Calcul du produit vectoriel (coordonnées, aire du parallélogramme, vecteur normal)

Entrez les coordonnées des deux vecteurs a et b. La formule ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi calculer en modifiant directement les nombres en colonne. Pour des vecteurs du plan, laissez les champs des cotes z vides (0).

Abscisse de a (a₁)

Ordonnée de a (a₂)

Cote de a (a₃)

Abscisse de b (b₁)

Ordonnée de b (b₂)

Cote de b (b₃)

Entrez uniquement des nombres. Les décimaux, les nombres négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une coordonnée vide compte pour 0.

Résultat et figure

Saisissez les coordonnées des deux vecteurs dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure 3D s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez les coordonnées de deux vecteurs de l’espace \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), et obtenez les coordonnées du produit vectoriel \(\vec{a}\times\vec{b}\) (noté aussi \(\vec{a}\wedge\vec{b}\)), avec chaque étape du calcul en croix
La norme \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) (l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs) s’affiche à la fois en valeur exacte avec racine, comme \(3\sqrt{6}\), et en valeur décimale. L’aire du triangle (la moitié) est calculée en même temps
Vous obtenez aussi le vecteur normal unitaire \(\vec{n}\), orthogonal à \(\vec{a}\) et à \(\vec{b}\), l’angle \(\theta\) entre les deux vecteurs, et la vérification que les produits scalaires sont nuls (preuve d’orthogonalité)
Le résultat s’affiche aussi dans une figure 3D qu’on peut faire tourner à la souris : on voit le produit vectoriel dressé perpendiculairement au parallélogramme (règle de la main droite)
Les coordonnées peuvent être décimales, négatives ou des fractions comme 3/4. Laissez les cotes z vides (0) pour l’utiliser aussi avec des vecteurs du plan
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Le produit vectoriel n’est défini que pour des vecteurs de l’espace (en 3D). Pour des vecteurs du plan, on prend une cote z égale à 0 ; le produit vectoriel n’a alors qu’une coordonnée z. En France, il ne figure pas au programme de mathématiques du lycée ; on l’étudie après le bac (classes préparatoires, licence, BUT) et en physique (moment d’une force, force de Laplace). En ingénierie, en physique et en infographie 3D, c’est l’un des premiers outils de base.

À quoi sert ce calcul ?

L’ombrage en infographie 3D et dans les jeux (trouver l’orientation d’une surface)

Dans les images 3D des jeux et des films, la surface des objets est découpée en une multitude de petits triangles. Le vecteur normal qui indique l’orientation de chaque triangle se calcule comme le produit vectoriel de deux vecteurs côtés. La position de la lumière par rapport à ce vecteur normal décide si la surface paraît claire ou sombre.
Les surfaces courbes semblent éclairées sans à-coups parce que l’ombrage est calculé à partir de ces vecteurs normaux, face par face.

Serrer un boulon avec une clé (moment d’une force)

L’effet de rotation d’une force s’appelle le moment de la force (ou couple). C’est le produit vectoriel du vecteur allant du centre de rotation au point où l’on pousse et du vecteur force. Sa norme, \(\|\vec{r}\|\,\|\vec{F}\|\sin\theta\), correspond à l’expérience de tous les jours : « une clé plus longue tourne plus facilement » et « pousser perpendiculairement au manche est le plus efficace ».
Les mécaniciens serrent les boulons de roue à une valeur précise avec une clé dynamométrique, parce que c’est cette grandeur (en N·m) qu’ils doivent contrôler.

Comment tourne un moteur électrique (force exercée par un champ magnétique)

Un courant électrique placé dans un champ magnétique subit une force orthogonale au courant et au champ : la force de Laplace. Sa direction et son intensité sont données par le produit vectoriel du vecteur courant et du vecteur champ magnétique (pour une charge seule, comme un électron, c’est la force de Lorentz \(\vec{F} = q\vec{v}\wedge\vec{B}\)). C’est cette force perpendiculaire qui fait tourner un moteur et vibrer la membrane d’un haut-parleur.
La règle de la main droite (ou des trois doigts) enseignée en physique permet de trouver avec la main le sens de ce produit vectoriel.

Topographie et surface d’un terrain (aire à partir des coordonnées)

La surface d’un terrain se calcule à partir des coordonnées mesurées de ses bornes. On parcourt les sommets du polygone dans l’ordre, on calcule \(x_1y_2 - x_2y_1\) pour chaque paire de points voisins, on additionne le tout et on prend la moitié de la valeur absolue du total. On obtient l’aire sans mesurer chaque côté. L’astuce est d’additionner les termes avec leur signe, sans prendre les valeurs absolues une à une : les parties en trop s’annulent alors toutes seules, et même un terrain rentrant (concave) donne la bonne aire. On utilise ici la coordonnée \(z\) du produit vectoriel (l’aire algébrique) : c’est la formule du lacet, ou formule de l’aire de Gauss.
La même idée sert aux géomètres-experts pour calculer la surface des parcelles et aux logiciels de cartographie (SIG).

