Entfernung zweier Orte aus Breiten- und Längengrad berechnen (Dezimalgrad und Grad-Minuten-Sekunden)
Geben Sie den Breitengrad und den Längengrad zweier Punkte ein, um die Entfernung zwischen ihnen entlang der Erdoberfläche in km und Meilen zu berechnen. Die Eingabe lässt sich zwischen Dezimalgrad und Grad-Minuten-Sekunden umschalten.
Füllen Sie jedes Feld mit Zahlen aus. Bei Dezimalgrad sind südliche Breitengrade und westliche Längengrade negativ (zum Beispiel 77,0366° W → −77,0366). In der Form Grad-Minuten-Sekunden wählen Sie N/S und O/W in den Auswahlmenüs.
Ergebnis
Geben Sie im Feld links Breiten- und Längengrad der beiden Punkte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Breitengrad und den Längengrad zweier Punkte ein, und Sie sehen sofort die Entfernung zwischen ihnen entlang der Erdoberfläche (in km und Meilen)
- Die Eingabe ist als Dezimalgrad (zum Beispiel 52,5200) und in Grad, Minuten und Sekunden (zum Beispiel 52°31′12″) möglich. Sie schalten mit den Optionsfeldern um
- Die Entfernung wird mit der Lambert-Formel berechnet, die die Erde als Rotationsellipsoid (eine leicht abgeplattete Kugel) behandelt. Das kommt der wirklichen Erde näher als die Haversine-Formel, die die Erde als vollkommene Kugel behandelt
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Das Ergebnis ist die ungefähre Länge des kürzesten Weges entlang der Erdoberfläche (der Geodäte), nicht die Fahrstrecke auf Straßen oder Schienen. Bei Dezimalgrad geben Sie südliche Breitengrade und westliche Längengrade als negative Zahlen ein (ganz Deutschland hat positive Längengrade, östlich von Greenwich).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Flugrouten und Flugentfernungen (Luftfahrt)
Flugzeuge fliegen auf einem Weg nahe der kürzesten Verbindung entlang der Erdkrümmung (der Großkreisroute). Die Flugentfernung zwischen Städten wird deshalb als Entfernung entlang der Erdoberfläche abgeschätzt, so wie auf dieser Seite (von Frankfurt nach New York sind es etwa 6.220 km, das sind etwa 3.865 Meilen). Auch die Meilentabellen der Fluggesellschaften beruhen auf dieser Art von Entfernung.
Auf einer flachen Weltkarte scheinen Langstreckenflüge zwischen Europa und Nordamerika oder Ostasien einen Bogen nach Norden zu machen. Die Berechnung dieser Entfernung zeigt, warum dieser Weg tatsächlich der kürzeste ist.
Standortdienste auf dem Smartphone („in der Nähe“-Suche)
Wenn eine Karten- oder Lieferdienst-App Orte nach „am nächsten zuerst“ sortiert, berechnet sie die Entfernung zwischen Ihrem Standort und jedem Geschäft aus deren Breitengraden und Längengraden. In der Programmierung ist dafür die Haversine-Formel (Kugelmodell) das Standardwerkzeug, und Ellipsoid-Formeln wie die Lambert-Formel auf dieser Seite werden verwendet, wenn mehr Genauigkeit nötig ist.
Hinter den Apps, die Sie jeden Tag nutzen, werden solche Formeln immer wieder berechnet.
GPS-Entfernungsmessung in Lauf- und Wander-Apps (Sport)
Eine GPS-Uhr oder Lauf-App speichert Ihre Position alle paar Sekunden, berechnet mit dieser Art von Formel die Entfernung zwischen je zwei Punkten und addiert alles. Jeder Schritt ist nur einige Meter lang, aber die Umrechnung von Breitengrad und Längengrad in eine Entfernung wird tausendfach wiederholt, um „Sie sind heute 10,2 km gelaufen“ anzuzeigen.
Routenplanung und Seemeilen (Schifffahrt und Logistik)
Auf See misst man Entfernungen in Seemeilen (1 Seemeile = 1,852 km, etwa 1,15 Meilen, ungefähr die Länge einer Minute des Breitengrads). Die Route vom Starthafen zum Ziel wird als Entfernung entlang der Erdkrümmung geplant, und Ankunftszeiten und Kraftstoffschätzungen beginnen bei dieser Entfernungsberechnung.
Die Schifffahrt befördert einen großen Teil des Welthandels, und Entfernungen aus Breiten- und Längengraden gehören dazu, dass sie funktioniert.
„X km vom Epizentrum“ in Erdbebenmeldungen (Sicherheit)
Erdbebenmeldungen wie „Das Epizentrum lag 12 km südwestlich der Stadt“ beruhen auf derselben Art von Rechnung: der Entfernung zwischen dem Breitengrad und Längengrad des Epizentrums (des Punktes an der Oberfläche direkt über dem Beben) und denen jeder Stadt oder Messstation.
Zu wissen, wie weit das eigene Zuhause von aktiven Verwerfungen und früheren Epizentren entfernt ist, ist ein guter erster Schritt bei der Vorbereitung auf Erdbeben.
Formel
Mittelpunktswinkel \(c\) zwischen den beiden Punkten (Lambert-Formel, Teil 1)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(U\)
\(=\)
\(\arctan\bigl((1 - f)\tan \varphi\bigr)\)
\(c\)
\(=\)
\(2\arcsin\sqrt{\sin^2\!\frac{U_2 - U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\!\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(U\): reduzierte Breite
\(=\)
①
Breitengrad \(\varphi\), verkleinert um die Abplattung \(f\)
④
\(c\): Mittelpunktswinkel zwischen den beiden Punkten
\(=\)
③
Winkel, gebildet aus den Differenzen der reduzierten Breite und des Längengrads
Die Formel in Worten
①
Berechnen Sie für jeden der beiden Punkte den
Breitengrad \(\varphi\), verkleinert um die Abplattung \(f\), \(\arctan((1-f)\tan\varphi)\)
②
und erhalten die
reduzierte Breite \(U\)
(\(U_1\) und \(U_2\)). Berechnen Sie als Nächstes den
③
Winkel, gebildet aus der Differenz der reduzierten Breite \(U_2 - U_1\) und der Differenz des Längengrads \(\lambda_2 - \lambda_1\)
④
und Sie erhalten den
Mittelpunktswinkel \(c\) zwischen den beiden Punkten
(der Winkel zwischen den beiden Punkten, vom Erdmittelpunkt aus gesehen)
Einfaches Beispiel
Der Mittelpunktswinkel zwischen Berlin (52,5200° N, 13,4050° O) und München (48,1351° N, 11,5820° O) ist
Mittelpunktswinkel \(c\)
\(=\)
Winkel aus den Differenzen der reduzierten Breite und des Längengrads von Berlin und München
\(U_1 = \arctan\bigl((1 - \tfrac{1}{298{,}257})\tan 52{,}5200^\circ\bigr) \approx 52{,}4270^\circ, \quad U_2 \approx 48{,}0394^\circ\)
\(c = 2\arcsin\sqrt{0{,}0015685} \approx 0{,}07923 \ \mathrm{rad} \ (\approx 4{,}5395^\circ)\)
Der Kerngedanke
Die Erde ist keine vollkommene Kugel. Ihr Äquatorradius beträgt etwa 6.378 km und ihr Polradius etwa 6.357 km, sie ist also von Nord nach Süd um etwa 1/300 abgeplattet. Diese Form heißt Rotationsellipsoid. Die Abplattung \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\) misst, wie stark sie abgeplattet ist, und setzt man den Breitengrad direkt in eine Formel für eine Kugel ein, ist das Ergebnis um diesen Betrag falsch. Deshalb wird zuerst jeder Breitengrad in die reduzierte Breite \(U\) umgerechnet, einen so angepassten Breitengrad, dass sich das Rotationsellipsoid wie eine Kugel behandeln lässt. Danach wird die Standardformel für den Mittelpunktswinkel zwischen zwei Punkten auf einer Kugel verwendet (eine Formel vom Haversine-Typ).
Beim Programmieren ergibt \(c = 2\,\mathrm{atan2}(\sqrt{a},\ \sqrt{1-a})\) (wobei \(a\) der Ausdruck unter der Wurzel ist) denselben Wert wie \(2\arcsin\sqrt{a}\), ist aber numerisch stabiler. Der Rechner auf dieser Seite verwendet diese Form.
Korrektur für das Rotationsellipsoid und die Entfernung \(d\) (Lambert-Formel, Teil 2)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(d\)
\(=\)
\(6378{,}1\)
\(\times\)
\(\bigl(\)
\(c\)
\(-\)
\(\frac{f(X + Y)}{2}\)
\(\bigr)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(d\): Entfernung zwischen den beiden Punkten
\(=\)
③
Äquatorradius, 6378,1 km
\(\times\)
\(\bigl(\)
①
\(c\): Mittelpunktswinkel
\(-\)
②
Korrektur wegen der Abplattung \(f(X+Y) \div 2\)
\(\bigr)\)
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie vom
Mittelpunktswinkel \(c\) (in Bogenmaß)
②
die
Korrektur wegen der Abplattung \(f(X+Y) \div 2\) (\(X\) und \(Y\) sind Zwischenwerte für die Korrektur)
③
ab, multiplizieren Sie mit dem
Äquatorradius, 6378,1 km
④
und Sie erhalten die
Entfernung \(d\) zwischen den beiden Punkten
(in km; mit dem Radius in Meilen, 3963,15 mi, erhalten Sie Meilen)
Einfaches Beispiel
Für Berlin und München (Mittelpunktswinkel c ≈ 0,07923 rad)
Entfernung \(d\)
\(=\)
Äquatorradius (6378,1 km)
\(\times\)
\(\bigl(\)
Mittelpunktswinkel (0,07923 rad)
\(-\)
Korrektur wegen der Abplattung (etwa 0,0001016)
\(\bigr)\)
\(X \approx 0{,}0000490, \quad Y \approx 0{,}060540, \quad \frac{f(X + Y)}{2} \approx 0{,}0001016\)
\(d = 6378{,}1 \times (0{,}07923 - 0{,}0001016) \approx 504{,}7 \ \mathrm{km} \quad (504{,}7 \div 1{,}60935 \approx 313{,}6 \ \mathrm{mi})\)
Der Kerngedanke
Die Grundlage ist die Regel für die Länge eines Kreisbogens: Bogenlänge = Radius × Mittelpunktswinkel (in Bogenmaß). \(6378{,}1 \times c\) allein ist die Bogenlänge auf einer Kugel mit dem Äquatorradius, von Berlin nach München etwa 505,3 km. Der Term \(\dfrac{f(X+Y)}{2}\) korrigiert dann die abgeplattete Form (hier verkürzt er die Entfernung um etwa 0,65 km, also etwa 650 m, auf 504,7 km). Für das Ergebnis in Meilen teilen Sie durch 1,60935 (oder rechnen mit dem Äquatorradius 3963,15 mi statt 6378,1 km).
Die genauen Definitionen der Zwischenwerte \(X\) und \(Y\) sind \(X = \dfrac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)}\) und \(Y = \dfrac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)}\) mit \(P = \dfrac{U_1 + U_2}{2}\) und \(Q = \dfrac{U_2 - U_1}{2}\). Sie sehen kompliziert aus, werden aber alle Schritt für Schritt aus den reduzierten Breiten und dem Mittelpunktswinkel der ersten Formel berechnet. Der Fehler der Lambert-Formel soll selbst bei Entfernungen von Tausenden von Kilometern nur etwa 10 Meter betragen.
Umrechnung von Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalgrad
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(D\)
\(=\)
\(d\)
\(+\)
\(\frac{m}{60}\)
\(+\)
\(\frac{s}{3600}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(D\): Winkel in Dezimalgrad
\(=\)
①
\(d\): Grad
\(+\)
②
Minuten \(m \div 60\)
\(+\)
③
Sekunden \(s \div 3600\)
Die Formel in Worten
①
Zu den
Grad \(d\)
②
addieren Sie die
Minuten \(m\), geteilt durch 60
③
und die
Sekunden \(s\), geteilt durch 3600
④
und Sie erhalten den
Winkel in Dezimalgrad \(D\)
(bei südlichen Breitengraden und westlichen Längengraden setzen Sie am Ende ein Minuszeichen davor)
Einfaches Beispiel
Der Breitengrad von München, 48°8′6,36″ N, in Dezimalgrad ist
Winkel in Dezimalgrad \(D\)
\(=\)
Grad (48)
\(+\)
Minuten (8) ÷ 60
\(+\)
Sekunden (6,36) ÷ 3600
\(48 + \frac{8}{60} + \frac{6{,}36}{3600} = 48 + 0{,}1333\ldots + 0{,}0017666\ldots = 48{,}1351\)
Der Kerngedanke
Grad, Minuten und Sekunden zählen im Sechzigersystem, genau wie Stunden, Minuten und Sekunden bei der Zeit. 1 Grad = 60 Minuten und 1 Minute = 60 Sekunden (also 1 Grad = 3600 Sekunden). Deshalb teilen Sie Minuten durch 60 und Sekunden durch 3600, um sie in Grad umzurechnen.
Bei südlichen Breitengraden und westlichen Längengraden setzen Sie ein Minuszeichen vor den ganzen umgerechneten Wert (zum Beispiel 77°2′11,76″ W → −77,0366°). Bei Dezimalgrad geben Sie diesen negativen Wert im Rechner ein. In der Form Grad-Minuten-Sekunden erreicht die Wahl von „S“ oder „W“ im Auswahlmenü dasselbe.
Lambert-Formel bestimmt die Entfernung zwischen zwei Punkten aus Breitengrad und Längengrad in drei Schritten: Die Erde wird als leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid behandelt, der Mittelpunktswinkel zwischen den beiden Punkten wird bestimmt, und es gilt „Bogenlänge = Radius × Mittelpunktswinkel“ mit einer Korrektur für die Abplattung. Grad-Minuten-Sekunden zählt wie die Zeit im Sechzigersystem, also machen Minuten ÷ 60 und Sekunden ÷ 3600 daraus Dezimalgrad.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\varphi\) | phi | Breitengrad: der Winkel, der angibt, wie weit ein Ort nördlich oder südlich des Äquators (0°) liegt. Nord ist positiv und Süd negativ (−90° bis 90°). |
| \(\lambda\) | lambda | Längengrad: der Winkel, der die Lage in Ost-West-Richtung angibt, gemessen vom Nullmeridian (0°), der durch die alte Sternwarte in Greenwich in England verläuft. Ost ist positiv und West negativ (−180° bis 180°). |
| \(f\) | ef | Die Abplattung der Erde: wie stark das Rotationsellipsoid abgeplattet ist, als Verhältnis. Diese Rechnung verwendet \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\). |
| \(U\) | u | Die reduzierte Breite: der Breitengrad auf dem Rotationsellipsoid, umgerechnet mit \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\), damit er in Formeln für eine Kugel verwendet werden kann. |
| \(c\) | ce | Der Mittelpunktswinkel: der Winkel zwischen den beiden Punkten, vom Erdmittelpunkt aus gesehen (im Bogenmaß). Über „Bogenlänge = Radius × Mittelpunktswinkel“ ist er die Grundlage der Entfernung. |
| \(X\), \(Y\) | iks, ypsilon | Zwischenwerte, mit denen die abgeplattete Form korrigiert wird. Sie werden aus dem Mittelpunktswinkel \(c\), dem Mittelwert der reduzierten Breiten \(P = \dfrac{U_1+U_2}{2}\) und ihrer halben Differenz \(Q = \dfrac{U_2-U_1}{2}\) berechnet. |
| \(d\) | de | Die Entfernung zwischen den beiden Punkten, vom Anfangsbuchstaben von „Distanz“. Diese Seite zeigt sie in km (Kilometern) und Meilen. |
| ° ′ ″ | Grad, Minute, Sekunde | Die Zeichen für Grad, Minuten und Sekunden bei Winkeln. 1° = 60′ und 1′ = 60″. Beispiel: 52°31′12″ (52 Grad, 31 Minuten, 12 Sekunden). |
Begriffe
| Breitengrad | Der Winkel, der die Lage in Nord-Süd-Richtung angibt, mit dem Äquator bei 0°. Der Nordpol liegt bei 90° N und der Südpol bei 90° S. Er ist ein Grundbegriff von Karten und Standortdaten und wird in der Erdkunde behandelt. |
| Längengrad | Der Winkel, der die Lage in Ost-West-Richtung angibt, mit dem Nullmeridian (der Linie durch Greenwich in England) bei 0°. Er reicht bis 180° Ost und 180° West. Deutschland liegt etwa zwischen 6° O und 15° O. |
| Grad-Minuten-Sekunden | Eine Schreibweise für Winkel im Sechzigersystem mit Grad, Minuten und Sekunden (im Englischen DMS). 1 Grad = 60 Minuten und 1 Minute = 60 Sekunden. Sie ist auf topografischen Karten, in der Seefahrt und bei GPS-Geräten üblich. |
| Rotationsellipsoid | Der Körper, der entsteht, wenn man eine Ellipse um ihre Achse dreht. Durch die Erdrotation wölbt sich die Erde am Äquator, deshalb wird sie als Rotationsellipsoid statt als Kugel modelliert. |
| Abplattung | Das Verhältnis, das zeigt, wie stark ein Rotationsellipsoid abgeplattet ist, definiert als (Äquatorradius − Polradius) ÷ Äquatorradius. Bei der Erde beträgt es etwa 1/300. |
| reduzierte Breite | Der Breitengrad eines Punktes auf dem Rotationsellipsoid, nachdem er auf den Hilfskreis (die Hilfskugel) übertragen wurde, aus dem die Ellipse entsteht. Er wird mit \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) bestimmt und in der Geodäsie (der Wissenschaft von der Erdgestalt) verwendet. Er heißt auch parametrische Breite. |
| Mittelpunktswinkel | Der Winkel zwischen zwei Punkten, vom Mittelpunkt eines Kreises oder einer Kugel aus gesehen. Die Regel „Bogenlänge = Radius × Mittelpunktswinkel (im Bogenmaß)“ ist die Grundlage der Entfernungsberechnung auf dieser Seite. |
| Geodäte | Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche. Auf der Erde ist sie der Großkreisroute nahe, und Flugrouten folgen ungefähr dieser Form. Diese Seite bestimmt die ungefähre Länge entlang der Geodäte. |
| Haversine-Formel | Eine bekannte Formel für die Entfernung zweier Punkte, die die Erde als vollkommene Kugel behandelt. Die Lambert-Formel auf dieser Seite ist eine verbesserte Version für das Rotationsellipsoid und verwendet im ersten Schritt eine Formel vom Haversine-Typ für den Mittelpunktswinkel. |
| Lambert-Formel | Ein Verfahren für die Entfernung zweier Punkte, das die Erde als Rotationsellipsoid modelliert. Sein Fehler soll selbst bei Entfernungen von Tausenden von Kilometern nur etwa 10 Meter betragen, und es ist genauer als die Behandlung der Erde als Kugel. |
| Meile | Eine Längeneinheit, die vor allem in den USA und im Vereinigten Königreich verwendet wird (die englische Landmeile). 1 Meile = 5.280 Fuß ≈ 1,609 km (nach der internationalen Definition genau 1,609344 km). Dieser Rechner rechnet mit 1 Meile = 1,60935 km um. Sie ist eine andere Einheit als die unten genannte Seemeile. |
| Seemeile | Eine Längeneinheit, die auf See und in der Luftfahrt verwendet wird (Kurzzeichen sm). 1 Seemeile = 1,852 km (etwa 1,15 Meilen oder 6.076 Fuß). Sie wurde so gewählt, dass sie etwa der Länge einer Minute (1/60 Grad) des Breitengrads entspricht. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Um nur eine Entfernung zu bestimmen, genügt es, Breitengrad und Längengrad lesen zu können. Um zu verstehen, was in den Formeln steckt, gehen Sie bis zu den Winkelfunktionen und dem Bogenmaß zurück.
| Breitengrad und Längengrad (Klasse 5–6, 10–12 Jahre, Erdkunde) |
|
| Winkel und das Sechzigersystem (Klasse 3–5, 8–11 Jahre, Zeit und Winkel) |
|
| Länge eines Kreisbogens (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Winkelfunktionen sin, cos und tan (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Die Form der Erde (Erdkunde und Physik, Klasse 7–10, 12–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Umrechnung von Grad-Minuten-Sekunden in Dezimalgrad
| Grad | 48 |
| Minuten | 8 |
| Sekunden | 6,36 |
| Dezimalgrad (bei S und W ein − davorsetzen) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabelle für die Entfernung mit der Lambert-Formel
| Punkt 1: Breitengrad (dezimal; S ist −) | 52,52 |
| Punkt 1: Längengrad (dezimal; W ist −) | 13,405 |
| Punkt 2: Breitengrad | 48,1351 |
| Punkt 2: Längengrad | 11,582 |
| Abplattung f | =1/298,257 |
| Reduzierte Breite U1 | =ARCTAN((1-B5)*TAN(BOGENMASS(B1))) |
| Reduzierte Breite U2 | =ARCTAN((1-B5)*TAN(BOGENMASS(B3))) |
| Differenz der Längengrade Δλ (Bogenmaß) | =BOGENMASS(B4-B2) |
| Term vom Haversine-Typ a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Mittelpunktswinkel c (Bogenmaß) | =2*ARCTAN2(WURZEL(1-B9);WURZEL(B9)) |
| Mittelwert P | =(B6+B7)/2 |
| Halbe Differenz Q | =(B7-B6)/2 |
| Zwischenwert X | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Zwischenwert Y | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Entfernung (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Entfernung (Meilen) | =B15/1,60935 |
Die erste Tabelle rechnet Grad-Minuten-Sekunden in Dezimalgrad um. B4 zeigt 48,1351.
Die zweite Tabelle enthält jeden Schritt der Lambert-Formel. B1 bis B4 sind die Eingaben (in Dezimalgrad), ab B6 folgen die Zwischenwerte der Formeln 1 und 2, B15 ist die Entfernung in km (etwa 504,69) und B16 die Entfernung in Meilen (etwa 313,60). Der Rechner auf dieser Seite rundet sie auf 504,7 km und 313,6 mi.
BOGENMASS(…) rechnet Grad in Bogenmaß um. In Excel erwartet ARCTAN2(x; y) die Argumente in der Reihenfolge (x-Koordinate; y-Koordinate), beachten Sie also, dass c als 2×ARCTAN2(√(1−a); √a) geschrieben wird.
Die zweite Tabelle enthält jeden Schritt der Lambert-Formel. B1 bis B4 sind die Eingaben (in Dezimalgrad), ab B6 folgen die Zwischenwerte der Formeln 1 und 2, B15 ist die Entfernung in km (etwa 504,69) und B16 die Entfernung in Meilen (etwa 313,60). Der Rechner auf dieser Seite rundet sie auf 504,7 km und 313,6 mi.
BOGENMASS(…) rechnet Grad in Bogenmaß um. In Excel erwartet ARCTAN2(x; y) die Argumente in der Reihenfolge (x-Koordinate; y-Koordinate), beachten Sie also, dass c als 2×ARCTAN2(√(1−a); √a) geschrieben wird.
Mit Google Tabellen berechnen
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Tabelle zur Umrechnung von Grad-Minuten-Sekunden in Dezimalgrad
| Grad | 48 |
| Minuten | 8 |
| Sekunden | 6,36 |
| Dezimalgrad (bei S und W ein − davorsetzen) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabelle für die Entfernung mit der Lambert-Formel
| Punkt 1: Breitengrad (dezimal; S ist −) | 52,52 |
| Punkt 1: Längengrad (dezimal; W ist −) | 13,405 |
| Punkt 2: Breitengrad | 48,1351 |
| Punkt 2: Längengrad | 11,582 |
| Abplattung f | =1/298,257 |
| Reduzierte Breite U1 | =ARCTAN((1-B5)*TAN(BOGENMASS(B1))) |
| Reduzierte Breite U2 | =ARCTAN((1-B5)*TAN(BOGENMASS(B3))) |
| Differenz der Längengrade Δλ (Bogenmaß) | =BOGENMASS(B4-B2) |
| Term vom Haversine-Typ a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Mittelpunktswinkel c (Bogenmaß) | =2*ARCTAN2(WURZEL(1-B9);WURZEL(B9)) |
| Mittelwert P | =(B6+B7)/2 |
| Halbe Differenz Q | =(B7-B6)/2 |
| Zwischenwert X | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Zwischenwert Y | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Entfernung (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Entfernung (Meilen) | =B15/1,60935 |
Dieselben Formeln wie in Excel (BOGENMASS, ARCTAN2, WURZEL und so weiter) funktionieren unverändert in Google Tabellen. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B4 durch Ihre eigenen Breitengrade und Längengrade.
Mit Python berechnen
import math
# Breiten- und Längengrad der beiden Punkte (Dezimalgrad; Süd und West sind negativ)
lat1, lon1 = 35.6895, 139.6917 # Punkt 1 (in der Nähe des Bahnhofs Tokio)
lat2, lon2 = 34.6937, 135.5023 # Punkt 2 (in der Nähe des Bahnhofs Osaka)
flattening = 1 / 298.257 # Abplattung der Erde, f
equator_radius_km = 6378.1 # Äquatorradius in km
# Formel 1, erste Hälfte: reduzierte Breite (der um die Abplattung verkleinerte Breitengrad)
u1 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat1)))
u2 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat2)))
delta_lon = math.radians(lon2 - lon1)
# Formel 1, zweite Hälfte: Mittelpunktswinkel c zwischen den beiden Punkten (Formel vom Haversine-Typ)
a = math.sin((u2 - u1) / 2) ** 2 + math.cos(u1) * math.cos(u2) * math.sin(delta_lon / 2) ** 2
central_angle = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 - a))
# Formel 2: Korrektur wegen der Abplattung (X und Y), dann die Entfernung
p = (u1 + u2) / 2
q = (u2 - u1) / 2
x = (central_angle - math.sin(central_angle)) * math.sin(p) ** 2 * math.cos(q) ** 2 / math.cos(central_angle / 2) ** 2
y = (central_angle + math.sin(central_angle)) * math.sin(q) ** 2 * math.cos(p) ** 2 / math.sin(central_angle / 2) ** 2
distance_km = equator_radius_km * (central_angle - flattening * (x + y) / 2)
distance_mile = distance_km / 1.60935
print(f"Entfernung zwischen den beiden Punkten: {distance_km:.1f} km ({distance_mile:.1f} Meilen)")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Das Beispiel verwendet zwei Punkte in Japan (die Bahnhöfe von Tokio und Osaka) und zeigt etwa 397,2 km. Für Berlin und München ersetzen Sie die Koordinaten oben durch die von Berlin (52,5200 und 13,4050) und München (48,1351 und 11,5820) und schreiben dabei die Dezimalstellen mit einem Punkt statt mit einem Komma, wie Python es verlangt: Sie erhalten etwa 504,7 km (313,6 Meilen). Ändern Sie die Breitengrade und Längengrade und führen Sie den Code aus (rechnen Sie Grad-Minuten-Sekunden zuerst mit „Grad + Minuten ÷ 60 + Sekunden ÷ 3600“ in Dezimalgrad um). Geben Sie für beide Punkte genau dieselben Koordinaten ein, wird durch 0 geteilt, und es kommt zu einem Fehler.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Mittelpunktswinkel \(c\) zwischen den beiden Punkten (Lambert-Formel, Teil 1)
U₁ = atan((1 − f)·tanφ₁), U₂ = atan((1 − f)·tanφ₂), c = 2·asin(√(sin²((U₂ − U₁)/2) + cosU₁·cosU₂·sin²((λ₂ − λ₁)/2)))
U_1 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_1\bigr),\ U_2 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_2\bigr),\quad c = 2\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{U_2-U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
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<mo>(</mo>
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<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>φ</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>arcsin</mi>
<mo>⁡</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
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<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
U_1 = arctan((1-f) tan(varphi_1)), U_2 = arctan((1-f) tan(varphi_2)), c = 2 arcsin(sqrt(sin^2((U_2-U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((lambda_2-lambda_1)/2)))
u1 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi1]]; u2 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi2]]; c = 2 ArcSin[Sqrt[Sin[(u2 - u1)/2]^2 + Cos[u1] Cos[u2] Sin[(lambda2 - lambda1)/2]^2]]
U1 := arctan((1 - f)*tan(phi1)); U2 := arctan((1 - f)*tan(phi2)); c := 2*arcsin(sqrt(sin((U2 - U1)/2)^2 + cos(U1)*cos(U2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
u1 = atan((1 - f)*tan(phi1)); u2 = atan((1 - f)*tan(phi2)); c = 2*asin(sqrt(sin((u2 - u1)/2)^2 + cos(u1)*cos(u2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
U_1 = atan((1 - f) tan(φ_1)), U_2 = atan((1 - f) tan(φ_2)), c = 2 asin(√(sin^2((U_2 - U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((λ_2 - λ_1)/2)))
Korrektur für das Rotationsellipsoid und die Entfernung \(d\) (Lambert-Formel, Teil 2)
d = 6378,1·(c − f·(X + Y)/2), X = (c − sin c)·sin²P·cos²Q ÷ cos²(c/2), Y = (c + sin c)·sin²Q·cos²P ÷ sin²(c/2), P = (U₁ + U₂)/2, Q = (U₂ − U₁)/2
d = 6378{,}1\left(c - \frac{f(X + Y)}{2}\right),\quad X = \frac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)},\quad Y = \frac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)},\quad P = \frac{U_1 + U_2}{2},\ Q = \frac{U_2 - U_1}{2}
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<mi>d</mi>
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<mn>6378,1</mn>
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<mi>c</mi>
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<mfrac>
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<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
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<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>X</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
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<mo>,</mo>
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<mi>Y</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>Q</mi>
<msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>P</mi>
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</mfrac>
<mo>,</mo>
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<mi>P</mi>
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<mo>,</mo>
<mi>Q</mi>
<mo>=</mo>
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</mrow>
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d = 6378,1 (c - f(X + Y)/2), X = ((c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q))/(cos^2(c/2)), Y = ((c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P))/(sin^2(c/2)), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - Sin[c]) Sin[p]^2 Cos[q]^2/Cos[c/2]^2; y = (c + Sin[c]) Sin[q]^2 Cos[p]^2/Sin[c/2]^2; d = 6378.1 (c - f (x + y)/2)
P := (U1 + U2)/2; Q := (U2 - U1)/2; X := (c - sin(c))*sin(P)^2*cos(Q)^2/cos(c/2)^2; Y := (c + sin(c))*sin(Q)^2*cos(P)^2/sin(c/2)^2; d := 6378.1*(c - f*(X + Y)/2);
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - sin(c))*sin(p)^2*cos(q)^2/cos(c/2)^2; y = (c + sin(c))*sin(q)^2*cos(p)^2/sin(c/2)^2; d = 6378.1*(c - f*(x + y)/2);
d = 6378,1(c - f(X + Y)/2), X = (c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q)/cos^2(c/2), Y = (c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P)/sin^2(c/2), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
Umrechnung von Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalgrad
D = d + m/60 + s/3600
D = d + \frac{m}{60} + \frac{s}{3600}
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<mi>D</mi>
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</math>
D = d + m/60 + s/3600
d + m/60 + s/3600
deg := d + m/60 + s/3600; # D (der Differentialoperator) ist in Maple reserviert, deshalb heißen die Dezimalgrad deg
D = d + m/60 + s/3600;
D = d + m/60 + s/3600
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für geografische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten). Bestimmen Sie die Entfernung zwischen zwei Punkten aus ihren Breiten- und Längengraden mit der Lambert-Formel, die die Erde als Ellipsoid mit der Abplattung f = 1/298,257 modelliert. Schritte: Rechnen Sie jeden Breitengrad in die reduzierte Breite U = atan((1-f)·tanφ) um; a = sin²((U2-U1)/2) + cosU1·cosU2·sin²((λ2-λ1)/2); Mittelpunktswinkel c = 2·atan2(√a, √(1-a)); P = (U1+U2)/2; Q = (U2-U1)/2; X = (c-sin c)·sin²P·cos²Q/cos²(c/2); Y = (c+sin c)·sin²Q·cos²P/sin²(c/2); Entfernung (km) = 6378,1·(c - f·(X+Y)/2). Punkt 1: 52,5200° N, 13,4050° O (Berlin) Punkt 2: 48,1351° N, 11,5820° O (München) Geben Sie die Entfernung in km und Meilen an (1 Meile = 1,60935 km) und zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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