Choisissez ce que vous voulez compter, puis entrez le nombre de sortes n et le nombre d’éléments r (ou un mot, pour les anagrammes). La formule ci-dessous est reliée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement dedans.
Entrez n et r sous forme de nombres entiers (n de 1 à 1 000, r de 0 à 1 000). Tous les chiffres de la réponse s’affichent exactement, même s’il y en a des dizaines. Pour les anagrammes, vous pouvez entrer jusqu’à 30 caractères. Les espaces sont ignorées, et majuscules et minuscules comptent comme des lettres différentes.
Résultat et figure
Choisissez ce que vous voulez compter dans les champs à gauche, entrez le nombre de sortes et d’éléments (ou un mot), puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
k-uplets \({}_{n}\Pi_{r}\) (ranger \(r\) éléments, avec répétition)
-
Combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (choisir \(r\) éléments, avec répétition)
-
Anagrammes (réarranger des éléments dont certains sont identiques)
-
Quelle formule utiliser ? (ranger ou choisir × avec ou sans répétition)
-
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Calculez le nombre de k-uplets \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\) : on range \(r\) éléments pris parmi \(n\) sortes, une même sorte pouvant revenir autant de fois qu’on veut (exemple : un code à 4 chiffres formé avec les 10 chiffres de 0 à 9)
- Calculez le nombre de combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) : on choisit \(r\) éléments, une même sorte pouvant être choisie autant de fois qu’on veut (exemple : acheter 5 bouteilles parmi 3 sortes de jus)
- Tapez simplement un mot comme « TOMATO » pour compter ses anagrammes, même quand des lettres se répètent (jusqu’à 30 lettres)
- Vous hésitez entre \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) et \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) ? Un schéma de décision fondé sur « L’ordre compte-t-il ? » et « Peut-on choisir deux fois le même élément ? » vous guide
- Les réponses s’affichent avec tous leurs chiffres, sans arrondi, même quand elles en comptent des dizaines. Pour les très grands nombres, une valeur approchée comme \(1{,}2345 \times 10^{18}\) est ajoutée
- Des figures des combinaisons avec répétition avec des ronds et des barres (la méthode des étoiles et des barres) et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont aussi sur cette page
Si vous voulez seulement les arrangements \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) ou les combinaisons \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) sans répétition (un élément choisi ne peut plus l’être), voyez la page Arrangements et combinaisons.
À quoi sert ce calcul ?
Chiffrer la difficulté de trouver un code ou un mot de passe (sécurité)
Un code à 4 chiffres, comme celui d’une carte bancaire, formé avec les 10 chiffres de 0 à 9 et où le même chiffre peut revenir, a \(10^{4} = 10\,000\) possibilités. Chaque chiffre de plus multiplie ce nombre par 10 : 6 chiffres en donnent 1 million.
Un mot de passe qui peut utiliser 62 sortes de caractères (majuscules, minuscules et chiffres) a \(62^{8} = 218\,340\,105\,584\,896\) possibilités avec 8 caractères (environ 218 000 milliards). La formule des k-uplets permet de comparer ce qu’apportent « plus de sortes de caractères » et « un mot de passe plus long ».
Ce que les données numériques peuvent représenter (informatique)
Un ordinateur représente l’information avec seulement 2 sortes de symboles, 0 et 1. Un octet, suite de 8 de ces symboles, peut prendre \(2^{8} = 256\) valeurs : c’est pourquoi on dit qu’un octet a 256 niveaux.
En « couleurs vraies », avec 8 bits pour le rouge, le vert et le bleu, on obtient \(2^{24} = 16\,777\,216\) couleurs, environ 16,7 millions. Le nombre de couleurs d’un écran, la résolution d’un son numérique, le nombre d’adresses IP… : tout ce qu’un appareil numérique « peut représenter » se ramène aux k-uplets.
Pourquoi le code génétique se lit par 3 lettres (sciences de la vie)
L’ADN est formé de 4 sortes de bases, A, T, G et C, et chaque groupe de 3 à la suite (un codon) correspond à 1 acide aminé qui sert à construire le corps. La même base peut revenir, il y a donc \(4^{3} = 64\) sortes de codons.
