Entrez le premier terme a₁, le coefficient p et la constante q de la relation de récurrence a(n+1) = p·a(n) + q. La formule ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement à l’intérieur.
Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 1/2 sont acceptés. Si le « Rang n du terme » est vide, il vaut 10.
Résultat et graphique
Saisissez le premier terme et les coefficients dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et graphiques
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Trouvez tout de suite le terme général de la suite arithmético-géométrique \(a_{n+1} = p a_n + q\) (de premier terme \(a_1\)), avec les étapes qui utilisent le point fixe pour se ramener à une suite géométrique
- Les réponses sont des fractions irréductibles exactes, comme \(\dfrac{381}{64}\). Les cas particuliers \(p = 1\) (suite arithmétique) et \(q = 0\) (suite géométrique) sont traités automatiquement
- Affiche aussi la valeur du terme de rang \(n\) de votre choix, ainsi qu’un tableau et un graphique des termes de rang 1 à 10. Si la suite converge, vous obtenez aussi la valeur vers laquelle elle tend (la limite, qui est le point fixe)
- Le premier terme et les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 1/2
- Le calculateur affiche la relation de récurrence comme vous l’écririez à la main, et vous pouvez modifier les nombres directement à l’intérieur
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Cette page traite les suites arithmético-géométriques \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) et \(q\) sont des constantes). Elle ne traite pas les formes qui contiennent \(n\), comme \(a_{n+1} = a_n + n\), ni les relations de récurrence d’ordre 2, qui font intervenir \(a_{n+2}\).
À quoi sert ce calcul ?
Suivre la baisse du capital restant dû d’un prêt, mois après mois (argent et projets de vie)
Pour un prêt qui produit des intérêts chaque mois et qu’on rembourse d’une mensualité fixe, le capital restant dû suit exactement une suite arithmético-géométrique : « capital du mois suivant = (1 + taux mensuel) × capital de ce mois − mensualité ».
Par exemple, avec un taux mensuel de 0,3 % et une mensualité de 1 200 €, le point fixe vaut 1200 ÷ 0,003 = 400 000 €. C’est le montant emprunté pour lequel les intérêts et les remboursements s’équilibrent exactement et où le capital ne bouge plus. Si le capital est inférieur, chaque mensualité le fait baisser à coup sûr (cette idée d’équilibre est à la base des tableaux d’amortissement).
Estimer à quel niveau se stabilise un médicament pris chaque jour (médecine et pharmacie)
Le corps décompose et élimine un médicament à un rythme régulier. Dans un modèle où « il reste 50 % du médicament dans le corps au bout d’un jour, et on en prend 200 mg chaque jour », la quantité dans le corps suit la relation de récurrence \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) et converge vers le point fixe 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Cette formule montre que, même en le prenant tous les jours, le médicament ne s’accumule pas indéfiniment : il se stabilise à un niveau constant. En pratique, les doses et les intervalles de prise sont fixés avec des modèles pharmacocinétiques qui affinent ce type de calcul.
À quel niveau plafonne le nombre d’abonnés d’un service (entreprise)
Pour un service où « 90 % des abonnés restent chaque mois et 1 000 nouvelles personnes s’inscrivent », le nombre d’abonnés suit la relation de récurrence \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) et converge vers le point fixe 1000 ÷ (1 − 0,9) = 10 000 personnes.
Autrement dit, si les inscriptions et le taux de désabonnement ne changent pas, le nombre d’abonnés plafonne autour de 10 000. C’est un modèle de base pour estimer le plafond de croissance et de combien il monte si l’on réduit le taux de désabonnement (une estimation grossière, qui suppose un taux de fidélité et des inscriptions constants).
Comment une pièce se réchauffe avec le chauffage allumé (maison et physique)
Quand on chauffe une pièce froide, l’écart entre la température de la pièce et la consigne du thermostat diminue d’un pourcentage régulier chaque minute. Par exemple, si « chaque minute, l’écart entre la température de la pièce et la consigne de 19 °C diminue de 10 % », la température suit la relation de récurrence \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1{,}9\) et converge vers le point fixe 1,9 ÷ 0,1 = 19 °C, la consigne du thermostat.
« Ça chauffe vite au début, puis de plus en plus lentement en approchant de la consigne » : c’est exactement l’allure de la convergence de cette relation de récurrence (en physique, c’est une version minute par minute de la loi de refroidissement de Newton).
Mettre en équation la croissance d’une épargne régulière (argent et patrimoine)
Le solde d’une épargne où « les intérêts sont ajoutés à la fin de chaque mois et où l’on verse aussi une somme fixe chaque mois » suit le même type de relation de récurrence : « solde du mois suivant = (1 + taux mensuel) × solde de ce mois + versement ». Ici, en revanche, le multiplicateur est supérieur à 1 : la suite ne converge pas et le solde ne cesse d’augmenter (un exemple où elle diverge).
Trouver le terme général permet de calculer en une étape « le solde au bout de n mois ». C’est la même formule que celle de la valeur acquise d’une suite de versements utilisée en finance. Les simulations d’épargne s’appuient sur le terme général de cette relation de récurrence.
Formules et graphiques
Suite arithmético-géométrique
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(a_{n+1}\) : terme suivant
\(=\)
②
\(p\) : multiplicateur
\(\times\)
①
\(a_n\) : terme actuel
\(+\)
③
\(q\) : nombre ajouté
La formule en mots
①
On prend le
\(a_n\) : terme actuel
, on le multiplie par le
②
\(p\) : multiplicateur
, on ajoute le
③
\(q\) : nombre ajouté
,
④
et on obtient le
\(a_{n+1}\) : terme suivant
Exemple simple
Avec le premier terme \(a_1 = 1\) et la relation de récurrence \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (on double le terme actuel et on ajoute 3), la suite commence ainsi
terme suivant
\(=\)
2
\(\times\)
terme actuel
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
L’idée clé
Une relation de récurrence est une règle qui fabrique le terme suivant à partir du terme actuel. Avec le premier terme \(a_1\) et la règle, toute la suite \(a_2\), \(a_3\), … s’obtient dans l’ordre.
Mais pour trouver ainsi le terme de rang 100, il faudrait faire 99 calculs. C’est pourquoi on cherche le terme général, une formule qui donne directement le terme de rang \(n\) à partir de \(n\). L’outil pour le trouver est le point fixe, expliqué ci-dessous.
L’équation du point fixe et le point fixe
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(c\) : point fixe
\(=\)
①
\(q\) : nombre ajouté
\(\div\)
②
\(1 - p\) : 1 moins le multiplicateur \(p\)
La formule en mots
①
On remplace \(a_{n+1}\) et \(a_n\) par \(x\) dans la relation de récurrence et on résout l’équation \(x = px + q\) (l’équation du point fixe). On divise le
\(q\) : nombre ajouté
par
②
\(1 - p\) : 1 moins le multiplicateur \(p\)
,
③
et on obtient le
\(c\) : point fixe
Exemple simple
L’équation du point fixe de la relation de récurrence \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) est \(x = 2x + 3\). En la résolvant, on obtient
\(c\) : point fixe
\(=\)
nombre ajouté (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
L’idée clé
La solution \(c\) de l’équation du point fixe \(x = px + q\) est une valeur particulière : si un terme prend cette valeur, le terme suivant prend exactement la même (en effet \(c = pc + q\), donc après \(c\), la suite reste égale à \(c\)). C’est pour cela qu’on l’appelle le point fixe de la suite (on parle aussi de valeur d’équilibre).
Vous pouvez résoudre l’équation en regroupant les termes, ou appliquer directement la formule \(c = \dfrac{q}{1-p}\). Comme le dénominateur est \(1 - p\), la méthode ne fonctionne pas uniquement quand \(p = 1\) (ce cas est une suite arithmétique, traitée dans une fiche de formule plus bas).
Réécriture avec le point fixe (fabriquer une suite géométrique)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(a_{n+1} - c\) : écart entre le terme suivant et le point fixe
\(=\)
②
\(p\) : multiplicateur
\(\times\)
①
\(a_n - c\) : écart entre le terme actuel et le point fixe
La formule en mots
①
On multiplie l’
\(a_n - c\) : écart entre le terme actuel et le point fixe
par le
②
\(p\) : multiplicateur
,
③
et on obtient l’
\(a_{n+1} - c\) : écart entre le terme suivant et le point fixe
(si l’on ne regarde que les écarts, ils forment une suite géométrique de raison \(p\))
Exemple simple
En réécrivant la relation de récurrence \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (point fixe \(c = -3\)), on obtient
terme suivant \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
terme actuel \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4 \ ;\quad a_2 + 3 = 8 \ ;\quad a_3 + 3 = 16\)
L’idée clé
Soustrayez membre à membre l’équation du point fixe \(c = pc + q\) de la relation de récurrence \(a_{n+1} = p a_n + q\) (membre de gauche moins membre de gauche, membre de droite moins membre de droite). Le nombre ajouté, \(q\), disparaît, et il ne reste que \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\).
Ainsi, la suite des écarts \(\{a_n - c\}\), chaque terme moins le point fixe \(c\), est une suite géométrique qui se contente de multiplier par \(p\) à chaque fois (en France, on l’appelle souvent la suite auxiliaire \(v_n = u_n - \ell\)). Le but de cette réécriture : transformer une relation de récurrence difficile à manier, qui mêle une addition, en une suite géométrique bien connue.
Dans l’exemple, \(c = -3\), donc l’écart vaut \(a_n - (-3) = a_n + 3\), et il vaut \(4\,;\,8\,;\,16\,;\,\dots\) : il double bien à chaque fois.
Terme général (cas arithmético-géométrique)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
\(=\)
①
\(a_1 - c\) : écart entre le premier terme et le point fixe
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\) : le multiplicateur \(p\) multiplié \(n-1\) fois
\(+\)
③
\(c\) : point fixe
La formule en mots
①
On multiplie l’
\(a_1 - c\) : écart entre le premier terme et le point fixe
par
②
\(p^{n-1}\) : le multiplicateur \(p\) multiplié \(n-1\) fois
, on rajoute le
③
\(c\) : point fixe
,
④
et on obtient le
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
Exemple simple
Avec le premier terme \(a_1 = 1\) et la relation de récurrence \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (point fixe \(c = -3\)), le terme général est
terme de rang \(n\)
\(=\)
écart \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
point fixe \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1 \ ;\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5 \ ;\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
L’idée clé
La suite géométrique \(\{a_n - c\}\) obtenue par la réécriture a pour premier terme \(a_1 - c\) et pour raison \(p\) : d’après la formule du terme général des suites géométriques, \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Il reste à rajouter le \(c\) qu’on avait retranché (on le fait passer dans l’autre membre), et on obtient ce terme général.
Quand \(|p| < 1\) (\(p\) est strictement compris entre \(-1\) et \(1\)), \(p^{n-1}\) se rapproche de 0 quand \(n\) grandit : \(a_n\) se rapproche donc de plus en plus du point fixe \(c\) (la suite converge). Quand la suite converge, ce calculateur affiche \(c\) comme limite.
Cas \(p = 1\) (suite arithmétique)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
\(=\)
①
\(a_1\) : premier terme
\(+\)
②
\((n-1)q\) : la raison \(q\) ajoutée \(n-1\) fois
La formule en mots
①
Quand \(p = 1\), la relation de récurrence est \(a_{n+1} = a_n + q\) (on ajoute simplement \(q\) à chaque fois). On ajoute donc au
\(a_1\) : premier terme
la
②
\((n-1)q\) : la raison \(q\) ajoutée \(n-1\) fois
,
③
et on obtient le
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
Exemple simple
Avec le premier terme \(a_1 = 5\) et la relation de récurrence \(a_{n+1} = a_n + 3\) (une suite arithmétique de raison 3), le terme général et le terme de rang 4 sont
terme de rang \(n\)
\(=\)
premier terme (5)
\(+\)
\(3\) ajouté \(n-1\) fois
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
L’idée clé
Quand \(p = 1\), le dénominateur \(1 - p\) de la formule du point fixe vaut 0 : on ne peut pas utiliser le point fixe. En revanche, la relation de récurrence ajoute simplement le même nombre \(q\) à chaque fois : la suite est tout simplement une suite arithmétique de raison \(q\).
Du rang 1 au rang \(n\), on ajoute \(q\) autant de fois qu’il y a d’intervalles entre les termes : \(n-1\) fois (du rang 1 au rang 4, c’est 3 fois ; compter \(n\) fois est une erreur fréquente).
Cas \(q = 0\) (suite géométrique)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
\(=\)
①
\(a_1\) : premier terme
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\) : la raison \(p\) multipliée \(n-1\) fois
La formule en mots
①
Quand \(q = 0\), la relation de récurrence est \(a_{n+1} = p a_n\) (on multiplie simplement par \(p\) à chaque fois). On multiplie donc le
\(a_1\) : premier terme
par
②
\(p^{n-1}\) : la raison \(p\) multipliée \(n-1\) fois
,
③
et on obtient le
\(a_n\) : terme de rang \(n\) (terme général)
Exemple simple
Avec le premier terme \(a_1 = 3\) et la relation de récurrence \(a_{n+1} = 2a_n\) (une suite géométrique de raison 2), le terme général et le terme de rang 4 sont
terme de rang \(n\)
\(=\)
premier terme (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
L’idée clé
Quand \(q = 0\), la relation de récurrence multiplie simplement par le même nombre \(p\) à chaque fois : la suite est tout simplement une suite géométrique de raison \(p\). Pour la même raison que dans le cas arithmétique, on multiplie \(n-1\) fois.
D’ailleurs, si l’on pose \(q = 0\) dans le terme général du cas arithmético-géométrique, le point fixe vaut \(c = 0\) et \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Cette formule est donc un cas particulier de la précédente.
Pour la suite arithmético-géométrique \(a_{n+1} = p a_n + q\), on utilise la solution de l’équation du point fixe \(x = px + q\) (le point fixe \(c = \dfrac{q}{1-p}\)) pour réécrire la relation sous la forme \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\). La suite des écarts \(\{a_n - c\}\) est alors géométrique de raison \(p\), ce qui donne le terme général \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\). Si \(p = 1\), c’est une suite arithmétique ; si \(q = 0\), une suite géométrique.
Symboles et termes
Symboles
| \(a_n\) | a indice n | Le terme de rang \(n\) de la suite, en comptant depuis le début. Le petit indice \(n\) en bas à droite indique le rang. Les manuels français notent le plus souvent les suites \(u_n\), et écrivent cette relation \(u_{n+1} = a u_n + b\). |
| \(a_{n+1}\) | a indice n plus un | Le terme qui suit celui de rang \(n\), c’est-à-dire le terme de rang \(n+1\). Dans une relation de récurrence, il joue le rôle du « terme suivant le terme actuel \(a_n\) ». |
| \(a_1\) | a indice 1 | Le premier terme de la suite. Une relation de récurrence fabrique le terme suivant à partir du terme actuel : la suite n’est donc déterminée que lorsque son point de départ, le premier terme, est fixé. |
| \(n\) | n | Le rang d’un terme (sa position depuis le début). On utilise traditionnellement \(n\), comme « nombre ». Il prend les valeurs 1, 2, 3, … (des entiers naturels). |
| \(p\) | p | La constante qui multiplie le terme actuel \(a_n\) (le \(a\) de \(u_{n+1} = a u_n + b\) dans les manuels). Elle joue le rôle de la raison d’une suite géométrique. Si elle est strictement comprise entre \(-1\) et \(1\), la suite converge vers le point fixe. |
| \(q\) | q | La constante ajoutée après la multiplication (le \(b\) des manuels). Elle joue le rôle de la raison d’une suite arithmétique. On utilise traditionnellement \(q\), la lettre qui suit \(p\). |
| \(c\) | c | La solution de l’équation du point fixe \(x = px + q\) (le point fixe, souvent noté \(\ell\) dans les manuels). C’est une valeur particulière : dès qu’un terme lui est égal, le terme suivant reste le même. C’est aussi la valeur vers laquelle se dirige une suite qui converge. |
| \(\{a_n\}\) | la suite a indice n | Une écriture de la suite tout entière formée des termes \(a_n\). Les accolades signifient « \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), … pris tous ensemble ». Les manuels français écrivent plutôt \((u_n)\). |
| \(p^{n-1}\) | p puissance n moins un | \(p\) multiplié par lui-même \(n-1\) fois (une puissance). Le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie. Du rang 1 au rang \(n\), on multiplie \(n-1\) fois par la raison : c’est pour cela que cette forme apparaît dans le terme général. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | limite de a indice n quand n tend vers l’infini | La valeur dont \(a_n\) se rapproche quand \(n\) devient de plus en plus grand (la limite). \(\lim\) est l’abréviation de « limite ». Ce calculateur affiche la limite quand la suite converge. |
Termes
| suite | Des nombres rangés dans un ordre donné. Chaque nombre s’appelle un terme, et les termes sont numérotés, comme \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), … |
| terme | Chacun des nombres d’une suite. Celui qui occupe la position \(n\) depuis le début s’appelle le terme de rang \(n\). |
| premier terme | Le premier terme \(a_1\) d’une suite. C’est le point de départ quand une relation de récurrence définit une suite. |
| relation de récurrence | Une formule qui exprime la règle permettant de fabriquer le terme suivant à partir du terme actuel. Par exemple, \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) est la règle « le terme suivant est le double du terme actuel, plus 3 ». Avec le premier terme, elle détermine toute la suite. |
| suite arithmético-géométrique | Une suite définie par une relation de récurrence de la forme \(a_{n+1} = p a_n + q\) (dans les manuels, \(u_{n+1} = a u_n + b\)), qui ne fait intervenir que deux termes voisins (une relation d’ordre 1). C’est un classique du lycée (première et terminale). Les relations qui font intervenir trois termes \(a_n\), \(a_{n+1}\), \(a_{n+2}\) sont d’ordre 2 et se résolvent autrement. |
| terme général | Le terme de rang \(n\) écrit directement comme une formule en \(n\) (une formule explicite). Par exemple, une fois qu’on a \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\), même le terme de rang 100 s’obtient en une étape : il suffit de remplacer \(n\) par 100. |
| suite arithmétique | Une suite où la différence entre deux termes voisins est toujours la même (on ajoute toujours le même nombre). \(5\,;\,8\,;\,11\,;\,14\,;\,\dots\) est une suite arithmétique de raison 3. C’est le cas \(p = 1\) de la relation de récurrence. |
| raison | Le nombre fixe qu’une suite arithmétique ajoute à chaque fois, ou le nombre fixe par lequel une suite géométrique multiplie à chaque fois. Dans la relation de récurrence de cette page, \(q\) joue le rôle de la raison quand \(p = 1\), et \(p\) celui de la raison quand \(q = 0\). |
| suite géométrique | Une suite où le rapport entre deux termes voisins est toujours le même (on multiplie toujours par le même nombre). \(3\,;\,6\,;\,12\,;\,24\,;\,\dots\) est une suite géométrique de raison 2. C’est le cas \(q = 0\) de la relation de récurrence. |
| équation du point fixe | L’équation \(x = px + q\) obtenue en remplaçant \(a_{n+1}\) et \(a_n\) par la même lettre \(x\) dans la relation de récurrence (on parle parfois aussi d’équation caractéristique). Sa solution (le point fixe) permet de réécrire la relation sous forme de suite géométrique. |
| point fixe | La solution \(c = \dfrac{q}{1-p}\) de l’équation du point fixe. C’est la valeur où la suite cesse de bouger : dès qu’un terme lui est égal, le suivant reste le même. Quand la suite converge, c’est aussi sa limite. |
| valeur d’équilibre | Le nom donné au point fixe quand la suite modélise une situation réelle (un stock, une population, une concentration) : c’est la valeur qui ne change plus quand on applique la règle, puisque \(c = pc + q\). Dans l’enseignement supérieur, on étudie les relations de récurrence et les itérations de fonctions de ce point de vue. |
| converger | Quand \(n\) grandit, les termes se rapprochent autant qu’on veut d’une valeur fixe. Cette relation de récurrence converge vers le point fixe \(c\) quand \(|p| < 1\) (\(p\) strictement compris entre \(-1\) et \(1\)). |
| limite | La valeur dont se rapproche une suite qui converge. On l’écrit \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\). Les limites s’étudient en détail en terminale, mais l’idée d’une « destination dont les termes se rapprochent sans cesse » suffit ici. |
| diverger | Ne pas converger. Cela recouvre les termes qui grandissent (ou diminuent) sans limite et ceux qui oscillent sans se fixer sur une valeur. Cette relation de récurrence diverge quand \(|p| > 1\), sauf si elle démarre exactement au point fixe. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Ce qu’est une suite (première, 16-17 ans) |
|
| Suites arithmétiques et géométriques (première, 16-17 ans) |
|
| Résoudre une équation du premier degré (4e, 13-14 ans) |
|
| Les puissances (4e-seconde, 13-16 ans) |
|
| Le calcul avec les fractions (6e-4e, 11-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le terme de rang n avec le terme général (cas arithmético-géométrique)
| Premier terme a1 | 1 |
| Coefficient p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Rang n du terme | 10 |
| Point fixe c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Écart entre le premier terme et c, a1−c | =B1-B5 |
| Terme de rang n (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tableau qui suit la relation de récurrence pas à pas (rangs 1 à 10)
| Coefficient p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Terme de rang 1, a1 | 1 |
| Terme de rang 2 | =B1*B3+B2 |
| Terme de rang 3 | =B1*B4+B2 |
| Terme de rang 4 | =B1*B5+B2 |
| Terme de rang 5 | =B1*B6+B2 |
| Terme de rang 6 | =B1*B7+B2 |
| Terme de rang 7 | =B1*B8+B2 |
| Terme de rang 8 | =B1*B9+B2 |
| Terme de rang 9 | =B1*B10+B2 |
| Terme de rang 10 | =B1*B11+B2 |
Tableau pour trouver le terme de rang n quand p = 1 (suite arithmétique)
| Premier terme a1 | 5 |
| Raison q | 3 |
| Rang n du terme | 4 |
| Terme de rang n a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tableau pour trouver le terme de rang n quand q = 0 (suite géométrique)
| Premier terme a1 | 3 |
| Raison p | 2 |
| Rang n du terme | 4 |
| Terme de rang n a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (premier terme et coefficients) sont vos données, et les lignes du bas affichent les résultats calculés. « ^ » est une puissance et « * » une multiplication.
Le premier tableau utilise le terme général pour trouver le terme de rang 10 de la suite de premier terme 1 et de relation de récurrence a(n+1) = 2a(n) + 3. Le point fixe c vaut −3, et la réponse est 2045. Les formules de ce tableau ne fonctionnent pas quand p = 1 (1−p vaut 0, et on diviserait par 0) : utilisez alors le troisième tableau.
Le deuxième tableau calcule la même suite pas à pas, exactement comme le dit la relation de récurrence : vous pouvez vérifier que le terme de rang 10 vaut 2045, comme dans le premier tableau.
Le troisième tableau est un exemple du cas arithmétique (premier terme 5, raison 3, terme de rang 4 = 14), et le quatrième un exemple du cas géométrique (premier terme 3, raison 2, terme de rang 4 = 24).
Le premier tableau utilise le terme général pour trouver le terme de rang 10 de la suite de premier terme 1 et de relation de récurrence a(n+1) = 2a(n) + 3. Le point fixe c vaut −3, et la réponse est 2045. Les formules de ce tableau ne fonctionnent pas quand p = 1 (1−p vaut 0, et on diviserait par 0) : utilisez alors le troisième tableau.
Le deuxième tableau calcule la même suite pas à pas, exactement comme le dit la relation de récurrence : vous pouvez vérifier que le terme de rang 10 vaut 2045, comme dans le premier tableau.
Le troisième tableau est un exemple du cas arithmétique (premier terme 5, raison 3, terme de rang 4 = 14), et le quatrième un exemple du cas géométrique (premier terme 3, raison 2, terme de rang 4 = 24).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le terme de rang n avec le terme général (cas arithmético-géométrique)
| Premier terme a1 | 1 |
| Coefficient p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Rang n du terme | 10 |
| Point fixe c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Écart entre le premier terme et c, a1−c | =B1-B5 |
| Terme de rang n (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tableau qui suit la relation de récurrence pas à pas (rangs 1 à 10)
| Coefficient p | 2 |
| Constante q | 3 |
| Terme de rang 1, a1 | 1 |
| Terme de rang 2 | =B1*B3+B2 |
| Terme de rang 3 | =B1*B4+B2 |
| Terme de rang 4 | =B1*B5+B2 |
| Terme de rang 5 | =B1*B6+B2 |
| Terme de rang 6 | =B1*B7+B2 |
| Terme de rang 7 | =B1*B8+B2 |
| Terme de rang 8 | =B1*B9+B2 |
| Terme de rang 9 | =B1*B10+B2 |
| Terme de rang 10 | =B1*B11+B2 |
Tableau pour trouver le terme de rang n quand p = 1 (suite arithmétique)
| Premier terme a1 | 5 |
| Raison q | 3 |
| Rang n du terme | 4 |
| Terme de rang n a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tableau pour trouver le terme de rang n quand q = 0 (suite géométrique)
| Premier terme a1 | 3 |
| Raison p | 2 |
| Rang n du terme | 4 |
| Terme de rang n a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez le premier terme et les coefficients par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # premier terme a1 (les fractions fonctionnent aussi, par ex. Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # coefficient p (multiplie a_n)
constant = Fraction(3) # constante q (ajoutée)
term_number = 10 # rang n du terme cherché
# Termes de rang 1 à 10, calculés dans l’ordre avec la relation de récurrence
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("Termes de rang 1 à 10 :", " ; ".join(str(t) for t in terms))
# Terme de rang n (on applique la relation de récurrence n-1 fois)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"Terme de rang {term_number} : {nth_term} (en écriture décimale : {float(nth_term)})")
# Si p est différent de 1, le point fixe c = q/(1-p) donne aussi le terme général
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Point fixe c : {fixed_point}")
print(f"Terme général : a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple traite la suite de premier terme 1 et de relation de récurrence a(n+1) = 2a(n) + 3. Le programme affiche les termes de rang 1 à 10 (1 ; 5 ; 13 ; … ; 2045), le terme de rang 10 = 2045, le point fixe −3 et le terme général a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) (soit, après simplification, 4×2^(n−1) − 3). Modifiez le premier terme et les coefficients, puis relancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Suite arithmético-géométrique
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
L’équation du point fixe et le point fixe
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Réécriture avec le point fixe (fabriquer une suite géométrique)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Terme général (cas arithmético-géométrique)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Cas \(p = 1\) (suite arithmétique)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Cas \(q = 0\) (suite géométrique)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans les suites et les relations de récurrence. Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour la suite définie par le premier terme a_1 = 1 et la relation de récurrence a_(n+1) = 2·a_n + 3, donne : 1. La solution de l’équation du point fixe x = 2x + 3 (le point fixe c) 2. Le terme général a_n (avec les étapes qui utilisent c pour se ramener à une suite géométrique) 3. Les valeurs des termes de rang 1 à 10, et la valeur du terme de rang 10 4. Cette suite converge-t-elle ? (Si oui, donne aussi sa limite.) En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
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Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
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Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
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Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de suite arithmétique (terme de rang n et somme)
Calcule le terme de rang n et la somme des n premiers termes à partir du premier terme, de la raison et du nombre de termes (une suite où l’on ajoute toujours le même nombre : le cas p = 1 de cette relation de récurrence)
