Geben Sie den Radius der Kugel ein. Angezeigt werden das Volumen (4/3 × π × Radius hoch 3) sowie die Umrechnung in Liter und m³.
Geben Sie für den Radius eine Zahl ab 0 ein, ohne Einheit (bei einem Radius von 12 cm geben Sie „12“ ein). Kennen Sie nur den Durchmesser, geben Sie ihn durch 2 geteilt ein (das ist der Radius).
Ergebnis und Figur
Geben Sie im Feld links den Radius der Kugel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Radius der Kugel ein, und Sie sehen sofort ihr Volumen (Volumen = \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) Radius hoch 3)
- Die berechnete Kugel wird auch in 3D dargestellt (Sie können sie durch Ziehen drehen)
- Die Umrechnung des Volumens wird gleich mit angezeigt (in Liter und m³ bei Eingabe in cm)
- Wenn Sie nur den Durchmesser kennen, erklärt die Seite verständlich, wie es geht (Radius = Durchmesser ÷ 2, \(V = \pi d^3 \div 6\))
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie den Radius in einer einzigen Einheit ein (zum Beispiel in cm). Das Volumen steht in dieser Einheit hoch 3 (cm³ bei Eingabe in cm, m³ bei Eingabe in m). Das Volumen anderer Körper wie Zylinder und Kegel behandeln eigene Seiten.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Größe von Bällen über das Volumen vergleichen (Sport)
Ein Fußball (Größe 5) hat etwa 22 cm Durchmesser: Mit einem Radius von 11 cm beträgt sein Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5.575\,\mathrm{cm^3}\) (etwa 5,6 L). Ein Tennisball mit etwa 6,7 cm Durchmesser hat rund 157 cm³, der Fußball entspricht also dem Volumen von etwa 35 Tennisbällen.
Wird der Durchmesser verdreifacht, wird das Volumen \(3^3 = 27\)-mal so groß. Dieses „hoch 3“ ist der Schlüssel, um Größen abzuschätzen, weit über Bälle hinaus.
Eine Portion Eis oder Essen abschätzen (Kochen)
Mit einem runden Eisportionierer von 5 cm Durchmesser ist eine Kugel Eis eine Kugel mit 2,5 cm Radius, also etwa \(65\,\mathrm{cm^3}\) (etwa 65 mL). So planen Eisdielen und Restaurants Portionen und Kosten.
Dieselbe Rechnung passt für alles, was zu Kugeln geformt wird: Frikadellen, Melonenbällchen, Knödel, Schokoladentrüffel …
Den Inhalt eines kugelförmigen Gasbehälters erfahren (Industrie)
Große kugelförmige Gasbehälter (Kugelgasbehälter) haben diese Form, weil die Kugel bei gleichem Materialeinsatz das größte Volumen umschließt. Bei einem Behälter mit 20 m Durchmesser beträgt das Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4.189\,\mathrm{m^3}\) (etwa 4,19 Millionen Liter).
Entwurf und angegebenes Fassungsvermögen solcher Behälter beruhen genau auf der Formel dieser Seite.
Das ungefähre Volumen eines Befundes auf einem medizinischen Bild abschätzen (Medizin)
Bei CT oder Ultraschall misst man bei einem fast kugelförmigen Knoten oder einer Zyste manchmal den Durchmesser und schätzt das Volumen mit der Kugelformel ab. Bei 2 cm Durchmesser ergeben sich etwa \(4{,}2\,\mathrm{cm^3}\), bei 4 cm etwa \(33{,}5\,\mathrm{cm^3}\): Ein doppelt so großer Durchmesser ergibt ein 8-mal so großes Volumen.
Ein echter Befund ist nie eine vollkommene Kugel. Es ist nur eine Schätzung, die zum Beispiel hilft, den Verlauf zu verfolgen (wächst er oder nicht?).
Das Volumen der Erde oder des Mondes berechnen (Astronomie)
Die Erde ist fast eine Kugel (genau genommen ein ganz leicht abgeplattetes Ellipsoid): Mit einem Radius von etwa 6.371 km beträgt ihr Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6.371^3 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), also etwa 1,083 Billionen km³ (eine Billion ist im Deutschen 10¹²).
Der Mond hat einen Radius von etwa 1.737 km und ein Volumen von etwa \(\dfrac{1}{50}\) des Erdvolumens. Die Größenvergleiche von Himmelskörpern in Schulbüchern und Astronomiebüchern werden mit dieser Formel berechnet.
Formeln und Abbildungen
Volumen der Kugel (aus dem Radius)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und rechnen Sie ihn
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
③
Multiplizieren Sie mit der
\(\pi\): Kreiszahl Pi
④
und dann mit der
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
⑤
und Sie erhalten das
\(V\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Das Volumen einer Kugel mit 3 cm Radius beträgt
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 3
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Warum multipliziert man mit \(\dfrac{4}{3}\pi\)? Die Antwort liefert eine Beziehung, die der griechische Mathematiker Archimedes entdeckt hat. Der Zylinder, in den die Kugel genau hineinpasst (Grundfläche mit Radius \(r\), Höhe \(2r\)), hat ein Volumen von \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\), und das Kugelvolumen beträgt davon genau \(\dfrac{2}{3}\). Daher \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
Der häufigste Fehler ist, den Radius mit 3 zu multiplizieren, statt ihn hoch 3 zu nehmen: Beachten Sie, dass \(r^3 = r \times r \times r\) ist.
Volumen der Kugel (aus dem Durchmesser)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
②
\(d\): Durchmesser
③
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
\(\div\)
④
\(6\): Konstante
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\pi\): Kreiszahl Pi
②
mal den
\(d\): Durchmesser
③
und zwar
hoch 3 (die Zahl dreimal als Faktor)
④
Teilen Sie durch die
\(6\): Konstante
⑤
und Sie erhalten das
\(V\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Das Volumen eines Balls mit 6 cm Durchmesser (3 cm Radius) beträgt
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Durchmesser (6 cm)
hoch 3
\(\div\)
\(6\): Konstante
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel entsteht, wenn man in Formel 1 den Radius durch den halben Durchmesser ersetzt (\(r = d \div 2\)): \(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\). Sie ist praktisch bei einem Ball, dessen Durchmesser sich leicht messen lässt, der Radius aber nicht direkt.
Das Beispiel mit 6 cm Durchmesser ergibt dasselbe Ergebnis (\(36\pi\)) wie das Beispiel mit 3 cm Radius in Formel 1: Beide Formeln beschreiben dieselbe Kugel. In der Schule lernt man Formel 1 (mit dem Radius), prägen Sie sich also zuerst diese ein.
Das Volumen einer Kugel erhalten Sie, indem Sie den Radius hoch 3 nehmen und dann mit π und 4/3 multiplizieren. Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn zuerst durch 2. Das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 3 (bei cm also in cm³), und cm³ durch 1.000 geteilt ergibt Liter.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Der übliche Buchstabe für das Volumen, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Auf dieser Seite ist es das Volumen der Kugel. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Er ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. |
| \(d\) | d | Der Durchmesser der Kugel, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Er ist die Länge an der breitesten Stelle, das Doppelte des Radius (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl, die Konstante, die angibt, wie oft der Durchmesser in den Umfang eines Kreises passt. Ihre Nachkommastellen hören nie auf (3,14159…). In der Schule rechnet man mit 3,14. |
| \(r^3\) | r hoch 3 | Die Zahl \(r\) dreimal mit sich selbst multipliziert (\(r \times r \times r\)). Die kleine 3 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „dreimal als Faktor“ (zum Beispiel \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 1 cm³. Nicht zu verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für den Flächeninhalt. |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Die gängige Einheit für Flüssigkeiten wie Wasser. \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) (ein Milchkarton enthält genau 1 L). |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat ein Volumen von 1 m³, und \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1.000\,\mathrm{L}\). |
Begriffe
| Kugel | Der vollkommen runde Körper aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Ball, Murmel, Seifenblase: Von jeder Seite gesehen sieht sie aus wie ein Kreis. |
| Radius | Der Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) zu ihrer Oberfläche. Das ist der Wert, den Sie in diesen Rechner eingeben, die Hälfte des Durchmessers. |
| Durchmesser | Die Länge einer Strecke, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) von einem Rand zum anderen führt. Sie ist das Doppelte des Radius. Die Größe eines Balls wird oft durch den Durchmesser angegeben. |
| Volumen | Der Platz, den ein Körper einnimmt, als Zahl angegeben. Man misst ihn, indem man zählt, wie viele Würfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt (etwa 3,14), geschrieben \(\pi\) (Pi). Sie taucht nicht nur beim Kreis auf, sondern auch in den Formeln für das Volumen und die Oberfläche der Kugel. |
| Potenz | Die Rechnung, bei der man dieselbe Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert. In \(3^3\) gibt die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) an, wie oft multipliziert wird. In den Volumenformeln steckt die dritte Potenz, weil sich ein Körper in 3 Richtungen ausdehnt: Länge, Breite und Höhe. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Kreis und die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Das Volumen und seine Einheiten – Klasse 5–6 (10–12 Jahre) |
|
| Ein Bruch mal eine ganze Zahl – Klasse 6 (11–12 Jahre) |
|
| Potenzen – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
| Die Kugel und die Formel für das Volumen – Klasse 10 (15–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Volumens einer Kugel aus dem Radius
| Radius der Kugel r (cm) | 5 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser der Kugel d (cm) | 10 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 523,6 |
| Volumen in Litern | =B1/1000 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die obere Zeile ist Ihre Eingabe, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„PI()“ ist die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „=4/3*PI()*B1^3“ bedeutet „4/3 × π × B1 hoch 3“.
In der ersten Tabelle zeigt B2 zum Beispiel etwa 523,6 (in cm³ bei einem Radius von 5 cm). Die zweite Tabelle betrifft dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt deshalb ebenfalls etwa 523,6, die dritte zeigt in B2 den Wert 0,5236 (etwa 0,52 L). Ersetzen Sie einfach die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
„PI()“ ist die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „=4/3*PI()*B1^3“ bedeutet „4/3 × π × B1 hoch 3“.
In der ersten Tabelle zeigt B2 zum Beispiel etwa 523,6 (in cm³ bei einem Radius von 5 cm). Die zweite Tabelle betrifft dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt deshalb ebenfalls etwa 523,6, die dritte zeigt in B2 den Wert 0,5236 (etwa 0,52 L). Ersetzen Sie einfach die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Volumens einer Kugel aus dem Radius
| Radius der Kugel r (cm) | 5 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle zur Berechnung des Volumens einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser der Kugel d (cm) | 10 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 523,6 |
| Volumen in Litern | =B1/1000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
Mit Python berechnen
import math
radius = 5 # Radius der Kugel (in diesem Beispiel in cm)
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # Volumen der Kugel (Eingabeeinheit hoch 3; hier in cm3)
volume_liter = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: das Volumen in Litern
print(f"Volumen der Kugel: {volume} cm3")
print(f"In Litern: {volume_liter} L")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (hier hoch 3), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Ändern Sie am Anfang den Wert für den Radius und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Volumen der Kugel (aus dem Radius)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Volumen der Kugel (aus dem Durchmesser)
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine Kugel hat einen Radius von 5 cm. Berechnen Sie: 1. das Volumen dieser Kugel in cm³ (V = 4/3 × π × r³) 2. dieses Volumen umgerechnet in Liter (L) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
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Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Kreisrechner (Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt)
Berechnet Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt des Kreises auf einmal, der Schnittfläche einer Kugel
Potenzen berechnen (a hoch n, Exponent und Basis bestimmen)
Berechnet Potenzen (a hoch n), etwa das „Radius hoch 3“ im Kugelvolumen
Wurzel berechnen (Quadratwurzel, Kubikwurzel, n-te Wurzel)
Berechnet die Kubikwurzel, mit der Sie aus dem Volumen den Radius zurückrechnen
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