Satz des Pythagoras – Rechner für Hypotenuse und Katheten

Geben Sie von den drei Seiten a, b und c des rechtwinkligen Dreiecks (c ist die Hypotenuse) nur die zwei bekannten ein. Der Satz des Pythagoras liefert die fehlende Seite; dazu erscheinen die beiden spitzen Winkel, der Flächeninhalt, der Umfang und die Höhe auf die Hypotenuse.

Kathete a

Kathete b

Hypotenuse c

Geben Sie nur zwei Seiten ein (die gesuchte bleibt leer). Die Längen sind Zahlen größer als 0 (auch Dezimalzahlen), alle in derselben Einheit (z. B. alle in cm).

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die zwei bekannten Seitenlängen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle Rechner von NumberChef

Das können Sie auf dieser Seite

Zwei der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks eingeben – der Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) liefert sofort die dritte
Fragen wie „Ich kenne nur 3 m in die eine und 4 m in die andere Richtung – wie lang ist die Schräge?“ beantworten Sie in einem Schritt
Neben der fehlenden Seite berechnet der Rechner die beiden spitzen Winkel, den Flächeninhalt, den Umfang und die Höhe auf die Hypotenuse – mit Rechenweg
Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Das funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken (ein Winkel ist genau 90°). Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Für Dreiecke ohne rechten Winkel gilt der Satz nicht.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Abschätzen, wie hoch eine Leiter reicht (Heimwerken und Baustelle)

Lehnen Sie eine 5 m lange Leiter so an die Wand, dass ihr Fuß 1,5 m von der Wand entfernt steht, reicht sie \(\sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m hoch (gut 4,7 m).
Damit die Leiter nicht umkippt oder wegrutscht, steht ihr Fuß immer etwas von der Wand weg – für Anlegeleitern empfehlen die Berufsgenossenschaften einen Anstellwinkel von 65° bis 75° (hier etwa 72,5°). Die Leiter reicht deshalb nie so hoch, wie sie lang ist. Diese Abschätzung vor der Arbeit gehört auf Bau- und Elektrobaustellen zum Grundhandwerk.

Rechte Winkel abstecken mit 3-4-5 (Zimmerei und Fundament)

Messen Sie an der einen Kante 3 m und an der anderen 4 m ab. Sind die beiden Markierungen genau 5 m voneinander entfernt, ist die Ecke rechtwinklig (wegen \(3^2 + 4^2 = 5^2\) folgt das aus der Umkehrung des Satzes des Pythagoras). Im Kleinen nimmt man 60, 80 und 100 cm – jedes pythagoreische Tripel funktioniert.
Diese „3-4-5-Regel“ wird seit Tausenden von Jahren genutzt – von den Seilspannern im alten Ägypten bis zum heutigen Schnurgerüst für Fundamente und Terrassen. Sie ist die praktischste Anwendung des Satzes des Pythagoras im Alltag.

Luftlinie auf der Karte (auch beim Programmieren)

Ein Ort 300 m östlich und 400 m nördlich von Ihnen ist in Luftlinie \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\) m entfernt.
Den Abstand zweier Punkte aus dem Unterschied in Ost-West- und Nord-Süd-Richtung zu berechnen, ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras. Er steckt in fast jedem Programm, das mit Positionen arbeitet – im Navi, in Karten-Apps, im GPS und in Videospielen.

Schräge Länge von Treppen und Rampen (Planung und Renovierung)

Eine Treppe, die waagerecht 3,6 m weit läuft und dabei 2,7 m ansteigt, ist schräg gemessen \(\sqrt{3{,}6^2 + 2{,}7^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\) m lang.
Die Länge jedes schrägen Bauteils, etwa eines Treppenhandlaufs oder eines Rampenbretts, ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras aus den waagerechten und senkrechten Maßen im Plan. So schätzen Sie das Material schon vor dem Baumarkt ab.

Formeln und Abbildungen

Der Satz des Pythagoras (Beziehung der drei Seiten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(a^2\): Kathete \(a\) zum Quadrat \(+\) ② \(b^2\): Kathete \(b\) zum Quadrat \(=\) ③ \(c^2\): Hypotenuse \(c\) zum Quadrat

Die Formel in Worten

① \(a^2\): Kathete \(a\) zum Quadrat

② plus \(b^2\): Kathete \(b\) zum Quadrat

③ ist genau gleich \(c^2\): Hypotenuse \(c\) zum Quadrat

Einfaches Beispiel

Probe an einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5

Kathete a zum Quadrat (3² = 9) \(+\) Kathete b zum Quadrat (4² = 16) \(=\) Hypotenuse c zum Quadrat (5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

Der Grundgedanke

Die Hypotenuse \(c\) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Die Gleichung gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Sie gilt aber auch umgekehrt: Erfüllen die drei Seiten eines Dreiecks diese Gleichung, ist es immer rechtwinklig (Umkehrung des Satzes des Pythagoras). Genau das nutzt man auf der Baustelle, um rechte Winkel zu prüfen.

Hypotenuse \(c\) berechnen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(c\): Hypotenuse \(=\) ① Quadratwurzel aus der Quadratsumme \(a^2 + b^2\)

Die Formel in Worten

① Berechnet man die Quadratwurzel aus der Quadratsumme \(a^2 + b^2\) (beide Katheten quadrieren, addieren, dann die Wurzel ziehen),

② erhält man die \(c\): Hypotenuse

Einfaches Beispiel

Sind die beiden Katheten 3 und 4 lang, ist die Hypotenuse

\(c\): Hypotenuse \(=\) Quadratwurzel aus der Quadratsumme (3² + 4² = 25)

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Grundgedanke

Das ist \(a^2 + b^2 = c^2\), nach \(c\) aufgelöst. Ein häufiger Fehler ist \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\) (also einfach \(a + b\)). Rechnen Sie zuerst die ganze Summe unter der Wurzel aus und ziehen Sie erst ganz am Ende einmal die Quadratwurzel. Richtig ist \(\sqrt{9 + 16} = 5\), nicht \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Fehlende Kathete berechnen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(b\): fehlende Kathete \(=\) ① Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate \(c^2 - a^2\)

Die Formel in Worten

① Berechnet man die Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate \(c^2 - a^2\) (vom Quadrat der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete abziehen, dann die Wurzel ziehen),

② erhält man die \(b\): fehlende Kathete

Einfaches Beispiel

Ist die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5 lang, ist die andere Kathete

\(b\): fehlende Kathete \(=\) Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate (13² − 5² = 144)

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

Der Grundgedanke

Achten Sie auf die Reihenfolge beim Abziehen: Immer vom Quadrat der Hypotenuse, der längsten Seite, das Quadrat der bekannten Kathete abziehen. Für die Kathete \(a\) gilt entsprechend \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Ergibt die Differenz 0 oder weniger, ist die Seite, die Sie für die Hypotenuse halten, keine Hypotenuse (die Hypotenuse ist immer länger als jede Kathete).

Höhe auf die Hypotenuse

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(h\): Höhe auf die Hypotenuse \(=\) ① \(a\): Kathete \(\times\) ② \(b\): Kathete \(\div\) ③ \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Multipliziert man \(a\): Kathete

② mit \(b\): Kathete

③ und teilt durch \(c\): Hypotenuse

④ erhält man \(h\): Höhe auf die Hypotenuse

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ist die Höhe auf die Hypotenuse (die Seite der Länge 5)

Höhe \(h\) \(=\) Kathete a (3) \(\times\) Kathete b (4) \(\div\) Hypotenuse c (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2{,}4\)

Der Grundgedanke

Die Formel entsteht, wenn man den Flächeninhalt auf zwei Arten aufschreibt. Mit den beiden Katheten ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks \(a \times b \div 2\). Nimmt man die Hypotenuse als Grundseite, ist er \(c \times h \div 2\). Beide Flächen sind gleich, also \(a \times b = c \times h\). Nach \(h\) aufgelöst ergibt das \(h = a \times b \div c\).

Der Satz des Pythagoras besagt, dass im rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Kennen Sie zwei Seiten, finden Sie die dritte in zwei Schritten – quadrieren und addieren (für die Hypotenuse) oder quadrieren und subtrahieren (für eine Kathete), dann die Quadratwurzel ziehen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\), \(b\)	a, b	Die Längen der beiden Katheten, also der Seiten am rechten Winkel. Welche Sie a nennen, ist egal – das Ergebnis bleibt gleich.
\(c\)	c	Die Länge der Hypotenuse, der längsten Seite im rechtwinkligen Dreieck, gegenüber dem rechten Winkel.
\(a^2\)	a Quadrat (a hoch 2)	Eine Zahl mit sich selbst multipliziert (\(a^2 = a \times a\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“ (Beispiel \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)).
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	Wurzel (Wurzelzeichen)	Das Zeichen für die Quadratwurzel. \(\sqrt{25}\) ist die positive Zahl, die quadriert 25 ergibt, also 5. Das Ergebnis kann auch eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen sein, etwa \(\sqrt{2}\) (ungefähr 1,414).
\(\alpha\), \(\beta\)	Alpha, Beta	Griechische Buchstaben, mit denen man oft Winkel bezeichnet. Hier liegt \(\alpha\) der Kathete a gegenüber und \(\beta\) der Kathete b; es gilt \(\alpha + \beta = 90°\).
\(\arcsin\)	Arkussinus	Die Umkehrung des Sinus \(\sin\) (Gegenkathete : Hypotenuse): Aus dem Verhältnis wird der Winkel zurückgerechnet. So bestimmt dieser Rechner die Winkel. Auf dem Taschenrechner ist es die Taste sin⁻¹.
\(h\)	h	Die Höhe auf die Hypotenuse – der Abstand vom Scheitel des rechten Winkels bis zur Hypotenuse, wenn man die Hypotenuse als Grundseite nimmt. In Schulbüchern heißt sie oft \(h_c\).

Begriffe

Satz des Pythagoras	Der Satz, dass für die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt (c ist die Hypotenuse). Benannt ist er nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras (um 570 v. Chr.). Er steht meist in Klasse 8–9 (13–15 Jahre) auf dem Lehrplan.
Kathete	Eine der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. Die Katheten heißen meist a und b und sind immer kürzer als die Hypotenuse.
rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck, in dem einer der drei Winkel genau 90° beträgt (ein rechter Winkel). Nur hier gilt der Satz des Pythagoras.
Hypotenuse	Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste der drei Seiten; im Satz des Pythagoras steht ihr Quadrat immer allein auf einer Seite der Gleichung.
Quadratwurzel	Die Zahl, die quadriert die Ausgangszahl ergibt. Die (positive) Quadratwurzel aus 25 ist 5, die aus 2 ist \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Quadratwurzeln lernt man meist in Klasse 8–9 (13–15 Jahre).
pythagoreisches Tripel	Drei natürliche Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen. Bekannt sind (3 \| 4 \| 5), (5 \| 12 \| 13) und (8 \| 15 \| 17). Sie tauchen oft in Übungsaufgaben und beim Abstecken rechter Winkel auf der Baustelle auf.
Umkehrung des Satzes des Pythagoras	Der Satz, dass ein Dreieck, dessen drei Seiten \(a^2 + b^2 = c^2\) erfüllen, rechtwinklig ist. Allein durch Messen der Seiten lässt sich so prüfen, ob ein Winkel ein rechter ist – deshalb wird er auf Baustellen tatsächlich genutzt.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.

Quadrieren und Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass Quadrieren heißt, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren, wie bei \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) Auch Dezimalzahlen quadrieren können (z. B. \(1{,}5^2 = 2{,}25\))
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	„Die positive Zahl, die quadriert 25 ergibt“ als \(\sqrt{25} = 5\) schreiben können Wissen, dass eine Wurzel auch eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen sein kann, wie \(\sqrt{2}\)
Grundwissen Dreieck (Klasse 4–7, 9–13 Jahre)	Den rechten Winkel (90°) in einer Figur finden können Wissen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks „Grundseite × Höhe : 2“ ist
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Im rechtwinkligen Dreieck erkennen, welche Seite die Hypotenuse ist (gegenüber dem rechten Winkel, die längste Seite) Sich bewusst sein, dass \(c\) in \(a^2 + b^2 = c^2\) immer die Hypotenuse ist

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zur Prüfung auf ein rechtwinkliges Dreieck

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Wert von a²+b²	=B1^2+B2^2
Wert von c²	=B3^2

Tabelle für die Hypotenuse c

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	=WURZEL(B1^2+B2^2)

Tabelle für die fehlende Kathete b

Hypotenuse c	13
Bekannte Kathete a	5
Fehlende Kathete b	=WURZEL(B1^2-B2^2)

Tabelle für die Höhe h auf die Hypotenuse

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet automatisch.
„^2“ quadriert eine Zahl, „WURZEL(…)“ ist die Excel-Funktion für die Quadratwurzel.
Sind in der ersten Tabelle der Wert von a²+b² (B4) und der Wert von c² (B5) gleich, ist das Dreieck rechtwinklig (beim Beispiel 3, 4, 5 ist beides 25).
In der zweiten Tabelle erscheint in B3 die Hypotenuse 5. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Seitenlängen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zur Prüfung auf ein rechtwinkliges Dreieck

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Wert von a²+b²	=B1^2+B2^2
Wert von c²	=B3^2

Tabelle für die Hypotenuse c

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	=WURZEL(B1^2+B2^2)

Tabelle für die fehlende Kathete b

Hypotenuse c	13
Bekannte Kathete a	5
Fehlende Kathete b	=WURZEL(B1^2-B2^2)

Tabelle für die Höhe h auf die Hypotenuse

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Dieselben Formeln wie in Excel (die Funktion WURZEL und ^2) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Seitenlängen.

So berechnen Sie es in Python

import math

side_a = 3.0   # Kathete a
side_b = 4.0   # Kathete b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # Hypotenuse c (math.hypot(side_a, side_b) liefert dasselbe)
area = side_a * side_b / 2                          # Flächeninhalt
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # Umfang
height = side_a * side_b / hypotenuse               # Höhe auf die Hypotenuse
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # Winkel gegenüber Kathete a (in Grad)

print(f"Hypotenuse c: {hypotenuse}")
print(f"Flächeninhalt: {area}")
print(f"Umfang: {perimeter}")
print(f"Höhe auf die Hypotenuse: {height}")
print(f"Winkel Alpha: {angle_alpha}")

# Kennen Sie die Hypotenuse c und die Kathete a, erhalten Sie die fehlende Kathete b mit
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

Läuft nur mit math aus der Standardbibliothek. „**“ steht für Potenzieren (hier Quadrieren), „math.sqrt“ für die Quadratwurzel. Ersetzen Sie oben die beiden Seitenlängen (in Python mit Punkt als Dezimaltrennzeichen) und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Der Satz des Pythagoras (Beziehung der drei Seiten)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

Hypotenuse \(c\) berechnen

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

Fehlende Kathete berechnen

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

Höhe auf die Hypotenuse

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Geometrie. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen).

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten a = 3 und b = 4.
Berechnen Sie:
1. die Länge der Hypotenuse c (Satz des Pythagoras c = √(a² + b²))
2. den Winkel α (gegenüber Kathete a) und den Winkel β (gegenüber Kathete b) in Grad
3. den Flächeninhalt und den Umfang
4. die Höhe auf die Hypotenuse h = a · b : c

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel