Aire d’un secteur circulaire (à partir du rayon et de l’angle au centre)

Entrez le rayon et l’angle au centre du secteur circulaire. L’aire (πr² × angle au centre ÷ 360) est calculée et une figure du secteur est tracée.

Unités

Rayon r

Angle au centre (en degrés)

Angle au centre (en radians)

Entrez l’angle au centre dans un seul champ, en degrés ou en radians. Entrez uniquement des nombres, sans unité (rayon en cm, aire en cm² ; rayon en m, aire en m²).

Résultat et figure

Saisissez le rayon et l’angle au centre (en degrés ou en radians, un seul des deux) dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure du secteur s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
- Aire d’un secteur (angle au centre en degrés)
- Aire d’un secteur (angle au centre en radians)
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez le rayon et l’angle au centre, et vous obtenez aussitôt l’aire du secteur circulaire (\(\pi r^2 \times\) angle au centre \(\div\, 360\))
L’angle au centre peut être saisi en degrés (°) ou en radians (dans un seul des deux champs)
Quand le calcul tombe juste, la valeur exacte avec \(\pi\) s’affiche aussi (pour un rayon de 30 et un angle au centre de 90°, \(225\pi\))
Une figure du secteur s’affiche avec le résultat : vous voyez d’un coup d’œil quelle partie du disque vous avez calculée
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Le calcul utilise \(\pi = 3{,}14159\ldots\) (le « 3,14 » utilisé à l’école en est une valeur approchée). Entrez uniquement des nombres, sans unité : si le rayon est en cm, l’aire est en cm² ; en m, elle est en m².

À quoi sert ce calcul ?

Comparer la taille d’une part de pizza ou de gâteau (partager un plat)

Coupez une pizza de 30 cm de diamètre (rayon 15 cm) en 8 parts : chaque part est un secteur d’angle au centre \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). Son aire vaut \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\mathrm{cm^2}\).
Des questions comme « Qu’est-ce qui est plus grand, une part d’une moyenne pizza coupée en 8 ou d’une grande coupée en 12 ? » se tranchent avec des chiffres en calculant les aires avec cette formule.

Estimer la surface arrosée par un arroseur (jardinage et agriculture)

Un arroseur rotatif arrose un secteur dont le rayon est la portée du jet et l’angle au centre l’angle de rotation. Un arroseur de 10 m de portée qui tourne sur 180° couvre \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157{,}1\,\mathrm{m^2}\).
En comparant avec la surface de votre jardin ou de votre potager, vous prévoyez combien d’arroseurs acheter et où les placer (le vent et la pression de l’eau changent la surface réelle : c’est une estimation).

La surface balayée par un essuie-glace (conception et entretien automobile)

Un essuie-glace décrit un secteur autour de la base de son bras. Si l’extrémité est à 60 cm et que le bras balaie 90°, le secteur couvert vaut \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2\,827\,\mathrm{cm^2}\) (environ 0,28 m²).
La partie vraiment essuyée est ce secteur moins le petit secteur intérieur que le balai n’atteint pas (une forme de morceau de couronne) : on utilise donc cette formule deux fois, « grand secteur − petit secteur ».

Calculer l’aire d’un massif ou d’une place en éventail (paysagisme et jardinage)

Les massifs et pelouses en éventail sont fréquents aux coins de rue et devant les bâtiments. Un massif de rayon 3 m et d’angle au centre 120° a une aire de \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9{,}4\,\mathrm{m^2}\).
Gazon, terre et briques se vendent selon la surface couverte (tant de sacs par m², etc.) : une fois l’aire connue, vous estimez la quantité à acheter.

Vérifier la zone couverte par une caméra ou un détecteur (sécurité)

Les fiches techniques des caméras de surveillance et des détecteurs de mouvement indiquent par exemple « angle de vision 90°, portée de détection 8 m ». En assimilant la zone couverte au sol à un secteur, on obtient \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50{,}3\,\mathrm{m^2}\).
En la reportant sur le plan d’un parking ou d’un magasin, vous vérifiez avant l’installation qu’il n’y a pas d’angle mort et combien d’appareils il faut (les obstacles et l’inclinaison de la caméra changent la zone réellement filmée).

Formules et figures

Aire d’un secteur (angle au centre en degrés)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(360\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(S\) : aire du secteur \(=\) ③ \(\pi\) : pi \(\times\) ① \(r\) : rayon ② au carré (la longueur multipliée par elle-même) \(\times\) ④ \(\theta\) : angle au centre (en degrés) \(\div\) ⑤ \(360^\circ\) : angle du disque entier

La formule en mots

① Prenez \(r\) : rayon

② élevez-le au carré (la longueur multipliée par elle-même)

③ puis multipliez par \(\pi\) : pi (environ 3,14) pour obtenir l’aire du disque entier, \(\pi r^2\). Ensuite,

④ multipliez par \(\theta\) : angle au centre (en degrés)

⑤ et divisez par \(360^\circ\) : angle du disque entier (cela revient à multiplier par la fraction du disque que représente l’angle au centre)

⑥ et vous obtenez \(S\) : aire du secteur

Exemple simple

L’aire d’un secteur de rayon 30 cm et d’angle au centre 90° vaut

\(S\) : aire du secteur \(=\) \(\pi\) : pi \(\times\) rayon (30 cm) au carré \(\times\) angle au centre (90°) \(\div\) disque entier (360°)

\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)

\(225\pi = 225 \times 3{,}14159\ldots \approx 706{,}86\,\mathrm{cm^2}\)

L’idée clé

Un secteur circulaire est une part découpée dans un disque selon l’angle au centre, comme une part de pizza. Son aire est donc simplement l’aire du disque entier, \(\pi r^2\), multipliée par la fraction du disque (360°) que représente l’angle au centre, \(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\). Un angle au centre de 90° représente \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) du disque, 180° la moitié, et 360° le disque entier. Quand l’angle au centre est un diviseur de 360° (90°, 60°, 45°, etc.), simplifier d’abord \(\dfrac{\theta}{360}\) rend le calcul plus facile.

Aire d’un secteur (angle au centre en radians)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(2\pi\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(S\) : aire du secteur \(=\) ③ \(\pi\) : pi \(\times\) ① \(r\) : rayon ② au carré (la longueur multipliée par elle-même) \(\times\) ④ \(\theta\) : angle au centre (en radians) \(\div\) ⑤ \(2\pi\) : angle du disque entier

La formule en mots

① Prenez \(r\) : rayon

② élevez-le au carré (la longueur multipliée par elle-même)

③ puis multipliez par \(\pi\) : pi (environ 3,14) pour obtenir l’aire du disque entier, \(\pi r^2\). Ensuite,

④ multipliez par \(\theta\) : angle au centre (en radians)

⑤ et divisez par \(2\pi\) : angle du disque entier (en radians) (cela revient à multiplier par la fraction du disque que représente l’angle au centre)

⑥ et vous obtenez \(S\) : aire du secteur

Exemple simple

L’aire d’un secteur de rayon 10 cm et d’angle au centre 1,5708 radian (environ 90°) vaut

\(S\) : aire du secteur \(=\) \(\pi\) : pi \(\times\) rayon (10 cm) au carré \(\times\) angle au centre (1,5708 radian) \(\div\) disque entier (\(2\pi\) radians)

\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2}\)

\(100 \times 1{,}5708 \div 2 = 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)

L’idée clé

Le radian est une façon de mesurer les angles vue au lycée (la mesure en radians) : \(180^\circ = \pi\) radians et \(360^\circ = 2\pi\) radians. L’idée est exactement la même qu’en degrés : on multiplie l’aire du disque entier, \(\pi r^2\), par la fraction du disque (\(2\pi\) radians) que représente l’angle au centre. Dans cette formule, le \(\pi\) du haut et celui du bas se simplifient : on obtient la forme courte des manuels, \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\) (rayon au carré × angle au centre ÷ 2).

L’aire d’un secteur circulaire vaut « aire du disque entier \(\pi r^2\) × fraction du disque couverte par l’angle au centre ». En degrés, on divise par 360 ; en radians, par \(2\pi\) (ce qui se simplifie en \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)). Si le rayon est en cm, le résultat est en cm².

Symboles et termes

Symboles

\(S\)	S	Une lettre souvent utilisée pour l’aire (de « surface »). Sur cette page, c’est l’aire du secteur. (Les manuels français écrivent souvent \(\mathcal{A}\).)
\(r\)	r	Le rayon, d’après son initiale. C’est la longueur du centre du cercle jusqu’à l’arc.
\(r^2\)	r au carré	Le nombre \(r\) multiplié par lui-même (\(r \times r\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier le nombre par lui-même ».
\(\theta\)	thêta	Une lettre grecque souvent utilisée pour la mesure d’un angle. Sur cette page, c’est l’angle au centre du secteur.
\(\pi\)	pi	Le nombre pi : combien de fois le périmètre d’un cercle est plus long que son diamètre. Il vaut \(3{,}14159265\ldots\), ses décimales continuent sans fin et sans se répéter (c’est un nombre irrationnel). À l’école, on l’arrondit souvent à 3,14.
\(^\circ\)	degré	Une unité d’angle. Un tour complet partagé en 360 parts égales donne 1°. C’est la façon la plus familière d’écrire un angle, celle du rapporteur (mesure en degrés).
\(\mathrm{rad}\)	radian	Une unité d’angle vue au lycée (mesure en radians). L’angle au centre qui intercepte un arc de même longueur que le rayon vaut 1 radian, et \(180^\circ = \pi\) radians (1 radian ≈ 57,3°).

