Wählen Sie, was gezählt werden soll, und geben Sie die Anzahl der Sorten n und die Anzahl r ein (beim Umstellen eines Wortes das Wort). Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
n und r sind ganze Zahlen (n von 1 bis 1.000, r von 0 bis 1.000). Das Ergebnis wird auch mit Dutzenden Stellen exakt angezeigt. Beim Umstellen eines Wortes sind bis zu 30 Zeichen möglich; Leerzeichen werden ignoriert, Groß- und Kleinbuchstaben zählen als verschiedene Zeichen.
Ergebnis und Figur
Wählen Sie links, was gezählt werden soll, geben Sie die Anzahl der Sorten und der Elemente (oder ein Wort) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Variation mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
-
Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
-
Permutation mit Wiederholung (Umstellungen mit gleichen Elementen)
-
Welche Formel passt? (anordnen oder nur auswählen × mit oder ohne Wiederholung)
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Die Variation mit Wiederholung \(n^{r}\) (\({}_{n}\Pi_{r}\)) berechnen: \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten anordnen, wobei jede Sorte beliebig oft vorkommen darf (Beispiel: eine 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9)
- Die Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) berechnen: \(r\) Elemente auswählen, wobei jede Sorte beliebig oft gewählt werden darf (Beispiel: 5 Flaschen aus 3 Saftsorten kaufen)
- Einfach ein Wort wie „TOMATO“ eingeben und zählen, wie viele Umstellungen es gibt, wenn Buchstaben mehrfach vorkommen (Permutation mit Wiederholung, bis 30 Zeichen)
- Unsicher, ob \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) oder \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) passt? Ein Entscheidungsdiagramm mit den Fragen „Zählt die Reihenfolge?“ und „Darf dasselbe mehrfach gewählt werden?“ hilft weiter
- Das Ergebnis wird auch mit Dutzenden Stellen vollständig ohne Rundung angezeigt. Bei langen Zahlen steht zusätzlich ein Näherungswert wie \(1{,}2345 \cdot 10^{18}\)
- Außerdem: Abbildungen zur Kombination mit Wiederholung mit Kreisen und Trennstrichen sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Brauchen Sie nur Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) oder Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) ohne Wiederholung (ein gewähltes Element kann nicht noch einmal gewählt werden), nutzen Sie den Kombinatorik-Rechner für nPr und nCr.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wie sicher sind PIN und Passwort? (IT-Sicherheit)
Eine 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, bei der dieselbe Ziffer beliebig oft vorkommen darf, hat \(10^{4} = 10.000\) Möglichkeiten. Jede weitere Stelle verzehnfacht das, 6 Stellen ergeben 1 Million.
Ein Passwort aus 62 Zeichensorten (Groß- und Kleinbuchstaben und Ziffern) hat bei 8 Zeichen \(62^{8} = 218.340.105.584.896\) Möglichkeiten (etwa 218 Billionen). Mit der Formel der Variation mit Wiederholung vergleichen Sie, wie viel „mehr Zeichensorten“ und „ein längeres Passwort“ jeweils bringen.
Wie viel digitale Daten darstellen können (Informatik)
Computer stellen Informationen mit nur 2 Zeichen dar, 0 und 1. Ein Byte, eine Reihe aus 8 davon, kann \(2^{8} = 256\) Muster darstellen – daher die 256 Stufen eines Bytes.
Echtfarben mit je 8 Bit für Rot, Grün und Blau ergeben \(2^{24} = 16.777.216\) Farben, rund 16,8 Millionen. Die Zahl der Bildschirmfarben, die Bittiefe bei Audio, die Zahl der IP-Adressen – wie viel ein digitales Gerät darstellen kann, ist immer eine Variation mit Wiederholung.
Warum der genetische Code aus Dreiergruppen besteht (Biologie)
Die DNA besteht aus 4 Basen, A, T, G und C. Je 3 aufeinanderfolgende Basen (ein Codon) stehen für 1 Aminosäure, aus der der Körper aufgebaut wird. Dieselbe Base darf sich wiederholen, also gibt es \(4^{3} = 64\) Codons.
Der Körper verwendet 20 Aminosäuren. Mit Zweiergruppen gäbe es nur \(4^{2} = 16\) – zu wenig. Die Variation mit Wiederholung zeigt, warum Dreiergruppen für das Leben ausreichen.
Sortiments- und Bestellvarianten zählen (Handel und Gastronomie)
Eine Schachtel mit 10 Pralinen aus 5 Sorten, bei der jede Sorte beliebig oft vorkommen darf, lässt sich auf \({}_{5}\mathrm{H}_{10} = {}_{14}\mathrm{C}_{10} = 1.001\) Arten füllen, denn die Reihenfolge spielt keine Rolle (Kombination mit Wiederholung).
Bestellungen oder Lagerbestände nach dem Muster „wie viele von welchem Artikel“ zu zählen, ist dieselbe Rechnung. So schätzen Sie mit echten Zahlen statt nach Gefühl, wie viele Varianten zusätzlich zu verwalten sind, wenn ein Artikel hinzukommt.
Kürzeste Wege zählen (Logistik und Schaltungsentwurf)
In einem Straßengitter ist die Zahl der kürzesten Wege mit 3 Blöcken nach rechts und 2 nach oben gleich der Zahl der Umstellungen der 5 Buchstaben „R, R, R, O, O“ (rechts, oben): \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\). Hier hilft direkt die Permutation mit Wiederholung.
Auf dieser Rechnung beruht die Abschätzung möglicher Lieferrouten oder Leiterbahnen auf einer Platine. Sie zeigt in Zahlen, wie explosionsartig die Möglichkeiten wachsen, wenn das Gitter größer wird.
Formeln und Abbildungen
Variation mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\({}_{n}\Pi_{r}\): Anordnungen von \(r\) Elementen mit Wiederholung
\(=\)
①
\(n\): Auswahl an Sorten je Platz
②
\(r\): Anzahl der Plätze
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(n\): Auswahl an Sorten je Platz
so oft mit sich selbst, wie die
②
\(r\): Anzahl der Plätze
angibt,
③
erhält man die
\({}_{n}\Pi_{r}\): Anordnungen von \(r\) Elementen mit Wiederholung
Einfaches Beispiel
So viele 4-stellige PINs lassen sich aus den 10 Ziffern 0 bis 9 bilden:
4-stellige PINs
\(=\)
Ziffern je Stelle (10)
Stellen (4)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
Der Grundgedanke
Weil dasselbe beliebig oft gewählt werden darf, bleibt die Auswahl auch am zweiten, dritten … Platz bei \(n\) – sie wird nie kleiner. Man multipliziert also jedes Mal mit \(n\), und \(r\)-mal \(n\) ergibt \(n^{r}\).
Das ist der einzige Unterschied zu den Variationen ohne Wiederholung \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\), bei denen die Auswahl mit jedem Zug um 1 sinkt. Fragen Sie sich: „Wird der Vorrat kleiner oder nicht?“ – dann unterscheiden Sie die beiden sicher (im Urnenmodell: Ziehen mit oder ohne Zurücklegen).
Das \(\Pi\) in \({}_{n}\Pi_{r}\) ist das große griechische Pi, das Zeichen für ein Produkt.
In deutschen Schulbüchern ist das Zeichen \({}_{n}\Pi_{r}\) allerdings nicht üblich. Dort heißt es einfach: Die Anzahl der Variationen mit Wiederholung ist \(n^{k}\). In Hausaufgaben und Klausuren wird \(n^{r}\) immer verstanden.
Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Auswahlen von \(r\) Elementen mit Wiederholung
\(=\)
①
\(n+r-1\): Plätze für Kreise und Striche
\(\mathrm{C}\)
②
\(r\): Plätze mit Kreis
Die Formel in Worten
①
Man legt \(r\) Kreise und \(n-1\) Trennstriche zwischen die Sorten. Von den
\(n+r-1\): Plätzen für Kreise und Striche insgesamt
wählt man die
②
\(r\): Plätze, auf die ein Kreis kommt
. Die Anzahl dieser Auswahlen ist die
③
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\): Anzahl der Auswahlen von \(r\) Elementen mit Wiederholung
Einfaches Beispiel
So viele Möglichkeiten gibt es, 5 Flaschen aus 3 Saftsorten (Apfel, Orange, Traube) zu kaufen, wenn jede Sorte beliebig oft vorkommen darf:
5 Flaschen aus 3 Sorten
\(=\)
Plätze (3 + 5 − 1 = 7)
\(\mathrm{C}\)
Plätze mit Kreis (5)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
Der Grundgedanke
Eigentlich wählt man nur aus – warum wird daraus die Kombination \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)? Der Trick ist, die Auswahl in Kreise und Trennstriche zu übersetzen (im Englischen „Stars and Bars“). Gehen Sie die Schritte unten durch, bevor Sie die Formel auswendig lernen.
Legen Sie zuerst die Reihenfolge der Sorten fest: Apfel, Orange, Traube. Schreiben Sie dann jede gekaufte Flasche als Kreis ○ und jede Grenze zwischen zwei Sorten als Strich |. 2 Apfel, 1 Orange und 2 Traube werden zu ○○|○|○○. 3 Apfel, 0 Orange und 2 Traube werden zu ○○○||○○. Eine Sorte, von der man nichts kauft, erscheint einfach als zwei Striche nebeneinander – auch das lässt sich schreiben.
Umgekehrt liest man aus jeder Reihe aus Kreisen und Strichen genau einen Einkauf ab. Betrachten Sie die 3 Abschnitte zwischen den Strichen von links nach rechts: Die Zahl der Kreise in jedem Abschnitt ist die Zahl der Flaschen Apfel, Orange und Traube. ○○||○○○ bedeutet 2 Apfel, 0 Orange und 3 Traube. Vom Einkauf zur Zeichenreihe und von der Zeichenreihe zurück zum Einkauf gibt es immer genau eine Antwort. Einkäufe und Zeichenreihen entsprechen sich also eins zu eins – nichts fehlt, nichts wird doppelt gezählt.
Jetzt muss man nur noch die Zeichenreihen zählen. Die Striche trennen 3 Sorten, es sind also 2 (allgemein \(n-1\)), und es gibt \(r\) Kreise, einen pro Flasche. Das sind zusammen \(n+r-1\) Zeichen auf Plätzen, die von links mit 1, 2, … nummeriert sind. Eine Reihe auszuwählen heißt, festzulegen, welche \(r\) der \(n+r-1\) Plätze einen Kreis bekommen. Das ist eine ganz normale Kombination, bei der derselbe Platz nicht zweimal gewählt werden kann. Deshalb gilt \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Man kann statt der Kreise auch die Plätze für die Striche wählen; die übrigen Plätze bekommen automatisch Kreise. \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) ergibt deshalb dasselbe.
Das \(\mathrm{H}\) soll von „homogen“ kommen (die Gesamtheit aller Glieder gleichen Grades). In deutschen Schulbüchern ist das Zeichen \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) unüblich. Dort schreibt man das Ergebnis direkt als Binomialkoeffizient \(\binom{n+r-1}{r}\) (meist \(\binom{n+k-1}{k}\)) und begründet es wie oben mit Kreisen und Strichen.
Permutation mit Wiederholung (Umstellungen mit gleichen Elementen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(N\): Anordnungen von \(n\) Elementen mit gleichen Elementen
\(=\)
①
\(n!\): Anordnungen, wenn alle verschieden wären
\(\div\)
②
\(p! \times q! \times \cdots\): Vertauschungen gleicher Elemente untereinander
Die Formel in Worten
①
Teilt man die
\(n!\): Anordnungen, wenn alle verschieden wären,
②
durch die
\(p! \times q! \times \cdots\): Vertauschungen gleicher Elemente untereinander
und streicht so die Mehrfachzählungen,
③
erhält man die
\(N\): Anordnungen von \(n\) Elementen mit gleichen Elementen
Einfaches Beispiel
So viele Zeichenfolgen entstehen, wenn man die 6 Buchstaben von „TOMATO“ (englisch für Tomate) umstellt (zweimal T, zweimal O, einmal M, einmal A):
Umstellungen von TOMATO
\(=\)
6 verschiedene Buchstaben (6!)
\(\div\)
Vertauschungen gleicher Buchstaben (2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
Der Grundgedanke
Geben Sie den beiden T vorübergehend Nummern, \(\mathrm{T}_1\) und \(\mathrm{T}_2\). Dann sind alle 6 Buchstaben verschieden, und es gibt \(6! = 720\) Anordnungen. Wischt man die Nummern wieder weg, sehen \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) und \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) genau gleich aus – jede Anordnung wurde doppelt gezählt.
Kommt ein Buchstabe \(p\)-mal vor, sehen alle \(p!\) Vertauschungen dieser \(p\) Exemplare gleich aus. Man teilt deshalb für jede Buchstabensorte durch \(p!\). Ein Buchstabe, der nur einmal vorkommt, liefert \(1! = 1\) – ob man ihn hinschreibt oder nicht, ändert nichts.
Achten Sie hier auf die Bedeutung der Buchstaben: Anders als das \(n\) in den beiden Formeln oben (die Zahl der Sorten, aus denen gewählt wird) ist \(n\) hier die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. „TOMATO“ hat 4 Buchstabensorten, T, O, M und A, aber Sie ordnen 6 Buchstaben an, also \(n = 6\).
Die \(p,\ q,\ r,\ \dots\) im Nenner sind die Anzahlen je Sorte, deshalb gilt immer \(p + q + r + \cdots = n\). Bei TOMATO ist \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\), passend zur Buchstabenzahl. Stimmt diese Summe nicht, haben Sie etwas übersehen oder doppelt gezählt. (Das \(r\) ist hier nur der dritte Buchstabe für eine Anzahl, nicht die „Anzahl \(r\)“ aus den Formeln oben.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) heißt auch Multinomialkoeffizient. Neben der Kombination mit Wiederholung ist er der klassische Weg, Anordnungen mit gleichen Elementen zu zählen. Auch die Zahl der kürzesten Wege in einem Straßengitter, die 3 Blöcke nach rechts und 2 nach oben führen, \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\), ist eine Anwendung dieser Formel.
Welche Formel passt? (anordnen oder nur auswählen × mit oder ohne Wiederholung)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
anordnen × dasselbe darf beliebig oft gewählt werden
②
nur auswählen × dasselbe darf beliebig oft gewählt werden
③
anordnen × ein gewähltes Element ist danach weg
④
nur auswählen × ein gewähltes Element ist danach weg
Die Formel in Worten
①
Zählt die Reihenfolge (Rolle, Platz oder Stelle) und darf dasselbe beliebig oft gewählt werden, nimmt man die
Variation mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
②
Zählt nur, was ausgewählt wird, und darf dasselbe beliebig oft gewählt werden, nimmt man die
Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
③
Zählt die Reihenfolge und ist ein gewähltes Element danach weg, nimmt man die
Variation ohne Wiederholung \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
④
Zählt nur, was ausgewählt wird, und ist ein gewähltes Element danach weg, nimmt man die
Kombination ohne Wiederholung \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
Einfaches Beispiel
Auch mit denselben Zahlen 4 und 3 hängt die Formel von der Situation ab
3 Kugeln Eis aus 4 Sorten (jede Sorte beliebig oft)
\(=\)
Kombination mit Wiederholung
Platz 1, 2 und 3 aus 4 Personen vergeben
\(=\)
Variation
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
Der Grundgedanke
Vor diesen 4 Fällen gibt es noch eine Weggabelung: Wählen Sie \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten aus? Oder liegen die Elemente schon vor Ihnen und Sie ordnen alle an, wie die 6 Buchstaben von TOMATO? Im zweiten Fall wird nichts ausgewählt – statt der 4 Formeln oben nehmen Sie die Permutation mit Wiederholung \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Unterscheiden Sie also zuerst „auswählen, dann anordnen“ und „alles Vorhandene anordnen“.
Steht fest, dass ausgewählt wird, prüfen Sie diese 2 Fragen in dieser Reihenfolge: 1) Ordnen Sie an, oder zählt nur, was ausgewählt wird? 2) Darf dasselbe zwei- oder mehrmals gewählt werden, oder ist es nach dem Ziehen weg?
Das Merkmal für 1) ist, ob jeder Platz eine eigene Bedeutung hat. Haben die Plätze Rollen – Platz 1 und 2, Kapitän und Stellvertreter, die 1. und 2. Stelle einer PIN –, dann ordnen Sie an. Zählt nur die Gruppe – zwei Schüler für den Tafeldienst, der Inhalt eines Einkaufskorbs –, dann wählen Sie nur aus.
Das Merkmal für 2) ist, ob der Vorrat kleiner wird. Verbraucht das Wählen nichts – wie beim wiederholten Würfeln, beim Kauf beliebig vieler Kugeln derselben Sorte oder bei einer Ziffer, die wieder vorkommen darf –, ist Wiederholung erlaubt (Ziehen mit Zurücklegen). Wird etwas verbraucht – eine Person kann nicht 2 Rollen haben, dasselbe Los kann nicht zweimal gezogen werden –, gibt es keine Wiederholung (Ziehen ohne Zurücklegen).
Der Abstand zwischen \(n^{r}\) und \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) wächst mit \(r\) (4 aus 10 Sorten: \(10^{4} = 10000\) gegenüber \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\)). Wer Frage 2) verwechselt, liegt fast um den Faktor 2 daneben – überspringen Sie diese Prüfung also nicht.
Kurz zusammengefasst für die Kombinatorik mit Wiederholung – anordnen mit Wiederholung: Variation mit Wiederholung \(n^{r}\). Nur auswählen mit Wiederholung: Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Alles Vorhandene anordnen, wenn manche Elemente gleich sind: Permutation mit Wiederholung \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\). Der Kernpunkt: Übersetzt man eine Kombination mit Wiederholung in Kreise und Trennstriche, wird sie zur gewöhnlichen Kombination \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Zahl der Sorten, aus denen gewählt wird (Beispiel: 3 Saftsorten, \(n = 3\); die Ziffern 0 bis 9, \(n = 10\)). Nur bei der Permutation mit Wiederholung \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) bedeutet \(n\) etwas anderes: die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente („TOMATO“ hat 4 Buchstabensorten, aber \(n = 6\)). |
| \(r\) | r | Die Anzahl der Elemente, die mit Wiederholung ausgewählt (oder angeordnet) werden (Beispiel: 5 Flaschen Saft, \(r = 5\); eine 4-stellige PIN, \(r = 4\)). Sie steht an derselben Stelle wie in \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) und \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). In deutschen Schulbüchern heißt sie meist \(k\). |
| \(n!\) | n Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\) – die Anzahl der Anordnungen aller \(n\) Elemente in einer Reihe. Festgelegt ist \(0! = 1\). (Beispiel: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n Pi r | Variation mit Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten mit Wiederholung auszuwählen und anzuordnen. Ihr Wert ist \(n^{r}\). \(\Pi\) ist das große griechische Pi, das Zeichen für ein Produkt. Deutsche Schulbücher schreiben ohne dieses Zeichen einfach \(n^{k}\) – halten Sie sich an die Schreibweise aus dem Unterricht. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | Kombination mit Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) Elemente aus \(n\) Sorten mit Wiederholung auszuwählen, ohne Reihenfolge. Ihr Wert ist \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\). Das \(\mathrm{H}\) soll von „homogen“ kommen. In deutschen Schulbüchern steht stattdessen \(\binom{n+k-1}{k}\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Variationen ohne Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und anzuordnen, wobei ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden kann. Das P kommt vom englischen „permutation“ (Taste nPr auf dem Taschenrechner). |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Kombinationen ohne Wiederholung: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen, ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge – der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{r}\). Das C steht für „Combination“ (Taste nCr auf dem Taschenrechner). |
| \(N\) | großes N | Auf dieser Seite der Buchstabe für die Anzahl der Anordnungen bei der Permutation mit Wiederholung. Großbuchstaben wie \(N\) stehen oft für eine gesuchte Gesamtzahl. |
| \(p,\ q\) | p, q | Bei der Permutation mit Wiederholung die Buchstaben für die Anzahl gleicher Elemente je Sorte (Beispiel: In „TOMATO“ kommt T \(p = 2\)-mal vor, O \(q = 2\)-mal, M und A je einmal). Bei 3 oder mehr Sorten geht es mit \(p,\ q,\ r,\ \dots\) weiter (dieses \(r\) ist nicht die „Anzahl \(r\)“). Die Summe ist immer \(p + q + r + \cdots = n\), die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. |
| \(\bigcirc\) und \(|\) | Kreis und Trennstrich | Die Zeichen, mit denen man Kombinationen mit Wiederholung zählt. Ein Kreis ○ ist ein gewähltes Stück, ein Trennstrich \(|\) die Grenze zwischen zwei Sorten. ○○|○|○○ bedeutet: 2 von der ersten Sorte, 1 von der zweiten und 2 von der dritten. |
Begriffe
| Kombinatorik | Das Teilgebiet der Mathematik, das abzählt, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt. Variationen, Kombinationen und ihre Formen mit Wiederholung sind Werkzeuge, um geschickt zu zählen. |
| Wiederholung | Dasselbe Element kommt zwei- oder mehrmals vor. In diesem Thema heißt „mit Wiederholung“, dass dasselbe mehrmals gewählt werden darf – im Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen“. |
| Variation mit Wiederholung | Eine Anordnung von \(r\) Elementen aus \(n\) Sorten, bei der jede Sorte beliebig oft vorkommen darf und die Reihenfolge zählt. Es gibt \(n^{r}\) Möglichkeiten (auf dieser Seite auch \({}_{n}\Pi_{r}\) geschrieben). |
| Kombination mit Wiederholung | Eine Auswahl von \(r\) Elementen aus \(n\) Sorten, bei der jede Sorte beliebig oft gewählt werden darf und die Reihenfolge keine Rolle spielt. Es gibt \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \binom{n+r-1}{r}\) Möglichkeiten. |
| Permutation mit Wiederholung | Eine Anordnung aller \(n\) Elemente, wenn manche gleich sind, wie bei „TOMATO“. Es gibt \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) Möglichkeiten: Man teilt durch die Vertauschungen gleicher Elemente. Achtung: Im Englischen bezeichnet „permutation with repetition“ dagegen meist die Variation mit Wiederholung \(n^{r}\). |
| Variation | Eine Auswahl von \(r\) aus \(n\) Elementen, bei der die Reihenfolge zählt. Zeichen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\); ohne Wiederholung kann ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden. |
| Kombination | Eine Auswahl von \(r\) aus \(n\) Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge. Zeichen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) oder \(\binom{n}{r}\); ohne Wiederholung kann ein gewähltes Element nicht noch einmal gewählt werden. |
| Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\). Zeichen \(n!\); es gibt die Anzahl der Anordnungen aller \(n\) Elemente an. |
| Trennstrich | Das Zeichen \(|\), das beim Zählen von Kombinationen mit Wiederholung die Grenze zwischen zwei Sorten markiert (im Englischen „Stars and Bars“). Für \(n\) Sorten braucht man \(n-1\) Striche; die Aufgabe wird so zur Wahl der Kreisplätze unter \(n+r-1\) Plätzen. |
| Multinomialkoeffizient | Ein anderer Name für die Anzahl \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) der Permutation mit Wiederholung. Der Name kommt daher, dass beim Ausmultiplizieren von \((a+b+c)^{n}\) die Koeffizienten genau diese Form haben. |
| Baumdiagramm | Ein verzweigtes Diagramm, das alle Möglichkeiten auflistet, sodass jede genau einmal gezählt wird. Eine Variation mit Wiederholung entspricht einem Baum, bei dem sich jeder Ast in gleich viele Äste teilt. |
| kürzester Weg | In einem Straßengitter ein Weg zum Ziel ohne Umwege. Die Zahl der kürzesten Wege, die \(p\) Blöcke nach rechts und \(q\) Blöcke nach oben führen, ist die Permutation mit Wiederholung \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\). |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten die Themen in dieser Liste.
| Multiplizieren und Dividieren (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–9, 10–15 Jahre) |
|
| Abzählen mit Baumdiagrammen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Die Fakultät (Klasse 10 oder Oberstufe, 15–17 Jahre) |
|
| Variationen und Kombinationen (Klasse 10 oder Oberstufe, 15–17 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Variation mit Wiederholung nΠr
| Anzahl der Sorten n | 10 |
| Anzuordnen r | 4 |
| Variation mit Wiederholung nΠr | =B1^B2 |
Tabelle für die Kombination mit Wiederholung nHr
| Anzahl der Sorten n | 3 |
| Auszuwählen r | 5 |
| Plätze für Kreise und Striche | =B1+B2-1 |
| Kombination mit Wiederholung nHr | =KOMBINATIONEN(B3;B2) |
Tabelle für die Permutation mit Wiederholung
| Buchstaben insgesamt n (TOMATO) | 6 |
| Anzahl T | 2 |
| Anzahl O | 2 |
| Anzahl M | 1 |
| Anzahl A | 1 |
| Anordnungen N | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B3)*FAKULTÄT(B4)*FAKULTÄT(B5)) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
„^“ ist das Zeichen für Potenzen, FAKULTÄT berechnet die Fakultät und KOMBINATIONEN die Kombinationen (nCr).
Die erste Tabelle ist die 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, B3 zeigt 10000.
Die zweite Tabelle ist der Kauf von 5 Flaschen aus 3 Saftsorten: B3 zeigt 7 (= 3 + 5 − 1), B4 zeigt 21.
Die dritte Tabelle stellt „TOMATO“ um, B6 zeigt 180. Gibt es mehr Sorten doppelter Buchstaben, multiplizieren Sie im Nenner weitere FAKULTÄT-Terme hinzu.
Beachten Sie: Excel rechnet nur mit 15 gültigen Stellen. Hat das Ergebnis 16 oder mehr Stellen, werden die letzten Stellen gerundet.
„^“ ist das Zeichen für Potenzen, FAKULTÄT berechnet die Fakultät und KOMBINATIONEN die Kombinationen (nCr).
Die erste Tabelle ist die 4-stellige PIN aus den 10 Ziffern 0 bis 9, B3 zeigt 10000.
Die zweite Tabelle ist der Kauf von 5 Flaschen aus 3 Saftsorten: B3 zeigt 7 (= 3 + 5 − 1), B4 zeigt 21.
Die dritte Tabelle stellt „TOMATO“ um, B6 zeigt 180. Gibt es mehr Sorten doppelter Buchstaben, multiplizieren Sie im Nenner weitere FAKULTÄT-Terme hinzu.
Beachten Sie: Excel rechnet nur mit 15 gültigen Stellen. Hat das Ergebnis 16 oder mehr Stellen, werden die letzten Stellen gerundet.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Variation mit Wiederholung nΠr
| Anzahl der Sorten n | 10 |
| Anzuordnen r | 4 |
| Variation mit Wiederholung nΠr | =B1^B2 |
Tabelle für die Kombination mit Wiederholung nHr
| Anzahl der Sorten n | 3 |
| Auszuwählen r | 5 |
| Plätze für Kreise und Striche | =B1+B2-1 |
| Kombination mit Wiederholung nHr | =KOMBINATIONEN(B3;B2) |
Tabelle für die Permutation mit Wiederholung
| Buchstaben insgesamt n (TOMATO) | 6 |
| Anzahl T | 2 |
| Anzahl O | 2 |
| Anzahl M | 1 |
| Anzahl A | 1 |
| Anordnungen N | =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B3)*FAKULTÄT(B4)*FAKULTÄT(B5)) |
In Google Tabellen mit deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und passen Sie die Zahlen an Ihre Situation an.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und passen Sie die Zahlen an Ihre Situation an.
So berechnen Sie es in Python
import math
from collections import Counter
# 1) Variation mit Wiederholung (r aus n Sorten, Wiederholung erlaubt, Reihenfolge zählt)
kinds = 10 # Anzahl der Sorten n (die 10 Ziffern 0-9)
picks = 4 # Anzahl r der Plätze (4 Stellen)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) Kombination mit Wiederholung (r aus n Sorten, Wiederholung erlaubt, ohne Reihenfolge)
juice_kinds = 3 # Anzahl der Sorten n (3 Saftsorten)
bottles = 5 # Anzahl r (5 Flaschen)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) Permutation mit Wiederholung (Wort mit doppelten Buchstaben umstellen)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"Variation mit Wiederholung ({picks} aus {kinds} Sorten anordnen): {repeated_permutations}")
print(f"Kombination mit Wiederholung ({bottles} aus {juice_kinds} Sorten wählen): {repeated_combinations}")
print(f"Umstellungen von {word}: {same_item_permutations}")
Es genügt die Standardbibliothek (math.comb gibt es ab Python 3.8). Die Ausgabe ist 10000, 21 und 180. Ganze Zahlen haben in Python keine Stellenbegrenzung, deshalb bleibt das Ergebnis auch mit Hunderten Stellen exakt. Ändern Sie die Zahlen und das Wort am Anfang und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Variation mit Wiederholung \({}_{n}\Pi_{r}\) (\(r\) Elemente anordnen, Wiederholung erlaubt)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
Kombination mit Wiederholung \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) (\(r\) Elemente auswählen, Wiederholung erlaubt)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
Permutation mit Wiederholung (Umstellungen mit gleichen Elementen)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Kombinatorik (Variationen und Kombinationen). Führen Sie die folgenden 3 Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Wie viele 4-stellige PINs lassen sich aus den 10 Ziffern 0 bis 9 bilden? (Dieselbe Ziffer darf beliebig oft vorkommen.) 2. Auf wie viele Arten kann man 5 Flaschen aus 3 Saftsorten kaufen, wenn jede Sorte beliebig oft vorkommen darf? (Es zählt nur, wie viele von jeder Sorte, nicht die Reihenfolge.) 3. Wie viele verschiedene Zeichenfolgen entstehen, wenn man die 6 Buchstaben von „TOMATO“ umstellt? Geben Sie jeweils an, ob Sie Variation mit Wiederholung, Kombination mit Wiederholung oder Permutation mit Wiederholung verwendet haben, begründen Sie das und nennen Sie die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Verwenden Sie in Python das Modul math (math.comb und math.factorial) und collections.Counter.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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