Résoudre une équation du second degré (discriminant et racines complexes)

Entrez les coefficients a, b et c de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0. L’équation ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coefficients directement dedans. Les formules des racines donnent les solutions, avec le discriminant, le type de solutions et les étapes.

a (nombre devant x²)

b (nombre devant x)

c (terme constant)

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. S’il manque un terme, comme dans x² − 4 = 0, entrez 0 pour son coefficient.

Résultat et graphique

Saisissez les coefficients a, b et c dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) : les formules des racines résolvent aussitôt \(ax^2 + bx + c = 0\)
Le calculateur affiche aussi la valeur du discriminant \(D = b^2 - 4ac\) (noté \(\Delta\) en France) et le type de solutions : deux racines réelles distinctes, une racine double ou deux racines complexes
Quand les solutions ne sont pas réelles, il donne quand même les deux racines complexes, comme \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (deux nombres conjugués qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire)
Les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Si a = 0, l’équation n’est pas du second degré : elle est résolue comme l’équation du premier degré \(bx + c = 0\) (sa solution est \(x = -c \div b\)). a et b ne peuvent pas être nuls tous les deux.

À quoi sert ce calcul ?

Hauteur et temps d’une balle lancée vers le haut ou d’une fusée de feu d’artifice (physique et sport)

Si l’on lance une balle verticalement vers le haut à 20 m/s, sa hauteur au bout de t secondes vaut environ 20t − 5t² mètres (en arrondissant la pesanteur à 10 m/s² et en négligeant la résistance de l’air). « Quand la balle est-elle à 15 m de haut ? » revient à résoudre l’équation du second degré −5t² + 20t − 15 = 0 : les formules des racines donnent t = 1 seconde et t = 3 secondes (une fois en montant, une fois en descendant).
De la hauteur d’éclatement d’un feu d’artifice à la trajectoire d’un tir au basket, le mouvement de tout objet lancé est lié aux équations du second degré.

Retrouver les dimensions d’un massif ou d’un terrain à partir de son aire (bricolage et immobilier)

« Je veux un massif de fleurs rectangulaire de 28 m² exactement, 3 m plus long que large. » En notant x la largeur, on obtient x(x + 3) = 28, soit x² + 3x − 28 = 0. Les formules des racines donnent x = 4 et x = −7, mais une longueur ne peut pas être négative : le massif mesure 4 m de large et 7 m de long.
Dans la vie courante, utiliser une équation du second degré comprend toujours cette dernière étape : choisir laquelle des deux solutions a un sens dans la situation.

Retrouver un taux d’intérêt composé (argent)

Quel taux annuel faut-il pour qu’un placement de 10 000 € devienne 12 100 € en 2 ans ? En notant r le taux, 10 000(1 + r)² = 12 100, soit r² + 2r − 0,21 = 0. Les formules des racines donnent r = 0,1 et r = −2,1 ; celle qui a un sens pour un taux, r = 0,1 (10 % par an), est la réponse.
Les calculs d’argent où l’on « multiplie deux fois par le même coefficient », comme les intérêts composés, mènent à des équations du second degré : on peut ainsi retrouver le rendement nécessaire à partir d’un montant visé.

Concevoir des ponts et des arches (architecture et génie civil)

La forme d’un pont en arc ou du câble d’un pont suspendu se modélise le plus souvent par une parabole, y = ax² + bx + c. Chercher « à quelle distance du centre la hauteur au-dessus du sol vaut telle valeur », c’est exactement résoudre une équation du second degré.
Quand architectes et ingénieurs définissent la forme d’un ouvrage par des formules, les formules des racines font partie des bases.

Estimer les prix pour lesquels le bénéfice est nul (entreprise)

« Augmenter le prix augmente le bénéfice par article, mais on en vend moins. » Dans un modèle simple de cette situation, le bénéfice est une fonction du second degré du prix. Les prix pour lesquels le bénéfice vaut exactement 0 sont les solutions de cette équation du second degré : ils donnent un ordre d’idée des limites basse et haute du prix.
Les marchés réels sont plus complexes, mais estimer d’abord « où s’arrête la bosse du bénéfice » avec une équation du second degré est un point de départ courant en analyse économique.

Formules et graphiques

Les formules des racines

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(x\) : solution \(=\) \((\) ① \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) : racine carrée du discriminant \()\) \(\div\) \((\) ③ \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\) \()\)

La formule en mots

① À l’ \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\)

② on ajoute ou on retranche la \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) : racine carrée du discriminant (les deux cas du ±),

③ puis on divise chaque résultat par le \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\)

④ et on obtient la \(x\) : solution (à cause du ±, il y a en général deux solutions)

Exemple simple

Les solutions de l’équation du second degré x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) sont

\(x\) : solution \(=\) \((\) opposé de \(b\) (−3) \(\pm\) racine carrée du discriminant 25 (5) \()\) \(\div\) \((\) double de \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)

\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1 \quad\text{et}\quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)

L’idée clé

Les formules des racines s’obtiennent en résolvant \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) jusqu’au bout grâce à la forme canonique. Quels que soient les coefficients, il suffit de remplacer \(a\), \(b\), \(c\) par leurs valeurs pour obtenir les solutions. Le symbole ± (plus ou moins) signifie qu’« en ajoutant comme en retranchant, on obtient une solution » : il y a donc en général deux solutions. Une équation qu’on sait résoudre par factorisation se résout aussi de cette façon, et on trouve toujours les mêmes résultats.

Le discriminant (il indique le type de solutions)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(D\) \(=\) \(b\) \(2\) \(-\) \(4\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(c\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(D\) : discriminant \(=\) ① \(b\) : coefficient de \(x\) ② au carré \(-\) ③ le nombre \(4\) \(\times\) ④ \(a\) : coefficient de \(x^2\) \(\times\) ⑤ \(c\) : terme constant

La formule en mots

① On prend le \(b\) : coefficient de \(x\)

② et on l’élève au carré . On lui retranche le produit de

③ le nombre \(4\)

④ par le \(a\) : coefficient de \(x^2\) et par le

⑤ \(c\) : terme constant

⑥ et on obtient le \(D\) : discriminant

Exemple simple

Le discriminant de x² + 3x − 4 = 0 (a = 1, b = 3, c = −4) est

\(D\) : discriminant \(=\) \(b\) (3) au carré \(-\) 4 \(\times\) \(a\) (1) \(\times\) \(c\) (−4)

\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

L’idée clé

Le discriminant \(D\) est exactement ce qui se trouve sous le √ dans les formules des racines. Il indique le type de solutions avant même de les calculer. Dans les manuels français, il est noté \(\Delta\) (delta) : \(\Delta = b^2 - 4ac\). - \(D > 0\) : la racine carrée est un nombre réel positif, donc il y a deux racines réelles distinctes (sur le graphique, la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points) - \(D = 0\) : la racine carrée vaut 0, donc il y a une racine double, une seule racine réelle (la parabole touche l’axe des abscisses) - \(D < 0\) : le nombre sous le √ est négatif, donc il n’y a pas de racine réelle. Si l’on étend les nombres aux nombres complexes, il y a deux racines complexes (la parabole ne rencontre pas l’axe des abscisses)

Racine double (quand le discriminant \(D = 0\))

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(-b\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(x\) : racine double \(=\) ① \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\) \(\div\) \((\) ② \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\) \()\)

La formule en mots

① On divise l’ \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\)

② par le \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\)

③ et on obtient la \(x\) : racine double (c’est l’unique solution)

Exemple simple

La solution de x² + 2x + 1 = 0 (a = 1, b = 2, c = 1 ; discriminant D = 4 − 4 = 0) est

\(x\) : racine double \(=\) opposé de \(b\) (−2) \(\div\) \((\) double de \(a\) (2) \()\)

\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)

\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)

L’idée clé

Quand \(D = 0\), \(\sqrt{0} = 0\) : la partie « ± √D » des formules des racines disparaît et les deux solutions se confondent. On parle de racine double. Cela arrive quand le premier membre se factorise en un carré parfait, comme \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) (identité remarquable).

Deux racines complexes (quand le discriminant \(D < 0\))

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{4ac - b^2}\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ \(x\) : deux racines complexes \(=\) \((\) ① \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{4ac - b^2}\) : racine carrée de \(4ac - b^2\) ③ \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) ④ \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\) \()\)

La formule en mots

① À l’ \(-b\) : opposé du coefficient de \(x\)

② on ajoute ou on retranche la \(\sqrt{4ac - b^2}\) : racine carrée du nombre positif \(4ac - b^2\) (l’opposé du discriminant)

③ multipliée par le nombre imaginaire \(i\) (le nombre dont le carré vaut −1), les deux cas du ±,

④ puis on divise chaque résultat par le \(2a\) : double du coefficient de \(x^2\)

⑤ et on obtient les \(x\) : deux racines complexes (deux nombres conjugués qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire)

Exemple simple

Les solutions de x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1 ; discriminant D = 1 − 4 = −3) sont

\(x\) : deux racines complexes \(=\) \((\) opposé de \(b\) (−1) \(\pm\) racine carrée de \(4ac - b^2 = 3\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) double de \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \approx -0{,}5 \pm 0{,}866\,i\)

L’idée clé

Quand \(D < 0\), le nombre sous le √ est négatif. Aucun nombre réel n’a un carré négatif : il n’y a donc pas de solution parmi les nombres réels. On introduit alors le nombre imaginaire \(i\), « le nombre dont le carré vaut −1 ». On peut écrire \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\), et les solutions s’écrivent comme deux nombres complexes. \(4ac - b^2\) est l’opposé du discriminant \(b^2 - 4ac\) : il est toujours positif quand \(D < 0\), et on peut donc prendre sa racine carrée sans problème. En France, on étudie ces racines complexes en terminale (option maths expertes).

Quand \(a = 0\) (l’équation devient du premier degré)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(-c\) \(\div\) \(b\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(x\) : solution de l’équation du premier degré \(=\) ① \(-c\) : opposé du terme constant \(\div\) ② \(b\) : coefficient de \(x\)

La formule en mots

① On divise l’ \(-c\) : opposé du terme constant

② par le \(b\) : coefficient de \(x\)

③ et on obtient la \(x\) : solution de l’équation du premier degré

Exemple simple

Avec a = 0, la solution de 2x + 4 = 0 (b = 2, c = 4) est

\(x\) : solution de l’équation du premier degré \(=\) opposé de \(c\) (−4) \(\div\) \(b\) (2)

\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)

L’idée clé

Si \(a = 0\), le terme en \(x^2\) disparaît et l’équation devient l’équation du premier degré \(bx + c = 0\), et non plus du second degré. Les formules des racines ont \(2a\) au dénominateur : elles supposent \(a \neq 0\). Ce calculateur ne considère pas a = 0 comme une erreur : il résout l’équation du premier degré et donne une solution (c’est seulement quand a et b sont nuls tous les deux qu’il n’y a plus d’équation à résoudre et qu’une erreur s’affiche).

Les solutions de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0 s’obtiennent en remplaçant les coefficients dans les formules des racines, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Le signe du discriminant D = b² − 4ac (noté Δ en France), la partie sous le √, indique avant tout calcul s’il y a deux solutions, une seule (une racine double) ou des racines complexes.

Symboles et termes

Symboles

\(a, b, c\)	a, b, c	Les coefficients de l’équation du second degré. \(a\) est le nombre devant \(x^2\), \(b\) le nombre devant \(x\), et \(c\) le terme constant (le terme sans \(x\)).
\(x\)	x	Le nombre inconnu qu’on cherche, la solution de l’équation. Une équation du second degré a au plus deux solutions.
\(D\)	D (discriminant)	Le discriminant, \(D = b^2 - 4ac\) (initiale de « discriminant »). En France, on le note presque toujours avec la lettre grecque \(\Delta\) (delta).
\(\sqrt{\phantom{9}}\)	racine carrée	Le symbole du « nombre positif ou nul dont le carré est le nombre sous le radical ». \(\sqrt{25} = 5\) et \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
\(\pm\)	plus ou moins	Un symbole qui écrit en une fois « le cas + et le cas − ». Dans les formules des racines, il signifie que la somme et la différence sont toutes les deux solutions.
\(i\)	i (nombre imaginaire)	Le nombre dont le carré vaut \(-1\) (\(i^2 = -1\)). Il sert à écrire les solutions quand le nombre sous le √ est négatif.
\(x_1, x_2\)	x indice 1, x indice 2	Les noms des deux solutions. Sur cette page, le côté + du ± est \(x_1\) et le côté − est \(x_2\) (certains manuels font l’inverse, cela ne change rien).

Termes

équation du second degré	Une équation qui contient un terme en \(x^2\) (au carré). On peut l’écrire sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) ; l’expression \(ax^2 + bx + c\) s’appelle un trinôme du second degré. On l’étudie en première (16-17 ans).
coefficient	Le nombre placé devant une lettre. Dans \(3x\), le coefficient est 3. Pour lire les coefficients, attention aux 1 sous-entendus et aux signes : \(x^2 - x = 0\) donne a = 1, b = −1, c = 0.
solution	Une valeur de la lettre qui rend l’équation vraie. « Résoudre » une équation, c’est trouver toutes ses solutions. Les solutions d’une équation du second degré s’appellent aussi ses racines.
formules des racines	Les formules qui donnent directement les solutions d’une équation du second degré à partir des coefficients a, b et c. Leur force est de toujours marcher, même quand on ne voit pas comment factoriser.
discriminant	Le nombre \(b^2 - 4ac\), sous le √ dans les formules des racines, noté \(\Delta\) en France. Son signe suffit à connaître le type de solutions (deux racines réelles, une racine double ou deux racines complexes).
racine double	Une solution où les deux solutions se confondent en une seule. Cela arrive quand le discriminant est nul, et sur le graphique la parabole touche l’axe des abscisses.
racine réelle	Une solution qui est un nombre réel (un nombre de la droite numérique habituelle). Il y a des racines réelles quand le discriminant est positif ou nul.
racine complexe	Une solution qui n’est pas réelle et s’écrit avec le nombre imaginaire \(i\). Quand le discriminant est négatif, les deux solutions sont de la forme « partie réelle ± partie imaginaire \(i\) », comme \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (deux nombres complexes conjugués). On les étudie en terminale (option maths expertes).
forme canonique	L’écriture d’un trinôme sous la forme \(a(x - \alpha)^2 + \beta\), qui permet de ramener l’équation à « un carré égal à un nombre ». En menant ce calcul jusqu’au bout avec les lettres a, b et c, on retrouve les formules des racines.
factorisation	L’écriture d’une expression sous forme de produit. Si l’on factorise \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\), on obtient les solutions x = 1 et x = −4 sans les formules des racines.
parabole	La forme de la courbe de \(y = ax^2 + bx + c\). Les racines réelles de l’équation du second degré sont les abscisses des points où cette parabole coupe l’axe des abscisses.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.

Le calcul avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir que le carré d’un nombre négatif est positif, comme \((-5)^2 = 25\) Savoir multiplier en faisant attention aux signes, comme \(-4 \times 1 \times (-4) = +16\)
La racine carrée (4e, 13-14 ans)	Comprendre la racine carrée comme « le nombre positif dont le carré est ce nombre », comme \(\sqrt{25} = 5\) Savoir qu’une racine carrée qui ne tombe pas juste, comme \(\sqrt{2}\), peut s’écrire sous forme d’une valeur approchée décimale
Équations du second degré (première, 16-17 ans)	Savoir mettre une équation sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) et lire les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) avec leurs signes Savoir vérifier que, pour une équation qu’on sait factoriser, les résultats sont les mêmes qu’avec les formules des racines
Fonctions polynômes du second degré et leur courbe (seconde-première, 15-17 ans)	Savoir que la courbe de \(y = ax^2 + bx + c\) est une parabole Se représenter les racines réelles comme « les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses »

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver deux racines réelles avec les formules des racines (si D > 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	3
Terme constant c	-4
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Solution 1, x₁	=(-B2+RACINE(B4))/(2*B1)
Solution 2, x₂	=(-B2-RACINE(B4))/(2*B1)

Tableau pour trouver le type de solutions avec le discriminant

Coefficient a	1
Coefficient b	1
Terme constant c	1
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Type de solutions	=SI(B4>0;"Deux racines réelles distinctes";SI(B4=0;"Racine double";"Deux racines complexes"))

Tableau pour trouver la racine double (si D = 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	2
Terme constant c	1
Racine double x	=-B2/(2*B1)

Tableau pour trouver les parties réelle et imaginaire des deux racines complexes (si D < 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	1
Terme constant c	1
Partie réelle (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Partie imaginaire (la partie avec ±)	=RACINE(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tableau pour trouver la solution quand a = 0 (équation du premier degré)

Coefficient b	2
Terme constant c	4
Solution x	=-B2/B1

Une fois le tableau collé, les lignes du haut (les coefficients a, b et c) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
« ^2 » signifie « au carré », et « RACINE( ) » est la fonction racine carrée.
Dans le premier tableau, par exemple, vous obtenez un discriminant de 25, la solution 1 = 1 et la solution 2 = −4.
La fonction RACINE du premier tableau ne marche que si D > 0 (si D < 0, vous obtenez l’erreur #NOMBRE! ; utilisez alors le quatrième tableau, prévu pour les racines complexes).

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver deux racines réelles avec les formules des racines (si D > 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	3
Terme constant c	-4
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Solution 1, x₁	=(-B2+RACINE(B4))/(2*B1)
Solution 2, x₂	=(-B2-RACINE(B4))/(2*B1)

Tableau pour trouver le type de solutions avec le discriminant

Coefficient a	1
Coefficient b	1
Terme constant c	1
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Type de solutions	=SI(B4>0;"Deux racines réelles distinctes";SI(B4=0;"Racine double";"Deux racines complexes"))

Tableau pour trouver la racine double (si D = 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	2
Terme constant c	1
Racine double x	=-B2/(2*B1)

Tableau pour trouver les parties réelle et imaginaire des deux racines complexes (si D < 0)

Coefficient a	1
Coefficient b	1
Terme constant c	1
Partie réelle (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Partie imaginaire (la partie avec ±)	=RACINE(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tableau pour trouver la solution quand a = 0 (équation du premier degré)

Coefficient b	2
Terme constant c	4
Solution x	=-B2/B1

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets réglé en français). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les coefficients par ceux de votre équation.

Calculer avec Python

import math

a = 1.0   # coefficient de x^2
b = 3.0   # coefficient de x
c = -4.0  # terme constant

if a == 0 and b == 0:
    print("Si a et b sont nuls tous les deux, il n’y a pas d’équation à résoudre")
elif a == 0:
    # Si a = 0, on obtient l’équation du premier degré bx + c = 0
    print(f"Solution de l’équation du premier degré : x = {-c / b}")
else:
    discriminant = b**2 - 4*a*c  # discriminant D
    print(f"Discriminant D = {discriminant}")
    if discriminant > 0:
        root = math.sqrt(discriminant)
        print(f"Deux racines réelles distinctes : x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
    elif discriminant == 0:
        print(f"Racine double : x = {-b / (2*a)}")
    else:
        real_part = -b / (2*a)
        imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
        print(f"Deux racines complexes : x = {real_part} ± {imaginary_part}i")

Le programme n’utilise que la bibliothèque standard. « **2 » signifie « au carré » et math.sqrt( ) donne la racine carrée. Remplacez a, b et c en haut par les coefficients de votre équation, puis lancez-le (dans le code, les décimaux s’écrivent avec un point).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Les formules des racines

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
          </mrow>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]

solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

x = roots([a b c]);

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Le discriminant (il indique le type de solutions)

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

b^2 - 4*a*c

d := b^2 - 4*a*c;

d = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

Racine double (quand le discriminant \(D = 0\))

x = −b ÷ (2a)

x = -\frac{b}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b / (2a)

-b/(2*a)

x := -b/(2*a);

x = -b/(2*a);

x = -b/(2a)

Deux racines complexes (quand le discriminant \(D < 0\))

x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}

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    <mi>x</mi>
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    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
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          <mrow>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mi>i</mi>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)

{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}

x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];

x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];

x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)

Quand \(a = 0\) (l’équation devient du premier degré)

x = −c ÷ b

x = -\frac{c}{b}

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    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -c/b

-c/b

x := -c/b;

x = -c/b;

x = -c/b

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Résous l’équation du second degré x² + 3x − 4 = 0 avec le discriminant et les formules des racines.
Donne chacun des éléments suivants :
1. La valeur du discriminant Δ = b² − 4ac et le type de solutions qu’il indique (deux racines réelles distinctes, une racine double ou deux racines complexes)
2. Les valeurs des solutions x (si elles sont complexes, sous la forme « partie réelle ± partie imaginaire × i »)
3. Les étapes qui montrent comment les valeurs sont remplacées dans les formules des racines

Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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