Geben Sie den Radius der Kugel ein. Angezeigt werden das Volumen (4/3 × π × Radius hoch 3) und die Umrechnung in Liter und m³.
Geben Sie nur eine Zahl ab 0 ohne Einheit ein (bei einem Radius von 12 cm also „12“). Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn durch 2 und geben Sie das Ergebnis (den Radius) ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links den Radius der Kugel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius eingeben – und Sie kennen sofort das Volumen der Kugel (Volumen = \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) Radius hoch 3)
- Die Kugel erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können
- Bei Eingabe in cm sehen Sie das Volumen gleich auch in Liter und m³
- Auch erklärt: So rechnen Sie, wenn Sie nur den Durchmesser kennen (Radius = Durchmesser : 2 oder \(V = \pi d^3 \div 6\))
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie den Radius in einer einzigen Einheit ein (z. B. in cm). Das Volumen steht dann in dieser Einheit hoch 3 (bei cm in cm³, bei m in m³). Das Volumen anderer Körper wie Zylinder oder Kegel berechnen Sie auf eigenen Seiten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Bälle nach Volumen vergleichen (Sport)
Ein Fußball der Größe 5 hat etwa 22 cm Durchmesser. Mit 11 cm Radius ergibt sich ein Volumen von \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5575\,\mathrm{cm^3}\), also rund 5,6 Liter. Ein Tennisball (etwa 6,7 cm Durchmesser) hat nur rund 157 cm³ – in einen Fußball passt also der Raum von etwa 35 Tennisbällen.
Der Durchmesser ist nur etwa 3,3-mal so groß, das Volumen aber etwa \(3{,}3^3 \approx 35\)-mal. Dieses Gefühl dafür, dass Größen „hoch 3“ wachsen, hilft bei jeder Größenabschätzung, nicht nur bei Bällen.
Eine Portion Eis oder Knödel abschätzen (Küche und Gastronomie)
Formt der Eisportionierer Kugeln mit 5 cm Durchmesser, ist eine Kugel Eis eine Kugel mit 2,5 cm Radius und etwa \(65\,\mathrm{cm^3}\) (rund 65 ml). Eisdielen und Restaurants kalkulieren so Portionsgrößen und Kosten.
Genauso funktioniert es bei allem, was rund geformt wird – Knödel, Fleischbällchen oder Melonenkugeln.
Das Fassungsvermögen eines Kugelgasbehälters bestimmen (Industrie und Infrastruktur)
Kugelförmige Gasbehälter haben ihre Form, weil eine Kugel mit derselben Menge Material das größte Volumen umschließt. Ein Behälter mit 20 m Durchmesser fasst \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4189\,\mathrm{m^3}\), also rund 4,19 Millionen Liter.
Konstruktion und Angabe des Fassungsvermögens beruhen genau auf der Formel dieser Seite.
Das ungefähre Volumen eines Knotens aus Bildaufnahmen schätzen (Medizin)
Bei CT oder Ultraschall wird ein annähernd runder Knoten oder eine Zyste über den Durchmesser vermessen, und das ungefähre Volumen lässt sich mit der Kugelformel schätzen. Bei 2 cm Durchmesser sind es etwa \(4{,}2\,\mathrm{cm^3}\), bei 4 cm etwa \(33{,}5\,\mathrm{cm^3}\) – doppelter Durchmesser bedeutet achtfaches Volumen.
Echte Befunde sind keine perfekten Kugeln. Der Wert ist daher nur eine grobe Schätzung, etwa um im Verlauf zu beobachten, ob etwas wächst.
Das Volumen von Erde, Mond und anderen Himmelskörpern berechnen (Astronomie)
Die Erde ist fast eine Kugel (genau genommen ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid). Mit einem Radius von etwa 6.371 km ergibt sich ein Volumen von \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6371^3 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), also rund 1,08 Billionen km³.
Der Mond hat einen Radius von etwa 1.737 km und damit nur etwa \(\dfrac{1}{50}\) des Erdvolumens. Die Größenvergleiche von Planeten und Monden im Physik- und Erdkundebuch werden mit genau dieser Formel berechnet.
Formeln und Abbildungen
Volumen einer Kugel (aus dem Radius)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl
④
und mit der
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
⑤
, erhält man das
\(V\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Eine Kugel mit 3 cm Radius hat das Volumen
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 3
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Warum gerade \(\dfrac{4}{3}\pi\)? Die Antwort fand schon der griechische Mathematiker Archimedes. Ein Zylinder, in den die Kugel genau hineinpasst (Grundkreis mit Radius \(r\), Höhe \(2r\)), hat das Volumen \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\). Die Kugel füllt davon genau \(\dfrac{2}{3}\) aus. Also ist ihr Volumen \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
Merken lässt sich die Formel gut, wenn man sie laut liest: „vier Drittel Pi r hoch 3“. Der häufigste Fehler ist, den Radius mal 3 zu nehmen, statt ihn hoch 3 zu rechnen (\(r \times r \times r\)).
Volumen einer Kugel (aus dem Durchmesser)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
②
\(d\): Durchmesser
③
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
\(\div\)
④
\(6\): Konstante
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(\pi\): Kreiszahl
②
mit dem
\(d\): Durchmesser
③
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
④
und teilt durch die
\(6\): Konstante
⑤
, erhält man das
\(V\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Ein Ball mit 6 cm Durchmesser (Radius 3 cm) hat das Volumen
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Durchmesser (6 cm)
hoch 3
\(\div\)
\(6\): Konstante
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Diese Formel entsteht, wenn man in Formel 1 „Radius = halber Durchmesser“ (\(r = d \div 2\)) einsetzt und vereinfacht: \(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\). Praktisch ist sie bei Bällen und Kugeln, deren Durchmesser man messen kann, den Radius aber nicht direkt.
Das Beispiel mit 6 cm Durchmesser ergibt dasselbe wie das Beispiel mit 3 cm Radius in Formel 1 (\(36\pi\)) – beide Formeln beschreiben also dieselbe Kugel. In der Schule lernt man Formel 1 mit dem Radius, prägen Sie sich also zuerst diese ein.
Das Volumen einer Kugel berechnen Sie, indem Sie den Radius hoch 3 nehmen und mit der Kreiszahl π und mit 4/3 multiplizieren. Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn zuerst durch 2. Das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 3 (bei cm in cm³), und cm³ geteilt durch 1.000 ergibt Liter.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). Hier steht es für das Volumen der Kugel. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel, also der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche. |
| \(d\) | d | Der Durchmesser der Kugel (von griechisch diámetros). Er misst die Kugel an der dicksten Stelle quer durch den Mittelpunkt und ist doppelt so lang wie der Radius (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und geht als 3,14159… endlos weiter. In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(r^3\) | r hoch 3 | Die Zahl \(r\) dreimal mit sich selbst multipliziert (\(r \times r \times r\)). Die kleine 3 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „dreimal als Faktor“ (Beispiel: \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Nicht zu verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für Flächen. |
| \(\mathrm{l}\) | Liter | Die übliche Einheit für Flüssigkeitsmengen. Es gilt \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) – so viel passt in eine Milchtüte mit 1 Liter. |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat das Volumen 1 m³. Es gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{l}\). |
Begriffe
| Kugel | Ein vollkommen runder Körper aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Bälle, Murmeln und Seifenblasen sind Kugeln – von jeder Seite sieht man einen Kreis. |
| Radius | Der Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) bis zum Rand. Diesen Wert geben Sie im Rechner ein. Er ist halb so groß wie der Durchmesser. |
| Durchmesser | Die Länge einer Strecke, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) von Rand zu Rand geht. Er ist doppelt so groß wie der Radius. Bälle werden meist mit ihrem Durchmesser angegeben. |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt (etwa 3,14), geschrieben \(\pi\) (Pi). Sie steckt nicht nur in Kreisformeln, sondern auch in den Formeln für Volumen und Oberfläche einer Kugel. |
| Potenz | Eine Zahl mehrmals mit sich selbst malnehmen. Die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) wie in \(3^3\) gibt an, wie oft. In Volumenformeln steht „hoch 3“, weil sich ein Körper in drei Richtungen ausdehnt: Länge, Breite und Höhe. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreis und Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Die Kugel und ihre Volumenformel (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen einer Kugel aus dem Radius
| Radius r (cm) | 5 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle für das Volumen einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser d (cm) | 10 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 523,6 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die obere Zeile ist die Eingabe, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…), „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird). „=4/3*PI()*B1^3“ bedeutet also „4/3 × π × B1 hoch 3“.
In der ersten Tabelle erscheint in B2 zum Beispiel etwa 523,6 (in cm³ bei 5 cm Radius). Die zweite Tabelle beschreibt dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt ebenfalls etwa 523,6, die dritte zeigt in B2 0,5236 (rund 0,52 Liter). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…), „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird). „=4/3*PI()*B1^3“ bedeutet also „4/3 × π × B1 hoch 3“.
In der ersten Tabelle erscheint in B2 zum Beispiel etwa 523,6 (in cm³ bei 5 cm Radius). Die zweite Tabelle beschreibt dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt ebenfalls etwa 523,6, die dritte zeigt in B2 0,5236 (rund 0,52 Liter). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen einer Kugel aus dem Radius
| Radius r (cm) | 5 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle für das Volumen einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser d (cm) | 10 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 523,6 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 5 # Radius der Kugel (in diesem Beispiel in cm)
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # Volumen der Kugel (Eingabeeinheit hoch 3, hier cm3)
volume_liter = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: Volumen in Liter
print(f"Volumen der Kugel: {volume} cm3")
print(f"Umgerechnet in Liter: {volume_liter} l")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 3), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben den Radius durch Ihren Wert und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen einer Kugel (aus dem Radius)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Volumen einer Kugel (aus dem Durchmesser)
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Eine Kugel hat einen Radius von 5 cm. Berechnen Sie: 1. das Volumen der Kugel in cm³ (V = 4/3 × π × r³) 2. dieses Volumen umgerechnet in Liter Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Berechnet für den Kreis, den man beim Durchschneiden einer Kugel erhält, Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche auf einmal
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