Orienter un drone ou un robot (trouver l’axe de rotation)

Pour faire tourner un drone ou un robot de « la direction où il regarde » vers « la direction où il doit regarder », il faut choisir autour de quel axe tourner et de combien de degrés. Le produit vectoriel des deux vecteurs direction donne un vecteur orthogonal aux deux : c’est l’axe de rotation lui-même. L’angle s’obtient en combinant la norme du produit vectoriel (la partie \(\sin\theta\)) et le produit scalaire (la partie \(\cos\theta\)).
La même idée sert au pilotage des drones et, en animation 3D, pour tourner la tête ou le bras d’un personnage vers une cible.

Formules et figures

Coordonnées du produit vectoriel (calcul en croix)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(;\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(;\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\) : produit vectoriel \(=\) \((\) ① coordonnée \(x\) (calcul en croix de \(y\) et \(z\)) \(;\) ② coordonnée \(y\) (calcul en croix de \(z\) et \(x\)) \(;\) ③ coordonnée \(z\) (calcul en croix de \(x\) et \(y\)) \()\)

La formule en mots

① Avec \(\vec{a}\,(a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) et \(\vec{b}\,(b_1\,;\,b_2\,;\,b_3)\), on forme d’abord la coordonnée \(x\), différence en croix de \(y\) et \(z\) : \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② puis la coordonnée \(y\), différence en croix de \(z\) et \(x\) : \(a_3b_1 - a_1b_3\) ,

③ et la coordonnée \(z\), différence en croix de \(x\) et \(y\) : \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ Le vecteur qui a ces trois nombres pour coordonnées est le \(\vec{a}\times\vec{b}\) : produit vectoriel

Exemple simple

Le produit vectoriel de \(\vec{a}\,(1\,;\,2\,;\,3)\) et \(\vec{b}\,(4\,;\,5\,;\,6)\) est

\(\vec{a}\times\vec{b}\) : produit vectoriel \(=\) \((\) coordonnée \(x\) (\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(;\) coordonnée \(y\) (\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(;\) coordonnée \(z\) (\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5\,;\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6\,;\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15\,;\ \ 12 - 6\,;\ \ 5 - 8) = (-3\,;\,6\,;\,-3)\)

L’idée clé

Pas besoin d’apprendre les trois coordonnées par cœur : le calcul en croix les construit. Imaginez l’ordre \(x \to y \to z \to x \to y \to z\), qui tourne en boucle (c’est l’ordre circulaire). Cachez la lettre de la coordonnée cherchée et lisez les deux lettres suivantes : \(y,\ z\) pour la coordonnée \(x\), \(z,\ x\) pour la coordonnée \(y\), et \(x,\ y\) pour la coordonnée \(z\). Écrivez seulement ces deux colonnes de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sur deux lignes, puis faites le produit qui descend vers la droite moins le produit qui monte vers la droite. La figure ci-dessus montre ces étapes. Seule la coordonnée \(y\), \(a_3b_1 - a_1b_3\), semble inversée par rapport aux autres. C’est parce que les lettres se lisent dans l’ordre \(z,\ x\), et non \(x,\ z\). Si vous confondez cet ordre, seule la coordonnée \(y\) sort avec le mauvais signe. Beaucoup d’ouvrages écrivent le même calcul comme un déterminant 3 × 3, avec les vecteurs unitaires de la base \(\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}\) sur la première ligne et les coordonnées de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sur les deux lignes suivantes. En le développant selon la première ligne, on retrouve exactement ces trois coordonnées (le signe moins devant \(\vec{j}\) explique pourquoi la coordonnée \(y\) semble inversée). En France, le produit vectoriel se note le plus souvent \(\vec{a}\wedge\vec{b}\) ; c’est le même calcul que \(\vec{a}\times\vec{b}\). Attention aussi : \(\vec{b} \times \vec{a}\) est l’opposé de \(\vec{a} \times \vec{b}\) (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Échanger l’ordre change le résultat : contrairement au produit scalaire, l’ordre compte.

