deux directions sont alignées. |
| angle entre deux vecteurs | L’angle \(\theta\) formé par deux vecteurs quand on les fait partir du même point. On le prend entre \(0^{\circ}\) et \(180^{\circ}\) (l’angle géométrique). |
| projeté orthogonal | L’ombre d’un vecteur sur la direction d’un autre, éclairée perpendiculairement. La longueur (algébrique) du projeté de \(\vec{b}\) sur la direction de \(\vec{a}\) vaut \(\|\vec{b}\|\cos\theta\), et le produit scalaire se lit comme cette longueur multipliée par \(\|\vec{a}\|\). |
| orthogonal | Se dit de deux vecteurs dont les directions forment un angle droit. Pour deux vecteurs non nuls, cela revient à dire que leur produit scalaire est nul. |
| colinéaire | Se dit de deux vecteurs de même direction (même sens ou sens contraires). Cela revient à dire que l’un est le produit de l’autre par un réel, et dans le plan on le vérifie avec les coordonnées seules : \(a_1b_2-a_2b_1=0\). |
| vecteur position | Le vecteur qui part de l’origine et indique la position d’un point. Le vecteur position du point A est \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), et ses coordonnées sont celles du point. C’est le point de départ pour étudier des figures avec des vecteurs. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Le repère du plan et de l’espace (de la 5e à la Terminale, 12-18 ans) |
|
| Calcul avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Racines carrées (3e à Seconde, 14-16 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
| Trigonométrie, le cosinus (4e-3e, 13-15 ans, puis Première) |
|
| Calcul littéral et fractions (5e à 3e, 12-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la norme d’un vecteur
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 (0 dans le plan) | 4 |
| Norme ‖a‖ | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tableau pour trouver la somme et la différence de vecteurs
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| a, cote a3 | 4 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| b, cote b3 | 2 |
| Somme, abscisse | =B1+B4 |
| Somme, ordonnée | =B2+B5 |
| Somme, cote | =B3+B6 |
| Différence, abscisse | =B1-B4 |
| Différence, ordonnée | =B2-B5 |
| Différence, cote | =B3-B6 |
Tableau pour trouver le produit d’un vecteur par un réel
| Réel k | 2 |
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 | 4 |
| ka, abscisse | =B1*B2 |
| ka, ordonnée | =B1*B3 |
| ka, cote | =B1*B4 |
Tableau pour trouver le produit scalaire
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| a, cote a3 | 4 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| b, cote b3 | 2 |
| Produit scalaire a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tableau pour trouver l’angle entre deux vecteurs
| Produit scalaire a·b | 8 |
| Norme ‖a‖ | 6 |
| Norme ‖b‖ | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Angle θ (degrés) | =DEGRES(ACOS(B4)) |
| Angle θ (radians) | =ACOS(B4) |
Tableau pour tester l’orthogonalité et la colinéarité (dans le plan)
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| Produit scalaire a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Orthogonaux ? | =SI(B5=0;"Orthogonaux";"Non orthogonaux") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Colinéaires ? | =SI(B7=0;"Colinéaires";"Non colinéaires") |
Tableau pour trouver le vecteur unitaire
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 (0 dans le plan) | 4 |
| Norme ‖a‖ | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Vecteur unitaire, abscisse | =B1/B4 |
| Vecteur unitaire, ordonnée | =B2/B4 |
| Vecteur unitaire, cote | =B3/B4 |
| Vérification : norme du vecteur unitaire | =RACINE(B5^2+B6^2+B7^2) |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (coordonnées et coefficients) sont les valeurs à saisir, et les lignes du bas affichent les résultats calculés.
« ^ » est une puissance, RACINE la racine carrée, ACOS l’arc cosinus (la fonction qui donne l’angle à partir d’un cosinus), et DEGRES convertit des radians en degrés.
Les tableaux 1 à 4 utilisent les vecteurs de l’espace a (4 ; 2 ; 4) et b (−1 ; 2 ; 2). La norme ‖a‖ vaut 6, la somme (3 ; 4 ; 6), la différence (5 ; 0 ; 2), 2a (8 ; 4 ; 8), et le produit scalaire 8. Pour des vecteurs du plan, mettez 0 dans les cellules des cotes.
Le tableau 5 trouve l’angle à partir de ce produit scalaire 8 et des normes 6 et 3. cosθ vaut 0,4444…, et l’angle environ 63,61 degrés (environ 1,1102 radian).
