Wählen Sie aus, was gezählt werden soll, und geben Sie die Anzahl der Sorten n und die Anzahl der Elemente r ein (beim Umordnen von Buchstaben ein Wort). Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch die Zahlen direkt in der Formel ändern.
Geben Sie n und r als ganze Zahlen ein (n von 1 bis 1000, r von 0 bis 1000). Jede Stelle der Antwort wird exakt angezeigt, auch bei dutzenden Stellen. Beim Umordnen von Buchstaben können Sie bis zu 30 Zeichen eingeben. Leerzeichen werden ignoriert, und Groß- und Kleinbuchstaben zählen als verschiedene Buchstaben.
Ergebnis und Figur
Wählen Sie in den Feldern links aus, was gezählt werden soll, geben Sie die Anzahl der Sorten und der Elemente (oder ein Wort) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
-
Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
-
Permutationen mit gleichen Elementen (Umordnen von Elementen, unter denen gleiche vorkommen)
-
Welche Formel nehmen Sie? (anordnen oder nur auswählen × mit oder ohne Wiederholung)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Berechnen Sie die Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\), bei denen \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten angeordnet werden und dieselbe Sorte beliebig oft vorkommen darf (Beispiel: eine 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9)
- Berechnen Sie die Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\), bei denen \(r\) Elemente ausgewählt werden und dieselbe Sorte beliebig oft gewählt werden darf (Beispiel: 5 Flaschen aus 3 Saftsorten kaufen)
- Geben Sie einfach ein Wort wie „TOMATO“ ein, um die Anzahl der Umordnungen von Buchstaben mit Wiederholungen zu zählen (Permutationen mit gleichen Elementen, bis zu 30 Buchstaben)
- Unsicher, ob Sie \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) oder \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) verwenden sollen? Ein Entscheidungsdiagramm mit den Fragen „Zählt die Reihenfolge?“ und „Darf dasselbe Element noch einmal gewählt werden?“ ist enthalten
- Die Antworten erscheinen auch bei dutzenden Stellen in allen Stellen, ohne zu runden. Bei langen Antworten wird ein Näherungswert wie \(1{,}2345 \cdot 10^{18}\) ergänzt
- Abbildungen zu Kombinationen mit Wiederholung mit Kreisen und Trennstrichen (Sterne und Striche) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Wenn Sie nur die Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) oder Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) ohne Wiederholung brauchen (ein Element kann nach der Auswahl nicht noch einmal gewählt werden), sehen Sie sich die Seite „Kombinatorik Rechner“ an.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
In Zahlen fassen, wie schwer eine PIN oder ein Passwort zu knacken ist (Sicherheit)
Eine 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, bei der dieselbe Ziffer beliebig oft vorkommen darf, hat \(10^{4} = 10.000\) Möglichkeiten. Jede zusätzliche Ziffer multipliziert das mit 10, also ergeben 6 Ziffern 1 Million.
Ein Passwort, das 62 Arten von Zeichen verwenden darf (Großbuchstaben, Kleinbuchstaben und Ziffern), hat bei 8 Zeichen \(62^{8} = 218.340.105.584.896\) Möglichkeiten (etwa 218 Billionen). Mit der Formel für Variationen mit Wiederholung lässt sich vergleichen, wie viel „mehr Zeichenarten“ und „ein längeres Passwort“ jeweils bringen.
Wie viel digitale Daten ausdrücken können (Computer)
Computer stellen Informationen mit nur 2 Arten von Zeichen dar, 0 und 1. Ein Byte, eine Reihe aus 8 davon, kann \(2^{8} = 256\) Muster zeigen. Deshalb sagt man, ein Byte habe 256 Stufen.
Echtfarben mit je 8 Bit für Rot, Grün und Blau ergeben \(2^{24} = 16.777.216\) Farben, etwa 16,7 Millionen. Die Zahl der Bildschirmfarben, die Bittiefe von Audio, die Zahl der IP-Adressen und so weiter, das „Wie viel lässt sich darstellen“ jedes digitalen Geräts, läuft auf Variationen mit Wiederholung hinaus.
Warum der genetische Code jeweils 3 Buchstaben verwendet (Biowissenschaften)
DNA besteht aus 4 Arten von Basen, A, T, G und C, und jede Gruppe von 3 hintereinander (ein Codon) steht für 1 Aminosäure, die zum Aufbau des Körpers dient. Dieselbe Base kann sich wiederholen, also gibt es \(4^{3} = 64\) Arten von Codons.
Der Körper verwendet 20 Arten von Aminosäuren, und Gruppen zu 2 ergäben nur \(4^{2} = 16\), was nicht reicht. Variationen mit Wiederholung bestätigen, warum Gruppen zu 3 ausreichen, damit das Leben funktioniert.
Die Anzahl von Sortimenten und Bestellungen zählen (Handel und Gastronomie)
Eine Pralinenschachtel mit 10 Pralinen aus 5 Sorten, wobei jede Sorte beliebig oft vorkommen darf, lässt sich auf \({}_{5}\mathrm{H}_{10} = {}_{14}\mathrm{C}_{10} = 1.001\) Arten zusammenstellen, weil die Reihenfolge nicht zählt (Kombinationen mit Wiederholung).
Bestellungen oder Bestandsaufteilungen nach „wie viele von welchem Produkt“ zu zählen, ist dieselbe Art von Rechnung. Sie können mit echten Zahlen statt nach Gefühl abschätzen, wie viele Muster Sie zusätzlich verwalten müssen, wenn Sie ein weiteres Produkt aufnehmen.
Kürzeste Wege zählen (Logistik und Schaltungsentwurf)
In einem Gitter aus Straßenblöcken ist die Anzahl der kürzesten Wege mit 3 Blöcken nach rechts und 2 Blöcken nach oben gleich der Anzahl der Umordnungen der 5 Buchstaben „R, R, R, O, O“, also \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\). Permutationen mit gleichen Elementen passen hier direkt.
Diese Rechnung ist die Grundlage, um die Anzahl möglicher Lieferrouten oder Verdrahtungsmuster auf einer Leiterplatte abzuschätzen, und sie zeigt in Zahlen, wie explosionsartig die Möglichkeiten wachsen, wenn das Gitter größer wird.
Formeln und Abbildungen
Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\): Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente mit Wiederholung anzuordnen
\(=\)
①
\(n\): Anzahl der Sorten für jeden Platz
②
\(r\): Anzahl der anzuordnenden Elemente
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(n\): Anzahl der Sorten für jeden Platz
mit sich selbst,
②
und zwar so oft, wie die
\(r\): Anzahl der anzuordnenden Elemente
angibt,
③
und Sie erhalten die
\({}_{n}\Pi_{r}\): Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente mit Wiederholung anzuordnen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 10 Ziffern 0 bis 9 eine 4-stellige PIN zu bilden, ist
Möglichkeiten für eine 4-stellige PIN
\(=\)
Ziffern für jede Stelle (10)
Anzahl der Stellen (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000\)
Der Kerngedanke
Weil dasselbe Element beliebig oft gewählt werden darf, bleibt die Anzahl der Möglichkeiten für den zweiten Platz, den dritten Platz und so weiter bei \(n\). Sie sinkt nie. Sie multiplizieren also jedes Mal mit \(n\), und \(n\)-mal \(r\)-fach mit sich selbst multipliziert ergibt \(n^{r}\).
Das ist der einzige Unterschied zu den Variationen ohne Wiederholung \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \cdot (n-1) \cdot \cdots\), bei denen die Auswahl mit jeder Wahl um 1 sinkt. Fragen Sie sich „Geht der Vorrat aus oder nicht?“, dann können Sie beide unterscheiden.
Das \(\Pi\) in \({}_{n}\Pi_{r}\) ist der griechische Großbuchstabe Pi, der für ein Produkt (eine Multiplikation) steht. Es entspricht dem P in „Produkt“.
Diese Schreibweise wird allerdings bei weitem nicht so oft verwendet wie \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) und \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Die meisten deutschen Schulbücher sagen einfach, dass die Anzahl der Variationen mit Wiederholung \(n^{r}\) ist (oft mit \(k\) statt \(r\): \(n^{k}\)). In Hausaufgaben und Klausuren wird \(n^{r}\) immer verstanden.
Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente mit Wiederholung auszuwählen
\(=\)
①
\(n+r-1\): Plätze für Kreise und Striche
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\): Plätze, die einen Kreis bekommen
Die Formel in Worten
①
Reihen Sie \(r\) Kreise und \(n-1\) Trennstriche auf, die die Grenzen zwischen den Sorten markieren. Von den
\(n+r-1\): Plätze für Kreise und Striche insgesamt
,
②
zählen Sie die Möglichkeiten, die
\(r\): Plätze, die einen Kreis bekommen
auszuwählen,
③
und Sie erhalten die
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\): Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente mit Wiederholung auszuwählen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, aus 3 Saftsorten (Apfel, Orange und Traube) 5 Flaschen zu kaufen, wobei jede Sorte beliebig oft vorkommen darf, ist
Möglichkeiten, 5 aus 3 Sorten zu kaufen
\(=\)
Plätze (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
Plätze für Kreise (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\)
Der Kerngedanke
Es ging doch nur ums Auswählen, warum wird daraus die Kombination \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)? Das Geheimnis ist das Umschreiben der Auswahl in Kreise und Striche (ein Verfahren, das als „Sterne und Striche“ bekannt ist). Bevor Sie es als Formel auswendig lernen, gehen Sie die folgenden Schritte durch.
Legen Sie zuerst die Reihenfolge der Sorten fest: Apfel, Orange, Traube. Schreiben Sie dann jede gekaufte Flasche als Kreis ○ und jede Grenze zwischen den Sorten als Strich |. Der Kauf von 2 Apfel, 1 Orange und 2 Trauben wird zu ○○|○|○○. Der Kauf von 3 Apfel, 0 Orange und 2 Trauben wird zu ○○○||○○. Eine Sorte, von der Sie nichts kaufen, erscheint einfach als zwei Striche nebeneinander, lässt sich also auch schreiben.
Geht man den umgekehrten Weg und bekommt zuerst eine Reihe aus Kreisen und Strichen gezeigt, lässt sich daraus genau eine Art des Kaufs ablesen. Betrachten Sie die 3 durch die Striche getrennten Abschnitte von links nach rechts. Die Anzahl der Kreise in jedem Abschnitt ist die Anzahl der Flaschen Apfel, Orange und Traube. ○○||○○○ bedeutet 2 Apfel, 0 Orange und 3 Trauben. Von einem Kauf zu einer Zeichenreihe und von einer Zeichenreihe zurück zu einem Kauf gibt es immer genau eine Antwort. Käufe und Zeichenreihen entsprechen sich also eins zu eins, ohne dass etwas fehlt oder doppelt gezählt wird.
Nun müssen Sie nur noch die Zeichenreihen zählen. Die Striche trennen 3 Sorten, es sind also 2 (allgemein \(n-1\)), und es gibt \(r\) Kreise, einen für jede Flasche. Das ergibt \(n+r-1\) Zeichen insgesamt, an den von links mit 1, 2, … nummerierten Plätzen. Eine Reihe auszuwählen ist dasselbe, wie auszuwählen, welche \(r\) der \(n+r-1\) nummerierten Plätze einen Kreis bekommen. An dieser Stelle ist es nur noch eine gewöhnliche Kombination, bei der derselbe Platz nicht zweimal gewählt werden kann. Deshalb gilt \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Sie können auch die Plätze für die Striche statt für die Kreise wählen. Die übrigen Plätze bekommen automatisch Kreise, es kommt also auf dasselbe hinaus. \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) ergibt dieselbe Antwort.
Das \(\mathrm{H}\) soll von „homogen“ stammen, wie in der Menge aller Terme desselben Grades. Die Schreibweise \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) wird in deutschen Schulbüchern selten verwendet. Dort schreibt man das Ergebnis einfach als \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) oder \(\binom{n+r-1}{r}\) und nutzt dazu Sterne und Striche wie oben.
Permutationen mit gleichen Elementen (Umordnen von Elementen, unter denen gleiche vorkommen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(N\): Anzahl der Anordnungen von \(n\) Elementen, unter denen gleiche vorkommen
\(=\)
①
\(n!\): Anordnungen, wenn jedes Element verschieden wäre
\(\div\)
②
\(p! \cdot q! \cdot \cdots\): Umordnungen gleicher Elemente untereinander
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(n!\): Anordnungen, wenn jedes Element verschieden wäre
②
teilen Sie sie durch die
\(p! \cdot q! \cdot \cdots\): Umordnungen gleicher Elemente untereinander
(um die Doppelungen zu entfernen)
③
und Sie erhalten die
\(N\): Anzahl der Anordnungen von \(n\) Elementen, unter denen gleiche vorkommen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Zeichenfolgen, die Sie durch Umordnen der 6 Buchstaben von „TOMATO“ bilden können (zwei T, zwei O, ein M und ein A), ist
Umordnungen von TOMATO
\(=\)
6 Buchstaben, alle verschieden (6!)
\(\div\)
Umordnungen gleicher Buchstaben (2! · 2! · 1! · 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
Der Kerngedanke
Geben Sie den beiden T vorläufige Nummern, \(\mathrm{T}_1\) und \(\mathrm{T}_2\), dann sind alle 6 Buchstaben verschieden, und es gibt \(6! = 720\) Anordnungen. Löschen Sie die Nummern aber wieder, sehen \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) und \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) genau gleich aus, also wurde jede Anordnung doppelt gezählt.
Kommt ein Buchstabe \(p\)-mal vor, sehen alle \(p!\) Umordnungen dieser \(p\) Exemplare gleich aus, also teilen Sie für jede Sorte von Buchstaben durch \(p!\). Ein Buchstabe, der nur einmal vorkommt, ergibt \(1! = 1\), es ändert also nichts an der Antwort, ob Sie ihn hinschreiben oder nicht.
Achten Sie darauf, was die Buchstaben hier bedeuten. Anders als das \(n\) in den beiden Formeln oben (die Anzahl der Sorten, aus denen Sie auswählen) ist das \(n\) in dieser Formel die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. „TOMATO“ hat 4 Sorten von Buchstaben, T, O, M und A, aber Sie ordnen 6 Buchstaben an, also ist \(n = 6\).
Die \(p,\ q,\ r,\ \dots\) im Nenner sind die Anzahlen jeder Sorte, sie ergeben also immer zusammen \(p + q + r + \cdots = n\). Bei TOMATO ist \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), was zur Buchstabenzahl passt. Stimmt diese Summe nicht, ist etwas übersehen oder doppelt gezählt worden. (Das \(r\) hier ist nur der dritte Buchstabe, der für eine Anzahl verwendet wird. Es ist nicht die „Anzahl der Elemente \(r\)“ aus den obigen Formeln.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) heißt auch Multinomialkoeffizient. Zusammen mit den Kombinationen mit Wiederholung ist es eine klassische Methode, Anordnungen mit gleichen Elementen zu zählen. Die Anzahl der kürzesten Wege in einem Gitter aus Straßenblöcken mit 3 Blöcken nach rechts und 2 Blöcken nach oben, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), ist eine weitere Anwendung dieser Formel.
Welche Formel nehmen Sie? (anordnen oder nur auswählen × mit oder ohne Wiederholung)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
anordnen × dasselbe Element darf beliebig oft gewählt werden
②
nur auswählen × dasselbe Element darf beliebig oft gewählt werden
③
anordnen × ein gewähltes Element kann nicht noch einmal gewählt werden
④
nur auswählen × ein gewähltes Element kann nicht noch einmal gewählt werden
Die Formel in Worten
①
Zählt die Reihenfolge (Rolle, Rang oder Ziffernstelle) und darf dasselbe Element beliebig oft gewählt werden, nehmen Sie die
Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Zählt nur die Auswahl und darf dasselbe Element beliebig oft gewählt werden, nehmen Sie die
Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Zählt die Reihenfolge und kann ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden, nehmen Sie die
Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Zählt nur die Auswahl und kann ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden, nehmen Sie die
Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Einfaches Beispiel
Selbst bei denselben Zahlen 4 und 3 ändert sich die Formel mit der Situation
Möglichkeiten, 3 Kugeln aus 4 Eissorten zu kaufen (jede Sorte darf sich wiederholen)
\(=\)
Kombinationen mit Wiederholung
Möglichkeiten, aus 4 Personen den 1., 2. und 3. Platz zu bestimmen
\(=\)
Variationen
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\)
Der Kerngedanke
Bevor Sie zu diesen 4 kommen, gibt es eine Weggabelung. Wählen Sie \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten aus? Oder liegen die Elemente schon vor Ihnen und Sie ordnen alle an, wie die 6 Buchstaben von TOMATO? Im zweiten Fall wird nicht gewählt, also nehmen Sie statt der 4 Formeln oben die Permutationen mit gleichen Elementen \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Unterscheiden Sie zuerst „auswählen, dann anordnen“ und „alles anordnen, was man hat“.
Wissen Sie, dass es um eine Auswahl geht, prüfen Sie diese 2 Fragen in dieser Reihenfolge. (1) Ordnen Sie an, oder zählen Sie nur die Auswahl? (2) Darf dasselbe Element zwei- oder mehrmals gewählt werden, oder ist es nach der Wahl erledigt?
Der Hinweis für (1) ist, ob jeder Platz eine eigene Bedeutung hat. Haben die Plätze Rollen, etwa 1. und 2. Platz, Kapitän und Vizekapitän oder die 1. und 2. Stelle einer PIN, dann ordnen Sie an. Zählt nur die Gruppe, etwa 2 Personen für den Ordnungsdienst oder der Inhalt eines Einkaufskorbs, dann wählen Sie nur aus.
Der Hinweis für (2) ist, ob der Vorrat ausgeht. Wird beim Wählen nichts verbraucht, etwa wenn Sie einen Würfel immer wieder werfen, beliebig viele Stücke derselben Sorte kaufen oder dieselbe Ziffer wieder verwenden, ist Wiederholung erlaubt. Wird etwas verbraucht, etwa weil eine Person nicht 2 Rollen haben kann oder dasselbe Los nicht zweimal gezogen werden kann, gibt es keine Wiederholung.
Der Abstand zwischen \(n^{r}\) und \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) wächst mit \(r\) (4 aus 10 Sorten ergeben \(10^{4} = 10.000\) gegenüber \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5.040\)). Wer (2) verwechselt, kann die Antwort fast verdoppeln, überspringen Sie diese Prüfung also nicht.
Zum Anordnen mit Wiederholung nehmen Sie die Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). Zum bloßen Auswählen mit Wiederholung nehmen Sie die Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Um alles anzuordnen, was Sie haben, wenn einige Elemente gleich sind, nehmen Sie \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Der Kerngedanke dieses Themas ist, dass das Umschreiben einer Kombination mit Wiederholung in Kreise und Striche (Sterne und Striche) sie in eine gewöhnliche Kombination \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) verwandelt.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Anzahl der Sorten, aus denen Sie auswählen. (Beispiel: Bei der Auswahl aus 3 Saftsorten ist \(n = 3\), bei den Ziffern 0 bis 9 ist \(n = 10\).) Der Buchstabe \(n\) wird häufig für eine Anzahl verwendet. Nur bei den Permutationen mit gleichen Elementen \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) bedeutet er etwas anderes: die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente („TOMATO“ hat 4 Sorten von Buchstaben, aber \(n = 6\)). |
| \(r\) | r | Die Anzahl der Elemente, die Sie mit Wiederholung auswählen (oder anordnen), in vielen deutschen Schulbüchern \(k\). (Beispiel: Beim Kauf von 5 Flaschen Saft ist \(r = 5\), bei einer 4-stelligen PIN \(r = 4\).) Es steht an derselben Stelle wie in den Symbolen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) und \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) für Variationen und Kombinationen. |
| \(n!\) | n Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\). Es ist die Anzahl der Möglichkeiten, alle \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen. Per Definition gilt \(0! = 1\). (Beispiel: \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n Pi r | Variationen mit Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten mit Wiederholung auszuwählen und der Reihe nach anzuordnen. Ihr Wert ist \(n^{r}\). \(\Pi\) ist der griechische Großbuchstabe Pi, der für ein Produkt steht. Die meisten deutschen Schulbücher schreiben einfach \(n^{r}\) ohne dieses Symbol, folgen Sie also der Schreibweise, die Sie im Unterricht gelernt haben. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | Kombinationen mit Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten mit Wiederholung auszuwählen, wobei die Reihenfolge nicht zählt. Ihr Wert ist \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Das \(\mathrm{H}\) soll von „homogen“ stammen, wie in der Menge aller Terme desselben Grades. Dieses Symbol sieht man in deutschen Schulbüchern selten, sie schreiben stattdessen \(\binom{n+r-1}{r}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Variationen: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und der Reihe nach anzuordnen, wobei ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden kann. P steht für „Permutation“. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Kombinationen: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen, wobei ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden kann und die Reihenfolge nicht zählt. C steht für „Combination“. In Schulbüchern als \(\binom{n}{k}\), „\(n\) über \(k\)“, geschrieben. |
| \(N\) | großes N | Auf dieser Seite der Buchstabe für die Anzahl der Permutationen mit gleichen Elementen. Er wird oft für eine Gesamtzahl verwendet, die man finden möchte. |
| \(p,\ q\) | p, q | Bei den Permutationen mit gleichen Elementen die Buchstaben dafür, wie viele Exemplare jedes gleichen Elements es gibt. (Beispiel: In „TOMATO“ kommt T \(p = 2\)-mal vor, O \(q = 2\)-mal, M einmal und A einmal.) Bei 3 oder mehr Sorten geht es mit \(p,\ q,\ r,\ \dots\) weiter (dieses \(r\) ist nicht die „Anzahl der Elemente \(r\)“). Sie ergeben immer zusammen \(p + q + r + \cdots = n\), die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. |
| \(\bigcirc\) und \(|\) | Kreis und Strich | Die Zeichen, mit denen Kombinationen mit Wiederholung gezählt werden (ein Verfahren, das als „Sterne und Striche“ bekannt ist). Ein Kreis ○ ist ein gewähltes Element, und ein Strich \(|\) ist eine Grenze zwischen Sorten. ○○|○|○○ bedeutet 2 der ersten Sorte, 1 der zweiten und 2 der dritten. |
Begriffe
| Kombinatorik | Das Abzählen, wie viele mögliche Ausgänge es insgesamt gibt. Variationen, Kombinationen und ihre Versionen mit Wiederholung sind alle Werkzeuge, um effizient zu zählen. |
| Wiederholung | Dasselbe Element kommt zwei- oder mehrmals vor. In diesem Thema bedeutet es, dass dasselbe Element zwei- oder mehrmals gewählt werden darf. Man spricht auch von Auswählen „mit Zurücklegen“. |
| Variation mit Wiederholung | Eine Anordnung von \(r\) Elementen, die aus \(n\) Sorten gewählt werden, wobei dieselbe Sorte beliebig oft gewählt werden darf und die Reihenfolge zählt. Es gibt \(n^{r}\) davon, als Symbol \({}_{n}\Pi_{r}\) geschrieben. |
| Kombination mit Wiederholung | Eine Auswahl von \(r\) Elementen aus \(n\) Sorten, wobei dieselbe Sorte beliebig oft gewählt werden darf und die Reihenfolge nicht zählt. Es gibt \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) davon. |
| Permutation mit gleichen Elementen | Eine Anordnung aller \(n\) Elemente, wenn einige davon gleich sind, wie in „TOMATO“. Es gibt \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) davon: Man teilt durch die Umordnungen gleicher Elemente, um die Doppelungen zu entfernen. Auch Permutation mit Wiederholung genannt. |
| Variation | Eine Möglichkeit, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und in eine Reihe zu bringen, wobei die Reihenfolge zählt. Das Symbol ist \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), und ein gewähltes Element kann nicht noch einmal gewählt werden. |
| Kombination | Eine Möglichkeit, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge nicht zählt. Das Symbol ist \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\), und ein gewähltes Element kann nicht noch einmal gewählt werden. |
| Fakultät | Das Multiplizieren aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\). Das Symbol ist \(n!\), und es gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, alle \(n\) Elemente anzuordnen. |
| Sterne und Striche | Das Verfahren, Kombinationen mit Wiederholung mit Zeichen zu zählen (englisch „stars and bars“): Ein Strich \(|\) markiert jede Grenze zwischen Sorten, und ein Stern (auf dieser Seite ein Kreis ○) markiert jedes Element. Um \(n\) Sorten zu trennen, braucht man \(n-1\) Striche, und das Problem wird zur Auswahl der Plätze für die Kreise aus \(n+r-1\) Plätzen. |
| Multinomialkoeffizient | Ein anderer Name für die Anzahl der Permutationen mit gleichen Elementen, \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Der Name kommt daher, dass die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von \((a+b+c)^{n}\) entstehen, diese Form haben. |
| Baumdiagramm | Ein verzweigtes Diagramm, das jeden möglichen Ausgang auflistet, sodass Sie jeden genau einmal zählen. Variationen mit Wiederholung entsprechen einem Baum, bei dem sich jeder Ast in gleich viele Äste teilt. |
| kürzester Weg | In einem Straßengitter ein Weg zum Ziel ohne Umwege (ein Gitterweg). Die Anzahl der kürzesten Wege mit \(p\) Blöcken nach rechts und \(q\) Blöcken nach oben ist die Anzahl der Permutationen mit gleichen Elementen \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Tabelle noch einmal durchzugehen.
| Multiplikation und Division (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Abzählen von Möglichkeiten und Baumdiagramme (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Fakultäten (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
| Variationen und Kombinationen (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Variationen mit Wiederholung nΠr
| Anzahl der Sorten n | 10 |
| Anzahl der anzuordnenden Elemente r | 4 |
| Variationen mit Wiederholung nΠr | =B1^B2 |
Tabelle zur Berechnung der Kombinationen mit Wiederholung nHr
| Anzahl der Sorten n | 3 |
| Anzahl der auszuwählenden Elemente r | 5 |
| Plätze für Kreise und Striche | =B1+B2-1 |
| Kombinationen mit Wiederholung nHr | =KOMBINATIONEN(B3;B2) |
Tabelle zur Berechnung der Permutationen mit gleichen Elementen
| Gesamtzahl der Buchstaben n (TOMATO) | 6 |
| Anzahl der T | 2 |
| Anzahl der O | 2 |
| Anzahl der M | 1 |
| Anzahl der A | 1 |
| Anzahl der Anordnungen N | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B3)*FAKULTÄT(B4)*FAKULTÄT(B5)) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
„^“ ist das Zeichen für die Potenz, FAKULTÄT ist die Fakultät, und KOMBINATIONEN ist die Excel-Funktion für Kombinationen (nCr).
Die erste Tabelle ist die 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, und B3 zeigt 10000.
Die zweite Tabelle ist der Kauf von 5 Flaschen aus 3 Saftsorten. B3 zeigt 7 (= 3 + 5 − 1) und B4 zeigt 21.
Die dritte Tabelle ordnet „TOMATO“ um, und B6 zeigt 180. Gibt es mehr Sorten wiederholter Buchstaben, multiplizieren Sie im Nenner weitere FAKULTÄT-Terme nach demselben Muster.
Beachten Sie, dass Excel nur 15 signifikante Stellen speichert, sodass bei einer Antwort mit 16 oder mehr Stellen die letzten Stellen gerundet werden.
„^“ ist das Zeichen für die Potenz, FAKULTÄT ist die Fakultät, und KOMBINATIONEN ist die Excel-Funktion für Kombinationen (nCr).
Die erste Tabelle ist die 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, und B3 zeigt 10000.
Die zweite Tabelle ist der Kauf von 5 Flaschen aus 3 Saftsorten. B3 zeigt 7 (= 3 + 5 − 1) und B4 zeigt 21.
Die dritte Tabelle ordnet „TOMATO“ um, und B6 zeigt 180. Gibt es mehr Sorten wiederholter Buchstaben, multiplizieren Sie im Nenner weitere FAKULTÄT-Terme nach demselben Muster.
Beachten Sie, dass Excel nur 15 signifikante Stellen speichert, sodass bei einer Antwort mit 16 oder mehr Stellen die letzten Stellen gerundet werden.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Variationen mit Wiederholung nΠr
| Anzahl der Sorten n | 10 |
| Anzahl der anzuordnenden Elemente r | 4 |
| Variationen mit Wiederholung nΠr | =B1^B2 |
Tabelle zur Berechnung der Kombinationen mit Wiederholung nHr
| Anzahl der Sorten n | 3 |
| Anzahl der auszuwählenden Elemente r | 5 |
| Plätze für Kreise und Striche | =B1+B2-1 |
| Kombinationen mit Wiederholung nHr | =KOMBINATIONEN(B3;B2) |
Tabelle zur Berechnung der Permutationen mit gleichen Elementen
| Gesamtzahl der Buchstaben n (TOMATO) | 6 |
| Anzahl der T | 2 |
| Anzahl der O | 2 |
| Anzahl der M | 1 |
| Anzahl der A | 1 |
| Anzahl der Anordnungen N | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B3)*FAKULTÄT(B4)*FAKULTÄT(B5)) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (FAKULTÄT und KOMBINATIONEN heißen in Google Tabellen genauso, wenn die Sprache auf Deutsch eingestellt ist).
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ändern Sie die Zahlen passend zu Ihrer Situation.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ändern Sie die Zahlen passend zu Ihrer Situation.
Mit Python berechnen
import math
from collections import Counter
# 1) Variationen mit Wiederholung (r aus n Sorten wählen, Wiederholung erlaubt, die Reihenfolge zählt)
kinds = 10 # Anzahl der Sorten n (die 10 Ziffern 0-9)
picks = 4 # Anzahl der anzuordnenden Elemente r (4 Stellen)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) Kombinationen mit Wiederholung (r aus n Sorten wählen, Wiederholung erlaubt, die Reihenfolge zählt nicht)
juice_kinds = 3 # Anzahl der Sorten n (3 Saftsorten)
bottles = 5 # Anzahl der auszuwählenden Elemente r (5 Flaschen)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) Permutationen mit gleichen Elementen (ein Wort mit doppelten Buchstaben umordnen)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"Variationen mit Wiederholung ({picks} aus {kinds} Sorten anordnen): {repeated_permutations}")
print(f"Kombinationen mit Wiederholung ({bottles} aus {juice_kinds} Sorten auswählen): {repeated_combinations}")
print(f"Umordnungen von {word}: {same_item_permutations}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek (math.comb braucht Python 3.8 oder neuer). Beim Ausführen zeigt er 10000, 21 und 180. Ganze Zahlen in Python haben keine Stellenobergrenze, das Ergebnis bleibt also auch mit hunderten Stellen exakt. Ändern Sie die Zahlen und das Wort am Anfang und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Variationen mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Kombinationen mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Permutationen mit gleichen Elementen (Umordnen von Elementen, unter denen gleiche vorkommen)
N = n! ÷ (p! · q! · r! · ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Kombinatorik (Variationen und Kombinationen). Führen Sie die folgenden 3 Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). 1. Wie viele 4-stellige PINs lassen sich aus den 10 Ziffern 0 bis 9 bilden? (Dieselbe Ziffer darf beliebig oft vorkommen.) 2. Auf wie viele Arten lassen sich 5 Flaschen aus 3 Saftsorten kaufen, wobei jede Sorte beliebig oft vorkommen darf? (Zählen Sie nur, wie viele von jeder Sorte, nicht die Reihenfolge der Auswahl.) 3. Wie viele verschiedene Zeichenfolgen lassen sich durch Umordnen der 6 Buchstaben von „TOMATO“ bilden? Sagen Sie bei jeder Aufgabe, ob Sie Variationen mit Wiederholung, Kombinationen mit Wiederholung oder Permutationen mit gleichen Elementen verwendet haben, erklären Sie warum, und zeigen Sie die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Verwenden Sie in Python das Modul math (math.comb und math.factorial) und collections.Counter.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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