Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire

Recopiez votre tableau de la loi de probabilité : chaque valeur possible x et sa probabilité p, une ligne à la fois. L’exemple affiché en gris clair est le gain d’un billet de tombola (0 € avec 70 %, 1 € avec 20 %, 5 € avec 9 % et 100 € avec 1 %).

Nombre de lignes (couples valeur-probabilité)

Valeur x₁

Probabilité p₁

Valeur x₂

Probabilité p₂

Valeur x₃

Probabilité p₃

Valeur x₄

Probabilité p₄

Valeur x₅

Probabilité p₅

Valeur x₆

Probabilité p₆

Valeur x₇

Probabilité p₇

Valeur x₈

Probabilité p₈

Valeur x₉

Probabilité p₉

Valeur x₁₀

Probabilité p₁₀

Entrez uniquement des nombres. Une probabilité peut s’écrire 0,2, 20 % ou 1/5, et les probabilités de toutes les lignes doivent faire 1 au total. Les valeurs peuvent aussi être négatives (une perte). Laissez la « valeur » et la « probabilité » vides dans les lignes inutilisées.

Résultat et graphique

Saisissez les couples valeur-probabilité dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphique
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez le tableau de la loi de probabilité (couples d’une valeur possible \(x\) et de sa probabilité \(p\), de 2 à 10 lignes) : vous obtenez aussitôt l’espérance \(E(X)\), la variance \(V(X)\) et l’écart-type \(\sigma(X)\)
Les réponses s’affichent en fraction irréductible (valeur exacte), comme \(\dfrac{7}{2}\), et en écriture décimale. Vous voyez aussi les étapes, avec vos nombres placés dans \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)
Le calculateur vérifie automatiquement que la somme des probabilités vaut exactement 1. Sinon, il vous indique la somme actuelle
Vous pouvez saisir une probabilité sous la forme 0,2, 20 % ou 1/5. Les valeurs peuvent aussi être négatives (une perte)
Le résultat comprend un diagramme en bâtons de la loi de probabilité, où l’espérance \(E(X)\) est marquée par une ligne verticale en pointillés

Cette page traite les variables aléatoires qui prennent un nombre fini de valeurs (variables aléatoires discrètes). Elle ne traite pas les variables aléatoires à valeurs continues, comme la taille.

À quoi sert ce calcul ?

Chiffrer « ce que rapporte en moyenne une mise » aux jeux de loterie et aux tirages des jeux vidéo

L’espérance, « gain × probabilité de le gagner » additionné sur tous les gains, est exactement le retour moyen par mise. En France, pour les jeux de tirage comme le Loto ou l’EuroMillions, seule une partie des mises (de l’ordre de la moitié) est reversée aux joueurs sous forme de gains : l’espérance d’une grille est donc nettement inférieure à son prix.
On peut faire le même calcul pour les tirages des jeux vidéo (gacha, loot box). Avec les taux de drop publiés (les probabilités), c’est la base pour estimer « combien il faut dépenser environ pour obtenir l’objet voulu ».

Fixer une prime d’assurance (la base de la tarification des assureurs)

Les primes d’assurance vie et d’assurance auto partent du montant moyen à verser : « chaque indemnité × la probabilité du sinistre ou de la maladie correspondante », le tout additionné. On y ajoute ensuite les frais de gestion et d’autres montants. Tout un métier, celui d’actuaire, est spécialisé dans ce type de calcul.
Du côté du client, l’assurance est un contrat où l’on paie en moyenne plus que ce que l’on récupère (en espérance). Ce que l’on achète, c’est la tranquillité face à une perte rare mais lourde.

Comparer rendement et risque d’un placement avec la même règle

En finance, on considère souvent l’espérance du rendement comme « le gain que l’on peut attendre » et l’écart-type comme « le risque (l’ampleur des variations) », souvent appelé volatilité. Si deux placements ont le même rendement espéré, celui dont l’écart-type est le plus faible monte et descend plus doucement.
L’idée de cette page, regarder séparément « la hauteur de l’espérance » et « l’ampleur de la dispersion », se retrouve telle quelle dans la finance réelle.

