Geben Sie von Schnittkreisradius \(r\), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) der Kugelkappe (der aus einer Kugel geschnittenen Kuppelform) nur die zwei bekannten ein. Der dritte Wert wird zurückgerechnet, danach werden der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche (\(2\pi Rh\)), der Flächeninhalt des Schnittkreises und ihre Summe berechnet.
Geben Sie nur zwei Werte ein (das übrige Feld bleibt leer). Längen sind Zahlen größer als 0 (Dezimalzahlen sind erlaubt), alle in derselben Einheit (zum Beispiel alle in cm). Der Flächeninhalt steht in dieser Einheit hoch 2 (cm² bei Eingabe in cm). Geben Sie \(r\) und \(R\) ein, kann es für die Höhe \(h\) zwei Ergebnisse geben (eine flache und eine tiefe Kugelkappe).
Ergebnis und Figur
Geben Sie in den Feldern links die zwei bekannten der drei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Mantelfläche der Kugelkappe (gekrümmte Fläche)
-
Flächeninhalt der Grundfläche (des Schnittkreises)
-
Gesamte Oberfläche (gekrümmte Fläche + Grundfläche)
-
Den Schnittkreisradius \(r\) bestimmen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
-
Die Höhe \(h\) bestimmen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind; zwei Ergebnisse)
-
Den Kugelradius \(R\) bestimmen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
-
-
Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Sie sehen sofort die Oberfläche einer Kugelkappe (der Kuppelform, die entsteht, wenn man eine Kugel mit einem einzigen ebenen Schnitt abtrennt)
- Geben Sie einfach zwei der drei Werte Schnittkreisradius \(r\), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) ein: Der dritte wird automatisch zurückgerechnet
- Der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche (\(2\pi Rh\)), der Flächeninhalt des Schnittkreises und ihre Summe werden zusammen mit den Rechenschritten angezeigt
- Die berechnete Kugelkappe wird auch in 3D dargestellt (durch Ziehen drehbar)
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Der Flächeninhalt steht in der eingegebenen Längeneinheit hoch 2 (cm² bei Eingabe in cm). Behandelt wird die Form, die entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene gerade abschneidet (der Schnitt ist also ein Kreis). Kuppeldächer, Schalen, Linsen oder aus dem Wasser ragende Bojen haben diese Form.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Fläche eines Planetariums oder Kuppeldachs abschätzen (Architektur)
Die runden Dächer von Planetarien, Sternwarten und überdachten Stadien sind Kugelkappen. Die Menge an Dachhaut oder Farbe schätzt man aus dem Flächeninhalt der gekrümmten Fläche, \(2\pi Rh\).
Bei einer Kuppel mit 16 m Durchmesser (Schnittkreisradius 8 m) und 4 m Höhe hat die ursprüngliche Kugel den Radius \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m, und die Dachfläche beträgt \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
Die Wölbung (den Krümmungsradius) einer Linse messen (Optik und Brillen)
Die Oberfläche eines Brillenglases oder einer Kontaktlinse hat die Form einer Kugelkappe, und ihre Wölbung wird durch den Radius der ursprünglichen Kugel angegeben (den Krümmungsradius). Das Sphärometer, ein Messgerät der Augenoptiker, misst die Breite \(2r\) der Fläche und ihre Pfeilhöhe \(h\) und ermittelt dann mit Formel 6 den Radius der ursprünglichen Kugel (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)).
Erhebt sich die Fläche zum Beispiel um 0,9 mm auf einem Radius von 6 mm, beträgt der Krümmungsradius \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
Die Glasur für eine Kuppeltorte abschätzen (Kochen und Backen)
Überzieht man eine Kuppeltorte (eine Halbkugel) mit Schokolade oder Spiegelglasur, ist die nötige Menge proportional zum Flächeninhalt. Bei einer Kuppel mit 12 cm Durchmesser ist \(R = h = 6\) cm, die gekrümmte Fläche also \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
Das hilft auch bei der Frage „Wie viel mehr Glasur brauche ich, wenn ich die Form doppelt so groß mache?“ (etwa 4-mal so viel, denn es geht um eine Fläche).
Die Fläche des sichtbaren Teils einer schwimmenden Boje (Meer und Schiffe)
Schwimmt eine kugelförmige Boje, ist der Teil über dem Wasser eine Kugelkappe. Ragt eine Boje mit 15 cm Radius 10 cm aus dem Wasser, beträgt die Fläche an der Luft \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\).
Zieht man das von der Oberfläche der ganzen Kugel ab, \(4\pi R^2 \approx 2.827\,\mathrm{cm^2}\), ergibt sich für den eingetauchten Teil (den Bereich, der einen Antifouling-Anstrich braucht) etwa \(1.885\,\mathrm{cm^2}\).
Die Fläche, die das Signal eines Satelliten abdeckt (Raumfahrt und Telekommunikation)
Das Gebiet der Erde, das das Signal eines Satelliten erreicht (sein Footprint), lässt sich als Teil der Erdoberfläche annähern, also als Kugelkappe. Die abgedeckte Fläche schätzt man mit \(2\pi Rh\) ab, mit dem Erdradius \(R \approx 6.371\) km und der Tiefe \(h\) des abgedeckten Gebiets (eine echte Untersuchung berücksichtigt auch die Verteilung der Signalstärke).
Die Planung eines Telekommunikationsnetzes, etwa „Um wie viel wächst die Abdeckung, wenn der Satellit höher steht?“, beruht auf dem Gedanken dieser Formel.
Formeln und Abbildungen
Mantelfläche der Kugelkappe (gekrümmte Fläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_1\): Flächeninhalt der gekrümmten Fläche
\(=\)
④
die Konstante \(2\)
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(R\): Kugelradius
\(\times\)
②
\(h\): Höhe der Kugelkappe
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(R\): Kugelradius
②
mal die
\(h\): Höhe der Kugelkappe
,
③
dann mal
\(\pi\): Kreiszahl Pi
,
④
und schließlich mal
die Konstante \(2\)
ergibt
⑤
\(S_1\): Flächeninhalt der gekrümmten Fläche
Einfaches Beispiel
Schneiden Sie von einer Kugel mit 10 cm Radius eine Kappe mit 5 cm Höhe ab (vom Scheitel aus gemessen). Der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche dieser Kugelkappe beträgt
\(S_1\): Flächeninhalt der gekrümmten Fläche
\(=\)
die Konstante \(2\)
\(\times\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
Kugelradius (10 cm)
\(\times\)
Höhe (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Erstaunlicherweise kommt der Schnittkreisradius \(r\) in dieser Formel nicht vor: Der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche einer Kugelkappe hängt nur vom Radius \(R\) der ursprünglichen Kugel und von der Höhe \(h\) ab. Außerdem ist \(2\pi Rh\) genau die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius \(R\) und Höhe \(h\). Schneidet man eine Kugel in gleich dicke Scheiben, hat jede Scheibe dieselbe gekrümmte Fläche, ob sie nun am Rand oder in der Mitte liegt. Diese schöne Eigenschaft hat der griechische Mathematiker Archimedes entdeckt.
Setzt man \(h = 2R\) (die ganze Kugel) ein, erhält man \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\): Man erhält genau die Formel für die Oberfläche der Kugel.
Flächeninhalt der Grundfläche (des Schnittkreises)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S_2\): Flächeninhalt des Schnittkreises
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(r\): Schnittkreisradius
②
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Schnittkreisradius
②
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
,
③
und multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi
ergibt
④
\(S_2\): Flächeninhalt des Schnittkreises
Einfaches Beispiel
Bei einer Kugelkappe, deren Schnittkreis 3 cm Radius hat, beträgt der Flächeninhalt der Grundfläche
\(S_2\): Flächeninhalt des Schnittkreises
\(=\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
Schnittkreisradius (3 cm)
zum Quadrat
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Das ist einfach die gewohnte Formel „Flächeninhalt des Kreises = π × Radius zum Quadrat“. Wo Sie eine Kugel auch mit einer Ebene schneiden, der Schnitt ist immer ein Kreis: Der Flächeninhalt der Grundfläche lässt sich also mit der Formel für den Kreisinhalt berechnen.
Gesamte Oberfläche (gekrümmte Fläche + Grundfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): gesamte Oberfläche
\(=\)
①
Mantelfläche \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
Grundfläche \(\pi r^2\)
Die Formel in Worten
①
Zur
Mantelfläche \(2\pi Rh\) (Formel 1)
②
addieren Sie die
Grundfläche \(\pi r^2\) (Formel 2)
und erhalten
③
\(S\): gesamte Oberfläche
Einfaches Beispiel
Bei einer Kugelkappe, die 5 cm hoch aus einer Kugel mit 10 cm Radius geschnitten wurde (der Schnittkreisradius ist \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm), beträgt die gesamte Oberfläche
\(S\): gesamte Oberfläche
\(=\)
Mantelfläche (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
Grundfläche (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die „gesamte Oberfläche“ ist der Flächeninhalt der ganzen Außenfläche des massiven Stücks, das aus der Kugel geschnitten wurde, des Kugelsegments (die gekrümmte Fläche plus der Schnittkreis).
Wollen Sie nur den gewölbten Teil wissen, etwa die Fläche eines Kuppeldachs, nehmen Sie \(S_1 = 2\pi Rh\) aus Formel 1 (die Zeile „Mantelfläche der Kugelkappe“ im Ergebnis).
Den Schnittkreisradius \(r\) bestimmen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(r\): Schnittkreisradius
\(=\)
①
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
Die Formel in Worten
①
Berechnen Sie die
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\) (das Doppelte des Kugelradius mal die Höhe, minus die Höhe zum Quadrat)
um den zu erhalten
②
\(r\): Schnittkreisradius
Einfaches Beispiel
Bei einer Kugelkappe, die 5 cm hoch aus einer Kugel mit 10 cm Radius geschnitten wurde, hat der Schnittkreis den Radius
\(r\): Schnittkreisradius
\(=\)
Quadratwurzel aus \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
Der Kerngedanke
Verbindet man drei Punkte, den Kugelmittelpunkt, den Mittelpunkt des Schnittkreises und einen Punkt auf dem Rand des Schnitts, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Wendet man darauf den Satz des Pythagoras an, erhält man \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\), also diese Formel.
Der Ausdruck unter der Wurzel lässt sich auch als \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\) schreiben: Solange die Höhe \(h\) den Durchmesser \(2R\) nicht überschreitet, ist er größer oder gleich null, und die Quadratwurzel lässt sich immer berechnen.
Die Höhe \(h\) bestimmen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind; zwei Ergebnisse)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(h\): Höhe der Kugelkappe
\(=\)
①
\(R\): Kugelradius
\(\pm\)
②
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\)
Die Formel in Worten
①
Zum
\(R\): Kugelradius
,
②
addieren oder subtrahieren Sie die
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\) (das Quadrat des Kugelradius minus das Quadrat des Schnittkreisradius)
(die beiden Fälle von ±). Sie erhalten die
③
\(h\): Höhe der Kugelkappe
Einfaches Beispiel
Schneidet man eine Kugel mit 2 m Radius so, dass der Schnittkreis 1 m Radius hat, beträgt die Höhe der Kugelkappe
\(h\): Höhe der Kugelkappe
\(=\)
Kugelradius (2 m)
\(\pm\)
Quadratwurzel aus \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268 \quad \text{oder} \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
Der Kerngedanke
Es gibt zwei Ergebnisse, weil derselbe Schnittkreis eine flache Kugelkappe (das kleine Stück auf der Scheitelseite) oder eine tiefe Kugelkappe (das große Stück, das übrig bleibt) ergeben kann. Die beiden Höhen ergeben zusammen immer den Kugeldurchmesser \(2R\) (im Beispiel \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Für \(r = R\) (der Schnitt geht durch die breiteste Stelle der Kugel) ist \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\): Dann gibt es nur ein Ergebnis, \(h = R\), genau eine Halbkugel.
Den Kugelradius \(R\) bestimmen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
①
Höhe \(h\) zum Quadrat
\(+\)
②
Schnittkreisradius \(r\) zum Quadrat
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
das Doppelte der Höhe, \(2h\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie die
Höhe \(h\) zum Quadrat
②
und den
Schnittkreisradius \(r\) zum Quadrat
,
③
und teilen Sie durch
das Doppelte der Höhe, \(2h\)
um den zu erhalten
④
\(R\): Kugelradius
Einfaches Beispiel
Bei einer Kuppelform (einer Kugelkappe) mit 3 cm Schnittkreisradius und 2 cm Höhe hat die ursprüngliche Kugel den Radius
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
Höhe zum Quadrat (\(2^2 = 4\))
\(+\)
Radius zum Quadrat (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
Doppeltes der Höhe (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel stellt die Größe der ursprünglichen Kugel aus einer Form wieder her, die nur ein Stück davon ist: eine Tellerscherbe, eine Linse, eine Kuppel … Es genügt, zwei Größen zu messen, den Radius \(r\) des Schnitts und die Höhe \(h\), um die sich die Fläche darüber erhebt, um den Radius der ursprünglichen Kugel zu kennen.
Das Sphärometer, das Messgerät für den Krümmungsradius einer Linse oder eines Spiegels, rechnet genau mit dieser Formel.
Der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche einer Kugelkappe ist einfach „2 × π × Kugelradius R × Höhe h“ (der Kern: Der Schnittkreisradius r kommt darin nicht vor). Für die gesamte Oberfläche einschließlich des Schnittkreises addieren Sie nur den Kreisinhalt πr². Kennen Sie zwei der Längen r, R und h, können Sie die dritte berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Der hier verwendete Buchstabe für die Oberfläche (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). Auf dieser Seite ist es die gesamte Oberfläche des Kugelsegments (Mantelfläche plus Grundfläche). |
| \(S_1\) | S eins | Die Mantelfläche, hier der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche der Kugelkappe (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(M\)). Es ist \(S_1 = 2\pi Rh\). |
| \(S_2\) | S zwei | Der Flächeninhalt der Grundfläche (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(G\)), hier des Schnittkreises. Es ist \(S_2 = \pi r^2\). |
| \(R\) | großes R | Der Radius der ursprünglichen Kugel (der ganzen Kugel vor dem Schnitt), R wie „Radius“. Er wird großgeschrieben, um ihn vom kleinen \(r\) zu unterscheiden. |
| \(r\) | kleines r | Der Radius des Schnittkreises. Auch das ist ein Radius, aber eine andere Länge als das große \(R\) (der Kugelradius): Verwechseln Sie sie nicht. |
| \(h\) | h | Die Höhe der Kugelkappe, der Abstand von der Schnittebene bis zum Scheitel der gekrümmten Fläche (h wie „Höhe“). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt. Sie beträgt etwa 3,14159…, und ihre Nachkommastellen hören nie auf. In der Schule rechnet man mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“ (Beispiel: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | Wurzel (Wurzelzeichen) | Das Zeichen für die nichtnegative Zahl, die zum Quadrat genommen die Ausgangszahl ergibt (Beispiel: \(\sqrt{75}\) ist die Zahl, deren Quadrat 75 ist, etwa 8,66). |
| \(\pm\) | plus minus | Ein Zeichen, das bedeutet: „Sowohl der Fall mit Addition als auch der mit Subtraktion ist ein Ergebnis.“ In Formel 5 zeigt es, dass die Höhe \(h\) zwei Ergebnisse hat. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Dieser Rechner gibt den Flächeninhalt in der eingegebenen Längeneinheit hoch 2 an (m² bei Eingabe in m). |
Begriffe
| Kugelkappe | Der gewölbte Teil, der entsteht, wenn man eine Kugel mit einer einzigen Ebene schneidet, in der Form eines Kuppeldachs, einer Schale oder einer Kontaktlinse. Man sagt auch Kalotte. Im Alltag bezeichnet man damit auch das massive Stück. |
| Kugelsegment | Das massive Stück, das eine einzige Ebene aus einer Kugel schneidet (auch Kugelabschnitt). Seine Oberfläche besteht aus der Kugelkappe (der gewölbten Fläche) und der Grundfläche (dem Schnittkreis); die „gesamte Oberfläche“ auf dieser Seite ist der Flächeninhalt seiner ganzen Außenfläche. |
| Halbkugel | Die Hälfte einer Kugel, geschnitten von einer Ebene durch ihren Mittelpunkt. Sie ist eine besondere Kugelkappe, deren Höhe \(h\) dem Kugelradius \(R\) entspricht (\(h = R\)). |
| Schnittkreis | Der Kreis, der entsteht, wenn eine Ebene die Kugel schneidet. Er bildet die ebene Grundfläche der Kugelkappe. Sein Radius ist \(r\). |
| Mantelfläche | Der Flächeninhalt der gewölbten Außenfläche eines Körpers ohne Grundfläche. Bei der Kugelkappe ist es der Flächeninhalt der gekrümmten Fläche, \(S_1 = 2\pi Rh\). |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenfläche eines Körpers. Sie ist eine andere Größe als das Volumen (der Platz im Inneren) und zählt, wenn man streichen oder einpacken will. |
| gekrümmte Fläche | Eine Fläche, die nicht eben, sondern rund gewölbt ist. Der „runde Teil“ einer Kugelkappe ist eine gekrümmte Fläche, der Schnittkreis dagegen ist eben. |
| Satz des Pythagoras | Der Satz, nach dem in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: „Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“ Die Formeln 4 bis 6, die eine Länge aus den beiden anderen zurückrechnen, folgen aus diesem Satz, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck im Schnitt der Kugel. |
| Quadratwurzel | Eine Zahl, die zum Quadrat genommen die Ausgangszahl ergibt. Ihr Zeichen ist \(\sqrt{\phantom{0}}\) (das Wurzelzeichen). Sie taucht in den Formeln 4 und 5 auf, um das Quadrieren „rückgängig zu machen“. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Flächeninhalt des Kreises und die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Potenzen – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
| Die Oberfläche der Kugel – Klasse 10 (15–16 Jahre) |
|
| Die Quadratwurzel – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras – Klasse 9 (14–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche der gekrümmten Fläche
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Mantelfläche der Kugelkappe | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (des Schnittkreises)
| Schnittkreisradius r | 3 |
| Flächeninhalt des Schnittkreises | =PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der gesamten Oberfläche (aus R und h)
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Schnittkreisradius r (berechnet) | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Gesamte Oberfläche | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabelle zur Rückrechnung des Schnittkreisradius r
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Schnittkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabelle zur Rückrechnung der Höhe h (zwei Ergebnisse)
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h (Lösung 1, flache Kugelkappe) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe h (Lösung 2, tiefe Kugelkappe) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zur Rückrechnung des Kugelradius R
| Schnittkreisradius r | 3 |
| Höhe der Kugelkappe h | 2 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„PI()“ ist eine Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, und „WURZEL()“ eine Funktion, die die Quadratwurzel berechnet. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (hier zum Quadrat).
Zum Beispiel zeigt B3 in der ersten Tabelle etwa 314,16 und B4 in der dritten etwa 549,78. Die fünfte Tabelle ist ein Beispiel mit zwei Ergebnissen für die Höhe (etwa 0,268 und etwa 3,732). Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
„PI()“ ist eine Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, und „WURZEL()“ eine Funktion, die die Quadratwurzel berechnet. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (hier zum Quadrat).
Zum Beispiel zeigt B3 in der ersten Tabelle etwa 314,16 und B4 in der dritten etwa 549,78. Die fünfte Tabelle ist ein Beispiel mit zwei Ergebnissen für die Höhe (etwa 0,268 und etwa 3,732). Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Mantelfläche der gekrümmten Fläche
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Mantelfläche der Kugelkappe | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche (des Schnittkreises)
| Schnittkreisradius r | 3 |
| Flächeninhalt des Schnittkreises | =PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der gesamten Oberfläche (aus R und h)
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Schnittkreisradius r (berechnet) | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Gesamte Oberfläche | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabelle zur Rückrechnung des Schnittkreisradius r
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe der Kugelkappe h | 5 |
| Schnittkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabelle zur Rückrechnung der Höhe h (zwei Ergebnisse)
| Schnittkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h (Lösung 1, flache Kugelkappe) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe h (Lösung 2, tiefe Kugelkappe) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zur Rückrechnung des Kugelradius R
| Schnittkreisradius r | 3 |
| Höhe der Kugelkappe h | 2 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktionen PI() und WURZEL()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
import math
ball_radius = 10 # Kugelradius R (in diesem Beispiel in cm)
cap_height = 5 # Höhe der Kugelkappe h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # Schnittkreisradius r (zurückgerechnet)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # Mantelfläche der Kugelkappe (gekrümmte Fläche)
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # Flächeninhalt des Schnittkreises
total_area = cap_area + base_area # gesamte Oberfläche
print(f"Schnittkreisradius r: {base_radius} cm")
print(f"Mantelfläche der Kugelkappe: {cap_area} cm2")
print(f"Flächeninhalt des Schnittkreises: {base_area} cm2")
print(f"Gesamte Oberfläche: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „math.sqrt()“ die Quadratwurzel und „**“ die Potenz (hier zum Quadrat). Ändern Sie am Anfang Kugelradius und Höhe und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm). Wollen Sie den Kugelradius aus r und h zurückrechnen, ersetzen Sie diese Zeile durch „ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)“.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Mantelfläche der Kugelkappe (gekrümmte Fläche)
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
Flächeninhalt der Grundfläche (des Schnittkreises)
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
Gesamte Oberfläche (gekrümmte Fläche + Grundfläche)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
Den Schnittkreisradius \(r\) bestimmen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Die Höhe \(h\) bestimmen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind; zwei Ergebnisse)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
Den Kugelradius \(R\) bestimmen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine Kugel mit 10 cm Radius wird von einer Ebene 5 cm unter ihrem Scheitel geschnitten, sodass eine Kugelkappe (eine Kuppelform) entsteht. Berechnen Sie: 1. den Radius r des Schnittkreises (r = √(2Rh − h²)) 2. den Flächeninhalt der gekrümmten Fläche der Kugelkappe (S₁ = 2πRh) 3. den Flächeninhalt des Schnittkreises (S₂ = πr²) 4. die gesamte Oberfläche (S = S₁ + S₂) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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