Le tableau 6 utilise les vecteurs du plan a (4 ; 2) et b (−1 ; 2). Le produit scalaire est nul, donc il affiche « Orthogonaux », et a1b2 − a2b1 vaut 10, pas 0, donc il affiche « Non colinéaires ».
Le tableau 7 trouve le vecteur unitaire du même a (4 ; 2 ; 4) qu’au tableau 1. Chaque coordonnée est divisée par la norme 6, ce qui donne (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667), et la dernière ligne confirme que sa norme vaut exactement 1.
« ^ » est une puissance, RACINE la racine carrée, ACOS l’arc cosinus (la fonction qui donne l’angle à partir d’un cosinus), et DEGRES convertit des radians en degrés.
Les tableaux 1 à 4 utilisent les vecteurs de l’espace a (4 ; 2 ; 4) et b (−1 ; 2 ; 2). La norme ‖a‖ vaut 6, la somme (3 ; 4 ; 6), la différence (5 ; 0 ; 2), 2a (8 ; 4 ; 8), et le produit scalaire 8. Pour des vecteurs du plan, mettez 0 dans les cellules des cotes.
Le tableau 5 trouve l’angle à partir de ce produit scalaire 8 et des normes 6 et 3. cosθ vaut 0,4444…, et l’angle environ 63,61 degrés (environ 1,1102 radian).
Le tableau 6 utilise les vecteurs du plan a (4 ; 2) et b (−1 ; 2). Le produit scalaire est nul, donc il affiche « Orthogonaux », et a1b2 − a2b1 vaut 10, pas 0, donc il affiche « Non colinéaires ».
Le tableau 7 trouve le vecteur unitaire du même a (4 ; 2 ; 4) qu’au tableau 1. Chaque coordonnée est divisée par la norme 6, ce qui donne (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667), et la dernière ligne confirme que sa norme vaut exactement 1.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la norme d’un vecteur
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 (0 dans le plan) | 4 |
| Norme ‖a‖ | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tableau pour trouver la somme et la différence de vecteurs
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| a, cote a3 | 4 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| b, cote b3 | 2 |
| Somme, abscisse | =B1+B4 |
| Somme, ordonnée | =B2+B5 |
| Somme, cote | =B3+B6 |
| Différence, abscisse | =B1-B4 |
| Différence, ordonnée | =B2-B5 |
| Différence, cote | =B3-B6 |
Tableau pour trouver le produit d’un vecteur par un réel
| Réel k | 2 |
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 | 4 |
| ka, abscisse | =B1*B2 |
| ka, ordonnée | =B1*B3 |
| ka, cote | =B1*B4 |
Tableau pour trouver le produit scalaire
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| a, cote a3 | 4 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| b, cote b3 | 2 |
| Produit scalaire a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tableau pour trouver l’angle entre deux vecteurs
| Produit scalaire a·b | 8 |
| Norme ‖a‖ | 6 |
| Norme ‖b‖ | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Angle θ (degrés) | =DEGRES(ACOS(B4)) |
| Angle θ (radians) | =ACOS(B4) |
Tableau pour tester l’orthogonalité et la colinéarité (dans le plan)
| a, abscisse a1 | 4 |
| a, ordonnée a2 | 2 |
| b, abscisse b1 | -1 |
| b, ordonnée b2 | 2 |
| Produit scalaire a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Orthogonaux ? | =SI(B5=0;"Orthogonaux";"Non orthogonaux") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Colinéaires ? | =SI(B7=0;"Colinéaires";"Non colinéaires") |
Tableau pour trouver le vecteur unitaire
| Abscisse a1 | 4 |
| Ordonnée a2 | 2 |
| Cote a3 (0 dans le plan) | 4 |
| Norme ‖a‖ | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Vecteur unitaire, abscisse | =B1/B4 |
| Vecteur unitaire, ordonnée | =B2/B4 |
| Vecteur unitaire, cote | =B3/B4 |
| Vérification : norme du vecteur unitaire | =RACINE(B5^2+B6^2+B7^2) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets en français utilise aussi RACINE, ACOS, DEGRES et SI, avec « ; » entre les arguments). Copiez tout le tableau, collez-le en cellule A1 et remplacez les coordonnées par vos propres nombres.
Google Sheets dispose aussi de la fonction SOMMEPROD. Donnez-lui les deux plages de coordonnées, comme « =SOMMEPROD(B1:B3;B4:B6) », et elle calcule le produit scalaire en une seule formule.
Google Sheets dispose aussi de la fonction SOMMEPROD. Donnez-lui les deux plages de coordonnées, comme « =SOMMEPROD(B1:B3;B4:B6) », et elle calcule le produit scalaire en une seule formule.
Calculer avec Python
import math
from fractions import Fraction
# Coordonnées des vecteurs (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4) ; dans le plan, mettez deux valeurs)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)
# Somme, différence et combinaison linéaire (coordonnée par coordonnée)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]
# Produit scalaire, normes et angle
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))
print(f"Somme : {vector_sum}")
print(f"Différence : {vector_diff}")
print(f"ka + lb : {combination}")
print(f"Produit scalaire : {dot}")
print(f"Norme ‖a‖ : {size_a}, ‖b‖ : {size_b}")
print(f"cos(thêta) : {float(cos_theta)}, angle : {theta_degrees} degrés")
# Vecteur unitaire et test d’orthogonalité
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Vecteur unitaire de même sens que a : {unit_a}")
print("Orthogonaux" if dot == 0 else "Non orthogonaux")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. En gardant les coordonnées sous forme de Fraction, la somme, la différence et le produit scalaire sont exacts, sans erreur d’arrondi. Les normes et l’angle font intervenir des racines carrées : ils sont donc calculés en décimal avec le module math. Cet exemple utilise a (4 ; 2 ; 4) et b (−1 ; 2 ; 2), et affiche le produit scalaire 8, les normes 6 et 3, et un angle d’environ 63,61 degrés. Python affiche les nombres avec un point décimal. Modifiez les coordonnées et lancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Norme d’un vecteur (à partir de ses coordonnées)
|a| = √(a₁² + a₂²)
\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)
Norm[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);
norm([a1 a2])
|a| = √(a_1^2 + a_2^2)
Somme et différence de vecteurs (on additionne ou on soustrait coordonnée par coordonnée)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>+</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
{a1, a2} + {b1, b2}
Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);
[a1 a2] + [b1 b2]
a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
Produit d’un vecteur par un réel
ka = (ka₁, ka₂)
k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
k vec a = (k a_1, k a_2)
k {a1, a2}
k * Vector([a1, a2]);
k * [a1 a2]
ka = (k a_1, k a_2)
Produit scalaire (un calcul qui transforme deux vecteurs en un nombre)
a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]
DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
dot([a1 a2], [b1 b2])
a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2
Angle entre deux vecteurs
cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
<mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))
ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]
VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))
cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)
Conditions d’orthogonalité et de colinéarité de deux vecteurs
a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0, a∥b ⟺ b = ka
\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⊥</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⟺</mo>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0
Dot[a, b] == 0
evalb(DotProduct(a, b) = 0);
dot(a, b) == 0
a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0
Vecteur unitaire (ne garder que la direction et le sens)
a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)
\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))
Normalize[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);
[a1 a2] / norm([a1 a2])
a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique (vecteurs). Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour les vecteurs de l’espace a (4 ; 2 ; 4) et b (−1 ; 2 ; 2), dans un repère orthonormé, trouve : 1. Les coordonnées de la somme a + b, de la différence a − b et de 2a + 3b 2. Les normes ‖a‖ et ‖b‖ (en valeur exacte avec racines simplifiées et en valeur décimale) 3. Le produit scalaire a·b 4. L’angle θ entre les deux vecteurs (en degrés et en radians, avec la valeur exacte si c’est un angle remarquable) 5. Le vecteur unitaire de même sens que a 6. Si a et b sont orthogonaux ou colinéaires, et pourquoi En Python, utilise les modules fractions et math (et sympy si besoin), et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Calcul du produit vectoriel (coordonnées, aire du parallélogramme, vecteur normal)
Calcule le produit vectoriel a∧b de deux vecteurs de l’espace (un vecteur orthogonal aux deux) et l’aire du parallélogramme qu’ils forment
Théorème de Pythagore (calcul de l’hypoténuse et des côtés d’un triangle rectangle)
Le théorème de Pythagore explique la formule de la norme d’un vecteur. Calcule les longueurs des côtés d’un triangle rectangle
