Parmi le rayon de base \(r\), le rayon de la sphère \(R\) et la hauteur \(h\) de la calotte sphérique (la forme de dôme découpée dans une sphère), entrez seulement les deux que vous connaissez. La troisième valeur est retrouvée, puis l’aire de la surface courbe (\(2\pi Rh\)), l’aire du disque de base et leur total sont calculés.
Entrez seulement deux valeurs (laissez le dernier champ vide). Les longueurs sont des nombres supérieurs à 0 (les décimaux sont acceptés), toutes dans la même unité (par exemple toutes en cm). L’aire est dans cette unité au carré (cm² pour des cm). Si vous entrez \(r\) et \(R\), il peut y avoir deux réponses pour la hauteur \(h\) (une calotte peu profonde et une calotte profonde).
Résultat et figure
Saisissez les deux valeurs que vous connaissez parmi les trois dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Aire de la calotte (surface courbe)
-
Aire de la base (le disque de coupe)
-
Aire totale (surface courbe + base)
-
Trouver le rayon de base \(r\) (quand on connaît \(R\) et \(h\))
-
Trouver la hauteur \(h\) (quand on connaît \(r\) et \(R\) ; deux réponses)
-
Trouver le rayon de la sphère \(R\) (quand on connaît \(r\) et \(h\))
-
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Obtenez aussitôt l’aire d’une calotte sphérique (la forme de dôme qu’on obtient en coupant une sphère d’un seul coup de plan)
- Entrez seulement les deux valeurs que vous connaissez parmi le rayon de base \(r\), le rayon de la sphère \(R\) et la hauteur \(h\) : la troisième est retrouvée automatiquement
- L’aire de la surface courbe (\(2\pi Rh\)), l’aire de la base (le disque de coupe) et leur total s’affichent ensemble, avec les étapes du calcul
- La calotte obtenue est aussi dessinée en 3D (faites-la tourner en la faisant glisser)
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
L’aire est dans l’unité de longueur saisie au carré (cm² pour des cm). La page traite la forme obtenue en coupant une sphère bien droit par un plan (la coupe est donc un disque). Les toits en dôme, les bols, les lentilles ou les bouées qui dépassent de l’eau ont cette forme.
À quoi sert ce calcul ?
Estimer la surface d’un planétarium ou d’un toit en dôme (architecture)
Les toits ronds des planétariums, des observatoires et des stades couverts sont des calottes sphériques. La quantité de couverture ou de peinture s’estime à partir de l’aire de la surface courbe, \(2\pi Rh\).
Pour un dôme de 16 m de diamètre (rayon de base 8 m) et de 4 m de haut, la sphère d’origine a un rayon \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m, et la surface du toit vaut \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
Mesurer la courbure d’une lentille (rayon de courbure) (optique et lunetterie)
La surface d’un verre de lunettes ou d’une lentille de contact est une calotte sphérique, et sa courbure s’exprime par le rayon de la sphère d’origine (le rayon de courbure). Le sphéromètre, un instrument des opticiens, mesure la largeur \(2r\) de la surface et sa flèche \(h\), puis retrouve le rayon de la sphère d’origine avec la formule 6 (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)).
Par exemple, si la surface s’élève de 0,9 mm sur un rayon de 6 mm, le rayon de courbure vaut \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
Estimer le glaçage d’un entremets en dôme (cuisine et pâtisserie)
Quand on nappe de chocolat ou d’un glaçage miroir un entremets en dôme (une demi-sphère), la quantité nécessaire est proportionnelle à l’aire. Pour un dôme de 12 cm de diamètre, \(R = h = 6\) cm, donc l’aire de la surface courbe vaut \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
Elle aide aussi à répondre à « si je double la taille du moule, combien de glaçage en plus ? » (environ 4 fois plus, puisqu’il s’agit d’une aire).
L’aire de la partie visible d’une bouée qui flotte (mer et bateaux)
Quand une bouée sphérique flotte, la partie qui dépasse de l’eau est une calotte sphérique. Si une bouée de 15 cm de rayon dépasse de 10 cm au-dessus de l’eau, l’aire en contact avec l’air vaut \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\).
En la retranchant de l’aire de la sphère entière, \(4\pi R^2 \approx 2\,827\,\mathrm{cm^2}\), on trouve que la partie immergée (celle qui demande une peinture antisalissure) mesure environ \(1\,885\,\mathrm{cm^2}\).
La surface couverte par le signal d’un satellite (espace et télécommunications)
La zone de la Terre que le signal d’un satellite atteint (son empreinte) peut être assimilée à une partie de la surface terrestre, c’est-à-dire à une calotte sphérique. L’aire couverte s’estime par \(2\pi Rh\), avec le rayon de la Terre \(R \approx 6\,371\) km et la profondeur \(h\) de la zone couverte (une vraie étude tient aussi compte de la répartition de la puissance du signal).
La planification d’un réseau de télécommunications, par exemple « de combien la couverture s’élargit-elle si le satellite monte plus haut ? », repose sur l’idée de cette formule.
Formules et figures
Aire de la calotte (surface courbe)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(S_1\) : aire de la surface courbe
\(=\)
④
la constante \(2\)
\(\times\)
③
\(\pi\) : le nombre pi
\(\times\)
①
\(R\) : rayon de la sphère
\(\times\)
②
\(h\) : hauteur de la calotte
La formule en mots
①
Multipliez le
\(R\) : rayon de la sphère
②
par la
\(h\) : hauteur de la calotte
,
③
puis par
\(\pi\) : le nombre pi
,
④
et enfin par
la constante \(2\)
pour obtenir
⑤
\(S_1\) : aire de la surface courbe
Exemple simple
Coupez une sphère de 10 cm de rayon de façon que la calotte mesure 5 cm de haut depuis le sommet. L’aire de la surface courbe de cette calotte vaut
\(S_1\) : aire de la surface courbe
\(=\)
la constante \(2\)
\(\times\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
rayon de la sphère (10 cm)
\(\times\)
hauteur (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
L’idée clé
Chose étonnante, le rayon de base \(r\) n’apparaît pas dans cette formule : l’aire de la surface courbe d’une calotte ne dépend que du rayon \(R\) de la sphère d’origine et de la hauteur \(h\). De plus, \(2\pi Rh\) est exactement l’aire latérale d’un cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\). Si l’on coupe une sphère en tranches de même épaisseur, chaque tranche a la même aire courbe, qu’elle soit près du bord ou au milieu. Cette belle propriété a été découverte par le mathématicien grec Archimède.
En mettant \(h = 2R\) (la sphère entière), on obtient \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\) : on retrouve exactement la formule de l’aire d’une sphère.
Aire de la base (le disque de coupe)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(S_2\) : aire du disque de base
\(=\)
③
\(\pi\) : le nombre pi
\(\times\)
①
\(r\) : rayon de base
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
La formule en mots
①
Élevez le
\(r\) : rayon de base
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
,
③
et multipliez par
\(\pi\) : le nombre pi
pour obtenir
④
\(S_2\) : aire du disque de base
Exemple simple
Pour une calotte dont la base (le disque de coupe) a un rayon de 3 cm, l’aire de la base vaut
\(S_2\) : aire du disque de base
\(=\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
rayon de base (3 cm)
au carré
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
L’idée clé
C’est tout simplement la formule habituelle « aire du disque = π × rayon au carré ». Où que l’on coupe une sphère par un plan, la coupe est toujours un disque : l’aire de la base se calcule donc avec la formule de l’aire du disque.
Aire totale (surface courbe + base)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(S\) : aire totale
\(=\)
①
aire courbe \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
aire de la base \(\pi r^2\)
La formule en mots
①
Ajoutez
aire de la surface courbe \(2\pi Rh\) (formule 1)
②
à
aire du disque de base \(\pi r^2\) (formule 2)
pour obtenir
③
\(S\) : aire totale
Exemple simple
Pour une calotte découpée dans une sphère de 10 cm de rayon, sur une hauteur de 5 cm (le rayon de base vaut \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm), l’aire totale vaut
\(S\) : aire totale
\(=\)
aire courbe (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
aire de la base (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
L’idée clé
L’« aire totale » est l’aire de toute la surface extérieure du morceau plein découpé dans la sphère, le segment sphérique (la surface courbe plus le disque de coupe).
Si vous ne voulez que la partie courbe, comme la surface d’un toit en dôme, prenez \(S_1 = 2\pi Rh\) de la formule 1 (la ligne « Aire de la calotte (surface courbe) » du résultat).
Trouver le rayon de base \(r\) (quand on connaît \(R\) et \(h\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(r\) : rayon de base
\(=\)
①
racine carrée de \(2Rh - h^2\)
La formule en mots
①
Calculez la
racine carrée de \(2Rh - h^2\) (2 fois le rayon de la sphère fois la hauteur, moins la hauteur au carré)
pour obtenir le
②
\(r\) : rayon de base
Exemple simple
Pour une calotte découpée dans une sphère de 10 cm de rayon, sur une hauteur de 5 cm, le rayon de la base (le disque de coupe) vaut
\(r\) : rayon de base
\(=\)
racine carrée de \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
L’idée clé
Reliez trois points : le centre de la sphère, le centre du disque de base et un point du bord de la coupe. Ils forment un triangle rectangle. En lui appliquant le théorème de Pythagore, on obtient \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\), d’où cette formule.
Le nombre sous le radical s’écrit aussi \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\) : tant que la hauteur \(h\) ne dépasse pas le diamètre \(2R\), il est positif ou nul, et la racine carrée se calcule toujours.
Trouver la hauteur \(h\) (quand on connaît \(r\) et \(R\) ; deux réponses)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(h\) : hauteur de la calotte
\(=\)
①
\(R\) : rayon de la sphère
\(\pm\)
②
racine carrée de \(R^2 - r^2\)
La formule en mots
①
Au
\(R\) : rayon de la sphère
,
②
ajoutez ou retranchez la
racine carrée de \(R^2 - r^2\) (le carré du rayon de la sphère moins le carré du rayon de base)
(les deux cas de ±). Vous obtenez la
③
\(h\) : hauteur de la calotte
Exemple simple
Quand on coupe une sphère de 2 m de rayon de façon que la base ait un rayon de 1 m, la hauteur de la calotte vaut
\(h\) : hauteur de la calotte
\(=\)
rayon de la sphère (2 m)
\(\pm\)
racine carrée de \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268 \quad \text{ou} \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
L’idée clé
Il y a deux réponses parce qu’un même disque de coupe peut donner une calotte peu profonde (le petit morceau du côté du sommet) ou une calotte profonde (le grand morceau qui reste). Les deux hauteurs ont toujours pour somme le diamètre de la sphère, \(2R\) (dans l’exemple, \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Quand \(r = R\) (la coupe passe par la partie la plus large de la sphère), \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) : il n’y a qu’une réponse, \(h = R\), exactement une demi-sphère.
Trouver le rayon de la sphère \(R\) (quand on connaît \(r\) et \(h\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(R\) : rayon de la sphère
\(=\)
\((\)
①
hauteur \(h\) au carré
\(+\)
②
rayon de base \(r\) au carré
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
le double de la hauteur, \(2h\)
\()\)
La formule en mots
①
Additionnez la
hauteur \(h\) au carré
②
et le
rayon de base \(r\) au carré
,
③
puis divisez par
le double de la hauteur, \(2h\)
pour obtenir le
④
\(R\) : rayon de la sphère
Exemple simple
Pour une forme en dôme (une calotte sphérique) de rayon de base 3 cm et de hauteur 2 cm, le rayon de la sphère d’origine vaut
\(R\) : rayon de la sphère
\(=\)
\((\)
hauteur au carré (\(2^2 = 4\))
\(+\)
rayon au carré (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
double de la hauteur (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
L’idée clé
Cette formule retrouve la taille de la sphère d’origine à partir d’une forme qui n’en est qu’un morceau : un éclat d’assiette, une lentille, un dôme… Il suffit de mesurer deux choses, le rayon \(r\) de la coupe et la hauteur \(h\) dont la surface s’élève au-dessus, pour connaître le rayon de la sphère d’origine.
Le sphéromètre, l’instrument qui mesure le rayon de courbure d’une lentille ou d’un miroir, calcule exactement avec cette formule.
L’aire de la surface courbe d’une calotte sphérique vaut simplement « 2 × π × rayon de la sphère R × hauteur h » (le point clé : le rayon de base r n’y apparaît pas). Pour l’aire totale, disque de coupe compris, il suffit d’y ajouter l’aire du disque πr². Si vous connaissez deux des longueurs r, R et h, vous pouvez calculer la troisième.
Symboles et termes
Symboles
| \(S\) | S | Une lettre souvent utilisée pour une aire (S comme « surface »). Sur cette page, c’est l’aire de la calotte sphérique. Les manuels français notent souvent une aire \(\mathcal{A}\). |
| \(R\) | R majuscule | Le rayon de la sphère d’origine (la sphère entière avant la coupe), R comme « rayon ». On l’écrit en majuscule pour le distinguer de \(r\) minuscule. |
| \(r\) | r minuscule | Le rayon de la base (le disque de coupe). C’est aussi un rayon, mais une autre longueur que \(R\) majuscule (le rayon de la sphère) : attention à ne pas les confondre. |
| \(h\) | h | La hauteur de la calotte, la distance entre le plan de coupe et le sommet de la surface courbe (h comme « hauteur »). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi, qui indique combien de fois le périmètre d’un cercle contient son diamètre. Il vaut environ 3,14159… et ses décimales ne s’arrêtent jamais. À l’école primaire, on calcule avec 3,14. |
| \(r^2\) | r au carré | Le nombre \(r\) multiplié par lui-même (\(r \times r\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 2 fois » (exemple : \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | racine carrée (radical) | Le symbole du nombre positif ou nul qui, élevé au carré, redonne le nombre de départ (exemple : \(\sqrt{75}\) est le nombre dont le carré vaut 75, environ 8,66). |
| \(\pm\) | plus ou moins | Un symbole qui veut dire « le cas où l’on ajoute et le cas où l’on retranche sont tous deux des réponses ». Dans la formule 5, il indique que la hauteur \(h\) a deux réponses. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | centimètre carré | Une unité d’aire. L’aire d’un carré de 1 cm de côté vaut 1 cm². Ce calculateur donne l’aire dans l’unité de longueur saisie au carré (m² si vous saisissez des m). |
Termes
| calotte sphérique | La partie courbe qu’on obtient en coupant une sphère d’un seul coup de plan, en forme de toit en dôme, de bol ou de lentille de contact. Dans la vie courante, le mot désigne aussi le morceau plein. |
| segment sphérique | Le morceau plein découpé dans une boule par un seul plan (on précise « segment sphérique à une base »). Sa surface est formée de la calotte (la partie courbe) et de la base (le disque de coupe) ; l’« aire totale » de cette page est l’aire de toute sa surface. |
| demi-sphère | La moitié d’une sphère, coupée par un plan qui passe par son centre (on dit aussi hémisphère). C’est une calotte particulière dont la hauteur \(h\) est égale au rayon de la sphère \(R\) (\(h = R\)). |
| aire | Ici, l’aire de la surface d’un solide (on dit aussi « surface »). C’est une autre grandeur que le volume (la place à l’intérieur) ; c’est elle qui compte pour peindre une surface ou emballer un objet. |
| surface courbe | Une surface arrondie, qui n’est pas plane. La partie arrondie d’une calotte sphérique est une surface courbe, alors que le disque de coupe est plan. |
| théorème de Pythagore | Le théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, « la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit = le carré de l’hypoténuse ». Les formules 4 à 6, qui retrouvent une longueur à partir des deux autres, viennent de ce théorème appliqué au triangle rectangle d’une coupe de la sphère. |
| racine carrée | Un nombre qui, élevé au carré, redonne le nombre de départ. Son symbole est \(\sqrt{\phantom{0}}\) (le radical). Il apparaît dans les formules 4 et 5 pour « défaire » l’élévation au carré. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| L’aire du disque et le nombre pi (6e, 11-12 ans) |
|
| Les puissances (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| L’aire de la sphère (3e, 14-15 ans) |
|
| La racine carrée (4e, 13-14 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer l’aire de la surface courbe
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Aire de la calotte (surface courbe) | =2*PI()*B1*B2 |
Tableau pour calculer l’aire de la base (le disque de coupe)
| Rayon de base r | 3 |
| Aire du disque de base | =PI()*B1^2 |
Tableau pour calculer l’aire totale (à partir de R et h)
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Rayon de base r (calculé) | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
| Aire totale | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tableau pour retrouver le rayon de base r
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Rayon de base r | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
Tableau pour retrouver la hauteur h (deux réponses)
| Rayon de base r | 1 |
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h (solution 1, calotte peu profonde) | =B2-RACINE(B2^2-B1^2) |
| Hauteur h (solution 2, calotte profonde) | =B2+RACINE(B2^2-B1^2) |
Tableau pour retrouver le rayon de la sphère R
| Rayon de base r | 3 |
| Hauteur de la calotte h | 2 |
| Rayon de la sphère R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
« PI() » est une fonction qui donne le nombre pi (π, 3,14159…) et « RACINE() » une fonction qui calcule la racine carrée. « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (ici au carré).