Termes

secteur circulaire	Une partie de disque découpée par deux rayons, comme une part de pizza ou un éventail ouvert. Elle est limitée par deux rayons et un arc. On dit aussi « secteur angulaire ».
angle au centre	L’angle à la pointe du secteur, c’est-à-dire au centre du cercle. Il indique l’ouverture du secteur ; plus il est grand, plus l’aire et l’arc sont grands.
arc	Une partie d’un cercle. C’est le bord courbe extérieur du secteur.
pi	La valeur de périmètre ÷ diamètre. Elle est la même pour un cercle de n’importe quelle taille (\(3{,}14159\ldots\)). Son symbole est \(\pi\).
mesure en degrés	Mesurer les angles en comptant un tour complet pour 360°. C’est la mesure en degrés (°) utilisée depuis l’école primaire.
mesure en radians	Mesurer les angles à partir de la longueur de l’arc (l’unité est le radian). Un tour complet vaut \(2\pi\) radians. On l’utilise à partir de la 1re, au lycée.
fraction du disque	Un nombre qui dit quelle part du tout on occupe. Sur cette page, « angle au centre ÷ angle du disque entier » indique quelle fraction du disque représente le secteur.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Les fractions d’un tout et la multiplication des fractions (CM2-5e, 10-13 ans)	Savoir écrire « quelle part du tout » sous forme de fraction, comme \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) Savoir simplifier une fraction et multiplier un nombre par une fraction
L’aire du disque (6e, 11-12 ans)	Savoir que l’aire d’un disque vaut « rayon × rayon × pi (3,14) » Savoir lire et écrire les unités d’aire cm² et m²
Le calcul littéral et le nombre pi (5e, 12-13 ans)	Savoir garder pi sous la forme de la lettre \(\pi\) et écrire une réponse comme \(225\pi\)
Les arcs et les secteurs circulaires (collège, 12-15 ans)	Connaître les mots secteur, angle au centre et arc Savoir se représenter un secteur comme « une part de disque découpée en proportion de l’angle au centre »
La mesure en radians (lycée, 1re, 16-17 ans ; seulement si vous utilisez le champ des radians)	Savoir ce qu’est un radian et que \(180^\circ = \pi\) radians (un tour complet = \(2\pi\) radians)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour calculer l’aire d’un secteur (angle au centre en degrés)

Rayon	30
Angle au centre (en degrés)	90
Aire du secteur	=PI()B1^2B2/360

Tableau pour calculer l’aire d’un secteur (angle au centre en radians)

Rayon	10
Angle au centre (en radians)	1,5708
Aire du secteur	=B1^2*B2/2

Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « le nombre de cette cellule ». « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie). « PI() » est une fonction qui renvoie pi (3,14159…).
Dans le premier tableau, B3 affiche π × 30² × 90 ÷ 360 ≈ 706,86 (en cm², puisque vous avez saisi des cm). Le second tableau (la version en radians, rayon² × angle au centre ÷ 2) affiche 78,54 en B3. Il suffit de remplacer les données par celles de votre propre secteur.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour calculer l’aire d’un secteur (angle au centre en degrés)

Rayon	30
Angle au centre (en degrés)	90
Aire du secteur	=PI()B1^2B2/360

Tableau pour calculer l’aire d’un secteur (angle au centre en radians)

Rayon	10
Angle au centre (en radians)	1,5708
Aire du secteur	=B1^2*B2/2

Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les données par celles de votre propre secteur.

Calculer avec Python

import math

radius = 30    # rayon (en cm dans cet exemple)
degrees = 90   # angle au centre (en degrés)

area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360   # aire du secteur (unité saisie au carré ; ici en cm2)

print(f"Aire du secteur : {area} cm2")

# Avec l’angle au centre en radians (vu au lycée) : « rayon au carré × angle au centre ÷ 2 »
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"Avec un angle au centre de {radians} radian : {area_by_radians} cm2")

Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est pi, « ** » la puissance (ici le carré), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez le rayon et l’angle au centre au début et lancez le code.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Aire d’un secteur (angle au centre en degrés)

S = πr² × θ ÷ 360

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mn>360</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/360

Pi r^2 theta/360

S := Pi*r^2*theta/360;

S = pi*r^2*theta/360;

S = πr^2 × θ/360

Aire d’un secteur (angle au centre en radians)

S = πr² × θ ÷ (2π)

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mrow><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/(2 pi)

Pi r^2 theta/(2 Pi)

S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);

S = pi*r^2*theta/(2*pi);

S = πr^2 × θ/(2π)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé).

Un secteur circulaire a un rayon de 30 cm et un angle au centre de 90°.
Calculez :
1. L’aire de ce secteur en cm² (en valeur décimale)
2. Cette même aire en valeur exacte avec pi (π)

Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule