Point qui divise un segment dans un rapport donné (milieu et centre de gravité)

Choisissez le type de point et la dimension, puis entrez les coordonnées des deux points A et B et le rapport m:n. La formule ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coordonnées ou le rapport directement dedans.

Point cherché

Dimension

Abscisse de A, x₁

Ordonnée de A, y₁

Cote de A, z₁

Abscisse de B, x₂

Ordonnée de B, y₂

Cote de B, z₂

Abscisse de C, x₃

Ordonnée de C, y₃

Cote de C, z₃

Nombre m du rapport (de A au point)

Nombre n du rapport (du point à B)

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une coordonnée vide compte pour 0, et un nombre du rapport vide compte pour 1. Le rapport m:n se lit dans l’ordre « m à partir de A, puis n jusqu’à B ».

Résultat et figure

Saisissez les coordonnées des deux points et le rapport dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez les coordonnées de deux points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) et un rapport \(m:n\), et obtenez tout de suite les coordonnées du point qui divise le segment \([\mathrm{AB}]\) dans le rapport \(m:n\), intérieurement ou extérieurement
Le milieu (la division intérieure dans le rapport \(1:1\)) et le centre de gravité d’un triangle (la moyenne des coordonnées de ses trois sommets) se calculent sur la même page
Fonctionne sur une droite graduée (1D), dans un repère du plan (2D) et dans l’espace (3D)
La réponse est donnée à la fois en fraction irréductible exacte, comme \(\dfrac{13}{2}\), et en nombre décimal. Les étapes montrent aussi les nombres remplacés dans la formule
Une figure montre où se trouve le point par rapport au segment (à l’intérieur, ou à l’extérieur et de quel côté). Les coordonnées et le rapport peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4
L’explication du « croisement » dans la formule (pourquoi \(m\) et \(n\) semblent changer de place) et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Entrez le rapport \(m:n\) dans cet ordre, \(m\) compté à partir de \(\mathrm{A}\), puis \(n\) jusqu’à \(\mathrm{B}\). Inverser l’ordre donne un autre point.

À quoi sert ce calcul ?

Déplacer un objet en douceur entre deux points dans l’animation et les jeux vidéo (images de synthèse)

Quand un personnage ou une caméra se déplace de A vers B, l’ordinateur calcule à chaque image sa position comme « le point qui divise [AB] intérieurement dans le rapport \(t : \left(1-t\right)\) » (où \(t\) est un nombre entre \(0\) et \(1\)). C’est l’interpolation linéaire (lerp), le calcul le plus élémentaire des images de synthèse.
En augmentant t peu à peu de 0 à 1, l’objet va de A à B à vitesse constante ; en changeant la façon dont t augmente, on obtient un mouvement naturel qui démarre et s’arrête en douceur. Le mélange de couleurs, le redimensionnement d’images et le morphing entre deux visages appliquent le même calcul de division intérieure à des couleurs ou à des coordonnées.

L’équilibre d’une balance ou d’une tige (physique et centre de gravité)

On fixe une masse de 1 kg et une masse de 2 kg aux deux extrémités d’une tige de 1 m (on néglige la masse de la tige). Où placer l’appui pour qu’elle soit en équilibre ? C’est exactement un calcul de division intérieure. La réponse est à \(\dfrac{2}{3}\) m de l’extrémité de 1 kg : le centre de gravité est une moyenne pondérée par les masses, et il se rapproche du côté le plus lourd. En formule, avec une masse \(m_1\) à la position \(x_1\) et une masse \(m_2\) à la position \(x_2\), le centre de gravité est \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\), la même forme que la formule de la division intérieure.
Ici, on ne voit pas « la coordonnée de l’extrémité légère multipliée par la masse lourde », car les masses sont elles-mêmes les poids. Dans la division intérieure, qui travaille avec un rapport de longueurs, le poids est « la longueur de la partie de l’autre côté ». La même idée sert à trouver le centre de gravité d’un triangle, d’une plaque, d’une voiture ou d’un avion.

