Geben Sie von der Kugelkappe zwei der drei Größen Grundkreisradius \(r\), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) ein. Die dritte wird zurückgerechnet, dann folgen die gewölbte Fläche (\(2\pi Rh\)), die Grundkreisfläche und die Summe.
Nur zwei Felder ausfüllen (das dritte bleibt leer). Längen sind Zahlen größer als 0 (auch Dezimalzahlen), alle in derselben Einheit (z. B. alle in cm). Die Flächen stehen in dieser Einheit hoch 2 (bei cm in cm²). Bei Eingabe von \(r\) und \(R\) kann es für die Höhe \(h\) zwei Lösungen geben (flache und tiefe Kappe).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die zwei bekannten der drei Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Fläche der Kugelkappe (Mantelfläche)
-
Fläche des Grundkreises (der Schnittfläche)
-
Gesamtoberfläche (gewölbte Fläche + Grundkreis)
-
Grundkreisradius \(r\) berechnen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
-
Höhe \(h\) berechnen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind, zwei Lösungen)
-
Kugelradius \(R\) berechnen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
-
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Sie erhalten sofort die Fläche einer Kugelkappe (Kugelkalotte) – der gewölbten Fläche, die beim ebenen Schnitt durch eine Kugel entsteht, geformt wie eine Kuppel
- Von Grundkreisradius \(r\), Kugelradius \(R\) und Höhe \(h\) geben Sie nur die zwei bekannten ein – die dritte Größe wird automatisch zurückgerechnet
- Angezeigt werden die gewölbte, gekrümmte Fläche (\(2\pi Rh\)), die Fläche des Grundkreises (der Schnittfläche) und die Summe – mit Rechenweg
- Die Kugelkappe erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Flächen stehen in der Eingabeeinheit hoch 2 (bei cm in cm²). Gemeint ist die Form, die beim geraden, ebenen Schnitt durch eine Kugel entsteht (die Schnittfläche ist ein Kreis) – etwa ein Kuppeldach, eine Schüssel, eine Linse oder eine Boje, die aus dem Wasser ragt.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Fläche eines Kuppeldachs oder Planetariums abschätzen (Architektur)
Die runden Dächer von Planetarien, Sternwarten und Kuppelhallen haben genau die Form einer Kugelkappe. Wie viel Dachmaterial oder Farbe nötig ist, schätzt man mit der gewölbten Fläche \(2\pi Rh\).
Bei einer Kuppel mit 16 m Durchmesser (Grundkreisradius 8 m) und 4 m Höhe ist der Kugelradius \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m und die Dachfläche \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
Die Krümmung einer Linse messen (Optik und Augenoptik)
Die Oberflächen von Brillengläsern und Kontaktlinsen sind Kugelkappen, ihre Wölbung gibt man als Radius der ursprünglichen Kugel an (Krümmungsradius). Ein Sphärometer misst die Breite \(2r\) und die Wölbung \(h\) der Linse und berechnet den Kugelradius mit Formel 6 (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)).
Beträgt die Wölbung über einem Radius von 6 mm zum Beispiel 0,9 mm, ist der Krümmungsradius \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
Die Glasur für eine Kuppeltorte abschätzen (Backen und Konditorei)
Überzieht man eine Kuppeltorte (eine Halbkugel) mit Schokolade oder Spiegelglasur, ist die nötige Menge proportional zur Fläche. Bei 12 cm Durchmesser ist \(R = h = 6\) cm, die gewölbte Fläche also \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
Auch die Frage „Wie viel mehr Glasur brauche ich mit einer doppelt so großen Form?“ lässt sich so beantworten: etwa viermal so viel, weil es um eine Fläche geht.
Den sichtbaren Teil einer schwimmenden Boje berechnen (Meer und Schifffahrt)
Schwimmt eine kugelförmige Boje im Wasser, ist der Teil über der Wasserlinie eine Kugelkappe. Ragt eine Boje mit 15 cm Radius 10 cm heraus, liegen \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\) an der Luft.
Zieht man das von der ganzen Kugeloberfläche \(4\pi R^2 \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\) ab, erhält man die Fläche unter Wasser (die einen Antifouling-Anstrich braucht): etwa \(1885\,\mathrm{cm^2}\).
Die Fläche der Funkabdeckung eines Satelliten (Raumfahrt und Kommunikation)
Das Gebiet auf der Erde, das ein Satellit mit Funk erreicht (der „Footprint“), lässt sich als Teil der Erdoberfläche, also als Kugelkappe, nähern. Die abgedeckte Fläche schätzt man mit dem Erdradius \(R \approx 6371\) km und der Höhe \(h\) der Kappe als \(2\pi Rh\) (in der Praxis berücksichtigt man auch die Verteilung der Signalstärke).
Wie stark die Abdeckung wächst, wenn der Satellit höher fliegt – solche Planungen von Kommunikationsnetzen beruhen auf dieser Überlegung.
Formeln und Abbildungen
Fläche der Kugelkappe (Mantelfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_1\): Fläche der Kugelkappe
\(=\)
④
\(2\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(R\): Kugelradius
\(\times\)
②
\(h\): Höhe der Kappe
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man den
\(R\): Kugelradius
②
mit der
\(h\): Höhe der Kappe
③
, mit der
\(\pi\): Kreiszahl
④
und mit der
\(2\): Konstante
⑤
, erhält man die
\(S_1\): Fläche der Kugelkappe
Einfaches Beispiel
Schneidet man von einer Kugel mit 10 cm Radius eine Kappe mit 5 cm Höhe ab, hat die gewölbte Fläche den Inhalt
\(S_1\): Fläche der Kugelkappe
\(=\)
\(2\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Kugelradius (10 cm)
\(\times\)
Höhe (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Erstaunlich: Der Grundkreisradius \(r\) kommt in dieser Formel gar nicht vor. Die Fläche der Kugelkappe hängt nur vom Kugelradius \(R\) und von der Höhe \(h\) ab. Außerdem ist \(2\pi Rh\) genau die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius \(R\) und Höhe \(h\). Schneidet man eine Kugel in gleich dicke Scheiben, haben deren gewölbte Ränder also alle denselben Flächeninhalt – egal ob am Rand oder in der Mitte. Diese schöne Eigenschaft entdeckte der griechische Mathematiker Archimedes.
Setzt man \(h = 2R\) ein (die ganze Kugel), ergibt sich \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\) – genau die Formel für die Kugeloberfläche.
Fläche des Grundkreises (der Schnittfläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S_2\): Grundkreisfläche
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Grundkreisradius
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Grundkreisradius
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
③
und multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl
④
, erhält man die
\(S_2\): Grundkreisfläche
Einfaches Beispiel
Bei einer Kugelkappe mit 3 cm Grundkreisradius ist die Grundkreisfläche
\(S_2\): Grundkreisfläche
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Grundkreisradius (3 cm)
hoch 2
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Das ist einfach die bekannte Formel für die Kreisfläche: Kreiszahl mal Radius hoch 2. Wo man eine Kugel auch eben schneidet – die Schnittfläche ist immer ein Kreis. Daher berechnet man die Grundfläche mit der Kreisformel.
Gesamtoberfläche (gewölbte Fläche + Grundkreis)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Gesamtoberfläche
\(=\)
①
\(2\pi Rh\): gewölbte Fläche
\(+\)
②
\(\pi r^2\): Grundkreisfläche
Die Formel in Worten
①
Addiert man zur
\(2\pi Rh\): Fläche der Kugelkappe (Formel 1)
②
die
\(\pi r^2\): Grundkreisfläche (Formel 2)
③
, erhält man die
\(S\): Gesamtoberfläche
Einfaches Beispiel
Für die Kappe mit 5 cm Höhe von einer Kugel mit 10 cm Radius (Grundkreisradius \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm) beträgt die Gesamtoberfläche
\(S\): Gesamtoberfläche
\(=\)
gewölbte Fläche (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
Grundkreisfläche (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Gesamtoberfläche ist die ganze Außenfläche des massiven Stücks, das man von der Kugel abtrennt (des Kugelsegments): gewölbte Fläche plus Schnittkreis.
Brauchen Sie nur die gewölbte Fläche – etwa für ein Kuppeldach –, nehmen Sie \(S_1 = 2\pi Rh\) aus Formel 1 (im Ergebnis „Fläche der Kugelkappe (gewölbte Fläche)“).
Grundkreisradius \(r\) berechnen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(r\): Grundkreisradius
\(=\)
①
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\)
Die Formel in Worten
①
Berechnet man die
Quadratwurzel aus \(2Rh - h^2\) (das Doppelte von Kugelradius mal Höhe, minus Höhe hoch 2)
②
, erhält man den
\(r\): Grundkreisradius
Einfaches Beispiel
Für die Kappe mit 5 cm Höhe von einer Kugel mit 10 cm Radius ist der Radius des Grundkreises (der Schnittfläche)
\(r\): Grundkreisradius
\(=\)
Quadratwurzel aus \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
Der Grundgedanke
Verbindet man den Kugelmittelpunkt, den Mittelpunkt des Grundkreises und einen Punkt auf dem Schnittrand, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras folgt \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\) – das ist diese Formel.
Der Ausdruck unter der Wurzel lässt sich als \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\) schreiben. Solange die Höhe \(h\) nicht größer als der Kugeldurchmesser \(2R\) ist, ist er also nie negativ, und die Wurzel lässt sich immer ziehen.
Höhe \(h\) berechnen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind, zwei Lösungen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(h\): Höhe der Kappe
\(=\)
①
\(R\): Kugelradius
\(\pm\)
②
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\)
Die Formel in Worten
①
Addiert man zum
\(R\): Kugelradius
②
die
Quadratwurzel aus \(R^2 - r^2\) (Kugelradius hoch 2 minus Grundkreisradius hoch 2)
oder zieht sie ab (± steht für beide Fälle),
③
erhält man die
\(h\): Höhe der Kappe
Einfaches Beispiel
Schneidet man von einer Kugel mit 2 m Radius eine Kappe mit 1 m Grundkreisradius ab, ist die Höhe der Kappe
\(h\): Höhe der Kappe
\(=\)
Kugelradius (2 m)
\(\pm\)
Quadratwurzel aus \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
Der Grundgedanke
Zwei Lösungen gibt es, weil man mit derselben Schnittfläche flach abschneiden kann (die kleine Kappe oben) oder tief (die große Kappe, die übrig bleibt). Die beiden Höhen ergeben zusammen immer den Kugeldurchmesser \(2R\) (im Beispiel \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Bei \(r = R\) (Schnitt an der dicksten Stelle) wird \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\), und es gibt nur eine Lösung: \(h = R\), also genau eine Halbkugel.
Kugelradius \(R\) berechnen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
①
\(h^2\): Höhe hoch 2
\(+\)
②
\(r^2\): Grundkreisradius hoch 2
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
\(2h\): doppelte Höhe
\()\)
Die Formel in Worten
①
Addiert man zur
\(h^2\): Höhe hoch 2
②
den
\(r^2\): Grundkreisradius hoch 2
③
und teilt durch die
\(2h\): doppelte Höhe
④
, erhält man den
\(R\): Kugelradius
Einfaches Beispiel
Bei einer kuppelförmigen Kugelkappe mit 3 cm Grundkreisradius und 2 cm Höhe hat die ursprüngliche Kugel den Radius
\(R\): Kugelradius
\(=\)
\((\)
Höhe hoch 2 (\(2^2 = 4\))
\(+\)
Radius hoch 2 (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
doppelte Höhe (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
Der Grundgedanke
Mit dieser Formel rekonstruiert man aus einem Stück einer Kugel (einer Tellerscherbe, einer Linse, einer Kuppel) die ganze Kugel. Man misst nur den Radius \(r\) der Schnittfläche und die Wölbung \(h\) darüber – und kennt den ursprünglichen Kugelradius.
Auch das Sphärometer, mit dem man den Krümmungsradius von Linsen und Spiegeln misst, rechnet genau mit dieser Formel.
Die Fläche einer Kugelkappe ist einfach „2 × Kreiszahl π × Kugelradius R × Höhe h“ – der Grundkreisradius r kommt darin nicht vor. Für die Gesamtoberfläche mit Schnittkreis addieren Sie die Kreisfläche πr². Von r, R und h genügen zwei, um die dritte Größe zu berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein übliches Zeichen für Flächen (englisch surface). Hier steht \(S_1\) für die Fläche der Kugelkappe, \(S_2\) für die Grundkreisfläche und \(S\) für die Gesamtoberfläche. In deutschen Schulbüchern heißt die gewölbte Fläche meist \(M\) (Mantelfläche) und die Gesamtoberfläche \(O\). |
| \(R\) | groß R | Der Radius der ursprünglichen, ganzen Kugel. Er wird groß geschrieben, um ihn vom kleinen \(r\) zu unterscheiden. In deutschen Schulbüchern heißt der Kugelradius oft \(r\) – achten Sie also darauf, welcher Radius gemeint ist. |
| \(r\) | klein r | Der Radius des Grundkreises (der Schnittfläche), in vielen Schulbüchern \(\rho\) oder \(a\). Er ist eine andere Länge als der Kugelradius \(R\). |
| \(h\) | h | Die Höhe der Kugelkappe, also der Abstand von der Schnittfläche bis zum höchsten Punkt der Kugel. |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und geht als 3,14159… endlos weiter. In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“ (Beispiel: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | Wurzel | Das Zeichen für die Quadratwurzel: die Zahl ab 0, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt (Beispiel: \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\), denn \(8{,}66^2 \approx 75\)). |
| \(\pm\) | plus minus | Bedeutet „sowohl mit Plus als auch mit Minus“. In Formel 5 zeigt es, dass es für die Höhe \(h\) zwei Lösungen gibt. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat 1 cm². Die Flächen im Rechner stehen in der Eingabeeinheit hoch 2 (bei m also in m²). |
Begriffe
| Kugelkappe | Die gewölbte Fläche, die entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet, auch Kugelkalotte genannt. So sehen ein Kuppeldach, eine Schüssel oder eine Kontaktlinse aus. |
| Kugelsegment | Der massive Körper, den man mit einer Ebene von einer Kugel abtrennt (Kugelabschnitt). Seine Oberfläche besteht aus der Kugelkappe und dem Grundkreis. Die „Gesamtoberfläche“ auf dieser Seite ist die ganze Oberfläche des Kugelsegments. |
| Halbkugel | Die Form, die beim Schnitt genau durch den Kugelmittelpunkt entsteht – eine besondere Kugelkappe mit Höhe gleich Kugelradius (\(h = R\)). |
| Grundkreis | Der Schnittkreis, also die ebene Fläche, mit der das Kugelsegment aufliegt. Sein Radius ist \(r\). |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenhaut eines Körpers. Sie ist etwas anderes als das Volumen und zählt, wenn es um Anstrich, Verpackung oder Beschichtung geht. |
| gekrümmte Fläche | Eine Fläche, die nicht eben, sondern gewölbt ist. Der runde Teil der Kugelkappe ist gekrümmt, der Schnittkreis ist eben. |
| Satz des Pythagoras | Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Quadrate der beiden Katheten ergeben zusammen das Quadrat der Hypotenuse. Die Umkehrformeln 4 bis 6 entstehen, wenn man diesen Satz auf das rechtwinklige Dreieck im Kugelquerschnitt anwendet. |
| Quadratwurzel | Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt, geschrieben mit \(\sqrt{\phantom{0}}\). In den Formeln 4 und 5 macht sie das Quadrieren rückgängig. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreisfläche und Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Die Kugeloberfläche (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Fläche der Kugelkappe
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Fläche der Kugelkappe | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Grundkreisfläche (Schnittfläche)
| Grundkreisradius r | 3 |
| Grundkreisfläche | =PI()*B1^2 |
Tabelle für die Gesamtoberfläche (aus R und h)
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Grundkreisradius r (berechnet) | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Gesamtoberfläche | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabelle zum Zurückrechnen des Grundkreisradius r
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Grundkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabelle zum Zurückrechnen der Höhe h (zwei Lösungen)
| Grundkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h (Lösung 1, flache Kappe) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe h (Lösung 2, tiefe Kappe) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zum Zurückrechnen des Kugelradius R
| Grundkreisradius r | 3 |
| Höhe h der Kappe | 2 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„PI()“ liefert die Kreiszahl π (3,14159…), „WURZEL()“ berechnet die Quadratwurzel. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (hier hoch 2).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel etwa 314,16, in der dritten in B4 etwa 549,78. Die fünfte Tabelle zeigt den Fall mit zwei Lösungen (etwa 0,268 und 3,732). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
„PI()“ liefert die Kreiszahl π (3,14159…), „WURZEL()“ berechnet die Quadratwurzel. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (hier hoch 2).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel etwa 314,16, in der dritten in B4 etwa 549,78. Die fünfte Tabelle zeigt den Fall mit zwei Lösungen (etwa 0,268 und 3,732). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Fläche der Kugelkappe
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Fläche der Kugelkappe | =2*PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Grundkreisfläche (Schnittfläche)
| Grundkreisradius r | 3 |
| Grundkreisfläche | =PI()*B1^2 |
Tabelle für die Gesamtoberfläche (aus R und h)
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Grundkreisradius r (berechnet) | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
| Gesamtoberfläche | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabelle zum Zurückrechnen des Grundkreisradius r
| Kugelradius R | 10 |
| Höhe h der Kappe | 5 |
| Grundkreisradius r | =WURZEL(2*B1*B2-B2^2) |
Tabelle zum Zurückrechnen der Höhe h (zwei Lösungen)
| Grundkreisradius r | 1 |
| Kugelradius R | 2 |
| Höhe h (Lösung 1, flache Kappe) | =B2-WURZEL(B2^2-B1^2) |
| Höhe h (Lösung 2, tiefe Kappe) | =B2+WURZEL(B2^2-B1^2) |
Tabelle zum Zurückrechnen des Kugelradius R
| Grundkreisradius r | 3 |
| Höhe h der Kappe | 2 |
| Kugelradius R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktionen PI() und WURZEL()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import math
ball_radius = 10 # Kugelradius R (in diesem Beispiel in cm)
cap_height = 5 # Höhe h der Kugelkappe
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # Grundkreisradius r (zurückgerechnet)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # Fläche der Kugelkappe (gewölbt)
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # Grundkreisfläche
total_area = cap_area + base_area # Gesamtoberfläche
print(f"Grundkreisradius r: {base_radius} cm")
print(f"Fläche der Kugelkappe: {cap_area} cm2")
print(f"Grundkreisfläche: {base_area} cm2")
print(f"Gesamtoberfläche: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „math.sqrt()“ die Quadratwurzel und „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2). Ersetzen Sie oben Kugelradius und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm). Wollen Sie aus r und h den Kugelradius berechnen, nehmen Sie stattdessen „ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)“.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Fläche der Kugelkappe (Mantelfläche)
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
Fläche des Grundkreises (der Schnittfläche)
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
Gesamtoberfläche (gewölbte Fläche + Grundkreis)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
Grundkreisradius \(r\) berechnen (wenn \(R\) und \(h\) bekannt sind)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Höhe \(h\) berechnen (wenn \(r\) und \(R\) bekannt sind, zwei Lösungen)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
Kugelradius \(R\) berechnen (wenn \(r\) und \(h\) bekannt sind)
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Von einer Kugel mit 10 cm Radius wird oben mit einem ebenen Schnitt eine Kugelkappe (Kuppelform) mit 5 cm Höhe abgetrennt. Berechnen Sie: 1. den Radius r des Grundkreises (der Schnittfläche) (r = √(2Rh − h²)) 2. die gewölbte Fläche der Kugelkappe (S₁ = 2πRh) 3. die Grundkreisfläche (S₂ = πr²) 4. die Gesamtoberfläche (S = S₁ + S₂) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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