Par exemple, B3 affiche environ 314,16 dans le premier tableau, et B4 environ 549,78 dans le troisième. Le cinquième tableau est un exemple à deux réponses pour la hauteur (environ 0,268 et environ 3,732). Il suffit de remplacer les nombres saisis par les vôtres.
« PI() » est une fonction qui donne le nombre pi (π, 3,14159…) et « RACINE() » une fonction qui calcule la racine carrée. « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (ici au carré).
Par exemple, B3 affiche environ 314,16 dans le premier tableau, et B4 environ 549,78 dans le troisième. Le cinquième tableau est un exemple à deux réponses pour la hauteur (environ 0,268 et environ 3,732). Il suffit de remplacer les nombres saisis par les vôtres.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer l’aire de la surface courbe
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Aire de la calotte (surface courbe) | =2*PI()*B1*B2 |
Tableau pour calculer l’aire de la base (le disque de coupe)
| Rayon de base r | 3 |
| Aire du disque de base | =PI()*B1^2 |
Tableau pour calculer l’aire totale (à partir de R et h)
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Rayon de base r (calculé) | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
| Aire totale | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tableau pour retrouver le rayon de base r
| Rayon de la sphère R | 10 |
| Hauteur de la calotte h | 5 |
| Rayon de base r | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
Tableau pour retrouver la hauteur h (deux réponses)
| Rayon de base r | 1 |
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h (solution 1, calotte peu profonde) | =B2-RACINE(B2^2-B1^2) |
| Hauteur h (solution 2, calotte profonde) | =B2+RACINE(B2^2-B1^2) |
Tableau pour retrouver le rayon de la sphère R
| Rayon de base r | 3 |
| Hauteur de la calotte h | 2 |
| Rayon de la sphère R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris les fonctions PI() et RACINE()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par les vôtres.
Calculer avec Python
import math
ball_radius = 10 # rayon de la sphère R (en cm dans cet exemple)
cap_height = 5 # hauteur de la calotte h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # rayon de base r (retrouvé)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # aire de la calotte (surface courbe)
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # aire du disque de base
total_area = cap_area + base_area # aire totale
print(f"Rayon de base r : {base_radius} cm")
print(f"Aire de la calotte (surface courbe) : {cap_area} cm2")
print(f"Aire du disque de base : {base_area} cm2")
print(f"Aire totale : {total_area} cm2")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre pi (π), « math.sqrt() » la racine carrée et « ** » la puissance (ici au carré). Modifiez le rayon de la sphère et la hauteur au début et lancez le code (l’exemple est en cm). Pour retrouver le rayon de la sphère à partir de r et h, remplacez cette ligne par « ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height) ».
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Aire de la calotte (surface courbe)
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
Aire de la base (le disque de coupe)
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
Aire totale (surface courbe + base)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
Trouver le rayon de base \(r\) (quand on connaît \(R\) et \(h\))
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Trouver la hauteur \(h\) (quand on connaît \(r\) et \(R\) ; deux réponses)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
Trouver le rayon de la sphère \(R\) (quand on connaît \(r\) et \(h\))
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Une sphère de 10 cm de rayon est coupée par un plan situé à 5 cm sous son sommet, ce qui donne une calotte sphérique (une forme de dôme). Calculez : 1. Le rayon r de la base (le disque de coupe) (r = √(2Rh − h²)) 2. L’aire de la surface courbe de la calotte (S₁ = 2πRh) 3. L’aire du disque de base (S₂ = πr²) 4. L’aire totale (S = S₁ + S₂) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Volume d’une sphère (V = 4/3 × π × rayon³)
Calcule, à partir du rayon, le volume de la boule entière avant la découpe
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Pour la base de la calotte (le disque de coupe), calcule d’un coup le rayon, le périmètre et l’aire