Combiner les moyennes de deux classes selon leurs effectifs (statistiques et moyenne pondérée)

Si un groupe de 40 élèves a une moyenne de 60 points à un test et un groupe de 20 élèves une moyenne de 90 points, la moyenne des deux groupes réunis n’est pas 75 mais \(\dfrac{40 \times 60 + 20 \times 90}{40 + 20} = 70\) points. Voyez 60 et 90 comme deux points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) d’une droite graduée : la réponse divise \([\mathrm{AB}]\) intérieurement dans le rapport \(20:40\), c’est-à-dire le rapport des effectifs \(40:20\) inversé. La réponse se rapproche de 60, le côté le plus nombreux, car c’est l’effectif de l’autre côté qui sert de poids. C’est exactement le même croisement que dans la formule de cette page.
Les indices des prix, les moyennes avec coefficients, les notes globales d’un sondage ou le prix de revient moyen d’un investissement sont des moyennes qui combinent des groupes de tailles différentes, et ont toutes cette forme. On évite ainsi l’erreur d’additionner puis diviser par 2, qui donne trop de poids au petit groupe.

Placer des piquets entre deux points en topographie et en travaux publics (construction)

Sur les chantiers de routes et de terrassement, on utilise les coordonnées de deux points relevés pour calculer « la position située à une fraction donnée entre les deux », et on y plante un piquet. Les points qui partagent un tronçon de 100 m en quatre parts égales, à 25, 50 et 75 m, sont les points de division intérieure dans les rapports 1:3, 1:1 et 3:1.
Avec des coordonnées en 3D qui incluent l’altitude, la même formule donne les points intermédiaires d’une pente. Même pour un tunnel creusé des deux côtés, qui doit se rejoindre exactement au milieu, de nombreux calculs de ce type assurent la précision des travaux.

Trouver un point intermédiaire ou un lieu de rendez-vous à mi-chemin dans une application de cartes (géographie)

Si l’on considère la latitude et la longitude de deux lieux comme des coordonnées, la formule du milieu donne un lieu à peu près à mi-chemin. C’est ce qu’utilisent les fonctions qui proposent un lieu de rendez-vous, ou qui découpent un long itinéraire en points régulièrement espacés pour vérifier l’altitude ou la météo en chemin.
Sur de longues distances, il faut des calculs qui tiennent compte de la forme ronde de la Terre, mais à l’échelle d’une ville, considérer les coordonnées comme planes et utiliser la division intérieure ne change presque rien en pratique.

Formules et figures

Division intérieure (le point qui divise un segment intérieurement dans le rapport \(m:n\))

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(x\) : abscisse du point \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) ① \(n\) : part du rapport entre le point et \(\mathrm{B}\) \(\times\) ② \(x_1\) : abscisse de \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\) : part du rapport entre \(\mathrm{A}\) et le point \(\times\) ④ \(x_2\) : abscisse de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m+n\) : total du rapport

La formule en mots

① Soit \(\mathrm{P}\) le point qui divise le segment \([\mathrm{AB}]\) intérieurement dans le rapport \(m:n\). On prend le \(n\) : part du rapport entre le point et \(\mathrm{B}\)

② et on le multiplie par l’ \(x_1\) : abscisse du point \(\mathrm{A}\)

③ On prend le \(m\) : part du rapport entre \(\mathrm{A}\) et le point

④ et on le multiplie par l’ \(x_2\) : abscisse du point \(\mathrm{B}\) (puis on additionne les deux produits)

⑤ On divise la somme par le \(m+n\) : total du rapport

⑥ et on obtient l’ abscisse du point \(\mathrm{P}\) (l’ordonnée \(y\) et la cote \(z\) se calculent avec exactement la même formule)

Exemple simple

L’abscisse du point \(\mathrm{P}\) qui divise \([\mathrm{AB}]\), avec \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) et \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\), intérieurement dans le rapport \(2:1\) est

abscisse de \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) part du côté \(\mathrm{B}\) (1) \(\times\) abscisse de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) part du côté \(\mathrm{A}\) (2) \(\times\) abscisse de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) total du rapport (3)

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5\,;\,4)\)

L’idée clé

On divise dans le rapport \(m:n\) : alors pourquoi \(m\) multiplie-t-il \(x_2\) (la coordonnée de B) et \(n\) multiplie-t-il \(x_1\) (la coordonnée de A) ? Ce « croisement » est la principale raison pour laquelle cette formule est difficile à retenir. En suivant le raisonnement, on voit qu’il est tout naturel. Le point \(\mathrm{P}\) est situé aux \(\dfrac{m}{m+n}\) du chemin de \(\mathrm{A}\) à \(\mathrm{B}\) : c’est l’égalité vectorielle \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\). En effet, \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) signifie que le segment \([\mathrm{AB}]\) est partagé en \(m + n\) parts égales, dont \(m\) du côté de \(\mathrm{A}\). On part donc de la coordonnée de \(\mathrm{A}\) et on avance des \(\dfrac{m}{m+n}\) de la variation de \(\mathrm{A}\) à \(\mathrm{B}\), \(x_2 - x_1\). En simplifiant : \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) et il ne reste que \(n\) devant \(x_1\). Pour s’en souvenir par le sens : « c’est le nombre du côté opposé qui sert de poids ». Quand \(\mathrm{P}\) est proche de \(\mathrm{A}\), le \(m\) du côté \(\mathrm{A}\) est petit et le \(n\) du côté \(\mathrm{B}\) est grand. Le résultat doit être proche de la coordonnée de \(\mathrm{A}\) : il est donc logique que le plus grand nombre (\(n\)) multiplie \(x_1\). C’est comme une balance, dont le point d’équilibre se rapproche du poids le plus lourd. Confondre \(m:n\) et \(n:m\) donne un tout autre point. Écrivez toujours le rapport dans l’ordre « \(m\) à partir de \(\mathrm{A}\), puis \(n\) jusqu’à \(\mathrm{B}\) » pour limiter les erreurs.

Division extérieure (le point qui divise un segment extérieurement dans le rapport \(m:n\))

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(x\) : abscisse du point \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) ① \(-n\) : part du rapport entre le point et \(\mathrm{B}\), changée de signe \(\times\) ② \(x_1\) : abscisse de \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\) : part du rapport entre \(\mathrm{A}\) et le point \(\times\) ④ \(x_2\) : abscisse de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m-n\) : différence des parts du rapport

La formule en mots

① Soit \(\mathrm{Q}\) le point qui divise le segment \([\mathrm{AB}]\) extérieurement dans le rapport \(m:n\). On prend le \(-n\) : part \(n\) du rapport, changée de signe

② et on le multiplie par l’ \(x_1\) : abscisse du point \(\mathrm{A}\)

③ On prend le \(m\) : part du rapport entre \(\mathrm{A}\) et le point

④ et on le multiplie par l’ \(x_2\) : abscisse du point \(\mathrm{B}\) (puis on additionne les deux produits)

⑤ On divise la somme par la \(m-n\) : différence des parts du rapport

⑥ et on obtient l’ abscisse du point \(\mathrm{Q}\) (quand \(m\) et \(n\) sont égaux, la différence vaut \(0\) et le point de division extérieure n’existe pas)

Exemple simple

L’abscisse du point \(\mathrm{Q}\) qui divise \([\mathrm{AB}]\), avec \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) et \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\), extérieurement dans le rapport \(3:1\) est

abscisse de \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) part du côté \(\mathrm{B}\), changée de signe (−1) \(\times\) abscisse de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) part du côté \(\mathrm{A}\) (3) \(\times\) abscisse de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) différence des parts (2)

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10\,;\,\dfrac{13}{2}\right)\)

L’idée clé

Le point de division extérieure \(\mathrm{Q}\) est à l’extérieur du segment \([\mathrm{AB}]\), et pourtant \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Retenez que la division intérieure partage le segment de l’intérieur, et que la division extérieure le partage sur son prolongement. La formule ressemble à celle de la division intérieure, avec \(n\) remplacé par \(-n\). Pourquoi ce signe moins ? Il faut penser au sens en plus de la longueur. Pour la division intérieure, aller de \(\mathrm{A}\) à \(\mathrm{P}\) et aller de \(\mathrm{P}\) à \(\mathrm{B}\) se font dans le même sens. Pour la division extérieure, aller de \(\mathrm{A}\) à \(\mathrm{Q}\) et aller de \(\mathrm{Q}\) à \(\mathrm{B}\) se font toujours en sens contraires (\(\mathrm{Q}\) est hors du segment, il faut revenir en arrière pour atteindre \(\mathrm{B}\)). Les longueurs sont toujours dans le rapport \(m:n\), mais en tenant compte du sens, le rapport devient \(m : \left(-n\right)\). En remplaçant par \(m : \left(-n\right)\) dans la formule de la division intérieure, on obtient \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) c’est-à-dire exactement la formule de la division extérieure. Retenez « division extérieure = division intérieure avec un signe moins sur le second nombre » : inutile d’apprendre deux formules. Le côté où tombe le point dépend du plus grand des deux nombres \(m\) et \(n\). Si \(m > n\), il est au-delà de \(\mathrm{B}\) ; si \(m < n\), il est avant \(\mathrm{A}\) (du côté opposé à \(\mathrm{B}\)). \(\mathrm{Q}\) tombe toujours du côté de l’extrémité, \(\mathrm{A}\) ou \(\mathrm{B}\), dont la part du rapport est la plus petite. Le point de division extérieure n’existe pas seulement quand \(m = n\). Dans la formule, le dénominateur \(m - n\) vaut \(0\). Sur la figure, aucun point de la droite \((\mathrm{AB})\) n’est à la fois hors du segment et à égale distance de \(\mathrm{A}\) et de \(\mathrm{B}\).

Milieu (division intérieure dans le rapport \(1:1\))

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(x\) : abscisse du milieu \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\) : abscisse de \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\) : abscisse de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) \(2\)

La formule en mots

① On additionne l’ \(x_1\) : abscisse du point \(\mathrm{A}\)

② et l’ \(x_2\) : abscisse du point \(\mathrm{B}\) puis on divise par 2

③ et on obtient l’ abscisse du milieu \(\mathrm{M}\) (tout simplement la moyenne des deux coordonnées)

Exemple simple

L’abscisse du milieu \(\mathrm{M}\) de \([\mathrm{AB}]\), avec \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) et \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\), est

abscisse de \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) abscisse de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) abscisse de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4\,;\,\dfrac{7}{2}\right)\)

L’idée clé

Le milieu est la division intérieure dans le rapport \(1:1\). En remplaçant \(m\) et \(n\) par \(1\) dans la formule de la division intérieure, on obtient \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) et le croisement disparaît : les deux coordonnées sont multipliées par le même \(1\), l’ordre n’a donc plus d’importance. C’est pour cela que la formule de la division intérieure paraît soudain difficile quand on est habitué à celle du milieu, vue en 2de (15-16 ans) : on est parti de ce cas particulier, où le croisement est invisible. Il s’agit seulement de faire la moyenne de deux coordonnées. Voyez-le comme la moyenne de deux notes, calculée séparément pour les abscisses et pour les ordonnées, et vous ne vous perdrez pas.

Centre de gravité d’un triangle

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(x\) : abscisse du centre de gravité \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\) : abscisse du sommet \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\) : abscisse du sommet \(\mathrm{B}\) \(+\) ③ \(x_3\) : abscisse du sommet \(\mathrm{C}\) \()\) \(\div\) \(3\)

La formule en mots

① Pour le triangle \(\mathrm{ABC}\), on additionne l’ \(x_1\) : abscisse du sommet \(\mathrm{A}\)

② l’ \(x_2\) : abscisse du sommet \(\mathrm{B}\)

③ et l’ \(x_3\) : abscisse du sommet \(\mathrm{C}\) puis on divise par 3

④ et on obtient l’ abscisse du centre de gravité \(\mathrm{G}\) (la moyenne des coordonnées des trois sommets)

Exemple simple

L’abscisse du centre de gravité \(\mathrm{G}\) du triangle de sommets \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\), \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\) et \(\mathrm{C}(4\,;\,8)\) est

abscisse de \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) abscisse de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) abscisse de \(\mathrm{B}\) (7) \(+\) abscisse de \(\mathrm{C}\) (4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4\,;\,5)\)

L’idée clé

Le centre de gravité \(\mathrm{G}\) est le point où se coupent les trois médianes (les segments qui relient chaque sommet au milieu du côté opposé). Une plaque triangulaire posée sur ce seul point reste en équilibre à l’horizontale : d’où son nom. On peut vérifier avec la formule de la division intérieure pourquoi la moyenne des coordonnées convient. L’abscisse du milieu \(\mathrm{M}\) du côté \([\mathrm{BC}]\) est \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). Le centre de gravité divise la médiane \([\mathrm{AM}]\) intérieurement dans le rapport \(2:1\) à partir du sommet ; en remplaçant \(m\) par \(2\) et \(n\) par \(1\) dans la formule de la division intérieure, on obtient \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) c’est-à-dire la moyenne des trois coordonnées. Ce \(2:1\) est la propriété la plus importante du centre de gravité : \(\mathrm{AG}\) est exactement le double de \(\mathrm{GM}\), ou encore \(\mathrm{AG} = \dfrac{2}{3}\mathrm{AM}\). Le rapport est le même pour chaque médiane : retenir « le centre de gravité est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet » aide beaucoup en géométrie.

Le point qui divise le segment \([\mathrm{AB}]\) dans le rapport \(m:n\) est \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\,;\,\dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) pour la division intérieure, et \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n}\,;\,\dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\), avec \(n\) remplacé par \(-n\), pour la division extérieure. La coordonnée de \(\mathrm{A}\) est multipliée par \(n\), le nombre du côté éloigné de \(\mathrm{A}\) : plus \(n\) est grand, plus le point se rapproche de \(\mathrm{A}\) (le point de partage va vers l’extrémité dont la part est la plus petite). Le milieu est la division intérieure dans le rapport \(1:1\), et le centre de gravité d’un triangle est la moyenne des coordonnées de ses trois sommets. Tout repose sur la même idée : une moyenne pondérée.

Symboles et termes

Symboles

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	A, B, C	Des noms de points. En géométrie, on nomme les points par des lettres majuscules, en général A, B, C dans l’ordre. Sur cette page, les extrémités du segment sont \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\), et le troisième sommet du triangle est \(\mathrm{C}\).
\(x_1,\ y_1\)	x indice 1, y indice 1	Les coordonnées du point \(\mathrm{A}\). Le petit chiffre en bas à droite (l’indice) indique de quel point il s’agit : ce n’est pas un nombre utilisé dans le calcul. De même, \(x_2\) et \(y_2\) sont les coordonnées de \(\mathrm{B}\), et \(x_3\) et \(y_3\) celles de \(\mathrm{C}\).
\(m:n\)	m pour n	Le rapport qui partage le segment. \(m\) est la part de la portion entre \(\mathrm{A}\) et le point de partage, et \(n\) celle de la portion entre le point de partage et \(\mathrm{B}\). Ce sont simplement des lettres souvent utilisées pour les rapports. Inverser l’ordre donne un autre point.
\(\mathrm{P}\)	P	Un nom souvent donné au point de division intérieure, comme « point ».
\(\mathrm{Q}\)	Q	Un nom souvent donné au point de division extérieure. Par habitude, c’est la lettre qui suit \(\mathrm{P}\).
\(\mathrm{M}\)	M	Un nom souvent donné au milieu, comme « milieu ».
\(\mathrm{G}\)	G	Le nom habituel du centre de gravité, d’après le G de « gravité ».
\([\mathrm{AB}]\)	segment AB	Le segment qui relie les points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) : la partie d’une droite comprise entre deux extrémités fixées. Sa longueur s’écrit \(\mathrm{AB}\), sans crochets, et la droite entière \((\mathrm{AB})\).
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	AP pour PB	Le rapport de la longueur \(\mathrm{AP}\) à la longueur \(\mathrm{PB}\). Le point \(\mathrm{P}\) tel que \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) est le point qui divise le segment \([\mathrm{AB}]\) intérieurement dans le rapport \(m:n\).

Termes

segment	La partie d’une droite comprise entre deux points. Avec deux extrémités, c’est un segment ; s’il se prolonge à l’infini d’un seul côté, c’est une demi-droite ; des deux côtés, c’est une droite.
division intérieure	Le partage d’un segment par un point situé à l’intérieur, dans un rapport donné. Le point \(\mathrm{P}\) qui divise \([\mathrm{AB}]\) intérieurement dans le rapport \(m:n\) est le point de \([\mathrm{AB}]\) tel que \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\).
division extérieure	Le partage d’un segment par un point situé sur son prolongement, hors du segment, tel que \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Le point tombe du côté de l’extrémité dont la part est la plus petite (au-delà de \(\mathrm{B}\) si \(m > n\), avant \(\mathrm{A}\) si \(m < n\)). Il n’existe pas quand \(m\) et \(n\) sont égaux.
point de partage	Le nom général d’un point qui partage un segment dans un rapport donné, que ce soit par division intérieure ou extérieure.
milieu	Le point au centre d’un segment, à égale distance des deux extrémités. C’est la division intérieure dans le rapport \(1:1\).
centre de gravité	Le point où se coupent les trois médianes d’un triangle. Une plaque triangulaire reste en équilibre à l’horizontale sur ce point, et ses coordonnées sont la moyenne de celles des trois sommets.
médiane	Dans un triangle, le segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent toujours en un point (le centre de gravité), qui divise chaque médiane dans le rapport \(2:1\) à partir du sommet.
rapport	Une façon de comparer deux quantités, en les écrivant côte à côte comme « \(2:1\) ». \(2:1\) et \(4:2\) sont le même rapport. Sur cette page, il compare les longueurs des deux parties d’un segment partagé.
coordonnées	Les nombres qui repèrent un point : un seul sur une droite graduée, deux \((x\,;\,y)\) dans le plan, et trois \((x\,;\,y\,;\,z)\) dans l’espace.
droite graduée	Une droite munie de graduations, où chaque nombre correspond à un seul point. C’est le repère le plus simple, où un seul nombre donne une position.
repère	Un axe horizontal des abscisses et un axe vertical des ordonnées, qui permettent de repérer chaque point du plan par deux nombres \((x\,;\,y)\).
moyenne pondérée	Une moyenne où chaque nombre reçoit un « poids » (un coefficient, comme pour les notes au bac). La coordonnée \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) de la division intérieure est exactement la moyenne pondérée de \(x_1\) avec le poids \(n\) et de \(x_2\) avec le poids \(m\) : c’est ce qu’on appelait le barycentre de \((\mathrm{A}, n)\) et \((\mathrm{B}, m)\). La moyenne ordinaire est le cas où tous les poids sont égaux.
indice	Un petit numéro écrit en bas à droite d’une lettre, comme dans \(x_1\) et \(x_2\). Il sert à distinguer des grandeurs de même nature : ce n’est ni un facteur ni un exposant.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.

La droite graduée et les coordonnées (CM1-5e, 9-13 ans)	Savoir qu’une droite graduée associe des nombres à des points, et savoir y placer les nombres négatifs Savoir lire le point \((3\,;\,-2)\) d’un repère comme « 3 vers la droite et 2 vers le bas » Savoir que, quand les coordonnées de \(\mathrm{A}\) s’écrivent avec des lettres et des indices, comme \((x_1\,;\,y_1)\), l’indice \(1\) est un numéro (« le premier point ») et non un nombre par lequel on multiplie
Les rapports et la proportionnalité (CM2-5e, 10-13 ans)	Savoir qu’un rapport comme \(2:1\) partage un tout en 3 parts égales, réparties en 2 et 1 Savoir que \(2:1\) et \(4:2\) sont le même rapport (multiplier ou diviser les deux nombres par un même nombre ne change pas le rapport) Savoir que, quand on partage un segment dans le rapport \(m:n\), la partie du côté \(\mathrm{A}\) représente les \(\dfrac{m}{m+n}\) du tout
Le calcul avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir trouver le bon signe quand on multiplie ou divise des nombres négatifs, comme \(-3 \times 4 = -12\) et \(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) Savoir calculer avec une lettre précédée d’un signe moins, comme le \(-n\) de la formule de la division extérieure
Le calcul avec les fractions (CM1-5e, 9-13 ans)	Savoir simplifier, comme \(\dfrac{15}{3} = 5\), et écrire les réponses sous forme de fraction irréductible Être à l’aise avec une réponse sous forme de fraction comme \(\dfrac{9}{2}\) (inutile de la convertir en nombre décimal)
Le calcul littéral (5e-3e, 12-15 ans)	Savoir remplacer les lettres par des nombres dans une expression comme \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) et calculer Savoir développer une expression comme \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) et réduire les termes semblables
La moyenne (CM2-4e, 10-14 ans)	Savoir qu’une moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par leur nombre (le milieu et le centre de gravité sont exactement ce genre de moyenne) Savoir que, pour combiner les moyennes de groupes d’effectifs différents, on ne peut pas simplement les additionner et diviser

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le point de division intérieure

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Nombre m du rapport (de A au point)	2
Nombre n du rapport (du point à B)	1
Abscisse de P (division intérieure)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Ordonnée de P (division intérieure)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tableau pour trouver le point de division extérieure

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Nombre m du rapport (de A au point)	3
Nombre n du rapport (du point à B)	1
Abscisse de Q (division extérieure)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Ordonnée de Q (division extérieure)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tableau pour trouver le milieu

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Abscisse du milieu M	=(B1+B3)/2
Ordonnée du milieu M	=(B2+B4)/2

Tableau pour trouver le centre de gravité d’un triangle

Abscisse du sommet A, x1	1
Ordonnée du sommet A, y1	2
Abscisse du sommet B, x2	7
Ordonnée du sommet B, y2	5
Abscisse du sommet C, x3	4
Ordonnée du sommet C, y3	8
Abscisse du centre de gravité G	=(B1+B3+B5)/3
Ordonnée du centre de gravité G	=(B2+B4+B6)/3

Une fois le tableau collé, les lignes du haut (les coordonnées et le rapport) sont vos données, et les lignes du bas se calculent automatiquement. « * » est la multiplication et « / » la division.
Le premier tableau divise [AB], avec A(1 ; 2) et B(7 ; 5), intérieurement dans le rapport 2:1, ce qui donne P(5 ; 4). La formule de l’abscisse, « =(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6) », semble d’abord mal appariée : elle multiplie B1 (l’abscisse de A) par B6 (le nombre n du rapport), et B3 (l’abscisse de B) par B5 (le nombre m). C’est le croisement, et si on les inverse, le résultat change.
Le deuxième tableau divise les mêmes points extérieurement dans le rapport 3:1, ce qui donne Q(10 ; 6,5). Les seules différences avec le premier tableau sont le signe moins devant B6 et la soustraction au dénominateur. Si vous entrez la même valeur pour m et n, le dénominateur vaut 0 et une erreur (#DIV/0!) s’affiche : cela signifie que le point de division extérieure n’existe pas.
Le troisième tableau donne le milieu M(4 ; 3,5). Le quatrième donne le centre de gravité G(4 ; 5) du triangle de sommets A(1 ; 2), B(7 ; 5) et C(4 ; 8).

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le point de division intérieure

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Nombre m du rapport (de A au point)	2
Nombre n du rapport (du point à B)	1
Abscisse de P (division intérieure)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Ordonnée de P (division intérieure)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tableau pour trouver le point de division extérieure

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Nombre m du rapport (de A au point)	3
Nombre n du rapport (du point à B)	1
Abscisse de Q (division extérieure)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Ordonnée de Q (division extérieure)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tableau pour trouver le milieu

Abscisse de A, x1	1
Ordonnée de A, y1	2
Abscisse de B, x2	7
Ordonnée de B, y2	5
Abscisse du milieu M	=(B1+B3)/2
Ordonnée du milieu M	=(B2+B4)/2

Tableau pour trouver le centre de gravité d’un triangle

Abscisse du sommet A, x1	1
Ordonnée du sommet A, y1	2
Abscisse du sommet B, x2	7
Ordonnée du sommet B, y2	5
Abscisse du sommet C, x3	4
Ordonnée du sommet C, y3	8
Abscisse du centre de gravité G	=(B1+B3+B5)/3
Ordonnée du centre de gravité G	=(B2+B4+B6)/3

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les coordonnées et le rapport par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

# Coordonnées des points (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # troisième sommet, pour le centre de gravité

def internal_point(a, b, m, n):
    # Division intérieure : on multiplie par le nombre du côté opposé (n pour A, m pour B)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # Division extérieure : la division intérieure avec n remplacé par -n (impossible si m est égal à n)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # Milieu : la moyenne des deux coordonnées (division intérieure 1:1)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # Centre de gravité d’un triangle : la moyenne des coordonnées des trois sommets
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # Affiche les fractions sous une forme lisible comme « (5 ; 4) » ou « (10 ; 13/2) »
    return "(" + " ; ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("Division intérieure 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Division extérieure 3:1 :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Milieu                  :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Centre de gravité       :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

Le module fractions de la bibliothèque standard permet de calculer avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple utilise A(1 ; 2), B(7 ; 5) et C(4 ; 8). Le programme affiche le point de division intérieure (5 ; 4), le point de division extérieure (10 ; 13/2), le milieu (4 ; 7/2) et le centre de gravité (4 ; 5). Grâce à zip, il fonctionne tel quel dans l’espace (3D) si chaque point a trois coordonnées.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Division intérieure (le point qui divise un segment intérieurement dans le rapport \(m:n\))

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
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        <mo>+</mo>
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      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

Division extérieure (le point qui divise un segment extérieurement dans le rapport \(m:n\))

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>x</mi>
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    <mfrac>
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        <mo>+</mo>
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      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

Milieu (division intérieure dans le rapport \(1:1\))

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
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      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

Centre de gravité d’un triangle

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé en géométrie repérée. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour les deux points A(1 ; 2) et B(7 ; 5) d’un repère du plan, trouve :
1. Les coordonnées du point P qui divise le segment [AB] intérieurement dans le rapport 2:1 (AP : PB = 2 : 1)
2. Les coordonnées du point Q qui divise le segment [AB] extérieurement dans le rapport 3:1 (AQ : QB = 3 : 1, Q hors du segment)
3. Les coordonnées du milieu M du segment [AB]
4. Les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC, avec le point supplémentaire C(4 ; 8)

En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et donne chaque réponse sous forme de fraction irréductible et de nombre décimal.
Explique aussi, en suivant le calcul étape par étape, pourquoi la coordonnée de A est multipliée par n dans la formule de la division intérieure (pourquoi la formule est « croisée »).

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule