Coefficient directeur d’une droite (pente, distance et angle)

Deux façons de l’utiliser. [À partir de deux points] Entrez les coordonnées du point 1 et du point 2 pour obtenir le coefficient directeur, la distance, l’angle et l’équation de la droite. [À partir d’un point et d’une distance] Laissez le point 2 vide et entrez la distance d et le coefficient directeur m (ou l’angle θ) pour obtenir les coordonnées du point atteint depuis le point 1.

Abscisse du point 1, X1

Ordonnée du point 1, Y1

Abscisse du point 2, X2

Ordonnée du point 2, Y2

Distance d (à partir d’un seul point)

Coefficient directeur m

Angle θ (degrés)

Les coordonnées, la distance et le coefficient directeur peuvent être décimaux (0,75) ou négatifs. Si le point 2 (X2 et Y2) est rempli, les champs distance d, coefficient directeur m et angle θ ne sont pas utilisés. Si vous entrez à la fois m et θ, c’est le coefficient directeur m qui est utilisé.

Résultat et graphique

Saisissez les coordonnées de deux points dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez les coordonnées de deux points et obtenez tout de suite le coefficient directeur \(m\) de la droite (sa pente, qui est aussi le taux de variation d’une fonction affine)
En même temps, le calculateur donne la distance entre les deux points, l’angle d’inclinaison \(\theta\), l’équation de la droite \(y = mx + b\), l’ordonnée à l’origine et l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses
Il fonctionne aussi dans l’autre sens : à partir d’un point, d’une distance à parcourir et d’un coefficient directeur (ou d’un angle), il trouve les coordonnées du point d’arrivée
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Le coefficient directeur existe seulement si les deux points ont des abscisses différentes. Une droite qui passe par deux points de même abscisse (une droite verticale) n’a pas de coefficient directeur : le calculateur affiche « Non défini ». L’angle θ est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du sens positif de l’axe des abscisses, entre 0° (inclus) et 360° (exclu).

À quoi sert ce calcul ?

Vérifier qu’une rampe pour fauteuil roulant respecte les normes (bâtiment et accessibilité)

En France, la réglementation sur l’accessibilité des établissements recevant du public limite la pente d’une rampe à 5 % (8 % toléré sur 2 m au plus, 10 % sur 50 cm au plus). Se demander « une rampe de 3 m suffit-elle pour une marche de 15 cm ? » revient à calculer un coefficient directeur : \(0{,}15 \div 3 = 0{,}05\), soit 5 %, donc la rampe est juste conforme. En angle, cela fait environ 2,9°.
Pour des travaux chez soi ou la conception d’un bâtiment, on peut vérifier avec des chiffres qu’une rampe sera facile à utiliser.

Comprendre un panneau « pente 10 % » (voiture et vélo)

Le « 10 % » d’un panneau de descente dangereuse signifie « on descend de 10 m pour 100 m à l’horizontale », soit un coefficient directeur de 0,1. En angle, cela fait \(\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°\). Peu de gens savent que 10 % ne veut pas dire 10°.
Savoir lire ce chiffre permet d’anticiper la difficulté d’une côte, pour choisir son rapport de vitesse en voiture ou préparer un parcours à vélo ou en course à pied.

Trouver l’angle d’un toit à partir de sa pente (bâtiment et bricolage)

En France, la pente d’un toit se donne en pourcentage ou en degrés. Un toit à 40 % monte de 40 cm pour 1 m à l’horizontale (coefficient directeur 0,4). En angle, cela fait \(\arctan 0{,}4 \approx 21{,}8°\).
Chaque matériau de couverture (tuiles, ardoises, bac acier) n’est posé qu’à partir d’une pente minimale : couvreurs et architectes font cette conversion tous les jours. Elle sert aussi quand on construit soi-même le toit d’un abri de jardin.

Estimer la raideur d’un sentier et la distance réellement parcourue (randonnée et cartes)

Si un sentier monte de 300 m sur une distance horizontale de 1 000 m sur la carte, sa pente moyenne est \(300 \div 1000 = 0{,}3\) (un angle d’environ 16,7°), et d’après le théorème de Pythagore, la distance réellement parcourue sur la pente est \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \approx 1044\) m.
Savoir avec des chiffres que « la vraie distance est plus longue que sur la carte, et que la pente décide de la fatigue » rend vos randonnées plus sûres.

Lire la vitesse d’évolution d’une donnée grâce au coefficient directeur (travail et lecture de graphiques)

Si le chiffre d’affaires mensuel passe de 40 000 € en avril à 58 000 € en juillet, le coefficient directeur vaut \((58\,000 - 40\,000) \div (7 - 4) = 6\,000\) € par mois : « une hausse de 6 000 € par mois en moyenne ».
La pente d’une courbe, c’est le rythme de l’évolution. Trouver à quelle vitesse une grandeur change à partir de ses valeurs à deux dates, qu’il s’agisse de ventes, de poids ou de température, c’est le même calcul que la formule du coefficient directeur de cette page.

Formules et graphiques

Coefficient directeur d’une droite \(m\) (taux de variation)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ coefficient directeur de la droite \(m\) \(=\) ① variation de y \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② variation de x \(\Delta x = x_2 - x_1\)

La formule en mots

① On prend la variation de y, \(\Delta y\) (de combien on monte ou on descend)

② on la divise par la variation de x, \(\Delta x\) (de combien on avance horizontalement)

③ et on obtient le coefficient directeur de la droite \(m\)

Exemple simple

Le coefficient directeur de la droite qui passe par les points (3 ; 4) et (6 ; 8) est

coefficient directeur \(m\) \(=\) variation de y (8 − 4 = 4) \(\div\) variation de x (6 − 3 = 3)

\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)

L’idée clé

Le coefficient directeur indique « de combien la droite monte ou descend chaque fois qu’on avance de 1 horizontalement ». C’est la pente de la droite, et c’est aussi le taux de variation d’une fonction affine, vu en 3e (14-15 ans). S’il est positif, la droite monte de gauche à droite ; s’il est négatif, elle descend ; s’il vaut 0, la droite est horizontale. Soustrayez dans le même ordre en haut et en bas (si vous faites « point 2 moins point 1 », faites-le dans les deux). Si vous mélangez l’ordre, le signe est inversé. Quand la variation de x vaut 0 (une droite verticale), il faudrait diviser par 0 : le coefficient directeur n’existe pas.

Distance entre deux points \(d\)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② distance entre les deux points \(d\) \(=\) ① racine carrée de la somme des carrés des variations \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)

La formule en mots

① On calcule la racine carrée de la somme des carrés des variations, \(\Delta x^2 + \Delta y^2\) (on élève au carré la variation horizontale et la variation verticale, on les additionne, puis on prend la racine carrée)

② et on obtient la distance entre les deux points \(d\)

Exemple simple

La distance entre les points (1 ; 1) et (4 ; 5) (Δx = 3, Δy = 4) est

distance \(d\) \(=\) racine carrée de la somme des carrés (3² + 4² = 25)

\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

L’idée clé

C’est tout simplement le théorème de Pythagore. Imaginez un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont la variation horizontale \(\Delta x\) et la variation verticale \(\Delta y\) : le segment qui relie les deux points en est l’hypoténuse. Même si une variation est négative, son carré est positif : la formule marche quelle que soit la position des points.

Angle d’inclinaison \(\theta\) (l’angle de la droite)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan m\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② angle d’inclinaison \(\theta\) \(=\) ① arc tangente du coefficient directeur \(m\) (l’angle retrouvé à partir de la tangente)

La formule en mots

① On calcule l’ arc tangente du coefficient directeur \(m\) (on cherche l’angle dont la tangente vaut m)

② et on obtient l’ angle d’inclinaison \(\theta\)

Exemple simple

L’angle entre l’axe des abscisses et une droite de coefficient directeur 1 (elle monte de 1 chaque fois qu’on avance de 1 vers la droite) est

angle d’inclinaison \(\theta\) \(=\) arc tangente du coefficient directeur (1)

\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)

L’idée clé

Le coefficient directeur et l’angle sont liés par \(m = \tan\theta\). L’arc tangente (\(\arctan\), notée tan⁻¹ ou Arctan sur une calculatrice scientifique) fait le chemin inverse : elle retrouve l’angle à partir du coefficient directeur. \(\arctan\) donne un angle entre −90° et 90° : quand le coefficient directeur est négatif (la droite descend de gauche à droite), le résultat est un angle négatif. Ce calculateur ajoute 360° aux angles négatifs pour les afficher entre 0° et 360° (exemple : −63,4° → 296,6°). L’angle d’une droite verticale est 90°. À partir de deux points, l’angle est mesuré dans la direction « du point 1 vers le point 2 » : si vous entrez les deux mêmes points dans l’ordre inverse, l’angle pointe dans la direction opposée (il diffère de 180°).

Équation réduite d’une droite \(y = mx + b\)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ ordonnée d’un point de la droite \(y\) \(=\) ② coefficient directeur \(m\) \(\times\) ① abscisse \(x\) \(+\) ③ ordonnée à l’origine \(b\)

La formule en mots

① On prend l’ abscisse \(x\)

② on la multiplie par le coefficient directeur \(m\)

③ on ajoute l’ ordonnée à l’origine \(b\)

④ et on obtient l’ ordonnée du point de la droite \(y\)

Exemple simple

L’équation de la droite de coefficient directeur −2 qui passe par le point (1 ; 5) (son ordonnée à l’origine est b = 5 − (−2) × 1 = 7) est

ordonnée \(y\) \(=\) coefficient directeur (−2) \(\times\) abscisse \(x\) \(+\) ordonnée à l’origine (7)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)

\(y = -2x + 7\)

L’idée clé

Dès qu’on connaît le coefficient directeur \(m\) et un point \((x_1\,;\,y_1)\) de la droite, il n’y a qu’une seule droite possible. L’ordonnée à l’origine \(b\) s’obtient en résolvant « l’équation écrite en ce point », \(y_1 = m x_1 + b\), par rapport à \(b\) : \(b = y_1 - m x_1\). L’ordonnée à l’origine est la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées (\(y\) pour \(x = 0\)), et l’abscisse à l’origine est l’endroit où elle coupe l’axe des abscisses (\(x\) pour \(y = 0\)). L’abscisse à l’origine vaut \(-b \div m\) (une droite horizontale, \(m = 0\), ne coupe pas l’axe des abscisses, sauf si c’est l’axe lui-même).

Le point situé à une distance \(d\) d’un point donné (avec le coefficient directeur \(m\))

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\Delta x\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(\sqrt{1 + m^2}\)

\(\Delta y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(\Delta x\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ variation de x \(\Delta x\) \(=\) ① distance à parcourir \(d\) \(\div\) ② racine carrée de \(1 + m^2\)

⑥ variation de y \(\Delta y\) \(=\) ④ coefficient directeur \(m\) \(\times\) ⑤ variation de x \(\Delta x\)

La formule en mots

① On prend la distance à parcourir \(d\)

② on la divise par la racine carrée de \(1 + m^2\)

③ et on obtient la variation de x \(\Delta x\)

④ Ensuite, on multiplie le coefficient directeur \(m\)

⑤ par la variation de x \(\Delta x\)

⑥ et on obtient la variation de y \(\Delta y\) (le point atteint est donc \((x_1 + \Delta x\,;\,y_1 + \Delta y)\))

Exemple simple

En partant du point (1 ; 1) et en parcourant une distance de 5 vers la droite sur une droite de coefficient directeur 0,75, on arrive au point

variation de x \(\Delta x\) \(=\) distance à parcourir (5) \(\div\) \(\sqrt{1 + 0{,}75^2}\) (= 1,25)

\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0{,}75^2} = 5 \div 1{,}25 = 4\)

\(\Delta y = 0{,}75 \times 4 = 3\)

\((x_2\,;\,y_2) = (1 + 4\,;\,1 + 3) = (5\,;\,4)\)

L’idée clé

Pourquoi diviser par \(\sqrt{1 + m^2}\) ? Sur une droite de coefficient directeur \(m\), avancer de 1 horizontalement fait monter de \(m\) : d’après le théorème de Pythagore, la longueur réellement parcourue est \(\sqrt{1 + m^2}\). Autrement dit, « pour 1 à l’horizontale, on parcourt \(\sqrt{1 + m^2}\) sur la droite » : en divisant la distance \(d\) par \(\sqrt{1 + m^2}\), on obtient la variation horizontale. On peut partir dans deux sens, « vers la droite » (\(\Delta x\) positif) et « vers la gauche » (négatif) : ce calculateur affiche donc les deux solutions. Si vous donnez un angle \(\theta\) au lieu d’un coefficient directeur, l’angle fixe aussi le sens, et il n’y a qu’une solution : \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\).

Le coefficient directeur d’une droite, c’est « variation de y ÷ variation de x » ; la distance entre deux points vient du théorème de Pythagore ; l’angle s’obtient avec l’arc tangente. Avec ces trois outils, on sait tout d’une droite à partir des coordonnées de deux points. On peut aussi faire le chemin inverse et trouver le point atteint à partir d’un point, d’une distance et d’un coefficient directeur.

Symboles et termes

Symboles

\(m\)	m	Le coefficient directeur de la droite : de combien elle monte ou descend pour 1 à l’horizontale. Positif, la droite monte de gauche à droite ; négatif, elle descend. En France, on écrit souvent l’équation réduite \(y = mx + p\), et une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x indice 1, y indice 1	Les coordonnées des deux points, qu’on écrit aussi \((x_1\,;\,y_1)\). \(x\) (l’abscisse) est la position horizontale et \(y\) (l’ordonnée) la position verticale ; le petit chiffre en bas à droite (l’indice) distingue « le premier point » du « deuxième point ».
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	delta x, delta y	La variation (de combien une valeur a changé). \(\Delta\) (delta) est la lettre grecque qui désigne une variation : \(\Delta x = x_2 - x_1\) et \(\Delta y = y_2 - y_1\).
\(d\)	d	La distance entre les deux points (initiale de « distance »).
\(\theta\)	thêta	Une lettre grecque souvent utilisée pour les angles. Sur cette page, c’est l’angle entre la droite et l’axe des abscisses (l’angle d’inclinaison).
\(b\)	b	L’ordonnée à l’origine : la hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées (la valeur de \(y\) pour \(x = 0\)). Les manuels français la notent souvent \(p\).
\(\tan\)	tangente	Un rapport trigonométrique : « côté opposé ÷ côté adjacent », c’est-à-dire « vertical ÷ horizontal », pour un angle. Le coefficient directeur d’une droite est lié à son angle par \(m = \tan\theta\).
\(\arctan\)	arc tangente	Le calcul inverse de la tangente : elle donne « l’angle dont la tangente vaut ce nombre ». Sur une calculatrice scientifique, elle s’affiche tan⁻¹ ou Arctan.

Termes

coefficient directeur	Le nombre qui indique la pente d’une droite : de combien \(y\) augmente quand \(x\) augmente de 1. Plus il est grand, plus la droite est raide. La pente d’une route ou d’un toit repose sur la même idée.
taux de variation	(variation de y) ÷ (variation de x). Pour une fonction affine, il est le même partout et il est exactement égal au coefficient directeur de la droite.
fonction affine	Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\). Sa représentation graphique est une droite, de coefficient directeur \(a\) et d’ordonnée à l’origine \(b\) (sur cette page, on écrit \(y = mx + b\)). Quand \(b = 0\), on parle de fonction linéaire.
ordonnée à l’origine	La hauteur à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées (\(y\) pour \(x = 0\)). L’endroit où elle coupe l’axe des abscisses (\(x\) pour \(y = 0\)) s’appelle parfois l’abscisse à l’origine.
angle d’inclinaison	L’angle que fait une droite avec l’axe des abscisses (l’horizontale). Il est lié au coefficient directeur par \(m = \tan\theta\).
pente (déclivité)	Le nom courant de l’inclinaison d’une route, d’une rampe ou d’un toit, souvent donné en pourcentage. Un panneau « 10 % » signifie « on monte (ou descend) de 10 m pour 100 m à l’horizontale », soit un coefficient directeur de 0,1.
coordonnées	Le couple de nombres (abscisse ; ordonnée) qui repère un point dans le plan. Le point (3 ; 4) est « 3 vers la droite et 4 vers le haut depuis l’origine ». Vu au collège, dès la 5e (12-13 ans).
droite verticale	Une droite perpendiculaire à l’axe des abscisses (parallèle à l’axe des ordonnées). La variation de x vaut 0, donc la formule du coefficient directeur demanderait de diviser par 0 : il n’existe pas. Son équation n’est pas de la forme \(y = mx + b\) mais \(x = \text{constante}\).

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Le repère du plan (5e, 12-13 ans)	Savoir lire des coordonnées comme le point (3 ; 4) comme « une position horizontale et une position verticale » Savoir qu’une abscisse ou une ordonnée négative correspond à une position à gauche ou en bas
Calculer avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir faire des soustractions avec des nombres négatifs, comme \(-1 - 5 = -6\) et \(5 - (-2) = 7\)
Les fonctions affines et le coefficient directeur (3e-2de, 14-16 ans)	Savoir que la représentation graphique de \(y = mx + b\) est une droite, de coefficient directeur \(m\) et d’ordonnée à l’origine \(b\) Savoir que le taux de variation se calcule par « variation de y ÷ variation de x »
Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans)	Savoir que l’hypoténuse d’un triangle rectangle vaut \(\sqrt{a^2 + b^2}\) (c’est la base de la formule de la distance)
La tangente d’un angle (3e, 14-15 ans)	Savoir que \(\tan\theta\) est le rapport « vertical ÷ horizontal » pour un angle (utile seulement pour l’angle ; inutile pour le coefficient directeur ou la distance)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le coefficient directeur m

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Coefficient directeur m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tableau pour trouver la distance d entre deux points

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Distance entre les deux points, d	=RACINE((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tableau pour trouver l’angle d’inclinaison θ

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Angle d’inclinaison θ (degrés)	=DEGRES(ATAN2(B3-B1;B4-B2))

Tableau pour trouver l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine

Abscisse d’un point de la droite, x₁	1
Ordonnée d’un point de la droite, y₁	5
Coefficient directeur m	-2
Ordonnée à l’origine b	=B2-B3*B1
Abscisse à l’origine	=-B4/B3

Tableau pour trouver le point situé à une distance d d’un point donné

Abscisse du point 1, x₁	1
Ordonnée du point 1, y₁	1
Distance à parcourir, d	5
Coefficient directeur m	0,75
Variation de x, Δx	=B3/RACINE(1+B4^2)
Variation de y, Δy	=B4*B5
Abscisse du point atteint, x₂	=B1+B5
Ordonnée du point atteint, y₂	=B2+B6

Une fois le tableau collé, les lignes du haut sont vos données et les formules des lignes du bas se calculent automatiquement.
« RACINE(…) » est la racine carrée, « ^2 » élève au carré, « DEGRES(…) » convertit les radians en degrés, et « ATAN2(variation horizontale ; variation verticale) » trouve l’angle à partir des variations dans les deux directions.
Le premier tableau donne un coefficient directeur d’environ 1,333, le deuxième une distance de 5 et le troisième un angle d’environ 53,13°. Dans le troisième tableau, ATAN2 renvoie des angles négatifs (entre −180° et 180°) : pour une droite qui descend de gauche à droite, ajoutez 360 si vous voulez l’angle entre 0 et 360°.
Le cinquième tableau calcule la solution vers la droite (le point (5 ; 4) de l’exemple). Pour la solution vers la gauche, mettez un signe moins au début de la formule de Δx (=-B3/RACINE(1+B4^2)).

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le coefficient directeur m

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Coefficient directeur m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tableau pour trouver la distance d entre deux points

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Distance entre les deux points, d	=RACINE((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tableau pour trouver l’angle d’inclinaison θ

Abscisse du point 1, x₁	3
Ordonnée du point 1, y₁	4
Abscisse du point 2, x₂	6
Ordonnée du point 2, y₂	8
Angle d’inclinaison θ (degrés)	=DEGRES(ATAN2(B3-B1;B4-B2))

Tableau pour trouver l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine

Abscisse d’un point de la droite, x₁	1
Ordonnée d’un point de la droite, y₁	5
Coefficient directeur m	-2
Ordonnée à l’origine b	=B2-B3*B1
Abscisse à l’origine	=-B4/B3

Tableau pour trouver le point situé à une distance d d’un point donné

Abscisse du point 1, x₁	1
Ordonnée du point 1, y₁	1
Distance à parcourir, d	5
Coefficient directeur m	0,75
Variation de x, Δx	=B3/RACINE(1+B4^2)
Variation de y, Δy	=B4*B5
Abscisse du point atteint, x₂	=B1+B5
Ordonnée du point atteint, y₂	=B2+B6

Les mêmes formules qu’Excel (RACINE, DEGRES, ATAN2 et ^2) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les nombres saisis par vos propres coordonnées.

Calculer avec Python

import math

x1, y1 = 3.0, 4.0   # coordonnées du point 1
x2, y2 = 6.0, 8.0   # coordonnées du point 2

delta_x = x2 - x1                       # variation de x
delta_y = y2 - y1                       # variation de y
slope = delta_y / delta_x               # coefficient directeur m (si delta_x vaut 0, la droite est verticale et le calcul échoue)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # distance entre les deux points (comme √(Δx²+Δy²))
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360   # angle (de 0 à 360°)
y_intercept = y1 - slope * x1           # ordonnée à l’origine b

print(f"Coefficient directeur m : {slope}")
print(f"Distance d : {distance}")
print(f"Angle θ : {angle}")
print(f"Équation de la droite : y = {slope}x + {y_intercept}")

# Dans l’autre sens : le point atteint en parcourant la distance d depuis (x1, y1) sur la droite
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2)      # solution vers la droite (vers la gauche : -dx)
dy = slope * dx
print(f"Point atteint : ({x1 + dx}, {y1 + dy})")

Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. math.hypot est la racine carrée de la somme des carrés, et math.atan2 est l’arc tangente (une fonction qui trouve l’angle à partir des variations horizontale et verticale). Python affiche les nombres avec un point décimal. Modifiez les coordonnées au début et lancez le programme.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Coefficient directeur d’une droite \(m\) (taux de variation)

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Distance entre deux points \(d\)

d = √(Δx² + Δy²)

d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)

Sqrt[dx^2 + dy^2]

d := sqrt(dx^2 + dy^2);

d = sqrt(dx^2 + dy^2);

d = √(Δx^2 + Δy^2)

Angle d’inclinaison \(\theta\) (l’angle de la droite)

θ = arctan(m)

\theta = \arctan m

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(m)

ArcTan[m]

theta := arctan(m);

theta = atan(m);

θ = arctan(m)

Équation réduite d’une droite \(y = mx + b\)

y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

y = m x + b, b = y_1 - m x_1

b = y1 - m*x1; y = m*x + b

b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

y = mx + b, b = y_1 - mx_1

Le point situé à une distance \(d\) d’un point donné (avec le coefficient directeur \(m\))

Δx = ±d ÷ √(1 + m²),  Δy = m·Δx

\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#xB1;</mo>
    <mfrac>
      <mi>d</mi>
      <msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
  </mrow>
</math>

Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x

dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx

dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;

dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;

Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul mathématique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour les deux points (3 ; 4) et (6 ; 8) du plan muni d’un repère, trouve :
1. Le coefficient directeur m de la droite qui passe par les deux points
2. La distance d entre les deux points
3. L’angle θ (en degrés) entre la droite et l’axe des abscisses
4. L’équation réduite de la droite y = mx + b (donne aussi la valeur de l’ordonnée à l’origine b)

Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

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Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule