Coordonnées polaires et cartésiennes (conversion, rayon r et angle θ, quadrant et figure)

Choisissez le sens de la conversion et entrez les nombres. Pour « cartésiennes → polaires », entrez l’abscisse et l’ordonnée. Pour « polaires → cartésiennes », entrez le rayon r et l’angle polaire θ (et choisissez son unité).

Conversion

Abscisse x

Ordonnée y

Rayon r

Angle θ

Unité de l’angle

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Si x ou y est vide, il vaut 0.

Résultat et figure

Saisissez les nombres dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure du repère s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Convertissez tout de suite des coordonnées cartésiennes \(P(x\,;\,y)\) en coordonnées polaires \(P(r\,;\,\theta)\). Le rayon est donné en valeur exacte avec une racine simplifiée, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), et pour les angles remarquables, l’angle est donné exactement en fraction de π
L’angle \(\theta\) est donné surtout dans l’intervalle \([0\,;\,2\pi[\), avec aussi la valeur dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : vous pouvez vérifier votre réponse quel que soit l’intervalle utilisé dans votre cours
Vous pouvez aussi convertir dans l’autre sens (polaires → cartésiennes). Entrez le rayon \(r\) et l’angle \(\theta\) (en degrés, en fraction de π ou en radians décimaux), et vous obtenez \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\) en valeurs exactes comme \(\left(-2\,;\,2\sqrt{3}\right)\)
Les étapes montrent, une à une, comment l’angle est déterminé à partir de \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) et du quadrant où se trouve le point (la correction selon le quadrant)
Vous pouvez vérifier le résultat sur une figure du repère. Des cercles concentriques légers (graduation du rayon) et des demi-droites (graduation de l’angle) montrent d’un coup d’œil où se situent le rayon \(r\) et l’angle \(\theta\)

Cette page traite des coordonnées polaires dans le plan. Pour les coordonnées cartésiennes \(x\) et \(y\), vous pouvez entrer des fractions et des nombres décimaux (des rationnels), mais pas des irrationnels comme √3. Avec de telles données, l’angle ne sort en fraction exacte de π que si le point est sur un axe ou sur une direction de la famille de 45°. (Pour 30° et 60°, tanθ est irrationnel, comme 1/√3 : ces angles ne peuvent pas venir de \(x\) et \(y\) rationnels.) Dans l’autre sens, polaires → cartésiennes, tous les angles remarquables multiples de 30° ou de 45° sont calculés exactement.

À quoi sert ce calcul ?

Contrôle aérien et radar des navires (la position par la distance et le relèvement)

Le radar d’un aéroport ou d’un navire mesure « la distance depuis ici » grâce au temps que met une impulsion radio pour revenir, et « la direction » grâce à l’orientation de l’antenne. Ce qu’il mesure, ce sont donc dès le départ des coordonnées polaires \(\left(r\,;\,\theta\right)\).
Mais l’écran du contrôleur et les cartes marines sont construits sur des coordonnées horizontales et verticales : à l’intérieur de l’appareil, la distance et la direction mesurées sont converties en coordonnées cartésiennes avec \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\). C’est la conversion de cette page qui relie un appareil qui mesure en distance et direction à un écran qui dessine en horizontal et vertical.

Les capteurs de distance des voitures autonomes et des robots aspirateurs

Les capteurs de distance laser (LiDAR) des voitures autonomes et des robots aspirateurs tournent sur eux-mêmes et prennent un très grand nombre de mesures du type « quelque chose a renvoyé le faisceau à telle distance dans telle direction ». Chaque mesure est un couple direction (angle) et distance, c’est-à-dire des coordonnées polaires.
Pour construire une carte à partir des points recueillis, chaque point est converti en coordonnées cartésiennes, puis ils sont assemblés. Cartographier l’environnement puis planifier un trajet, c’est le schéma de base de la conduite autonome, et cette conversion de coordonnées en est le point de départ.

Radar météo et suivi des cyclones

Le radar météo fait lui aussi tourner son antenne en émettant des ondes radio, et reçoit les échos de la pluie et de la neige sous la forme « direction et distance ». Les images de pluie des bulletins météo télévisés sont ces données polaires converties dans les coordonnées horizontales et verticales d’une carte.
Donner la position d’un cyclone sous la forme « à 250 km au nord-est de La Réunion » relève aussi de la logique polaire, et la conversion en coordonnées cartésiennes a lieu quand on place le point sur une carte.

Concevoir des machines et des manèges qui tournent

Pour les objets qui tournent autour d’un centre, comme les nacelles d’une grande roue, les dents d’un engrenage ou les pales d’un ventilateur, la conception est plus simple si l’on raisonne ainsi : « la distance au centre est fixe, seule la direction change ». En coordonnées polaires, il suffit de fixer la distance \(r\) et de faire varier l’angle \(\theta\), ce qui rend le placement des pièces très facile.
Mais les plans et les machines-outils à commande numérique utilisent des coordonnées horizontales et verticales : à la fin, chaque position est convertie en coordonnées cartésiennes avant d’être transmise.

Dispositions et mouvements circulaires en image de synthèse et dans les jeux

Placer des ennemis régulièrement autour du héros, tirer des projectiles dans toutes les directions, faire tourner une caméra autour d’une cible : tout cela se pense le plus naturellement en « distance au centre » et « angle », et il suffit de partager l’angle en parts égales pour obtenir la disposition.
L’écran se dessine en coordonnées horizontales et verticales : à chaque image, les positions sont converties avec \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\). C’est grâce à cette conversion que les mouvements circulaires sont faciles à programmer.

Formules et figures

Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes (deux façons de situer un point)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ abscisse \(x\) \(=\) ① \(r\) : rayon ② cosinus de l’angle \(\theta\)

④ ordonnée \(y\) \(=\) \(r\) : rayon sinus de l’angle \(\theta\)

La formule en mots

① On prend la distance au pôle (l’origine), c’est-à-dire le rayon \(r\)

② on le multiplie par le cosinus de l’angle \(\theta\), \(\cos\theta\)

③ et on obtient l’ abscisse \(x\)

④ En multipliant le même rayon par le sinus \(\sin\theta\), on obtient l’ ordonnée \(y\)

Exemple simple

En convertissant les coordonnées polaires \(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) (à la distance 2 du pôle, dans la direction à 60° de l’axe polaire) en coordonnées cartésiennes, on obtient

abscisse \(x\) \(=\) rayon \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

ordonnée \(y\) \(=\) rayon \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1\,;\,\sqrt{3}\right)\)

L’idée clé

Ce sont deux façons de décrire l’emplacement d’un même point. « Aller de \(x\) vers la droite et de \(y\) vers le haut », ce sont les coordonnées cartésiennes \((x\,;\,y)\). « Aller à la distance \(r\) d’un point de référence, dans la direction tournée de \(\theta\) par rapport à une direction de référence », ce sont les coordonnées polaires \((r\,;\,\theta)\). Pour un rendez-vous, c’est la différence entre « à 300 m à l’est et 400 m au nord de la gare » et « à 500 m de la gare, à peu près vers le nord-est ». Le point de référence des coordonnées polaires s’appelle le pôle, et la direction de référence (la demi-droite qui part du pôle vers la droite) l’axe polaire. Quand on superpose les coordonnées polaires au repère, le pôle est placé à l’origine et l’axe polaire sur la partie positive de l’axe des abscisses. Pour comprendre pourquoi \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\), pensez au cercle de rayon 1 (le cercle trigonométrique). Sur ce cercle, le point situé dans la direction de l’angle \(\theta\) a pour abscisse \(\cos\theta\) et pour ordonnée \(\sin\theta\). Si le rayon vaut \(r\), toute la figure est agrandie \(r\) fois : les deux coordonnées sont multipliées par \(r\).

Rayon \(r\) (distance au pôle)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\) : rayon \(=\) ① racine carrée de la somme des carrés de \(x\) et de \(y\)

La formule en mots

① La racine carrée de \(x\) au carré plus \(y\) au carré, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② est le rayon \(r\)

Exemple simple

Le rayon du point \(P\left(3\,;\,4\right)\) vaut

rayon \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

L’idée clé

C’est exactement le théorème de Pythagore vu en 4e. En reliant l’origine, le point \((x\,;\,0)\) et \(P\), on obtient un triangle rectangle de côtés \(x\) et \(y\). La distance de l’origine à \(P\) (l’hypoténuse) vaut \(\sqrt{x^2 + y^2}\). On écrit en général la racine sous forme simplifiée, en sortant les carrés, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Ce calculateur affiche aussi la forme simplifiée. En coordonnées polaires, le rayon \(r\) est pris positif ou nul. Une distance n’est jamais négative : le \(r\) obtenu par la conversion n’est donc jamais négatif. Un cercle centré à l’origine a ainsi une équation polaire très simple, comme \(r = 2\).

Angle \(\theta\) (à partir de tanθ et du quadrant)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② tangente de l’angle \(\theta\) \(=\) ① \(y\) divisé par \(x\)

La formule en mots

① L’ ordonnée \(y\) divisée par l’abscisse \(x\)

② est la tangente de l’angle \(\theta\), \(\tan\theta\) (mais cela ne suffit pas à déterminer \(\theta\) : on conclut grâce au quadrant où se trouve \(P\))

Exemple simple

L’angle du point \(P\left(-1\,;\,1\right)\) (\(x\) est négatif et \(y\) positif : le point est dans le quadrant II) vaut

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0\ ;\ y > 0\right)\)

L’idée clé

Dans l’intervalle \([0\,;\,2\pi[\), il y a deux angles tels que \(\tan\theta = -1\) : \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) et \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Le bon dépend du quadrant du point \(P\). \(P(-1\,;\,1)\) a une abscisse négative et une ordonnée positive : il est dans le quadrant II (en haut à gauche), et on choisit \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). C’est la correction selon le quadrant. La fonction \(\arctan\) (arctangente) d’une calculatrice ou d’un tableur ne renvoie que des angles entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) : pour les points des quadrants II et III, elle ne donne pas directement l’angle. Il faut corriger l’angle obtenu par \(\arctan\), par exemple en ajoutant \(\pi\) selon le quadrant. (Ce calculateur montre cette correction dans les étapes.) Pour un point tel que \(x = 0\) (sur l’axe des ordonnées), \(\dfrac{y}{x}\) n’existe pas. Dans ce cas, on lit sur la figure que \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) ou \(\dfrac{3}{2}\pi\). Pour une méthode qui marche pour tous les points, choisissez le \(\theta\) qui vérifie à la fois \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) : plus besoin de distinguer les quadrants.

Un même point a plusieurs couples de coordonnées polaires

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(P\left(r\,;\,\theta\right)\) \(=\) \(P\left(r\,;\,\theta + 2n\pi\right)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① point \(P\) de coordonnées polaires \(\left(r\,;\,\theta\right)\) \(=\) ② point dont l’angle est augmenté de \(n\) tours complets \(2\pi\)

La formule en mots

① Le point \(P\) de coordonnées polaires \(\left(r\,;\,\theta\right)\)

② et le point dont l’angle est augmenté de \(n\) tours complets \(2\pi\) sont un seul et même point (\(n\) est un entier relatif)

Exemple simple

D’autres coordonnées polaires du même point que \(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) sont

\(P\left(2\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2\,;\,\dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2\,;\,-\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

L’idée clé

En coordonnées cartésiennes, chaque point a un seul couple \((x\,;\,y)\), mais pas en coordonnées polaires. Après un tour complet (\(2\pi\) = 360°), on se retrouve face à la même direction : ajouter ou retrancher \(2\pi\) à l’angle autant de fois qu’on veut donne le même point. Comme la réponse n’est pas unique, on convient d’un intervalle pour la donner. Les deux plus courants sont \([0\,;\,2\pi[\) (de 0° inclus à 360° exclu) et \(]-\pi\,;\,\pi]\) (de −180° exclu à 180° inclus), et les manuels n’utilisent pas tous le même. Ce calculateur donne les deux réponses. Le pôle (l’origine) est un cas particulier. Sa distance vaut 0, donc \(r = 0\), mais il n’a pas de direction : l’angle n’est pas déterminé. Les coordonnées polaires du pôle s’écrivent \(\left(0\,;\,\theta\right)\) (\(\theta\) quelconque), en général \(\left(0\,;\,0\right)\).

Un point du plan peut se repérer en coordonnées cartésiennes \(\left(x\,;\,y\right)\) (position horizontale et verticale) ou en coordonnées polaires \(\left(r\,;\,\theta\right)\) (distance au pôle et direction par rapport à l’axe polaire). Des polaires aux cartésiennes, on utilise \(x = r\cos\theta\) et \(y = r\sin\theta\). Dans l’autre sens, on utilise \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), avec la correction selon le quadrant qui choisit l’angle d’après le quadrant du point. Un angle décalé de tours complets donne le même point : on donne donc la réponse dans un intervalle fixé, comme \([0\,;\,2\pi[\).

Symboles et termes

Symboles

\(P\)	P	Une lettre souvent utilisée pour un point du plan (P comme « point »). On écrit les coordonnées du point entre parenthèses après la lettre, comme \(P\left(1\,;\,2\right)\).
\(O\)	O	La lettre de l’origine (le pôle), O comme « origine ». En coordonnées polaires, les distances se mesurent à partir de ce point.
\(x,\ y\)	x, y	La position horizontale (abscisse) et la position verticale (ordonnée) en coordonnées cartésiennes. Toutes deux peuvent être négatives.
\(r\)	r	La lettre du rayon (la distance du pôle au point), r comme « rayon ». En coordonnées polaires, c’est un réel positif ou nul.
\(\theta\)	thêta	La lettre grecque utilisée pour l’angle. En mathématiques, c’est la lettre habituelle d’un angle.
\(\left(r,\ \theta\right)\)	r, thêta	L’écriture des coordonnées polaires : d’abord la distance (le rayon), puis la direction (l’angle). Elle ressemble à l’écriture cartésienne \(\left(x\,;\,y\right)\) : précisez toujours de quelles coordonnées il s’agit.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	cosinus thêta, sinus thêta	Les fonctions trigonométriques. Sur le cercle de rayon 1 (le cercle trigonométrique), le point situé dans la direction de l’angle \(\theta\) a pour abscisse \(\cos\theta\) et pour ordonnée \(\sin\theta\). Ce sont les clés du passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.
\(\tan\theta\)	tangente thêta	Une des fonctions trigonométriques, définie par \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Dans le repère, \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (le coefficient directeur de la droite qui passe par l’origine et le point) : c’est l’indice qui permet de trouver l’angle.
\(\arctan\)	arctangente	L’opération inverse de la tangente (notée aussi \(\tan^{-1}\) sur les calculatrices). Elle renvoie l’angle \(\theta\) tel que \(\tan\theta = k\). Les angles renvoyés sont limités à l’intervalle entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) : une correction selon le quadrant est nécessaire pour les angles des quadrants II et III.
\(\pi\)	pi	Le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre (environ 3,14159). En mesure en radians, un demi-tour, \(180^{\circ}\), vaut exactement \(\pi\). La lettre grecque \(\pi\) viendrait de l’initiale du mot grec signifiant « périmètre ».
\(n\)	n	Une lettre souvent utilisée pour un entier (n comme « nombre »). Sur cette page, c’est le nombre de tours complets dont on décale l’angle, y compris les entiers négatifs (tourner dans l’autre sens) et 0 (aucun tour).

Termes

coordonnées cartésiennes	Une façon de repérer un point par un couple \(\left(x\,;\,y\right)\) : de combien on se déplace horizontalement et verticalement. Ce sont les coordonnées habituelles utilisées depuis le collège (du nom de Descartes).
coordonnées polaires	Une façon de repérer un point par un couple \(\left(r\,;\,\theta\right)\) : la distance \(r\) à un point de référence et l’angle \(\theta\) par rapport à une direction de référence. On les rencontre en terminale (maths expertes) et en physique.
pôle	Le point de référence à partir duquel on mesure les distances en coordonnées polaires. Dans le repère, il est placé à l’origine \(O\).
axe polaire	La demi-droite de référence à partir de laquelle on mesure les angles en coordonnées polaires. Elle part du pôle et, dans le repère, suit la partie positive de l’axe des abscisses.
rayon	La distance \(r\) du pôle au point \(P\) (on dit aussi rayon polaire). Au sens strict, c’est aussi le segment (ou la demi-droite) qui relie le pôle à \(P\), de longueur \(r\). Il est positif ou nul.
angle polaire	L’angle \(\theta\) de la direction du pôle vers le point \(P\), mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe polaire (pour un nombre complexe, on parle d’argument). Ajouter un tour complet (\(2\pi\)) donne la même direction : on donne donc en général la réponse dans un intervalle comme \([0\,;\,2\pi[\) ou \(]-\pi\,;\,\pi]\).
quadrant	L’une des quatre régions du plan délimitées par les deux axes. En haut à droite, c’est le quadrant I ; en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre viennent les quadrants II, III et IV. Savoir dans quel quadrant se trouve un point permet de déterminer l’angle.
correction selon le quadrant	Sur un tour complet, deux angles vérifient \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) : on choisit celui qui correspond au quadrant du point (par exemple en ajoutant \(\pi\) à l’angle aigu donné par \(\arctan\)). C’est cette retouche qu’on appelle ici correction selon le quadrant.
cercle trigonométrique	Le cercle de rayon 1 centré à l’origine. Le point de ce cercle situé dans la direction de l’angle \(\theta\) a pour coordonnées \(\left(\cos\theta\,;\,\sin\theta\right)\) : c’est la base des formules de conversion.
mesure en radians	Mesurer un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon 1. \(180^{\circ} = \pi\) radians. À partir de la trigonométrie de première, c’est l’unité de référence, plutôt que le degré.
angle remarquable	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) et les angles qui leur sont liés (ces angles plus des multiples de \(90^{\circ}\)). Leurs valeurs trigonométriques s’écrivent exactement, comme \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et la plupart des exercices les utilisent.
équation polaire	L’équation d’une courbe écrite comme une relation entre \(r\) et \(\theta\). Par exemple, \(r = 2\) est le cercle de rayon 2 centré à l’origine, et \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) la demi-droite issue de l’origine de coefficient directeur 1. Les figures définies par une distance à un centre, comme les cercles et les spirales, ont des équations bien plus simples qu’en coordonnées cartésiennes.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Le repère (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir repérer un point par un couple \(\left(x\,;\,y\right)\) Savoir où se trouvent les quadrants I à IV et connaître les signes de \(x\) et de \(y\) dans chacun
Racines carrées et radicaux (4e-seconde, 13-16 ans)	Savoir que \(\sqrt{2}\) est le nombre positif dont le carré vaut 2 Savoir simplifier une racine en sortant un carré, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans)	Savoir que l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés \(a\) et \(b\) mesure \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Savoir que, dans un repère, la distance de l’origine à un point se calcule avec le théorème de Pythagore
Trigonométrie et cercle trigonométrique (3e-première, 14-17 ans)	Savoir que \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) correspondent à l’ordonnée, à l’abscisse et à la pente d’un point du cercle trigonométrique Connaître les valeurs trigonométriques de \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) et \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Savoir trouver les valeurs trigonométriques d’angles de plus de \(90^{\circ}\) avec le cercle trigonométrique (par exemple, \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
La mesure en radians (première, 16-17 ans)	Savoir passer des degrés aux radians et inversement avec \(180^{\circ} = \pi\) radians (par exemple, \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Les coordonnées polaires (terminale, 17-18 ans)	Savoir ce que désignent le pôle, l’axe polaire, le rayon et l’angle polaire Savoir qu’un même point a plusieurs couples de coordonnées polaires (décaler l’angle de \(2\pi\) donne le même point)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau cartésiennes → polaires

Abscisse x	3
Ordonnée y	4
Rayon r	=RACINE(B1^2+B2^2)
Angle θ (radians, 0 ⩽ θ < 2π)	=MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Angle θ (degrés)	=DEGRES(MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tableau polaires → cartésiennes

Rayon r	2
Angle θ (degrés)	60
Abscisse x = r cosθ	=B1*COS(RADIANS(B2))
Ordonnée y = r sinθ	=B1*SIN(RADIANS(B2))

Tableau pour trouver un autre angle du même point

Angle θ (degrés)	60
Nombre de tours n (entier, éventuellement négatif)	1
Angle décalé (degrés)	=B1+360*B2

Une fois le tableau collé, les lignes du haut sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Dans le premier tableau, ATAN2(abscisse ; ordonnée) renvoie l’angle avec la correction selon le quadrant déjà faite (dans ]−π ; π]). En prenant MOD avec 2π, on obtient un angle de 0 inclus à 2π exclu. Pour le point de l’exemple (3 ; 4), r = 5 et θ ≈ 0,9273 (environ 53,13 degrés).
Dans le deuxième tableau, RADIANS convertit des degrés en radians. Pour l’exemple r = 2 et θ = 60 degrés, x = 1 et y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel donne des valeurs décimales : utilisez le calculateur de cette page si vous voulez des valeurs exactes comme √3 ou des fractions de π.
Le troisième tableau fabrique d’autres coordonnées polaires du même point. En ajoutant un tour complet, 360 degrés, aux 60 degrés de l’exemple, on obtient 420 degrés. Avec n = −1, on obtient −300 degrés : tous désignent le même point.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau cartésiennes → polaires

Abscisse x	3
Ordonnée y	4
Rayon r	=RACINE(B1^2+B2^2)
Angle θ (radians, 0 ⩽ θ < 2π)	=MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Angle θ (degrés)	=DEGRES(MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tableau polaires → cartésiennes

Rayon r	2
Angle θ (degrés)	60
Abscisse x = r cosθ	=B1*COS(RADIANS(B2))
Ordonnée y = r sinθ	=B1*SIN(RADIANS(B2))

Tableau pour trouver un autre angle du même point

Angle θ (degrés)	60
Nombre de tours n (entier, éventuellement négatif)	1
Angle décalé (degrés)	=B1+360*B2

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (ATAN2 prend ses arguments dans le même ordre, « abscisse ; ordonnée »). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les nombres par vos propres valeurs.

Calculer avec Python

import math

# Cartésiennes → polaires
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # inclut la correction selon le quadrant (−π < θ ⩽ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # on ramène dans l’intervalle 0 ⩽ θ < 2π
print(f"Rayon r = {radius}")
print(f"Angle θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} degrés)")

# Polaires → cartésiennes
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Abscisse x = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Ordonnée y = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) renvoie l’angle avec la correction selon le quadrant déjà faite : contrairement à arctan, il donne la bonne direction même pour les points des quadrants II et III. Ses arguments sont dans l’ordre « y, x », l’inverse de l’écriture des coordonnées, ce qui est une source d’erreur fréquente. La première moitié de cet exemple convertit le point (3 ; 4) ; le programme affiche r = 5 et θ ≈ 0,9272952180016122 rad (environ 53,13 degrés). La seconde moitié fait la conversion inverse avec r = 2 et θ = 60°, et donne x ≈ 1,0000000000000002 et y ≈ 1,7320508075688772 (= √3). Python écrit ces nombres avec un point décimal. x ne vaut pas exactement 1 à cause des erreurs d’arrondi des nombres décimaux (à virgule flottante) ; pour obtenir des valeurs exactes, il faut calculer de façon symbolique, comme le fait le calculateur de cette page. Avec le module cmath de la bibliothèque standard, cmath.polar(complex(3, 4)) donne aussi le rayon et l’angle (dans ]−π ; π]) en une seule étape.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes (deux façons de situer un point)

x = r cosθ ; y = r sinθ

x = r\cos\theta\ ;\quad y = r\sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ ; y = r sin θ

Rayon \(r\) (distance au pôle)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Angle \(\theta\) (à partir de tanθ et du quadrant)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Un même point a plusieurs couples de coordonnées polaires

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

\left(r\,;\,\theta\right) = \left(r\,;\,\theta + 2n\pi\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>;</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans les coordonnées polaires du plan. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

1. Convertis le point de coordonnées cartésiennes (3 ; 4) en coordonnées polaires (r ; θ). Donne le rayon r et l’angle θ (dans l’intervalle [0 ; 2π[, en radians et en degrés).
2. Convertis le point de coordonnées polaires (2 ; 60°) en coordonnées cartésiennes (x ; y). Donne x et y en écriture décimale et, si possible, en valeurs exactes avec √.

En Python, utilise math.atan2 et math.sqrt, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule