Geben Sie die Wahrscheinlichkeit pro Versuch und die Anzahl der Versuche ein. Die Ereignisse A und B werden gleichzeitig berechnet, dazu die Wahrscheinlichkeiten ihrer Kombinationen.
Geben Sie Wahrscheinlichkeiten als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 0,25 für 25 %) und die Anzahl der Versuche als ganze Zahl von 1 bis 1000. Brauchen Sie nur ein Ereignis, tragen Sie für B trotzdem Platzhalterwerte ein (zum Beispiel 0,5 und 1).
Ergebnis
Geben Sie links die Wahrscheinlichkeiten und die Anzahl der Versuche ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
-
Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur die Wahrscheinlichkeit pro Versuch und die Anzahl der Versuche ein und sehen sofort, wie wahrscheinlich es ist, dass etwas \(n\)-mal hintereinander eintritt
- Gleichzeitig berechnet der Rechner, wie wahrscheinlich es mindestens einmal eintritt und wie wahrscheinlich es nie eintritt
- Er rechnet mit zwei Ereignissen A und B gleichzeitig – so erhalten Sie auch Kombinationen wie „A tritt mindestens einmal ein und B nie“
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Der Rechner gilt nur, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes Mal gleich ist und sich die Ergebnisse nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängig). Würfel, Münzen und Lootboxen mit veröffentlichten Wahrscheinlichkeiten sind in Ordnung. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch – etwa beim Ziehen von Losen ohne Zurücklegen –, passt der Rechner nicht.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Chancen bei Lootboxen und Verlosungen in Spielen abschätzen
„Wenn ich eine Lootbox mit 1 % Dropchance 100-mal öffne, muss doch irgendwann der Gegenstand kommen.“ Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer bei \(1 - 0{,}99^{100} \approx 0{,}634\) (63,4 %) – etwa jede dritte Person geht also auch nach 100 Versuchen leer aus.
Wer die Formel für „mindestens einmal“ kennt, plant Ausgaben und Anzahl der Versuche mit Zahlen statt nach Gefühl.
Bei einem „falsch positiven“ Vorsorgebefund nicht in Panik geraten (Gesundheit)
Ein Test kann „positiv“ ausfallen, obwohl keine Krankheit vorliegt (falsch positiv) – das passiert pro Test mit einigen Prozent Wahrscheinlichkeit. Bei angenommen 5 % pro Test liegt die Wahrscheinlichkeit, bei zehn Jahren jährlicher Vorsorge mindestens einmal einen falsch positiven Befund zu bekommen, bei ganzen \(1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}4\) (40 %).
Wer weiß, dass ein auffälliger Befund nicht automatisch Krankheit bedeutet, sondern bei häufigen Untersuchungen fast jedem einmal passieren kann, bleibt bei der Einladung zur Kontrolluntersuchung gelassener. Eine der nützlichsten Anwendungen, um eine große Sorge mit Zahlen einzuordnen.
Was ein „Jahrhunderthochwasser“ wirklich bedeutet (Hochwasservorsorge)
Ein Jahrhunderthochwasser (HQ100) ist ein Hochwasser, das statistisch einmal in 100 Jahren zu erwarten ist – also in jedem einzelnen Jahr mit 1 % Wahrscheinlichkeit eintritt. Über eine Baufinanzierung von 30 Jahren liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein solches Hochwasser bei \(1 - 0{,}99^{30} \approx 0{,}26\) (26 %) – mehr als jede vierte Chance. (Echte Hochwasserrisikoanalysen arbeiten mit genaueren Modellen, der Grundgedanke ist aber derselbe.)
Wer diese Formel versteht, sieht: „Dieses Jahr ist nichts passiert“ macht nicht sicherer, und mit längerem Zeitraum wächst die Wahrscheinlichkeit stetig. Das hilft bei Entscheidungen wie einer Elementarschadenversicherung oder einem Notvorrat.
Qualitätskontrolle (Wahrscheinlichkeit, dass alle Teile in Ordnung sind)
Steckt ein Produkt aus 10 Teilen mit je 0,5 % Fehlerquote zusammen, ist mit \((1 - 0{,}005)^{10} \approx 0{,}951\) (95,1 %) Wahrscheinlichkeit kein einziges fehlerhaftes Teil darin.
Je mehr Teile, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit, dass „alles in Ordnung“ ist. In der Fertigung schätzt man mit dieser Formel die Gutquote des ganzen Produkts und rechnet zurück, welche Fehlerquote pro Teil zulässig ist.
Wie oft man bei Gewinnspielen mitmachen muss, um realistisch zu gewinnen
Nehmen Sie 7-mal an einer Verlosung mit 10 % Gewinnchance teil, gewinnen Sie mit \(1 - 0{,}9^{7} \approx 0{,}52\) (52 %) Wahrscheinlichkeit mindestens einmal – gerade einmal etwas mehr als fifty-fifty.
Wer ausrechnen kann, „nach wie vielen Versuchen die Chance etwa 50 % beträgt“, kann besser entscheiden, wo sich Zeit und Mühe lohnen.
Formel
Wahrscheinlichkeit, dass es \(n\)-mal hintereinander eintritt
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
\(P\)
\(=\)
\(p\)
\(n\)
③
\(P\): Wahrscheinlichkeit für \(n\)-mal hintereinander
\(=\)
①
\(p\): Wahrscheinlichkeit pro Versuch
②
\(n\): Anzahl der Versuche
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(p\): Wahrscheinlichkeit pro Versuch
②
so oft mit sich selbst, wie die
\(n\): Anzahl der Versuche
angibt,
③
und Sie erhalten die
\(P\): Wahrscheinlichkeit für \(n\)-mal hintereinander
Einfaches Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze 3-mal hintereinander „Kopf“ (Wahrscheinlichkeit 0,5) zu werfen, ist
\(P\): 3-mal hintereinander
\(=\)
pro Versuch (0,5)
Versuche (3)
\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\ \ (12{,}5\,\%)\)
Der Grundgedanke
Diese Formel gilt nur, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes Mal gleich ist und nicht von früheren Ergebnissen abhängt (die Versuche sind unabhängig). Würfel, Münzen und Lootboxen mit veröffentlichten Wahrscheinlichkeiten sind in Ordnung. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch – etwa beim Ziehen von Losen ohne Zurücklegen –, gilt sie nicht.
Wahrscheinlichkeit, dass es in \(n\) Versuchen nie eintritt
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P\)
\(=\)
\((1-p)\)
\(n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P\): Wahrscheinlichkeit für „nie“
\(=\)
①
\((1-p)\): Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch nicht eintritt
②
\(n\): Anzahl der Versuche
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\((1-p)\): Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch nicht eintritt
②
so oft mit sich selbst, wie die
\(n\): Anzahl der Versuche
angibt,
③
und Sie erhalten die
\(P\): Wahrscheinlichkeit für „nie“
Einfaches Beispiel
Öffnen Sie 4-mal eine Lootbox, die mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 einen seltenen Gegenstand enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit, 4-mal leer auszugehen,
\(P\): 4-mal kein Treffer
\(=\)
kein Treffer pro Versuch (0,75)
Versuche (4)
\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\ \ (31{,}6\,\%)\)
Der Grundgedanke
Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch nicht eintritt, ergibt sich aus dem Gegenereignis: 1 − (Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch eintritt). Liegt die Trefferwahrscheinlichkeit bei 0,25, so ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\).
Wahrscheinlichkeit, dass es in \(n\) Versuchen mindestens einmal eintritt
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\((1-p)\)
\(n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(P\): Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“
\(=\)
③
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
①
\((1-p)\): Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch nicht eintritt
②
\(n\): Anzahl der Versuche
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\((1-p)\): Wahrscheinlichkeit, dass es bei einem Versuch nicht eintritt
②
so oft mit sich selbst, wie die
\(n\): Anzahl der Versuche
angibt – das ist die Wahrscheinlichkeit für „nie“.
③
Ziehen Sie diese von der
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
ab,
④
und Sie erhalten die
\(P\): Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“
Einfaches Beispiel
Öffnen Sie 4-mal eine Lootbox, die mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 einen seltenen Gegenstand enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer
\(P\): mindestens ein Treffer
\(=\)
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
kein Treffer pro Versuch (0,75)
Versuche (4)
\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\)
\(1 - 0{,}316 = 0{,}684\ \ (68{,}4\,\%)\)
Der Grundgedanke
Wollte man „mindestens einmal“ direkt abzählen, müsste man „genau einmal“, „genau zweimal“ usw. alle addieren – sehr aufwendig. Die Gegenseite (das Gegenereignis) „nie“ ergibt sich dagegen mit einer einzigen Formel. Deshalb berechnet man sie und zieht sie von der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ab. Das ist der Kern dieser Formel.
Außerdem: Mehr Versuche bringen die Wahrscheinlichkeit nur näher an 1 (100 %) heran, 100 % werden nie erreicht. „Öffnet man eine Lootbox mit 1 % Trefferchance 100-mal, liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer nur bei etwa 63 %.“
Bei wiederholten Versuchen (Bernoulli-Kette) gilt als Grundregel: Die Wahrscheinlichkeit pro Versuch so oft mit sich selbst multiplizieren, wie es Versuche gibt. Für „mindestens einmal“ lautet der Trick: das Gegenereignis „nie“ berechnen und von 1 abziehen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(p\) | p | Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei einem Versuch eintritt. (Beispiel – eine Lootbox mit 0,25 Trefferwahrscheinlichkeit) |
| \(n\) | n | Die Anzahl der Versuche. (Beispiel – bei 4 Versuchen ist \(n = 4\)) |
| \(p^n\) | p hoch n | \(p\) \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert. Das kleine \(n\) oben rechts ist der Exponent und bedeutet „\(n\)-mal multiplizieren“ (siehe Potenz). (Beispiel – \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\)) |
| \(1-p\) | eins minus p | Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei einem Versuch nicht eintritt (die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses). |
| \(P\) | großes P | Die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Auf dieser Seite steht es etwa für die Wahrscheinlichkeit für „\(n\)-mal hintereinander“ oder für „mindestens einmal“. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das eintreten kann oder nicht, etwa „mit einem Würfel eine 6 werfen“ oder „ein Los gewinnt“. In der Mathematik heißt so etwas Ereignis. |
| Zufallsexperiment | Ein Vorgang, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt, etwa einmal würfeln oder ein Los ziehen. Jede einzelne Durchführung heißt Versuch. Die Formeln auf dieser Seite behandeln das \(n\)-malige Wiederholen desselben Versuchs. |
| unabhängige Ereignisse | Ein früheres Ergebnis ändert nicht, wie wahrscheinlich das nächste ist. Würfel und Münzen haben bei jedem Wurf dieselbe Wahrscheinlichkeit, egal wie oft man wirft – die Würfe sind also unabhängig. |
| Bernoulli-Kette | Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (Treffer oder Niete), das unter gleichen Bedingungen \(n\)-mal unabhängig wiederholt wird („Bernoulli-Kette der Länge \(n\)“). So heißt die Situation dieser Seite im Mathematikunterricht der Oberstufe; sie ist die Grundlage der Binomialverteilung. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis, also dass das Ereignis nicht eintritt. Das Gegenereignis von „tritt mindestens einmal ein“ ist „tritt nie ein“ – dieser Perspektivwechsel ist der Schlüssel zur dritten Formel dieser Seite. |
| Potenz | Eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert. Bei \(0{,}5^3\) gibt die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) an, wie oft multipliziert wird. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Das Gegenereignis (Klasse 7–10, 12–16 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „n-mal hintereinander“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für n-mal hintereinander | =B1^B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „nie in n Versuchen“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für „nie“ | =(1-B1)^B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „mindestens einmal“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“ | =1-(1-B1)^B2 |
Nach dem Einfügen sind B1 und B2 Ihre Eingaben, B3 wird automatisch berechnet.
„^“ ist das Zeichen für eine Potenz (wie oft multipliziert wird). „=B1^B2“ bedeutet „den Wert in B1 B2-mal mit sich selbst multiplizieren“.
In der dritten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 0,684 (etwa 68 %) an. Ersetzen Sie einfach B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
„^“ ist das Zeichen für eine Potenz (wie oft multipliziert wird). „=B1^B2“ bedeutet „den Wert in B1 B2-mal mit sich selbst multiplizieren“.
In der dritten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel etwa 0,684 (etwa 68 %) an. Ersetzen Sie einfach B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „n-mal hintereinander“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für n-mal hintereinander | =B1^B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „nie in n Versuchen“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für „nie“ | =(1-B1)^B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit „mindestens einmal“
| Wahrscheinlichkeit pro Versuch p | 0,25 |
| Anzahl der Versuche n | 4 |
| Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“ | =1-(1-B1)^B2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
probability_per_trial = 0.25 # Wahrscheinlichkeit pro Versuch
number_of_trials = 4 # Anzahl der Versuche
p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials # Wahrscheinlichkeit für n-mal hintereinander
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials # Wahrscheinlichkeit für „nie“
p_at_least_once = 1 - p_never # Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“
print(f"Wahrscheinlichkeit für {number_of_trials}-mal hintereinander: {p_every_time}")
print(f"Wahrscheinlichkeit für „nie“: {p_never}")
print(f"Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“: {p_at_least_once}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist das Zeichen für eine Potenz (hoch n). Ändern Sie oben die Wahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Wahrscheinlichkeit, dass es \(n\)-mal hintereinander eintritt
P = pⁿ
P = p^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
P = p^n
p^n
P := p^n;
P = p^n;
P = p^n
Wahrscheinlichkeit, dass es in \(n\) Versuchen nie eintritt
P = (1 − p)ⁿ
P = (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = (1 - p)^n
(1 - p)^n
P := (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n
Wahrscheinlichkeit, dass es in \(n\) Versuchen mindestens einmal eintritt
P = 1 − (1 − p)ⁿ
P = 1 - (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = 1 - (1 - p)^n
1 - (1 - p)^n
P := 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Ich öffne 4-mal eine Lootbox. Jedes Mal enthält sie mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 einen seltenen Gegenstand. Die Ergebnisse sind unabhängig. Berechnen Sie Folgendes: 1. Die Wahrscheinlichkeit, alle 4-mal einen seltenen Gegenstand zu bekommen 2. Die Wahrscheinlichkeit, alle 4-mal leer auszugehen 3. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen seltenen Gegenstand zu bekommen Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse berechnen
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten, wie wahrscheinlich beide oder mindestens eines eintreten
Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse rückwärts berechnen
Berechnet aus zwei bekannten Wahrscheinlichkeiten alle übrigen
Normalverteilung berechnen – Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
Berechnet aus Mittelwert und Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