Norme du produit vectoriel (\(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta\))

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|\) \(=\) \(\left\| \vec{a} \right\|\) \(\left\| \vec{b} \right\|\) \(\sin\theta\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) : norme du produit vectoriel \(=\) ① \(\|\vec{a}\|\) : norme de \(\vec{a}\) ② \(\|\vec{b}\|\) : norme de \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\) entre eux

La formule en mots

① On multiplie la \(\|\vec{a}\|\) : norme de \(\vec{a}\)

② par la \(\|\vec{b}\|\) : norme de \(\vec{b}\) ,

③ puis par le \(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\) entre les deux vecteurs ,

④ et on obtient la \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) : norme du produit vectoriel

Exemple simple

Quand un vecteur de norme 4 et un vecteur de norme 3 forment un angle de 30°, la norme du produit vectoriel est

norme du produit vectoriel \(=\) norme de \(\vec{a}\) (4) norme de \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

L’idée clé

L’aire d’un parallélogramme vaut « base × hauteur ». Si la base est \(\|\vec{a}\|\), la hauteur est \(\|\vec{b}\|\sin\theta\) (les pointillés de la figure ci-dessus). Donc \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta\) est exactement l’aire du parallélogramme. L’angle \(\theta\) est pris entre 0° et 180°. Sur cet intervalle, \(\sin\theta\) n’est jamais négatif, donc \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta\) non plus : il sert directement de longueur ou d’aire. (\(\cos\theta\) devient négatif au-delà de 90°, c’est pourquoi le produit scalaire peut être négatif.) Le produit scalaire vaut \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta\), alors que la norme du produit vectoriel utilise \(\sin\theta\). Quand les deux vecteurs ont le même sens (\(\theta = 0^\circ\)) ou des sens contraires (\(\theta = 180^\circ\)), \(\sin\theta = 0\) et le produit vectoriel est le vecteur nul. À angle droit (\(\theta = 90^\circ\)), \(\sin\theta = 1\), la plus grande valeur. « Nul quand ils sont colinéaires, maximal quand ils sont orthogonaux » : c’est exactement l’inverse du produit scalaire. Cette formule est pratique quand on connaît l’angle. Quand on connaît les coordonnées, il est plus rapide de les calculer par calcul en croix (formule 1) puis de prendre la norme, et aucune erreur d’arrondi sur l’angle ne s’introduit. Ce calculateur travaille lui aussi de façon exacte à partir des coordonnées.

Aire du parallélogramme et du triangle

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S\) \(=\) \(\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(S\) : aire du parallélogramme \(=\) ① \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) : norme du produit vectoriel

④ \(S_{\triangle}\) : aire du triangle \(=\) ③ moitié de la norme du produit vectoriel

La formule en mots

① Prenons le parallélogramme construit sur les deux vecteurs. La \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) : norme du produit vectoriel est exactement l’

② \(S\) : aire du parallélogramme ,

③ et la moitié de la norme du produit vectoriel est l’

④ \(S_{\triangle}\) : aire du triangle construit sur les deux vecteurs

Exemple simple

Les aires du parallélogramme et du triangle construits sur \(\vec{a}\,(1\,;\,2\,;\,3)\) et \(\vec{b}\,(4\,;\,5\,;\,6)\) sont (le produit vectoriel vaut \((-3\,;\,6\,;\,-3)\) d’après la formule 1)

aire du parallélogramme \(=\) norme du produit vectoriel \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

L’idée clé

En coupant un parallélogramme selon une diagonale, on obtient deux triangles superposables. L’aire du triangle est donc exactement la moitié de celle du parallélogramme. Pour trouver l’aire du triangle formé par trois points A, B et C de l’espace, calculez le produit vectoriel de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) et prenez la moitié de sa norme. Pas besoin de mesurer les trois côtés et d’utiliser la formule de Héron : il suffit de connaître les coordonnées. C’est un point fort du produit vectoriel. Les normes donnent souvent de grands nombres sous la racine, comme \(\sqrt{54}\). Cherchez un carré parfait, comme \(54 = 9 \times 6\), et simplifiez en \(3\sqrt{6}\) (la règle est de sortir de la racine tout ce qui peut l’être). Ce calculateur affiche à la fois la racine simplifiée et la valeur décimale.

Vecteur normal unitaire (orthogonal aux deux, de norme 1)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\vec{n}\) : vecteur normal unitaire \(=\) ② division par la norme (ramène la longueur à 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\) : produit vectoriel

La formule en mots

① On prend le \(\vec{a}\times\vec{b}\) : produit vectoriel et on le

② divise par sa norme \(\|\vec{a}\times\vec{b}\|\) (= on multiplie par l’inverse de la norme) . La direction et le sens ne changent pas, seule la longueur devient 1 : on obtient le

③ \(\vec{n}\) : vecteur normal unitaire

Exemple simple

Quand le produit vectoriel vaut \((-3\,;\,6\,;\,-3)\) et sa norme \(3\sqrt{6}\), le vecteur normal unitaire est

\(\vec{n}\) : vecteur normal unitaire \(=\) division par la norme \(3\sqrt{6}\) produit vectoriel \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3\,;\,6\,;\,-3) \approx (-0{,}408248290464\,;\,0{,}816496580928\,;\,-0{,}408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

L’idée clé

Le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs de départ. Si vous calculez les produits scalaires, vous obtenez toujours \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) et \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (un produit scalaire nul indique des vecteurs orthogonaux). Ce calculateur vérifie que les deux sont nuls et l’affiche dans le résultat. Un vecteur orthogonal à un plan s’appelle un vecteur normal au plan, et un vecteur normal ramené à la longueur 1 est un vecteur normal unitaire. Il oublie la longueur et ne garde que la direction et le sens : c’est ce qu’il faut quand seule compte « l’orientation de la surface », comme pour l’ombrage en infographie 3D. Un plan a deux directions orthogonales, l’avant et l’arrière, et c’est la main droite qui décide laquelle on obtient. Enroulez les doigts de la main droite de \(\vec{a}\) vers \(\vec{b}\) : le pouce indique alors le sens de \(\vec{a}\times\vec{b}\) (la règle de la main droite, qu’on retrouve aussi sous le nom de règle du tire-bouchon). \(\vec{b}\times\vec{a}\) pointe dans le sens opposé, vers l’arrière du plan. Un plan a donc deux vecteurs normaux unitaires, \(\vec{n}\) et \(-\vec{n}\), tous deux « de norme 1 et orthogonaux au plan ». Celui qu’on obtient dépend de l’ordre dans lequel on multiplie \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) ; ce calculateur affiche celui de même sens que \(\vec{a}\times\vec{b}\). Si vous avez besoin d’une seule réponse, fixez-vous une règle, par exemple « celui dont la coordonnée \(z\) est positive ».

Cas des vecteurs du plan (la formule de l’aire d’un triangle)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(S_{\triangle}\) : aire du triangle OAB \(=\) ③ moitié du parallélogramme \(\Bigl|\) ① abscisse de A fois ordonnée de B \(-\) ② abscisse de B fois ordonnée de A \(\Bigr|\)

La formule en mots

① Pour trois points du plan \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(x_1\,;\,y_1)\) et \(\mathrm{B}(x_2\,;\,y_2)\), on prend le \(x_1y_2\) : abscisse de A fois ordonnée de B ,

② on lui retire le \(x_2y_1\) : abscisse de B fois ordonnée de A , et on prend la valeur absolue (on enlève le signe moins s’il y en a un).

③ On divise par 2 pour prendre la moitié du parallélogramme et on obtient l’

④ \(S_{\triangle}\) : aire du triangle OAB

Exemple simple

L’aire du triangle formé par \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(4\,;\,1)\) et \(\mathrm{B}(1\,;\,3)\) est

aire du triangle \(=\) moitié du parallélogramme \(\Bigl|\) abscisse de A fois ordonnée de B (\(4 \times 3\)) \(-\) abscisse de B fois ordonnée de A (\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

L’idée clé

Les vecteurs du plan \(\vec{a}\,(x_1\,;\,y_1)\) et \(\vec{b}\,(x_2\,;\,y_2)\) peuvent être vus comme les vecteurs de l’espace \((x_1\,;\,y_1\,;\,0)\) et \((x_2\,;\,y_2\,;\,0)\), de cote 0. Leur produit vectoriel a alors des coordonnées \(x\) et \(y\) nulles, et il ne reste que la coordonnée \(z\), \(x_1y_2 - x_2y_1\). Autrement dit, la formule de l’aire d’un triangle \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\) est exactement la moitié (de la valeur absolue) de la coordonnée \(z\) du produit vectoriel. On reconnaît aussi \(x_1y_2 - x_2y_1\), le déterminant des deux vecteurs vu au lycée. Laissez les champs des cotes z vides (0) dans ce calculateur pour le vérifier vous-même. Le signe de \(x_1y_2 - x_2y_1\), avant la valeur absolue, porte aussi une information. S’il est positif, on tourne de \(\vec{a}\) vers \(\vec{b}\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (le sens direct) ; s’il est négatif, dans le sens des aiguilles d’une montre. Cette « aire algébrique » sert à calculer d’un seul coup l’aire d’un polygone à partir de ses coordonnées (la formule du lacet, ou formule de l’aire de Gauss).

Le produit vectoriel \(\vec{a}\times\vec{b}\) (noté aussi \(\vec{a}\wedge\vec{b}\)) fabrique un nouveau vecteur à partir de deux vecteurs de l’espace. Ses coordonnées s’obtiennent par trois soustractions en croix. Sa direction est orthogonale aux deux vecteurs de départ (règle de la main droite), et sa norme \(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta\) est égale à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. La moitié donne l’aire du triangle, et en divisant le produit vectoriel par sa norme, on obtient le vecteur normal unitaire.

Symboles et termes

Symboles

\(\vec{a}\)	vecteur a	Le symbole d’une grandeur qui a une direction, un sens et une norme (longueur). La flèche au-dessus de la lettre indique qu’il s’agit d’un vecteur. Dans le supérieur et en physique, on écrit souvent les vecteurs en gras (a) au lieu d’une flèche.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a indice 1, a indice 2, a indice 3	Les coordonnées du vecteur \(\vec{a}\) : trois nombres qui disent de combien il avance selon \(x\), \(y\) et \(z\). Le petit chiffre en bas à droite (l’indice) indique de quelle coordonnée il s’agit. Certains ouvrages écrivent plutôt \(a_x,\ a_y,\ a_z\).
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a vectoriel b	Le produit vectoriel. En France, on le note le plus souvent \(\vec{a}\wedge\vec{b}\) ; la notation \(\vec{a}\times\vec{b}\) (d’où l’anglais « cross product ») est celle de nombreux ouvrages et logiciels. Le résultat est un vecteur, pas un nombre.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a scalaire b	Le produit scalaire, écrit avec un point centré. Son résultat est un nombre (un scalaire). Son nom ressemble à celui du produit vectoriel : ne les confondez pas.
\(\left\\| \vec{a} \right\\|\)	norme de a	La norme (longueur) d’un vecteur, c’est-à-dire la longueur de la flèche. Avec les coordonnées, elle vaut \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), d’après le théorème de Pythagore. Certains ouvrages l’écrivent avec des barres simples \(\|\vec{a}\|\), comme une valeur absolue : les deux décrivent une distance à l’origine.
\(\theta\)	thêta	L’angle entre les deux vecteurs. C’est une lettre grecque souvent utilisée pour les angles. Pour le produit vectoriel, on le prend entre 0° et 180°.
\(\sin\theta\)	sinus thêta	Le sinus de l’angle \(\theta\). Dans un triangle rectangle, c’est le rapport « côté opposé ÷ hypoténuse », noté \(\sin\). Entre 0° et 180°, il n’est jamais négatif : \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	vecteur AB	Le vecteur d’origine A et d’extrémité B. Ses coordonnées sont « coordonnées de l’extrémité − coordonnées de l’origine ». Pour obtenir l’aire d’un triangle à partir de trois points, on forme d’abord deux vecteurs côtés de cette façon.
\(S\)	S	Une lettre souvent utilisée pour une aire, initiale de « surface » (\(\mathcal{A}\) est aussi courant dans les manuels français). Sur cette page, elle désigne l’aire du parallélogramme.
\(S_{\triangle}\)	S triangle	L’aire du triangle. Un petit triangle est ajouté à \(S\) pour la distinguer de l’aire du parallélogramme.
\(\vec{n}\)	vecteur n	Le vecteur normal. On utilise par habitude la lettre \(n\), initiale de « normal ». Sur cette page, c’est le vecteur normal unitaire, ramené à la longueur 1.
\(\vec{0}\)	vecteur nul	Le vecteur dont toutes les coordonnées valent 0 (le vecteur nul). Sa norme vaut 0 et il n’a pas de direction. Quand deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est ce vecteur nul.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	racine carrée	Le symbole de la racine carrée (le radical). \(\sqrt{54}\) est « le nombre positif dont le carré vaut 54 ». Quand un carré parfait (\(4,\ 9,\ 16, \dots\)) se cache sous la racine, on le sort pour simplifier, comme \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\).

Termes

vecteur	Une grandeur qui a une direction, un sens et une norme. Deux flèches de même direction, de même sens et de même longueur représentent le même vecteur, où qu’elles soient dessinées. Les grandeurs qui disent « dans quel sens et de combien », comme une force, une vitesse ou le vent, sont des vecteurs.
coordonnées d’un vecteur	L’écriture d’un vecteur par la liste de ses déplacements selon \(x\), \(y\) et \(z\), comme \((1\,;\,2\,;\,3)\). On peut aussi l’écrire en colonne, avec le même sens, ou sous la forme \(\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}\).
produit vectoriel	Une opération qui fabrique un nouveau vecteur à partir de deux vecteurs de l’espace, notée \(\vec{a}\wedge\vec{b}\) ou \(\vec{a}\times\vec{b}\). Le nouveau vecteur est orthogonal aux deux vecteurs de départ, et sa norme est égale à l’aire du parallélogramme qu’ils forment.
produit scalaire	Une opération qui fabrique un nombre (un scalaire) à partir de deux vecteurs. Il vaut \(\\|\vec{a}\\|\,\\|\vec{b}\\|\cos\theta\), et quand il est nul, les deux vecteurs sont orthogonaux. À ne pas confondre avec le produit vectoriel, dont le résultat est un vecteur.
norme	La longueur d’un vecteur. Pour les coordonnées \((a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\), dans un repère orthonormé, elle vaut \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) : le théorème de Pythagore étendu à l’espace.
angle entre deux vecteurs	L’angle formé par deux vecteurs quand on les dessine à partir du même point. On le prend entre 0° et 180°.
parallélogramme	Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Quand il est construit sur deux vecteurs, son aire est la norme du produit vectoriel.
vecteur normal	Un vecteur orthogonal à un plan (ou à une droite). Il indique l’orientation de la surface, et le produit vectoriel en fournit un facilement à partir de deux vecteurs du plan.
vecteur unitaire	Un vecteur de longueur 1. En divisant un vecteur par sa propre norme, on garde sa direction et son sens et on ramène sa longueur à 1 : on obtient un vecteur unitaire.
vecteur normal unitaire	Un vecteur normal ramené à la longueur 1. On l’utilise quand on ne veut que l’orientation.
calcul en croix	Une façon de calculer avec quatre nombres écrits sur deux lignes : on multiplie selon les deux diagonales (vers le bas à droite et vers le haut à droite) et on soustrait. C’est le déterminant 2 × 2, \(ad - bc\), et chaque coordonnée du produit vectoriel a cette forme.
règle de la main droite	La règle qui donne le sens du produit vectoriel. Enroulez les doigts de la main droite de \(\vec{a}\) vers \(\vec{b}\) : le pouce indique le sens de \(\vec{a}\times\vec{b}\). Un repère qui suit cette règle est dit direct.
vecteur nul	Le vecteur dont toutes les coordonnées valent 0. Sa norme vaut 0 et il n’a pas de direction. Quand deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul.
orthogonal	Se dit de deux vecteurs dont l’angle vaut 90°. On le vérifie en constatant que le produit scalaire est nul.
colinéaire	Se dit de deux vecteurs de même direction (même sens ou sens contraires). Ils peuvent alors être portés par la même droite : ils ne forment pas de parallélogramme (il est aplati, d’aire 0).
aire algébrique	Une aire munie d’un signe plus ou moins selon le sens de rotation. Dans le plan, \(x_1y_2 - x_2y_1\) est une aire algébrique : positive dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre), négative dans l’autre sens. Sa valeur absolue est l’aire ordinaire.
déterminant	Un nombre unique calculé à partir de nombres rangés en carré. Le déterminant 2 × 2 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) est exactement un calcul en croix, et chaque coordonnée du produit vectoriel a la forme de ce déterminant 2 × 2.
ordre circulaire	Un ordre qui tourne en boucle et revient au départ, comme \(x \to y \to z \to x\) (on parle aussi de permutation circulaire). Les trois coordonnées du produit vectoriel répètent la même forme dans cet ordre circulaire.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Ce qu’est un vecteur (Seconde, 15-16 ans)	Savoir qu’un vecteur est une grandeur qui a une direction, un sens et une norme, et qu’on le dessine par une flèche (une grandeur qui dit « dans quel sens et de combien », comme une force ou une vitesse) Savoir écrire un vecteur avec ses coordonnées, comme \((1\,;\,2\,;\,3)\) (de combien il avance selon \(x\), \(y\) et \(z\))
Les coordonnées dans l’espace (de la 5e à la Terminale, 12-18 ans)	Savoir qu’en ajoutant une hauteur \(z\) aux coordonnées du plan \((x\,;\,y)\), on obtient \((x\,;\,y\,;\,z)\), qui fixe la position d’un point de l’espace Savoir se représenter les axes \(x\), \(y\) et \(z\) qui se coupent à angle droit deux à deux
Le théorème de Pythagore et la norme d’un vecteur (de la 4e à la Terminale, 13-18 ans)	Savoir que \(a^2 + b^2 = c^2\) dans un triangle rectangle Savoir que la norme d’un vecteur de l’espace vaut \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) (le théorème de Pythagore utilisé deux fois)
Calculer avec les racines carrées (3e à Seconde, 14-16 ans)	Savoir simplifier une racine en sortant un carré parfait, comme \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) Connaître la valeur décimale approchée d’une racine, comme \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Le produit scalaire (Première, 16-17 ans)	Savoir que le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) vaut \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) et que le résultat est un nombre Savoir que deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul (cette page s’en sert pour vérifier que le produit vectoriel est orthogonal)
Trigonométrie dans le triangle rectangle (3e, 14-15 ans)	Savoir que \(\sin\theta\) est le rapport « côté opposé ÷ hypoténuse » dans un triangle rectangle Connaître des valeurs clés comme \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin 90^\circ = 1\)
Aire du parallélogramme et du triangle (6e-5e, 11-13 ans)	Savoir que l’aire d’un parallélogramme vaut « base × hauteur » Savoir qu’un triangle a exactement la moitié de l’aire d’un parallélogramme de même base et de même hauteur

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver les coordonnées du produit vectoriel

Abscisse de a (a₁)	1
Ordonnée de a (a₂)	2
Cote de a (a₃)	3
Abscisse de b (b₁)	4
Ordonnée de b (b₂)	5
Cote de b (b₃)	6
Coordonnée x de a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Coordonnée y de a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Coordonnée z de a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tableau pour vérifier que la norme = ‖a‖‖b‖sinθ

Abscisse de a (a₁)	1
Ordonnée de a (a₂)	2
Cote de a (a₃)	3
Abscisse de b (b₁)	4
Ordonnée de b (b₂)	5
Cote de b (b₃)	6
Norme ‖a×b‖ (avec les coordonnées)	=RACINE((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Norme de a ‖a‖	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Norme de b ‖b‖	=RACINE(B4^2+B5^2+B6^2)
Produit scalaire a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Angle θ (degrés)	=DEGRES(ACOS(B10/(B8*B9)))
‖a‖‖b‖sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

Tableau pour trouver les aires du parallélogramme et du triangle

Coordonnée x de a×b	-3
Coordonnée y de a×b	6
Coordonnée z de a×b	-3
Aire du parallélogramme S (= norme)	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Aire du triangle (moitié du parallélogramme)	=B4/2

Tableau pour trouver le vecteur normal unitaire

Coordonnée x de a×b	-3
Coordonnée y de a×b	6
Coordonnée z de a×b	-3
Norme ‖a×b‖	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Coordonnée x du vecteur normal unitaire	=B1/B4
Coordonnée y du vecteur normal unitaire	=B2/B4
Coordonnée z du vecteur normal unitaire	=B3/B4

Tableau pour trouver l’aire d’un triangle du plan

Abscisse de A (x₁)	4
Ordonnée de A (y₁)	1
Abscisse de B (x₂)	1
Ordonnée de B (y₂)	3
Coordonnée z du produit vectoriel (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Aire du triangle OAB	=ABS(B5)/2

Une fois le tableau collé, les lignes du haut (les coordonnées des vecteurs) sont les valeurs à saisir, et les lignes du bas se calculent automatiquement.
« * » est la multiplication, « ^ » une puissance, et RACINE la fonction racine carrée. Le premier tableau utilise a (1 ; 2 ; 3) et b (4 ; 5 ; 6), et le résultat est (−3 ; 6 ; −3).
Le deuxième tableau vérifie que « la norme calculée avec les coordonnées » et « la valeur de ‖a‖‖b‖sinθ » concordent. B7 et B12 donnent tous deux 7,348469… (l’angle vaut environ 12,93°).
Dans le troisième tableau, l’aire du parallélogramme vaut 7,348469… et celle du triangle la moitié, 3,674234…. Dans le quatrième tableau, le vecteur normal unitaire vaut (−0,408248… ; 0,816497… ; −0,408248…).
Le cinquième tableau traite le cas de vecteurs du plan, de cote 0. L’aire du triangle de sommets O(0 ; 0), A(4 ; 1) et B(1 ; 3) vaut 5,5.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver les coordonnées du produit vectoriel

Abscisse de a (a₁)	1
Ordonnée de a (a₂)	2
Cote de a (a₃)	3
Abscisse de b (b₁)	4
Ordonnée de b (b₂)	5
Cote de b (b₃)	6
Coordonnée x de a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Coordonnée y de a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Coordonnée z de a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tableau pour vérifier que la norme = ‖a‖‖b‖sinθ

Abscisse de a (a₁)	1
Ordonnée de a (a₂)	2
Cote de a (a₃)	3
Abscisse de b (b₁)	4
Ordonnée de b (b₂)	5
Cote de b (b₃)	6
Norme ‖a×b‖ (avec les coordonnées)	=RACINE((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Norme de a ‖a‖	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Norme de b ‖b‖	=RACINE(B4^2+B5^2+B6^2)
Produit scalaire a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Angle θ (degrés)	=DEGRES(ACOS(B10/(B8*B9)))
‖a‖‖b‖sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

Tableau pour trouver les aires du parallélogramme et du triangle

Coordonnée x de a×b	-3
Coordonnée y de a×b	6
Coordonnée z de a×b	-3
Aire du parallélogramme S (= norme)	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Aire du triangle (moitié du parallélogramme)	=B4/2

Tableau pour trouver le vecteur normal unitaire

Coordonnée x de a×b	-3
Coordonnée y de a×b	6
Coordonnée z de a×b	-3
Norme ‖a×b‖	=RACINE(B1^2+B2^2+B3^2)
Coordonnée x du vecteur normal unitaire	=B1/B4
Coordonnée y du vecteur normal unitaire	=B2/B4
Coordonnée z du vecteur normal unitaire	=B3/B4

Tableau pour trouver l’aire d’un triangle du plan

Abscisse de A (x₁)	4
Ordonnée de A (y₁)	1
Abscisse de B (x₂)	1
Ordonnée de B (y₂)	3
Coordonnée z du produit vectoriel (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Aire du triangle OAB	=ABS(B5)/2

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets en français utilise aussi RACINE, ACOS, DEGRES, RADIANS et ABS). Copiez tout le tableau, collez-le en cellule A1 et remplacez les coordonnées par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction
import math

# Coordonnées des vecteurs (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Produit vectoriel (calcul en croix), dans l’ordre x, y, z
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # aire du parallélogramme (= norme du produit vectoriel)

print(f"Produit vectoriel a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Aire du parallélogramme : {area}")
print(f"Aire du triangle : {area / 2}")
print(f"Vérification de l’orthogonalité (les deux valent 0) : {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, le calcul reste exact, sans erreur d’arrondi, même quand les coordonnées sont des fractions. Cet exemple calcule le produit vectoriel de a (1 ; 2 ; 3) et b (4 ; 5 ; 6). À l’exécution, il affiche « Produit vectoriel a×b = (-3, 6, -3) », l’aire du parallélogramme (environ 7,3485), l’aire du triangle (environ 3,6742) et « Vérification de l’orthogonalité (les deux valent 0) : 0, 0 ». Python affiche les nombres décimaux avec un point et sépare les coordonnées par des virgules. Modifiez les coordonnées et relancez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Coordonnées du produit vectoriel (calcul en croix)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Norme du produit vectoriel (\(\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Aire du parallélogramme et du triangle

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Vecteur normal unitaire (orthogonal aux deux, de norme 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Cas des vecteurs du plan (la formule de l’aire d’un triangle)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul sur les vecteurs (géométrie dans l’espace). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour les vecteurs a (1 ; 2 ; 3) et b (4 ; 5 ; 6), dans un repère orthonormé direct, trouve :
1. Les coordonnées du produit vectoriel a∧b (montre aussi les étapes du calcul en croix)
2. La norme ‖a∧b‖ (en valeur exacte avec la racine simplifiée et en valeur décimale)
3. Les aires du parallélogramme et du triangle construits sur a et b
4. Les valeurs de a·(a∧b) et b·(a∧b), pour vérifier que le produit vectoriel est orthogonal aux deux

En Python, calcule les coordonnées de façon exacte avec le module fractions de la bibliothèque standard ; tu peux utiliser sympy pour simplifier la racine. Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule

Les atouts de DataChef

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Calcul du produit vectoriel (coordonnées, aire du parallélogramme, vecteur normal)

Table des matières

Ce que vous pouvez faire sur cette page

À quoi sert ce calcul ?

Formules et figures

Symboles et termes

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Fonctions connexes

Calcul de vecteurs (somme, différence, norme, produit scalaire et angle)

Somme, différence et produit par un réel, produit scalaire, norme et angle. Les bases des vecteurs y sont aussi expliquées

Calcul de déterminant (2×2, 3×3, 4×4)

Le calcul en croix du produit vectoriel est le même calcul qu’un déterminant. Pour calculer les déterminants eux-mêmes

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L’aire d’un triangle quand on connaît ses trois côtés. À partir des coordonnées, le produit vectoriel est plus pratique

Recommandé

Probabilités et nombres aléatoires

Moyennes et statistiques

Pourcentages et proportions

Vitesse

Masse volumique et concentration

Physique et électricité

Conversion d’unités

Nombres entiers et relatifs

Fractions, décimaux et arrondis

Équations et inéquations

Polynômes

Racines carrées et racines n-ièmes

Puissances et logarithmes

Nombres complexes

Fonctions et courbes

Suites

Vecteurs

Matrices

Géométrie plane

Géométrie dans l’espace

Dates et heures

Finance et économie

Marketing web et indicateurs publicitaires

Santé et forme

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