Équilibrer un jeu (conception des récompenses et des dégâts)

Les concepteurs de jeux de société et de jeux vidéo calculent des espérances, comme « la somme de deux dés », « les dégâts par attaque » ou « la valeur d’un objet trouvé dans un coffre », pour équilibrer la puissance et les récompenses.
Par exemple, « 100 points de dégâts avec 50 % de chances » et « toujours 50 points de dégâts » ont tous les deux une espérance de 50, mais leurs variances diffèrent, et les deux coups ne procurent pas les mêmes sensations. Les concepteurs règlent à la fois l’espérance et la dispersion pour créer l’expérience voulue.

Formules et graphique

Espérance (moyenne d’une variable aléatoire)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\times\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\times\) \(p_n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(E(X)\) : espérance \(=\) ① \(x_1\) : première valeur \(\times\) ② \(p_1\) : sa probabilité \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) : dernière valeur \(\times\) \(p_n\) : sa probabilité

La formule en mots

① On prend chacune des

② on la multiplie par sa et on additionne le tout

③ et on obtient l’

Exemple simple

L’espérance du nombre \(X\) obtenu en lançant un dé une fois (chaque face a une probabilité de \(\dfrac{1}{6}\)) est

\(E(X)\) : face moyenne \(=\) face 1 \(\times\) probabilité \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) face 6 \(\times\) probabilité \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

L’idée clé

L’espérance indique « combien on obtient en moyenne par essai ». C’est une moyenne pondérée par les probabilités (la somme de chaque valeur × sa probabilité). Si vous lancez un dé des milliers ou des dizaines de milliers de fois et faites la moyenne des nombres obtenus, cette moyenne se rapproche de plus en plus de 3,5 (la loi des grands nombres). On ne peut jamais obtenir 3,5 avec un dé. L’essentiel est de voir l’espérance non pas comme « une prédiction du prochain résultat », mais comme « la moyenne par essai quand on répète de nombreuses fois ». Comme le montre le graphique ci-dessus, si l’on imagine la loi de probabilité comme des poids posés le long d’une règle, l’espérance est le point d’équilibre (le centre de gravité).

Variance (la dispersion des valeurs)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(V(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \((E(X))^{2}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(V(X)\) : variance \(=\) ① \(E(X^2)\) : moyenne des carrés \(-\) ② \((E(X))^2\) : carré de l’espérance

La formule en mots

① On prend la

② on retire le

③ et on obtient la

Exemple simple

La variance du nombre \(X\) obtenu avec un dé (espérance \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) est

\(V(X)\) : variance de la face \(=\) \(E(X^2)\) : moyenne des carrés des faces \(-\) carré de l’espérance \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(V(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

L’idée clé

La variance indique à quel point les valeurs sont dispersées autour de l’espérance. Sa définition d’origine élève au carré chaque distance à l’espérance \(\mu = E(X)\) (l’écart à la moyenne) et en fait la moyenne : \(V(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). On lit directement le sens dans cette formule : « la moyenne des carrés des écarts ». Mais la définition demande une soustraction par ligne, ce qui est long. En la transformant, on obtient la forme plus simple ci-dessus, \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) (« la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne »), appelée formule de König-Huygens. Les manuels l’utilisent pour la plupart des calculs, et ce calculateur affiche aussi ses étapes avec cette formule. À espérance égale, une variance plus grande veut dire une loi aux gains plus irréguliers. Par exemple, « un billet qui rapporte toujours 100 € » et « un billet qui rapporte 0 € ou 200 € avec la même probabilité » ont tous les deux une espérance de 100 €, mais le second a une variance plus grande.