Le corps utilise 20 sortes d’acides aminés, et des groupes de 2 n’en donneraient que \(4^{2} = 16\), ce qui ne suffit pas. Les k-uplets montrent pourquoi des groupes de 3 suffisent au fonctionnement du vivant.
Compter les assortiments et les commandes (commerce et restauration)
Composer une boîte de 12 macarons avec 5 parfums, en prenant autant de macarons de chaque parfum qu’on veut, peut se faire de \({}_{5}\mathrm{H}_{12} = {}_{16}\mathrm{C}_{12} = 1\,820\) façons, puisque l’ordre ne compte pas (combinaisons avec répétition).
Compter les commandes ou la répartition d’un stock en « combien de chaque produit » relève du même calcul. Vous pouvez estimer avec de vrais chiffres, et pas seulement au feeling, combien de combinaisons en plus il faudra gérer si l’on ajoute un produit.
Compter les chemins les plus courts (logistique et conception de circuits)
Sur un quadrillage de rues, le nombre de chemins les plus courts qui vont de 3 pâtés de maisons vers la droite et de 2 vers le haut est le nombre d’anagrammes du mot « DDDHH » (D pour droite, H pour haut) : \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\).
Ce calcul sert de base pour estimer le nombre de tournées de livraison possibles ou de tracés de pistes sur un circuit imprimé, et il montre en chiffres à quel point les possibilités explosent quand le quadrillage grandit.
Formules et figures
k-uplets \({}_{n}\Pi_{r}\) (ranger \(r\) éléments, avec répétition)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\) : façons de ranger \(r\) éléments avec répétition
\(=\)
①
\(n\) : nombre de sortes pour chaque place
②
\(r\) : nombre d’éléments à ranger
La formule en mots
①
On multiplie le
\(n\) : nombre de sortes pour chaque place
par lui-même
②
autant de fois que le
\(r\) : nombre d’éléments à ranger
③
et on obtient les
\({}_{n}\Pi_{r}\) : façons de ranger \(r\) éléments avec répétition
Exemple simple
Le nombre de codes à 4 chiffres que l’on peut former avec les 10 chiffres de 0 à 9 est :
codes à 4 chiffres possibles
\(=\)
chiffres possibles par place (10)
nombre de chiffres (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\)
L’idée clé
Comme on peut choisir le même élément autant de fois qu’on veut, le nombre de choix reste \(n\) pour la deuxième place, la troisième, et ainsi de suite : il ne diminue jamais. On multiplie donc par \(n\) à chaque fois, et multiplier \(n\) par lui-même \(r\) fois donne \(n^{r}\).
C’est la seule différence avec les arrangements \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\), où le nombre de choix baisse de 1 à chaque tirage. Demandez-vous « Le stock s’épuise-t-il ou non ? » et vous saurez les distinguer.
Le \(\Pi\) de \({}_{n}\Pi_{r}\) est la lettre grecque pi majuscule, qui désigne un produit (une multiplication) : c’est le P de « produit ».
Mais ce symbole est très peu utilisé en France. Les manuels français disent simplement qu’il y a \(n^{r}\) k-uplets (ou « \(r\)-uplets ») d’un ensemble à \(n\) éléments. Dans une copie, écrire \(n^{r}\) est toujours compris.
Combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (choisir \(r\) éléments, avec répétition)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
façons de choisir \(r\) éléments avec répétition
\(=\)
①
\(n+r-1\) : places des ronds et des barres
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\) : places qui reçoivent un rond
La formule en mots
①
On aligne \(r\) ronds et \(n-1\) barres qui marquent les limites entre sortes. Parmi les
\(n+r-1\) : places des ronds et des barres en tout
,
②
on compte les façons de choisir les
\(r\) : places qui reçoivent un rond
③
et on obtient les
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) : façons de choisir \(r\) éléments avec répétition
Exemple simple
Le nombre de façons d’acheter 5 bouteilles parmi 3 sortes de jus (pomme, orange et raisin), en prenant autant de bouteilles de chaque sorte qu’on veut, est :
façons d’en acheter 5 parmi 3 sortes
\(=\)
places (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
places des ronds (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
L’idée clé
On ne faisait que choisir : pourquoi cela devient-il la combinaison \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) ? Le secret consiste à réécrire le choix avec des ronds et des barres (la méthode des étoiles et des barres). Avant d’apprendre la formule par cœur, suivez les étapes ci-dessous.
D’abord, on fixe l’ordre des sortes : pomme, orange, raisin. Puis on écrit chaque bouteille achetée comme un rond ○ et chaque limite entre deux sortes comme une barre |. Acheter 2 pomme, 1 orange et 2 raisin devient ○○|○|○○. Acheter 3 pomme, 0 orange et 2 raisin devient ○○○||○○. Une sorte dont on n’achète rien apparaît simplement comme deux barres côte à côte : elle s’écrit aussi.
Dans l’autre sens, si on vous montre d’abord une suite de ronds et de barres, vous pouvez y lire exactement une façon d’acheter. Regardez les 3 cases séparées par les barres, de gauche à droite : le nombre de ronds dans chaque case est le nombre de bouteilles de pomme, d’orange et de raisin. ○○||○○○ signifie 2 pomme, 0 orange et 3 raisin. D’un achat à une suite de symboles, et d’une suite de symboles à un achat, il y a toujours exactement une réponse : les achats et les suites de symboles se correspondent un à un, sans oubli ni double compte.
Il ne reste plus qu’à compter les suites de symboles. Les barres séparent 3 sortes, il y en a donc 2 (\(n-1\) en général), et il y a \(r\) ronds, un par bouteille. Cela fait \(n+r-1\) symboles en tout, sur des places numérotées 1, 2, … depuis la gauche. Choisir une suite revient à choisir quelles \(r\) places parmi les \(n+r-1\) reçoivent un rond. C’est alors une combinaison ordinaire, où la même place ne peut pas être choisie deux fois. Voilà pourquoi \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
On peut aussi choisir les places des barres plutôt que celles des ronds : les places restantes reçoivent automatiquement un rond, ce qui revient au même. Écrire \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) donne la même réponse.
Le \(\mathrm{H}\) viendrait de « homogène », comme dans l’ensemble des termes de même degré. Le symbole \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) n’est presque jamais utilisé en France : on écrit directement la réponse sous la forme \(\binom{n+r-1}{r}\), en s’appuyant sur la méthode des étoiles et des barres comme ci-dessus.
Anagrammes (réarranger des éléments dont certains sont identiques)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(N\) : façons de ranger \(n\) éléments dont certains sont identiques
\(=\)
①
\(n!\) : rangements si tous les éléments étaient différents
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\) : façons de permuter les éléments identiques entre eux
La formule en mots
①
On prend les
\(n!\) : rangements si tous les éléments étaient différents
②
on les divise par les
\(p! \times q! \times \cdots\) : façons de permuter les éléments identiques entre eux
pour supprimer les répétitions
③
et on obtient les
\(N\) : façons de ranger \(n\) éléments dont certains sont identiques
Exemple simple
Le nombre de mots (qui ont un sens ou non) obtenus en réarrangeant les 6 lettres de « TOMATO » (deux T, deux O, un M et un A) est :
anagrammes de TOMATO
\(=\)
6 lettres toutes différentes (6!)
\(\div\)
permutations des lettres identiques (2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
L’idée clé
Donnez aux deux T des numéros provisoires, \(\mathrm{T}_1\) et \(\mathrm{T}_2\) : les 6 lettres deviennent toutes différentes, ce qui fait \(6! = 720\) rangements. Mais une fois les numéros effacés, \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) et \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) sont exactement pareils : chaque rangement a été compté deux fois.
Si une lettre apparaît \(p\) fois, les \(p!\) façons de permuter ces \(p\) exemplaires donnent le même mot : on divise donc par \(p!\) pour chaque lettre. Une lettre qui n’apparaît qu’une fois donne \(1! = 1\) : l’écrire ou non ne change pas la réponse.
Attention au sens des lettres ici. Contrairement au \(n\) des deux formules précédentes (le nombre de sortes parmi lesquelles on choisit), le \(n\) de cette formule est le nombre total d’éléments à ranger. « TOMATO » a 4 lettres différentes, T, O, M et A, mais on range 6 lettres : \(n = 6\).
Les \(p,\ q,\ r,\ \dots\) du dénominateur sont les effectifs de chaque sorte : leur somme vaut toujours \(p + q + r + \cdots = n\). Pour TOMATO, \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), le nombre de lettres. Si cette somme ne tombe pas juste, c’est le signe d’un oubli ou d’un double compte. (Le \(r\) ici n’est que la troisième lettre utilisée pour un effectif, pas le « nombre d’éléments \(r\) » des formules précédentes.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) s’appelle aussi un coefficient multinomial. Avec les combinaisons avec répétition, c’est la façon classique de compter des rangements qui contiennent des éléments identiques. Le nombre de chemins les plus courts sur un quadrillage de rues qui vont 3 pâtés de maisons à droite et 2 vers le haut, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), est une autre application de cette formule.
Quelle formule utiliser ? (ranger ou choisir × avec ou sans répétition)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
ranger × un même élément peut être choisi plusieurs fois
②
choisir × un même élément peut être choisi plusieurs fois
③
ranger × un élément choisi ne peut plus l’être
④
choisir × un élément choisi ne peut plus l’être
La formule en mots
①
Si l’ordre compte (rôle, rang ou place d’un chiffre) et qu’un même élément peut être choisi plusieurs fois, on utilise les
k-uplets \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Si seul le choix compte et qu’un même élément peut être choisi plusieurs fois, on utilise les
combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Si l’ordre compte et qu’un élément choisi ne peut plus l’être, on utilise les
arrangements \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Si seul le choix compte et qu’un élément choisi ne peut plus l’être, on utilise les
combinaisons \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Exemple simple
Avec les mêmes nombres 4 et 3, la formule change selon la situation
façons de prendre 3 boules parmi 4 parfums de glace (un parfum peut revenir)
\(=\)
combinaisons avec répétition
façons de désigner le 1er, le 2e et le 3e parmi 4 personnes
\(=\)
arrangements
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
L’idée clé
Avant d’arriver à ces 4 formules, il y a un embranchement. S’agit-il de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) sortes ? Ou les éléments sont-ils déjà devant vous et vous les rangez tous, comme les 6 lettres de TOMATO ? Dans le second cas, il n’y a rien à choisir : au lieu des 4 formules ci-dessus, on compte les anagrammes \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Distinguez d’abord « choisir, puis ranger » et « tout ranger ».
Une fois sûr qu’il s’agit de choisir, vérifiez ces 2 questions dans l’ordre. 1) Range-t-on, ou compte-t-on seulement le groupe choisi ? 2) Un même élément peut-il être choisi deux fois ou plus, ou est-il épuisé une fois pris ?
L’indice pour 1) : chaque place a-t-elle un sens à elle ? Si les places ont des rôles, comme 1er et 2e, président et vice-président, ou 1er et 2e chiffre d’un code, on range. Si seul le groupe compte, comme 2 élèves de corvée de rangement ou le contenu d’un panier, on choisit seulement.
L’indice pour 2) : le stock s’épuise-t-il ? Si choisir n’use rien, comme lancer un dé plusieurs fois, prendre autant de boules du même parfum qu’on veut ou réutiliser le même chiffre, la répétition est permise. Si choisir épuise, comme une personne qui ne peut pas avoir 2 rôles ou un ticket qu’on ne peut pas tirer deux fois, il n’y a pas de répétition.
L’écart entre \(n^{r}\) et \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) grandit avec \(r\) (choisir 4 éléments parmi 10 sortes donne \(10^{4} = 10\,000\) contre \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5\,040\)). Se tromper sur 2) peut presque doubler la réponse : ne sautez pas cette vérification.
Pour ranger avec répétition, on compte les k-uplets \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). Pour seulement choisir avec répétition, on compte les combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Pour ranger tout ce que l’on a quand certains éléments sont identiques, on utilise \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). L’idée clé de ce chapitre : réécrire une combinaison avec répétition avec des ronds et des barres (la méthode des étoiles et des barres) la transforme en une combinaison ordinaire \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Symboles et termes
Symboles
| \(n\) | n | Le nombre de sortes parmi lesquelles on choisit. (Exemple : parmi 3 sortes de jus, \(n = 3\) ; avec les chiffres de 0 à 9, \(n = 10\).) La lettre \(n\), comme « nombre », sert souvent à désigner un effectif. Seulement pour les anagrammes \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\), elle a un autre sens : le nombre total d’éléments à ranger (« TOMATO » a 4 lettres différentes, mais \(n = 6\)). |
| \(r\) | r | Le nombre d’éléments choisis (ou rangés), répétitions permises. (Exemple : acheter 5 bouteilles de jus, \(r = 5\) ; un code à 4 chiffres, \(r = 4\).) Il occupe la même place que dans les symboles \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) et \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Les manuels français l’appellent souvent \(k\) ou \(p\). |
| \(n!\) | factorielle n | Le produit de tous les entiers de \(n\) à \(1\) : le nombre de façons de ranger les \(n\) éléments en ligne. Par convention, \(0! = 1\). (Exemple : \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n pi r | Les k-uplets : le nombre de façons de prendre \(r\) éléments parmi \(n\) sortes, avec répétition, et de les ranger dans l’ordre. Sa valeur est \(n^{r}\). \(\Pi\) est la lettre grecque pi majuscule, qui désigne un produit (le P de « produit »). Les manuels français écrivent simplement \(n^{r}\) sans ce symbole : dans une copie, suivez la notation de votre cours. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | Les combinaisons avec répétition : le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) sortes, avec répétition et sans tenir compte de l’ordre. Sa valeur est \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Le \(\mathrm{H}\) viendrait de « homogène », comme dans l’ensemble des termes de même degré. Ce symbole est rare dans les manuels français, qui écrivent \(\binom{n+r-1}{r}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Les arrangements : le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) et de les mettre dans l’ordre, un élément choisi ne pouvant plus l’être. C’est la notation des calculatrices (P comme « permutation » en anglais) ; les manuels français écrivent \(A_n^r\). |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Les combinaisons : le nombre de façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\), un élément choisi ne pouvant plus l’être et l’ordre ne comptant pas. C comme « combinaison » ; les manuels français écrivent \(\binom{n}{r}\), « \(r\) parmi \(n\) ». |
| \(N\) | N majuscule | Sur cette page, la lettre du nombre d’anagrammes. C’est l’initiale de « nombre » en majuscule, souvent utilisée pour un total que l’on cherche. |
| \(p,\ q\) | p, q | Pour les anagrammes, les lettres qui donnent le nombre d’exemplaires de chaque élément identique. (Exemple : dans « TOMATO », T apparaît \(p = 2\) fois, O \(q = 2\) fois, M une fois et A une fois.) Avec 3 sortes ou plus, on continue avec \(p,\ q,\ r,\ \dots\) (ce \(r\) n’est pas le « nombre d’éléments \(r\) »). Leur somme vaut toujours \(p + q + r + \cdots = n\), le nombre total d’éléments à ranger. |
| \(\bigcirc\) et \(|\) | rond et barre | Les symboles utilisés pour compter les combinaisons avec répétition (la méthode des étoiles et des barres). Un rond ○ est un élément choisi, et une barre \(|\) une limite entre deux sortes. ○○|○|○○ signifie 2 éléments de la première sorte, 1 de la deuxième et 2 de la troisième. |
Termes
| dénombrement | Le fait de compter combien d’issues possibles il y a au total. Les arrangements, les combinaisons et leurs versions avec répétition sont tous des outils pour compter efficacement. |
| répétition | Le fait qu’un même élément apparaisse deux fois ou plus. Dans ce chapitre, cela veut dire qu’un même élément peut être choisi deux fois ou plus. Pour un tirage, on dit aussi « avec remise ». |
| k-uplet | Une liste ordonnée de \(r\) éléments pris parmi \(n\) sortes, où la même sorte peut revenir autant de fois qu’on veut (on dit aussi arrangement avec répétition). Il y en a \(n^{r}\), noté \({}_{n}\Pi_{r}\) avec un symbole. |
| combinaison avec répétition | Un choix de \(r\) éléments parmi \(n\) sortes, où la même sorte peut être choisie autant de fois qu’on veut et où l’ordre ne compte pas. Il y en a \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). |
| anagramme | Un réarrangement de toutes les lettres d’un mot, qu’il ait un sens ou non, comme pour « TOMATO » ; plus généralement, un rangement de \(n\) éléments dont certains sont identiques (en mathématiques, une permutation avec répétition). Il y en a \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) : on divise par les permutations des éléments identiques pour supprimer les répétitions. |
| arrangement | Une façon de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) et de les ranger en ligne, l’ordre comptant. Le symbole est \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (ou \(A_n^r\)), et un élément choisi ne peut plus l’être. |
| combinaison | Une façon de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l’ordre. Le symbole est \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (ou \(\binom{n}{r}\)), et un élément choisi ne peut plus l’être. |
| factorielle | Le produit de tous les entiers de \(n\) à \(1\). Le symbole est \(n!\), et c’est le nombre de façons de ranger les \(n\) éléments. |
| méthode des étoiles et des barres | La méthode qui compte les combinaisons avec répétition avec des symboles : une barre \(|\) marque chaque limite entre deux sortes, et une étoile (un rond ○ sur cette page) chaque élément. Séparer \(n\) sortes demande \(n-1\) barres : le problème revient à choisir les places des ronds parmi \(n+r-1\) places. |
| coefficient multinomial | Un autre nom du nombre d’anagrammes, \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Ce nom vient de ce que les coefficients obtenus en développant \((a+b+c)^{n}\) ont cette forme. |
| arbre | Un schéma à branches qui liste toutes les issues possibles, pour compter chacune exactement une fois. Les k-uplets correspondent à un arbre où chaque branche se divise en un même nombre de branches. |
| chemin le plus court | Sur un quadrillage de rues, un trajet jusqu’à la destination sans détour. Le nombre de chemins les plus courts qui vont de \(p\) pâtés de maisons vers la droite et de \(q\) vers le haut est un nombre d’anagrammes : \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir les points de ce tableau est le plus court chemin.
| Multiplication et division (du CE2 au CM2, 8-11 ans) |
|
| Puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Dénombrement et arbres (collège, 12-15 ans) |
|
| La factorielle (terminale, 17-18 ans) |
|
| Arrangements et combinaisons (terminale, 17-18 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les k-uplets nΠr
| Nombre de sortes n | 10 |
| Éléments à ranger r | 4 |
| k-uplets nΠr | =B1^B2 |
Tableau pour trouver les combinaisons avec répétition nHr
| Nombre de sortes n | 3 |
| Éléments à choisir r | 5 |
| Places des ronds et des barres | =B1+B2-1 |
| Combinaisons avec répétition nHr | =COMBIN(B3;B2) |
Tableau pour trouver le nombre d’anagrammes
| Nombre total de lettres n (TOMATO) | 6 |
| Nombre de T | 2 |
| Nombre de O | 2 |
| Nombre de M | 1 |
| Nombre de A | 1 |
| Nombre d’anagrammes N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Après le collage, les lignes du haut sont vos valeurs et la dernière ligne se calcule automatiquement.
« ^ » est le symbole de puissance, FACT calcule la factorielle et COMBIN est la fonction Excel des combinaisons (nCr).
Le premier tableau correspond au code à 4 chiffres formé avec les 10 chiffres de 0 à 9 : B3 affiche 10000.
Le deuxième correspond à l’achat de 5 bouteilles parmi 3 sortes de jus : B3 affiche 7 (= 3 + 5 − 1) et B4 affiche 21.
Le troisième réarrange « TOMATO » : B6 affiche 180. S’il y a plus de lettres répétées, multipliez d’autres termes FACT au dénominateur.
Attention : Excel ne garde que 15 chiffres significatifs. Quand la réponse compte 16 chiffres ou plus, les derniers chiffres sont arrondis.
« ^ » est le symbole de puissance, FACT calcule la factorielle et COMBIN est la fonction Excel des combinaisons (nCr).
Le premier tableau correspond au code à 4 chiffres formé avec les 10 chiffres de 0 à 9 : B3 affiche 10000.
Le deuxième correspond à l’achat de 5 bouteilles parmi 3 sortes de jus : B3 affiche 7 (= 3 + 5 − 1) et B4 affiche 21.
Le troisième réarrange « TOMATO » : B6 affiche 180. S’il y a plus de lettres répétées, multipliez d’autres termes FACT au dénominateur.
Attention : Excel ne garde que 15 chiffres significatifs. Quand la réponse compte 16 chiffres ou plus, les derniers chiffres sont arrondis.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les k-uplets nΠr
| Nombre de sortes n | 10 |
| Éléments à ranger r | 4 |
| k-uplets nΠr | =B1^B2 |
Tableau pour trouver les combinaisons avec répétition nHr
| Nombre de sortes n | 3 |
| Éléments à choisir r | 5 |
| Places des ronds et des barres | =B1+B2-1 |
| Combinaisons avec répétition nHr | =COMBIN(B3;B2) |
Tableau pour trouver le nombre d’anagrammes
| Nombre total de lettres n (TOMATO) | 6 |
| Nombre de T | 2 |
| Nombre de O | 2 |
| Nombre de M | 1 |
| Nombre de A | 1 |
| Nombre d’anagrammes N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Les mêmes formules que dans Excel (FACT et COMBIN) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et adaptez les nombres à votre situation.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et adaptez les nombres à votre situation.
Calculer avec Python
import math
from collections import Counter
# 1) k-uplets (r éléments parmi n sortes, répétition permise, l’ordre compte)
kinds = 10 # nombre de sortes n (les 10 chiffres de 0 à 9)
picks = 4 # nombre d’éléments à ranger r (4 chiffres)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) combinaisons avec répétition (r éléments parmi n sortes, répétition permise, l’ordre ne compte pas)
juice_kinds = 3 # nombre de sortes n (3 sortes de jus)
bottles = 5 # nombre d’éléments à choisir r (5 bouteilles)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) anagrammes (réarranger un mot dont des lettres se répètent)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"k-uplets (ranger {picks} parmi {kinds} sortes) : {repeated_permutations}")
print(f"Combinaisons avec répétition (choisir {bottles} parmi {juice_kinds} sortes) : {repeated_combinations}")
print(f"Anagrammes de {word} : {same_item_permutations}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard (math.comb n’existe pas dans les très anciennes versions de Python). L’exécution affiche 10000, 21 et 180. Les entiers de Python n’ont pas de limite de chiffres, donc la réponse reste exacte même avec des centaines de chiffres. Modifiez les nombres et le mot en haut, puis exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
k-uplets \({}_{n}\Pi_{r}\) (ranger \(r\) éléments, avec répétition)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Combinaisons avec répétition \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (choisir \(r\) éléments, avec répétition)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Anagrammes (réarranger des éléments dont certains sont identiques)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en dénombrement (arrangements et combinaisons). Fais les 3 calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). 1. Combien de codes à 4 chiffres peut-on former avec les 10 chiffres de 0 à 9 ? (Un même chiffre peut être utilisé plusieurs fois.) 2. De combien de façons peut-on acheter 5 bouteilles parmi 3 sortes de jus, en prenant autant de bouteilles de chaque sorte qu’on veut ? (On ne compte que le nombre de bouteilles de chaque sorte, pas l’ordre des achats.) 3. Combien de mots différents peut-on former en réarrangeant les 6 lettres de « TOMATO » ? Pour chacun, indique si tu as utilisé les k-uplets, les combinaisons avec répétition ou les anagrammes (permutations avec répétition), explique pourquoi, et donne les nombres obtenus à l’exécution. En Python, utilise le module math (math.comb et math.factorial) et collections.Counter.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Arrangements et combinaisons (nPr, nCr)
Compte les rangements (arrangements) et les choix (combinaisons) quand un élément ne peut pas être choisi deux fois
Permutations circulaires (table ronde et collier)
Compte les rangements en cercle (permutations circulaires) et les colliers, où un retournement ne change rien
