Saisissez la taille de l’échantillon, la moyenne de l’échantillon, l’écart-type et le niveau de confiance. Le calculateur donne l’intervalle de confiance de la moyenne de la population (bornes inférieure et supérieure), la marge d’erreur et un tableau pour les niveaux de confiance courants.
Pour l’écart-type, entrez celui de la population, σ, si vous le connaissez. Sinon, vous pouvez utiliser l’écart-type de votre échantillon, à condition que l’échantillon soit assez grand (30 ou plus, à titre indicatif). Entrez le niveau de confiance en pourcentage (par exemple 95 pour 95 %).
Résultat et graphique
Saisissez des nombres dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le graphique s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule et graphique
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez la taille de l’échantillon \(n\), la moyenne de l’échantillon \(\bar{x}\), l’écart-type \(\sigma\) et le niveau de confiance (%) : l’intervalle de confiance de la moyenne de la population (bornes inférieure et supérieure) s’affiche tout de suite
- La marge d’erreur \(E\) (de combien, en plus ou en moins, l’estimation peut se tromper), l’erreur type et la valeur critique z du niveau de confiance sont calculées en même temps
- Les intervalles de confiance aux niveaux courants (90 %, 95 %, 99 %…) sont réunis dans un tableau, et un graphique montre comment l’intervalle s’élargit
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Ce calculateur donne un intervalle de confiance fondé sur la loi normale (méthode avec z), quand l’écart-type σ de la population est connu (ou quand l’échantillon est assez grand pour le remplacer par l’écart-type de l’échantillon). Il ne traite pas les intervalles fondés sur la loi de Student, utilisés quand l’échantillon est petit et que l’écart-type de la population est inconnu.
À quoi sert ce calcul ?
Ce que veut vraiment dire le « ± points » des sondages (médias et politique)
La « marge d’erreur » d’un sondage du type « cote de popularité à 45 % (marge d’erreur ± 2,5 points) », c’est exactement la marge d’erreur \(E\) de cette page. Pour 45 % d’opinions favorables sur 1 600 personnes interrogées, la dispersion vaut \(\sigma = \sqrt{0{,}45 \times 0{,}55} \approx 0{,}497\) ; au niveau de confiance de 95 %, \(E = 1{,}96 \times 0{,}497 \div \sqrt{1600} \approx 0{,}024\) (environ ± 2,4 points). On suppose ici que la proportion de réponses peut être approchée par une loi normale. Les « ± 2,5 points » annoncés dans les médias correspondent à une estimation faite avec 50 %, là où la dispersion est la plus grande.
Vous pourrez juger vous-même si une nouvelle comme « la cote a bougé d’un point » reste dans la marge d’erreur.
Contrôle qualité en usine : prouver en chiffres l’étiquette « 500 mL » (industrie)
Une usine ne peut pas ouvrir et mesurer toutes les bouteilles : elle contrôle un échantillon. Si 50 bouteilles ont un contenu moyen de 500,2 mL avec un écart-type de 2 mL, l’intervalle de confiance à 95 % du contenu moyen de toute la production va d’environ 499,65 à 500,75 mL.
Vérifier statistiquement, à partir des seuls prélèvements, que les produits ne sont pas en dessous de la quantité annoncée : c’est un calcul utilisé tous les jours dans l’agroalimentaire, les boissons et le médicament.
Lire à quel point on est sûr qu’un nouveau traitement marche (médecine)
Les articles médicaux donnent presque toujours leurs résultats avec un intervalle de confiance, comme « le nouveau médicament a fait baisser la tension de 8,0 mmHg en moyenne (intervalle de confiance à 95 % : 5,6 à 10,4) ». Dans un essai sur 100 personnes où les baisses ont un écart-type de 12 mmHg, \(E = 1{,}96 \times 12 \div \sqrt{100} \approx 2{,}4\).
Si tout l’intervalle est du côté positif (il ne contient pas 0), c’est un argument pour dire que « le médicament a eu un effet ». S’il contient 0, on lit plutôt « c’est peut-être le hasard ». C’est l’une des lectures les plus importantes pour juger soi-même une information de santé.
Mener une enquête nationale sans interroger tout le monde (enquêtes par sondage, éducation et administration)
Évaluer tous les élèves du pays serait un travail énorme : une partie des enquêtes nationales sur la condition physique ou les acquis se fait par échantillon. Par exemple, si un échantillon de 400 élèves a un temps moyen de 9,2 secondes au 50 mètres avec un écart-type de 0,8 seconde, l’intervalle de confiance à 95 % du temps moyen de tous les élèves va d’environ 9,12 à 9,28 secondes. Seulement 400 élèves donnent déjà un intervalle assez étroit.
La statistique publique, comme l’enquête Emploi de l’Insee sur laquelle repose le taux de chômage, s’appuie aussi surtout sur des échantillons, et ce calcul garantit leur précision.
Distinguer une vraie amélioration du bruit sur un site web (informatique et marketing)
Quand le temps moyen passé sur votre site passe de 180 à 184 secondes, est-ce l’effet de votre modification ou le hasard ? Avec 2 500 visiteurs et un écart-type de 90 secondes, l’intervalle de confiance à 95 % du temps moyen va d’environ 176,5 à 183,5 secondes, soit une marge d’environ ± 3,5 secondes.
Si un changement est du même ordre que la largeur de l’intervalle de confiance, on peut dire qu’il « ne se distingue pas encore du hasard ». Cette idée est la base pour ne pas mal lire les résultats d’un test A/B.
Formule et graphique
Marge d’erreur \(E\) (la moitié de la largeur de l’intervalle)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(E\)
\(=\)
\(z\)
\(\times\)
\(\sigma\)
\(\div\)
\(\sqrt{n}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(E\) : marge d’erreur
\(=\)
③
\(z\) : valeur critique du niveau de confiance
\(\times\)
①
\(\sigma\) : écart-type de la population
\(\div\)
②
\(\sqrt{n}\) : racine carrée de la taille de l’échantillon \(n\)
La formule en mots
①
On prend
l’\(\sigma\) : écart-type de la population
②
on le divise par la
\(\sqrt{n}\) : racine carrée de la taille de l’échantillon \(n\)
pour obtenir l’erreur type (la dispersion de la moyenne de l’échantillon),
③
on multiplie par la
\(z\) : valeur critique du niveau de confiance
④
et on obtient la
\(E\) : marge d’erreur
Exemple simple
On contrôle le contenu de 25 bouteilles. Avec un écart-type de 2 mL et un niveau de confiance de 95 % (z = 1,96), la marge d’erreur vaut
\(E\) : marge d’erreur
\(=\)
z (1,96)
\(\times\)
écart-type (2)
\(\div\)
racine carrée de 25 (5)
\(1{,}96 \times 2 \div 5 = 1{,}96 \times 0{,}4 = 0{,}784\)
L’idée clé
\(\sigma \div \sqrt{n}\) s’appelle l’erreur type : c’est la dispersion de la moyenne de l’échantillon elle-même. Le point clé, c’est qu’on divise par \(\sqrt{n}\) (la racine carrée) et non par \(n\) : prendre un échantillon 4 fois plus grand ne fait que diviser la marge d’erreur par 2. Voilà pourquoi il faut beaucoup de données pour gagner en précision.
Intervalle de confiance (borne inférieure \(L\) et borne supérieure \(U\))
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(L,\ U\)
\(=\)
\(\bar{x}\)
\(\pm\)
\(E\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(L\), \(U\) : bornes inférieure et supérieure de l’intervalle de confiance
\(=\)
①
\(\bar{x}\) : moyenne de l’échantillon
\(\pm\)
②
\(E\) : marge d’erreur
La formule en mots
①
À la
\(\bar{x}\) : moyenne de l’échantillon
②
on retranche puis on ajoute la
\(E\) : marge d’erreur
(le symbole ± veut dire à la fois « moins » et « plus »)
③
et on obtient les
\(L\), \(U\) : bornes inférieure et supérieure de l’intervalle de confiance
Exemple simple
Si le contenu moyen des 25 bouteilles est de 500,2 mL et que la marge d’erreur est de 0,784 mL, l’intervalle de confiance à 95 % de la moyenne de la population est
\(L\), \(U\) : bornes inférieure et supérieure de l’intervalle de confiance
\(=\)
moyenne de l’échantillon (500,2)
\(\pm\)
marge d’erreur (0,784)
\(L = 500{,}2 - 0{,}784 = 499{,}416\)
\(U = 500{,}2 + 0{,}784 = 500{,}984\)
L’idée clé
En réunissant les deux premières formules, on obtient la formule bien connue des manuels : \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Attention à la lecture d’un « intervalle de confiance à 95 % ». Il ne dit pas « la moyenne de la population est dans cet intervalle avec une probabilité de 95 % ». Il dit : « si l’on répétait 100 fois le prélèvement d’un échantillon et la construction d’un intervalle de la même façon, environ 95 de ces intervalles contiendraient la moyenne de la population ». La moyenne de la population est une valeur fixe ; c’est l’intervalle qui bouge d’un échantillon à l’autre.
Trouver la valeur critique z à partir du niveau de confiance
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(z\)
\(=\)
\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(z\) : valeur critique du niveau de confiance
\(=\)
①
la part comptée depuis la gauche, (1 + niveau de confiance \(C\)) ÷ 2, convertie en position sur l’axe des z
La formule en mots
①
On calcule
la part comptée depuis la gauche, (1 + niveau de confiance \(C\)) ÷ 2, convertie en position sur l’axe des z
(\(\Phi^{-1}\), « phi moins un », est la fonction qui transforme « une part comptée depuis la gauche » en « une position sur l’axe horizontal ». Le niveau de confiance \(C\) s’écrit en décimal, par exemple 0,95 pour 95 %)
②
et on obtient la
\(z\) : valeur critique du niveau de confiance
Exemple simple
La valeur critique z pour un niveau de confiance de 95 % (C = 0,95) est
valeur critique \(z\)
\(=\)
position à 97,5 % depuis la gauche, \(\Phi^{-1}(0{,}975)\)
\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0{,}95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)
L’idée clé
La valeur critique z est la borne, sur la loi normale centrée réduite, qui laisse exactement le niveau de confiance (95 % pour 95 %) au milieu. Avec 95 % au milieu, il reste 2,5 % dans chaque extrémité : z est donc la position à 97,5 % depuis la gauche, \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\).
Les valeurs courantes sont fixes : 90 % → 1,6449 ; 95 % → 1,9600 ; 99 % → 2,5758 ; 99,9 % → 3,2905. Ce calculateur calcule aussi les niveaux de confiance moins courants qui ne sont pas dans le tableau (97 %, par exemple).
Un intervalle de confiance, c’est « moyenne de l’échantillon ± marge d’erreur ». La marge d’erreur vaut \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\), donc au total \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Plus l’échantillon est grand (plus \(\sqrt{n}\) est grand), plus l’intervalle est étroit ; plus le niveau de confiance est élevé (plus z est grand), plus l’intervalle est large.
Symboles et termes
Symboles
| \(n\) | n | La taille de l’échantillon : le nombre d’objets ou de personnes réellement mesurés (exemple : 50 bouteilles mesurées, \(n = 50\)). |
| \(\bar{x}\) | x barre | La moyenne de l’échantillon mesuré. La barre au-dessus est le signe d’une moyenne. |
| \(\sigma\) | sigma | L’écart-type de la population, la taille de la dispersion dans toute la population. Une lettre grecque qui correspond au s latin. Si l’échantillon est assez grand, on peut le remplacer par l’écart-type de l’échantillon. |
| \(\sqrt{n}\) | racine de n | La racine carrée de la taille de l’échantillon (exemple : \(\sqrt{25} = 5\)). Elle apparaît au dénominateur de l’erreur type, et c’est à cause d’elle que 4 fois plus de données ne divisent l’erreur que par 2. |
| \(z\) | z (valeur critique) | Le coefficient fixé par le niveau de confiance. C’est la borne, sur la loi normale centrée réduite, qui laisse exactement le niveau de confiance au milieu. Pour 95 %, elle vaut environ 1,96. |
| \(E\) | E | La marge d’erreur. C’est la moitié de la largeur de l’intervalle de confiance, et un repère de l’écart possible, en plus ou en moins, entre la moyenne de l’échantillon et la moyenne de la population. E est l’initiale de « erreur ». |
| \(L,\ U\) | L, U | Les bornes inférieure et supérieure de l’intervalle de confiance (de l’anglais « lower » et « upper »), obtenues par \(L = \bar{x} - E\) et \(U = \bar{x} + E\). |
| \(\Phi^{-1}\) | phi moins un (réciproque de Φ) | La fonction réciproque de \(\Phi\), la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. À partir d’une probabilité (une aire), elle donne le z correspondant. (Exemple : \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(C\) | C | Le niveau de confiance écrit en décimal. Pour 95 %, \(C = 0{,}95\). |
Termes
| intervalle de confiance | Un intervalle estimé à partir des données d’un échantillon, dans lequel la moyenne de la population a de bonnes chances de se trouver. On le construit en étendant la moyenne de l’échantillon vers le haut et vers le bas de la marge d’erreur. |
| marge d’erreur | La moitié de la largeur de l’intervalle de confiance : l’écart maximal, en plus ou en moins, qu’on admet entre la moyenne de l’échantillon et la moyenne de la population, au niveau de confiance choisi. Elle vaut \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\). |
| niveau de confiance | Le degré de confiance qu’on peut accorder à l’intervalle. C’est la proportion d’intervalles qui contiendraient la moyenne de la population si l’on construisait des intervalles de la même façon encore et encore. 95 % est le plus utilisé. |
| population | Tout l’ensemble qu’on voudrait vraiment étudier (exemples : toutes les bouteilles produites par une usine, tous les électeurs du pays). |
| échantillon | La partie de la population qu’on prélève et qu’on étudie réellement. Déduire l’allure de la population à partir d’un échantillon, c’est l’estimation statistique. |
| moyenne de la population | La moyenne de toute la population. On ne peut pas tout mesurer, donc sa valeur exacte est inconnue. L’intervalle de confiance estime où se trouve cette valeur inconnue. On la note en général \(\mu\) (mu). |
| moyenne de l’échantillon | La moyenne de l’échantillon, \(\bar{x}\) (on dit aussi moyenne observée). C’est l’estimation la plus plausible, en un seul nombre, de la moyenne de la population (estimation ponctuelle), mais elle change un peu à chaque fois selon l’échantillon prélevé. |
| erreur type | La dispersion de la moyenne de l’échantillon elle-même (on dit aussi erreur standard), obtenue par \(\sigma \div \sqrt{n}\). Attention à ne pas la confondre avec la dispersion des valeurs une à une (l’écart-type). |
| estimation par intervalle | Une façon d’estimer une valeur inconnue, comme la moyenne de la population, par un intervalle plutôt que par un seul nombre. Par rapport à une estimation ponctuelle, elle a l’avantage de montrer aussi de combien l’estimation peut se tromper. |
| loi de Student | La loi utilisée à la place de la loi normale (z) quand l’échantillon est petit et que l’écart-type de la population est inconnu (on parle aussi de loi t). Le calculateur de cette page ne fait que la méthode avec z. Plus l’échantillon est grand, plus la loi de Student se rapproche de la loi normale, et les résultats deviennent presque identiques. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| La moyenne (5e, 12-13 ans) |
|
| Racines carrées (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Échantillonnage (2de, 15-16 ans) |
|
| Statistiques et écart-type (2de, 15-16 ans) |
|
| La loi normale et l’estimation par intervalle (lycée ou études supérieures, 17 ans et plus) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la valeur critique z d’un niveau de confiance
| Confiance (%) | 95 |
| z | =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N((1+B1/100)/2) |
Tableau pour trouver la marge d’erreur E
| z | 1,96 |
| Écart-type σ | 2 |
| Taille de l’échantillon n | 25 |
| Marge d’erreur E | =B1*B2/RACINE(B3) |
Tableau pour trouver l’intervalle de confiance (bornes inférieure et supérieure)
| Taille de l’échantillon n | 50 |
| Moyenne de l’échantillon x̄ | 500,2 |
| Écart-type σ | 2 |
| Confiance (%) | 95 |
| z | =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N((1+B4/100)/2) |
| Marge d’erreur E | =B5*B3/RACINE(B1) |
| Borne inférieure | =B2-B6 |
| Borne supérieure | =B2+B6 |
« LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N(probabilité) » est la fonction qui donne z à partir d’une probabilité (la réciproque de la fonction de répartition, \(\Phi^{-1}\)). « RACINE » est la racine carrée.
Le premier tableau trouve z à partir du seul niveau de confiance (B1) : entrez 95 et B2 vaut environ 1,959964. Le deuxième donne la marge d’erreur : avec les valeurs de l’exemple, B4 vaut 0,784.
Le troisième donne l’intervalle de confiance à partir de toutes les données d’un coup. Avec les valeurs de l’exemple (n = 50, x̄ = 500,2, σ = 2, 95 %), la borne inférieure (B7) vaut environ 499,6456 et la borne supérieure (B8) environ 500,7544. Il suffit de remplacer B1 à B4 par vos propres nombres.
Le premier tableau trouve z à partir du seul niveau de confiance (B1) : entrez 95 et B2 vaut environ 1,959964. Le deuxième donne la marge d’erreur : avec les valeurs de l’exemple, B4 vaut 0,784.
Le troisième donne l’intervalle de confiance à partir de toutes les données d’un coup. Avec les valeurs de l’exemple (n = 50, x̄ = 500,2, σ = 2, 95 %), la borne inférieure (B7) vaut environ 499,6456 et la borne supérieure (B8) environ 500,7544. Il suffit de remplacer B1 à B4 par vos propres nombres.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la valeur critique z d’un niveau de confiance
| Confiance (%) | 95 |
| z | =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE((1+B1/100)/2) |
Tableau pour trouver la marge d’erreur E
| z | 1,96 |
| Écart-type σ | 2 |
| Taille de l’échantillon n | 25 |
| Marge d’erreur E | =B1*B2/RACINE(B3) |
Tableau pour trouver l’intervalle de confiance (bornes inférieure et supérieure)
| Taille de l’échantillon n | 50 |
| Moyenne de l’échantillon x̄ | 500,2 |
| Écart-type σ | 2 |
| Confiance (%) | 95 |
| z | =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE((1+B4/100)/2) |
| Marge d’erreur E | =B5*B3/RACINE(B1) |
| Borne inférieure | =B2-B6 |
| Borne supérieure | =B2+B6 |
Dans Google Sheets en français, la fonction qui donne z à partir d’une probabilité s’écrit « LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(probabilité) » (elle fonctionne comme « LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N » d’Excel). Les autres formules sont les mêmes que dans Excel.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres. Les résultats sont les mêmes que dans Excel : dans le troisième tableau, la borne inférieure vaut environ 499,6456 et la borne supérieure environ 500,7544.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres. Les résultats sont les mêmes que dans Excel : dans le troisième tableau, la borne inférieure vaut environ 499,6456 et la borne supérieure environ 500,7544.
Calculer avec Python
import math
from statistics import NormalDist
sample_size = 50 # taille de l’échantillon n
sample_mean = 500.2 # moyenne de l’échantillon x̄
sd = 2 # écart-type σ
confidence_level = 95 # niveau de confiance (%)
z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2) # valeur critique z du niveau de confiance
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size) # erreur type σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error # marge d’erreur E
lower = sample_mean - margin_of_error # borne inférieure de l’intervalle de confiance
upper = sample_mean + margin_of_error # borne supérieure de l’intervalle de confiance
print(f"z : {z}")
print(f"Marge d’erreur E : {margin_of_error}")
print(f"Intervalle de confiance à {confidence_level} % : de {lower} à {upper}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. NormalDist().inv_cdf() est la fonction qui donne z à partir d’une probabilité (\(\Phi^{-1}\)). Remplacez les quatre valeurs du début par vos propres nombres, puis exécutez (en Python, les nombres décimaux s’écrivent avec un point). Avec les valeurs de l’exemple, le programme affiche environ 499,65 à 500,75.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Marge d’erreur \(E\) (la moitié de la largeur de l’intervalle)
E = z × σ ÷ √n
E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi>
<mo>=</mo>
<mi>z</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac>
<mi>σ</mi>
<msqrt><mi>n</mi></msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
E = z sigma / sqrt(n)
z*sigma/Sqrt[n]
E := z*sigma/sqrt(n);
E = z*sigma/sqrt(n);
E = zσ/√n
Intervalle de confiance (borne inférieure \(L\) et borne supérieure \(U\))
L = x̄ − E, U = x̄ + E
L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>−</mo>
<mi>E</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>U</mi>
<mo>=</mo>
<mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>+</mo>
<mi>E</mi>
</mrow>
</math>
L = bar x - E, U = bar x + E
{xbar - e, xbar + e}
L := xbar - E; U := xbar + E;
L = xbar - E; U = xbar + E;
L = x̄ - E, U = x̄ + E
Trouver la valeur critique z à partir du niveau de confiance
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)
z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>Φ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
z = Phi^-1((1 + C)/2)
InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]
with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);
z = norminv((1 + c)/2);
z = Φ^(-1)((1+C)/2)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en statistique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). On a prélevé 50 bouteilles sur une ligne de production et mesuré leur contenu. La moyenne est de 500,2 mL. On sait que l’écart-type du remplissage (écart-type de la population) est de 2 mL. 1. Calcule la valeur critique z pour un niveau de confiance de 95 % (utilise la réciproque de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ; statistics.NormalDist().inv_cdf de la bibliothèque standard de Python convient). 2. Calcule la marge d’erreur E = z × σ ÷ √n. 3. Calcule l’intervalle de confiance à 95 % (bornes inférieure et supérieure) de la moyenne de la population (le vrai contenu moyen de toutes les bouteilles). Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. Réponds en français, avec la virgule comme séparateur décimal.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de la taille d’échantillon (sondage et marge d’erreur)
À partir de la marge d’erreur acceptée et du niveau de confiance, calcule la taille d’échantillon nécessaire à une enquête
Calcul du score z : du score z à la probabilité et inversement
Calcule le score z à partir d’une valeur, de la moyenne et de l’écart-type, et le convertit en probabilité et inversement
Calcul de probabilité avec la loi normale
À partir de la moyenne et de l’écart-type, calcule la probabilité de tomber dans un intervalle donné