Écart-type

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

② \(\sigma(X)\) : écart-type \(=\) ① racine carrée positive de la variance \(V(X)\)

La formule en mots

① On prend la racine carrée positive de la

② et on obtient l’

Exemple simple

L’écart-type du nombre \(X\) obtenu avec un dé (variance \(V(X) = \dfrac{35}{12}\)) est

\(\sigma(X)\) : écart-type de la face \(=\) racine carrée positive de la variance \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

L’idée clé

La variance est la moyenne des « carrés des écarts », donc son unité est elle aussi au carré (si le gain est en euros, la variance est en euros × euros). Il est alors difficile de se faire une idée de la dispersion ; on prend donc la racine carrée pour revenir à l’unité d’origine. C’est l’écart-type. En le regardant avec l’espérance, comme « un billet de tombola d’espérance 1,65 € et d’écart-type d’environ 9,99 € », on peut comparer dans la même unité « l’ampleur des variations autour de la moyenne ».

L’espérance \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) est une moyenne pondérée par les probabilités : on additionne « chaque valeur × sa probabilité ». La dispersion se mesure par la variance \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) et par sa racine carrée, l’écart-type \(\sigma(X)\).

Symboles et termes

Symboles

\(X\)	X majuscule	Une variable aléatoire : une variable dont la valeur dépend du résultat d’une épreuve, comme le nombre obtenu avec un dé. Comme c’est une « boîte à résultat » dont le contenu n’est pas encore connu, on l’écrit avec une majuscule pour la distinguer des variables ordinaires.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x indice 1, x indice 2, …, x indice n	Chacune des valeurs possibles de la variable aléatoire \(X\). Le petit nombre en bas à droite (l’indice) indique seulement le rang de la valeur dans la liste ; il n’a rien à voir avec la valeur elle-même.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p indice 1, p indice 2, …, p indice n	La probabilité de chaque valeur. \(p\) est l’initiale de « probabilité ». Leur somme vaut toujours 1.
\(n\)	n	Le nombre de valeurs possibles (le nombre de lignes du tableau de la loi de probabilité). La lettre \(n\), comme « nombre », sert souvent pour un effectif.
\(E(X)\)	E de X	L’espérance de la variable aléatoire \(X\). \(E\) est l’initiale de « espérance ». C’est un seul nombre, « l’espérance de \(X\) » ; ce n’est pas \(E\) multiplié par \(X\).
\(\mu\)	mu	La lettre grecque souvent utilisée pour l’espérance (la moyenne). Elle correspond au « m » de « moyenne ». Les manuels posent \(\mu = E(X)\) pour écrire plus brièvement la définition de la variance.
\(V(X)\)	V de X	La variance de la variable aléatoire \(X\). \(V\) est l’initiale de « variance ». C’est la moyenne des carrés des distances à l’espérance (les écarts) ; elle mesure la dispersion des valeurs. On la note aussi \(\mathrm{Var}(X)\) ou \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	sigma de X	L’écart-type de la variable aléatoire \(X\). \(\sigma\) est la lettre grecque sigma minuscule, le « s » grec (de l’anglais « standard deviation »). C’est la racine carrée positive de la variance.
\(X^2\)	X au carré	Une nouvelle variable aléatoire obtenue en élevant au carré la valeur de \(X\). \(E(X^2)\) veut dire « élever chaque valeur possible au carré, puis faire la moyenne pondérée par les probabilités ».
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	racine carrée (radical)	Le symbole du nombre positif ou nul dont le carré donne le nombre sous la racine (la racine carrée positive). Par exemple, \(\sqrt{9} = 3\). L’écart-type s’obtient en plaçant la variance sous ce symbole.

Termes

variable aléatoire	Une variable dont la valeur dépend du résultat d’une épreuve (une expérience ou une observation dont le résultat est dû au hasard), comme le nombre obtenu avec un dé ou le gain d’un billet de tombola. On la note en général par une majuscule, \(X\).
loi de probabilité	L’association, à chaque valeur possible d’une variable aléatoire, de sa probabilité. Sous forme de tableau, c’est le tableau de la loi de probabilité, et les champs de cette page reprennent ce tableau tel quel.
épreuve	Une expérience ou une observation que l’on peut répéter dans les mêmes conditions et dont le résultat est dû au hasard, comme lancer un dé ou tirer un billet de tombola.
espérance	La moyenne d’une variable aléatoire : chaque valeur multipliée par sa probabilité, le tout additionné. Elle se rapproche de « la moyenne par essai » quand l’épreuve est répétée de nombreuses fois. Son symbole est \(E(X)\) ou \(\mu\). On dit aussi espérance mathématique.
moyenne pondérée	Une moyenne où chaque valeur est multipliée par un « coefficient » avant l’addition, au lieu d’additionner simplement et de diviser par l’effectif. L’espérance est une moyenne pondérée dont les coefficients sont les probabilités.
variance	Une mesure de la dispersion des valeurs. On élève au carré les distances à l’espérance (les écarts) et on en fait la moyenne pondérée par les probabilités. Son symbole est \(V(X)\).
écart-type	La racine carrée positive de la variance. Contrairement à la variance, il s’exprime dans la même unité que les valeurs, ce qui rend la dispersion plus facile à comparer. Son symbole est \(\sigma(X)\).
écart à la moyenne	La différence entre une valeur et l’espérance, \(x - \mu\). Les écarts mélangent des nombres positifs et négatifs, et leur moyenne simple vaut toujours 0 : c’est pourquoi la variance les élève au carré avant d’en faire la moyenne.
loi des grands nombres	La loi selon laquelle, plus on répète une épreuve, plus la moyenne des résultats réels se rapproche de l’espérance. C’est ce qui permet de lire l’espérance comme « la moyenne par essai sur un grand nombre de répétitions ».
variable aléatoire discrète	Une variable aléatoire dont les valeurs possibles sont des points séparés (un nombre fini de valeurs, ou des nombres entiers), comme les faces d’un dé (1 à 6). C’est le type traité sur cette page. Une variable aléatoire à valeurs continues, comme la taille, est dite continue, et son espérance se calcule avec une intégrale.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir les notions de cette liste est le moyen le plus rapide d’avancer.

Premières notions de probabilités (de la 5e à la seconde, 12-16 ans)	Savoir qu’une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui indique à quel point une chose est probable (probabilité \(\dfrac{1}{6}\) = se produit environ une fois sur 6) Savoir calculer des probabilités en listant les issues possibles, dans des situations comme les dés, les pièces ou les tombolas Savoir que les probabilités de toutes les issues possibles font toujours 1 au total
Calculs avec fractions et nombres décimaux (du CM2 à la 5e, 10-13 ans)	Savoir multiplier et additionner des fractions (en réduisant au même dénominateur), par exemple \(1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Savoir passer d’une fraction à un nombre décimal et à un pourcentage (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\))
La moyenne (de la 5e à la seconde, 12-16 ans)	Savoir que moyenne = total ÷ effectif Se représenter la différence entre une moyenne simple, comme la moyenne d’une classe à un contrôle, et une moyenne pondérée, où les valeurs les plus probables comptent davantage (comme les coefficients du bac)
Carrés et racines carrées (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir ce que veulent dire élever au carré (multiplier un nombre par lui-même) et l’opération inverse, la racine carrée \(\sqrt{\phantom{0}}\) (par exemple, \(\sqrt{9} = 3\)) Savoir que le carré d’un nombre négatif est positif (\((-2)^{2} = 4\))
Statistiques descriptives (seconde, 15-16 ans)	Avoir déjà calculé la moyenne, la variance et l’écart-type d’une série de données (cette page en est la « version loi de probabilité », vue en première, spécialité mathématiques) Savoir que la variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver l’espérance E(X) (exemple de la tombola)

Valeur x₁ (billet perdant, 0 €)	0
Probabilité p₁	0,7
Valeur x₂ (gain de 1 €)	1
Probabilité p₂	0,2
Valeur x₃ (gain de 5 €)	5
Probabilité p₃	0,09
Valeur x₄ (gain de 100 €)	100
Probabilité p₄	0,01
Somme des probabilités (vérifier qu’elle vaut 1)	=B2+B4+B6+B8
Espérance E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tableau pour trouver la variance V(X) (exemple de la tombola)

Valeur x₁	0
Probabilité p₁	0,7
Valeur x₂	1
Probabilité p₂	0,2
Valeur x₃	5
Probabilité p₃	0,09
Valeur x₄	100
Probabilité p₄	0,01
Espérance E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Moyenne des carrés E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Variance V(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tableau pour trouver l’écart-type σ(X)

Variance V(X)	99,7275
Écart-type σ(X) = √V(X)	=RACINE(B1)

Après le collage, les lignes du haut (valeurs et probabilités) sont vos valeurs et les lignes du bas se calculent automatiquement. « * » est la multiplication, « ^2 » veut dire au carré, et RACINE est la fonction de la racine carrée.
Le premier tableau reprend l’exemple de la tombola (0 € avec 70 %, 1 € avec 20 %, 5 € avec 9 % et 100 € avec 1 %). La somme des probabilités vaut 1 et l’espérance vaut 1,65 (euro).
Le deuxième tableau donne la variance de la même tombola : la moyenne des carrés, 102,45, moins le carré de l’espérance, 2,7225, soit 99,7275.
Le troisième tableau calcule l’écart-type à partir de cette variance, environ 9,99 (euros). Pour ajouter des lignes, ajoutez des couples valeur-probabilité et prolongez la partie « B1*B2+… » des formules sur le même modèle.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver l’espérance E(X) (exemple de la tombola)

Valeur x₁ (billet perdant, 0 €)	0
Probabilité p₁	0,7
Valeur x₂ (gain de 1 €)	1
Probabilité p₂	0,2
Valeur x₃ (gain de 5 €)	5
Probabilité p₃	0,09
Valeur x₄ (gain de 100 €)	100
Probabilité p₄	0,01
Somme des probabilités (vérifier qu’elle vaut 1)	=B2+B4+B6+B8
Espérance E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tableau pour trouver la variance V(X) (exemple de la tombola)

Valeur x₁	0
Probabilité p₁	0,7
Valeur x₂	1
Probabilité p₂	0,2
Valeur x₃	5
Probabilité p₃	0,09
Valeur x₄	100
Probabilité p₄	0,01
Espérance E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Moyenne des carrés E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Variance V(X) = E(X²) − (E(X))²	=B10-B9^2

Tableau pour trouver l’écart-type σ(X)

Variance V(X)	99,7275
Écart-type σ(X) = √V(X)	=RACINE(B1)

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets en français accepte aussi RACINE et le séparateur décimal virgule). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les valeurs et les probabilités par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

# Tableau de la loi de probabilité (couples valeur-probabilité). Exemple de la tombola : gain et probabilité de l’obtenir
# Une probabilité fractionnaire peut s’écrire Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Vérifier que la somme des probabilités vaut 1
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"La somme des probabilités ne vaut pas 1 (somme : {total})")

# Espérance E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Moyenne des carrés E(X²) et variance V(X) = E(X²) − (E(X))²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Écart-type σ(X) = √V(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Espérance E(X) : {mean} = {float(mean)}")
print(f"Variance V(X) : {variance} = {float(variance)}")
print(f"Écart-type σ(X) : {std_dev}")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple est celui de la tombola (0 € avec 70 %, 1 € avec 20 %, 5 € avec 9 % et 100 € avec 1 %). À l’exécution, il affiche l’espérance 33/20 = 1,65, la variance 39891/400 = 99,7275 et l’écart-type d’environ 9,9864 (dans la sortie de Python, les décimales s’écrivent avec un point). Modifiez les valeurs et les probabilités, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Espérance (moyenne d’une variable aléatoire)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Variance (la dispersion des valeurs)

V(X) = E(X²) − (E(X))²

V(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Écart-type

σ(X) = √V(X)

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(V(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(V(X))

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques (probabilités et statistiques). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par ce tableau.
Valeur x : 0 ; 1 ; 5 ; 100
Probabilité p : 0,7 ; 0,2 ; 0,09 ; 0,01

Donne :
1. La vérification que la somme des probabilités vaut 1
2. L’espérance E(X) (en fraction irréductible ou en entier, et en écriture décimale)
3. La variance V(X) (avec la formule E(X²) − (E(X))², en donnant aussi la valeur de E(X²))
4. L’écart-type σ(X) (en écriture décimale)

En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et présente les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule