Saisissez A, B et n de l’expression (Ax+B)ⁿ à développer. L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi la modifier directement. Avec « Calculer quoi ? », choisissez entre développer tous les termes et trouver un seul terme.
Saisissez des nombres avec des chiffres. Les nombres décimaux, négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. L’exposant n est un nombre entier de 0 à 12.
Résultat et figure
Saisissez les coefficients et l’exposant dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le développement et le triangle de Pascal s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Développez \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) de 0 à 12) avec la formule du binôme et obtenez aussitôt le résultat ordonné selon les puissances décroissantes de \(x\)
- Si vous n’avez besoin que du coefficient de \(x^{3}\), indiquez l’exposant de \(x\) (ou la position du terme) et obtenez ce seul terme
- Pour un seul terme, la valeur du coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) et les étapes avec \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) s’affichent aussi
- Le triangle de Pascal est tracé jusqu’à la ligne \(n\), avec la ligne utilisée en couleur
- \(A\) et \(B\) peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4. Les coefficients sont calculés exactement, en fractions irréductibles
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Cette page traite la forme \((Ax+B)^{n}\) (\(n\) est un nombre entier de 0 à 12). Elle ne traite pas les exposants fractionnaires ou négatifs (la formule du binôme généralisée) ni les expressions à trois termes ou plus (la formule du multinôme).
À quoi sert ce calcul ?
La probabilité de k succès sur n essais (contrôle qualité, sondages, essais cliniques)
Répétons \(n\) fois une épreuve dont la probabilité de succès \(p\) est toujours la même et dont les résultats ne s’influencent pas. La probabilité d’obtenir exactement \(k\) succès vaut \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\). C’est exactement un terme du développement de \((p + (1-p))^n\) par la formule du binôme, et cette loi de probabilité s’appelle la loi binomiale.
Par exemple, si une chaîne de production a toujours 3 % de pièces défectueuses et qu’on prélève 10 pièces, la probabilité de n’avoir aucune pièce défectueuse est le terme \(k = 0\), \(0{,}97^{10} \approx 0{,}737\), soit environ 74 %. Autrement dit, contrôler 10 pièces détecte un défaut environ 26 % du temps. La même idée sert à décider du nombre de pièces à contrôler, à estimer la marge d’erreur d’un sondage ou à juger de l’efficacité d’un nouveau médicament.
Prévoir les caractères des descendants (biologie et agriculture)
Quand les deux parents ont la paire de gènes \(\mathrm{Aa}\), les génotypes de leurs enfants apparaissent dans le rapport \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\). Ces 1, 2, 1 viennent de ce que chaque parent transmet \(\mathrm{A}\) ou \(\mathrm{a}\) avec une probabilité de \(\dfrac{1}{2}\) chacun : \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\). Ce sont les coefficients binomiaux, les mêmes nombres que la ligne \(n = 2\) du triangle de Pascal.
Avec plus de caractères, ou en raisonnant sur le nombre d’enfants, cela devient vite trop long à la main. La formule du binôme répond d’un coup à des questions comme « la probabilité qu’exactement 2 enfants sur 4 aient ce caractère ». Les sélectionneurs de plantes et d’animaux et les conseillers en génétique estiment ainsi les proportions attendues.
Estimer rapidement des intérêts composés et une croissance (argent et économie)
Un capital placé à un taux annuel \(r\) pendant \(n\) ans est multiplié par \((1+r)^{n}\). En développant avec la formule du binôme, on obtient \(1 + nr + \binom{n}{2}r^{2} + \cdots\). La première partie, \(1 + nr\), correspond aux intérêts simples ; le reste, aux « intérêts des intérêts ».
Par exemple, à 1 % par an pendant 10 ans, \(1{,}01^{10} = 1{,}10462\cdots\), mais les trois premiers termes seuls, \(1 + 0{,}1 + 0{,}0045\), donnent 1,1045, presque la même valeur. Les termes suivants deviennent de plus en plus petits : c’est pratique pour une estimation de tête. Taux d’intérêt, inflation, croissance démographique : tout ce qui augmente du même pourcentage chaque année prend cette forme.
Estimer l’effet de petites variations (ingénierie, physique, mesure)
En conception et en mesure, on a souvent besoin de savoir vite de combien un résultat change quand une grandeur varie un peu. En développant avec la formule du binôme et en négligeant les petits termes au carré et au-delà, on obtient l’approximation \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\).
Par exemple, si chaque arête d’un cube s’allonge de 1 %, son volume est multiplié par \((1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301\), soit une hausse d’environ 3 %. L’approximation donne \(1 + 3 \times 0{,}01 = 1{,}03\), presque la même réponse. La règle pratique « 1 % d’erreur sur une longueur donne environ 3 % d’erreur sur un volume » sert directement à fixer les tolérances des pièces et à estimer les erreurs de mesure.
Compter tous les choix possibles (combinaisons et dénombrement)
Quand on décide librement « oui ou non » pour chacune de \(n\) options, le nombre total de combinaisons vaut \(2^{n}\). C’est la formule du binôme avec \(a = b = 1\), \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}\), et c’est aussi la somme de chaque ligne du triangle de Pascal.
Par exemple, une pizza avec 5 garnitures au choix peut se commander de \(2^{5} = 32\) façons, y compris la pizza nature sans garniture. La ligne donne aussi le détail : exactement 2 garnitures, c’est \(\binom{5}{2} = 10\) façons. On s’en sert dès qu’il faut compter des choix : combinaisons d’un menu, profils de réponses à un questionnaire, cas de test d’un logiciel.
Formules et figures
La formule du binôme de Newton
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\(\binom{n}{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\((a+b)^n\) : \((a+b)\) multiplié \(n\) fois par lui-même
\(=\)
④
on additionne tout, le nombre \(k\) de \(b\) choisis allant de 0 à \(n\)
①
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
②
\(a^{n-k}\) : \(a\) multiplié \((n-k)\) fois
③
\(b^{k}\) : \(b\) multiplié \(k\) fois
La formule en mots
①
On multiplie le
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
②
par
\(a^{n-k}\) : \(a\) multiplié \((n-k)\) fois
③
et par
\(b^{k}\) : \(b\) multiplié \(k\) fois
④
, puis
on additionne tout, le nombre \(k\) de \(b\) choisis allant de 0 à \(n\)
⑤
et on obtient
\((a+b)^n\) : \((a+b)\) multiplié \(n\) fois par lui-même
Exemple simple
En développant \((a+b)^{3}\) (les coefficients 1, 3, 3, 1 sont les valeurs de \(\binom{3}{0}\) à \(\binom{3}{3}\)), on obtient
\((a+b)\) multiplié 3 fois par lui-même
\(=\)
on additionne tout, le nombre \(k\) de \(b\) allant de 0 à 3
façons de choisir \(k\) parmi 3
\(a\) multiplié \((3-k)\) fois
\(b\) multiplié \(k\) fois
\((a+b)^{3} = \binom{3}{0}a^{3} + \binom{3}{1}a^{2}b + \binom{3}{2}ab^{2} + \binom{3}{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
L’idée clé
\((a+b)^n\) veut dire « écrire \(n\) fois la parenthèse \((a+b)\) et multiplier ». Pour développer, on prend soit \(a\), soit \(b\) dans chaque parenthèse, on multiplie les choix, puis on additionne les résultats de toutes les façons possibles de choisir.
Le nombre de façons de choisir les \(k\) parenthèses (parmi les \(n\)) qui donnent un \(b\) est \(\binom{n}{k}\), qui se lit « \(k\) parmi \(n\) ». Le même type de terme \(a^{n-k}b^{k}\) apparaît donc \(\binom{n}{k}\) fois, et en les regroupant, son coefficient vaut \(\binom{n}{k}\). C’est tout ce que dit la formule du binôme. (Sur les calculatrices, ce nombre s’obtient avec la touche nCr ; le calculateur de cette page l’écrit \({}_n\mathrm{C}_k\).)
La figure ci-dessus représente \((a+b)^2\) comme l’aire d’un carré. Les deux rectangles \(ab\) donnent \(2ab\) : on voit de ses propres yeux les coefficients 1, 2, 1.
Le terme général (terme de rang \(k+1\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\(\binom{n}{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(T_{k+1}\) : terme de rang \(k+1\) du développement
\(=\)
①
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
②
\(a^{n-k}\) : \(a\) multiplié \((n-k)\) fois
③
\(b^{k}\) : \(b\) multiplié \(k\) fois
La formule en mots
①
On multiplie le
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
②
par
\(a^{n-k}\) : \(a\) multiplié \((n-k)\) fois
③
et par
\(b^{k}\) : \(b\) multiplié \(k\) fois
④
et on obtient le
\(T_{k+1}\) : terme de rang \(k+1\) du développement
Exemple simple
Le 3e terme (\(k = 2\)) de \((2x+3)^{5}\), avec \(a = 2x\) et \(b = 3\), vaut
3e terme \(T_{3}\)
\(=\)
façons de choisir 2 parmi 5
\(2x\) multiplié 3 fois
3 multiplié 2 fois
\(T_{3} = \binom{5}{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
L’idée clé
L’erreur la plus fréquente avec la formule du binôme est le décalage d’un entre le numéro du terme et \(k\). Le terme avec \(k = 0\) est le 1er terme : dans le terme de rang \(k+1\), \(k\) vaut « le numéro du terme moins 1 ». Pour le 3e terme, \(k = 2\).
Quand un exercice demande « le coefficient de \(x^{3}\) », on trouve \(k\) à partir de l’exposant de \(x\), pas du numéro du terme. Dans \((Ax+B)^n\), l’exposant de \(x\) vaut \(n-k\) : on résout \(n-k = 3\) et on obtient \(k = n-3\).
Quand \(a\) ou \(b\) est un bloc comme \(2x\), on élève tout le bloc à la puissance, comme \((2x)^{3} = 8x^{3}\). Pour ne pas écrire \(2x^{3}\) par erreur, mettez toujours des parenthèses avant de calculer.
Calculer un coefficient binomial (le nombre de combinaisons)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\binom{n}{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{façons de ranger les }n\text{ objets en ligne : }n!}{\text{ordres des }k\text{ choisis : }k!\ \times\ \text{ordres des }(n-k)\text{ restants : }(n-k)!}\)
La formule en mots
①
Le quotient
\(\dfrac{\text{façons de ranger les }n\text{ objets en ligne : }n!}{\text{ordres des }k\text{ choisis : }k!\ \times\ \text{ordres des }(n-k)\text{ restants : }(n-k)!}\)
②
est le
\(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir \(k\) parmi \(n\)
Exemple simple
Le nombre de façons de choisir 2 parmi 5, \(\binom{5}{2}\), vaut
façons de choisir 2 parmi 5
\(=\)
\(\dfrac{\text{façons de ranger les 5 en ligne : }5!}{\text{ordres des 2 choisis : }2!\ \times\ \text{ordres des 3 restants : }3!}\)
\(\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\(\binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
L’idée clé
La factorielle d’un nombre est le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu’à ce nombre (\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)). Par définition \(0! = 1\), donc \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\).
Pourquoi diviser ? Pensez à ranger des objets en ligne. Placez les \(n\) objets en ligne, et dites que les \(k\) premiers sont « choisis » et les \((n-k)\) autres « pas choisis ». Chacun des \(n!\) ordres donne alors un choix. Mais changer l’ordre des \(k\) objets choisis (\(k!\) façons) ou des \((n-k)\) restants (\((n-k)!\) façons) ne change pas qui a été choisi. Chaque choix est donc compté \(k!\,(n-k)!\) fois : en divisant, il ne reste que le nombre de choix.
À la main, la deuxième écriture ci-dessus est plus rapide : en haut, on part de \(n\) et on multiplie \(k\) nombres en descendant ; en bas, on met \(k!\). Pour \(\binom{5}{2}\), cela donne \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
Les coefficients binomiaux sont symétriques : \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) (choisir \(k\) objets revient à choisir les \((n-k)\) qu’on laisse). Par exemple, \(\binom{7}{5}\) se calcule plus vite comme \(\binom{7}{2} = 21\). C’est aussi pourquoi les coefficients d’un développement se lisent de la même façon dans les deux sens.
Le triangle de Pascal (somme de deux voisins)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\binom{n-1}{k-1}\)
\(+\)
\(\binom{n-1}{k}\)
\(=\)
\(\binom{n}{k}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(\binom{n-1}{k-1}\) : nombre en haut à gauche, sur la ligne du dessus
\(+\)
②
\(\binom{n-1}{k}\) : nombre en haut à droite, sur la ligne du dessus
\(=\)
③
\(\binom{n}{k}\) : le nombre juste en dessous
La formule en mots
①
On additionne le
\(\binom{n-1}{k-1}\) : nombre en haut à gauche, sur la ligne du dessus
②
et le
\(\binom{n-1}{k}\) : nombre en haut à droite, sur la ligne du dessus
③
et on obtient
\(\binom{n}{k}\) : le nombre juste en dessous
Exemple simple
En additionnant le 3 et le 3 de la ligne \(n = 3\), on obtient le 6 de la ligne \(n = 4\)
en haut à gauche \(\binom{3}{1} = 3\)
\(+\)
en haut à droite \(\binom{3}{2} = 3\)
\(=\)
juste en dessous \(\binom{4}{2} = 6\)
\(\binom{3}{1} + \binom{3}{2} = 3 + 3 = 6 = \binom{4}{2}\)
L’idée clé
Le triangle de Pascal range les coefficients binomiaux en triangle, ligne après ligne depuis le haut. Les deux extrémités de chaque ligne valent 1, et chaque nombre à l’intérieur est simplement la somme des deux nombres juste au-dessus (en haut à gauche et en haut à droite). On construit ainsi les coefficients par de simples additions, sans aucune factorielle (c’est la relation de Pascal).
L’idée du choix explique aussi pourquoi cette addition marche. Pour choisir \(k\) objets parmi \(n\), regardez un objet précis. Soit on le choisit (il reste alors \((k-1)\) objets à choisir parmi les \((n-1)\) autres), soit on ne le choisit pas (il faut alors choisir les \(k\) parmi les \((n-1)\) autres). Ces deux cas sont exactement les deux nombres du dessus.
La somme des nombres de chaque ligne vaut \(2^n\) (ligne \(n = 4\) : \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). C’est la formule du binôme avec \(a = b = 1\).
La formule du binôme de Newton dit que \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}\) : dans le développement, le coefficient de \(a^{n-k}b^{k}\) est \(\binom{n}{k}\). Pour trouver un seul terme, on utilise le terme général \(\binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}\) et on choisit \(k\) à partir de l’exposant de \(x\). Les coefficients correspondent à la ligne \(n\) du triangle de Pascal.
Symboles et termes
Symboles
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | k parmi n | Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) (le nombre de combinaisons). Dans la formule du binôme, il devient un coefficient du développement : on l’appelle donc aussi coefficient binomial. En France, on l’écrit \(\binom{n}{k}\) ; l’écriture \({}_n\mathrm{C}_k\) (C pour combinaison), celle de la touche nCr des calculatrices, est celle des résultats de ce calculateur. |
| \(n!\) | factorielle n | Le produit de tous les nombres entiers de 1 à \(n\) (\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). Ce point d’exclamation n’exprime pas la surprise : c’est le symbole mathématique de la « factorielle ». Par définition, \(0! = 1\). |
| \(a,\ b\) | a, b | Les deux termes de la parenthèse dans la formule du binôme. « Binôme » veut dire « deux termes » : ce sont ces deux-là. Par habitude, les premières lettres de l’alphabet, \(a,\ b,\ c\), désignent des valeurs fixées. |
| \(n\) | n | Le nombre de fois qu’on multiplie la même parenthèse (l’exposant). La lettre \(n\), comme « nombre », désigne souvent un compte. Sur cette page, c’est un nombre entier de 0 à 12. |
| \(k\) | k | Un compteur du nombre de \(b\) choisis, qui va de 0 à \(n\). Le terme avec \(k = 0\) est le 1er terme : c’est pourquoi on parle du « terme de rang \(k+1\) ». La lettre \(k\) est un choix courant pour un compteur entier. |
| \(\displaystyle\sum\) | sigma | Le symbole de « tout additionner ». C’est la lettre grecque sigma majuscule, qui correspond au S de « somme ». \(\sum_{k=0}^{n}\) veut dire « additionner l’expression qui suit, \(k\) allant de 0 à \(n\) ». |
| \(T_{k+1}\) | T indice k plus 1 | Le terme en position \(k+1\) depuis le début quand le développement est ordonné selon les puissances décroissantes. \(T\) est l’initiale de « terme ». On l’appelle le terme général. |
| \(A,\ B\) | A majuscule, B majuscule | Les lettres des champs de saisie de ce calculateur. Dans \((Ax+B)^n\), \(A\) est le coefficient de \(x\) et \(B\) le terme constant sans \(x\). Dans la formule du binôme, \(a = Ax\) et \(b = B\). |
| \(x\) | x | Une lettre dont la valeur n’est pas fixée (une variable). Ce calculateur développe des expressions de la forme \((Ax+B)^n\) : le résultat est un polynôme en \(x\). |
Termes
| formule du binôme | La formule (dite « de Newton ») selon laquelle les coefficients du développement de \((a+b)^n\) sont les nombres de combinaisons \(\binom{n}{k}\). En France, on l’étudie au lycée, en Terminale. |
| coefficient binomial | Le coefficient \(\binom{n}{k}\) qui apparaît dans la formule du binôme. C’est le même nombre que le nombre de combinaisons, mais on l’appelle ainsi quand on le voit comme un coefficient d’un développement. |
| combinaison | Une façon de choisir quelques objets dans un ensemble sans tenir compte de l’ordre. Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) s’écrit \(\binom{n}{k}\). Contrairement à un arrangement, où l’ordre compte, le même groupe d’objets ne compte qu’une fois. |
| factorielle | Le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu’à ce nombre. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Elle sert à calculer le nombre de combinaisons. |
| terme général | Une seule formule qui décrit chaque terme d’un développement selon sa position. Dans la formule du binôme, le terme de rang \(k+1\), \(\binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}\), est le terme général. Pour trouver un seul terme, on y remplace les valeurs. |
| développement | Le fait de calculer une expression avec des parenthèses pour l’écrire comme une somme de termes sans parenthèses. C’est exactement l’opération inverse de la factorisation. |
| puissances décroissantes | L’ordre dans lequel on écrit les termes d’une expression, de la plus grande puissance de la variable à la plus petite, comme dans \(x^3 + 2x^2 - x + 5\). On donne en général les résultats dans cet ordre (forme réduite et ordonnée). |
| triangle de Pascal | Les coefficients binomiaux rangés en triangle, ligne après ligne. Les extrémités valent 1, et chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres au-dessus. Il porte le nom du mathématicien français Blaise Pascal, qui l’étudia en 1654 dans son « Traité du triangle arithmétique », mais il était connu des siècles plus tôt en Perse, en Inde et en Chine, où on l’appelle triangle de Yang Hui. |
| polynôme | Une expression qui additionne des termes formés d’un coefficient multiplié par une puissance de \(x\), comme \(2x^3 - x + 5\). Le résultat d’un développement avec la formule du binôme est aussi un polynôme. |
| terme | Chaque morceau d’une expression séparé par les signes plus et moins. \(x^3 - 2x + 3\) a trois termes : \(x^3\), \(-2x\) et \(3\). |
| coefficient | Le nombre placé devant une lettre. Dans \(3x^2\), le coefficient est 3. Quand aucun nombre n’est écrit, comme dans \(x^2\), le coefficient vaut 1. |
| exposant | Le petit 3 écrit en haut à droite de \(x^3\). Il indique combien de fois on multiplie la même chose (\(x^3 = x \times x \times x\)). |
| terme constant | Un terme sans \(x\), fait d’un seul nombre, comme le 5 de \(x^2 + 3x + 5\). Dans ce calculateur, \(B\) dans la parenthèse et le dernier terme du développement sont des termes constants. |
| loi binomiale | La loi de probabilité du nombre de succès \(k\) quand on répète \(n\) fois la même épreuve. Ses probabilités \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) sont exactement les termes du développement de \((p + (1-p))^n\) par la formule du binôme : c’est de là que vient le mot « binomiale ». |
| formule du binôme généralisée | La formule du binôme étendue aux exposants fractionnaires et négatifs. Le résultat a une infinité de termes (une série). Ce calculateur ne traite que les exposants entiers positifs ou nuls. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Développer une expression (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Les puissances et leurs règles de calcul (4e-2de, 13-16 ans) |
|
| Le calcul avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Combinaisons et factorielles (Terminale, 17-18 ans) |
|
| Le symbole somme Σ (1re-Terminale, 16-18 ans) |
|
| Le calcul avec les fractions (5e-4e, 12-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau des coefficients du développement par la formule du binôme
| Coefficient de x, A | 2 |
| Terme constant B | 3 |
| Exposant n | 5 |
| Coefficient pour k=0 (x puissance n−0) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coefficient pour k=1 (x puissance n−1) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coefficient pour k=2 (x puissance n−2) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coefficient pour k=3 (x puissance n−3) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coefficient pour k=4 (x puissance n−4) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coefficient pour k=5 (x puissance n−5) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coefficient pour k=6 (x puissance n−6) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tableau du coefficient du terme général (terme de rang k+1)
| Coefficient de x, A | 2 |
| Terme constant B | 3 |
| Exposant n | 5 |
| Numéro du terme (depuis le début) | 3 |
| k (numéro du terme moins 1) | =B4-1 |
| Exposant de x (n−k) | =B3-B5 |
| Coefficient binomial (k parmi n) | =COMBIN(B3;B5) |
| Coefficient du terme | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tableau pour calculer un coefficient binomial (nombre de combinaisons)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Coefficient binomial (k parmi n) | =COMBIN(B1;B2) |
| Vérification avec les factorielles | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
Tableau pour construire le triangle de Pascal
| Ligne n = 0 | 1 | |||||
| Ligne n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Ligne n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Ligne n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Ligne n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Ligne n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Une fois collé, les lignes du haut (A, B, n, etc.) sont vos données, et les lignes du bas se calculent automatiquement.
COMBIN(n;k) donne le coefficient binomial « k parmi n », FACT(n) la factorielle de n, et « ^ » est la puissance.
Le premier tableau développe (2x+3)⁵. En partant de k=0, il affiche 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la ligne de k donne le coefficient de x puissance n−k). Changez A, B et n pour obtenir les coefficients de votre propre expression. Quand n est inférieur à 6, les lignes des termes qui n’existent pas affichent 0 (SIERREUR les remplace par 0). Quand n vaut 7 ou plus, recopiez la dernière ligne vers le bas et remplacez le 6 de la formule par 7, 8, etc.
Le deuxième tableau ne calcule que le 3e terme : k vaut 2, l’exposant de x vaut 3, le coefficient binomial vaut 10 et le coefficient du terme vaut 720.
Le troisième tableau donne le nombre de façons de choisir 2 parmi 5 : les deux formules donnent 10.
Dans le quatrième tableau, seuls les 1 des extrémités sont saisis. Chaque nombre intérieur est une formule qui additionne les deux cellules juste au-dessus. La ligne n = 5 affiche 1, 5, 10, 10, 5, 1.
COMBIN(n;k) donne le coefficient binomial « k parmi n », FACT(n) la factorielle de n, et « ^ » est la puissance.
Le premier tableau développe (2x+3)⁵. En partant de k=0, il affiche 32, 240, 720, 1080, 810, 243 (la ligne de k donne le coefficient de x puissance n−k). Changez A, B et n pour obtenir les coefficients de votre propre expression. Quand n est inférieur à 6, les lignes des termes qui n’existent pas affichent 0 (SIERREUR les remplace par 0). Quand n vaut 7 ou plus, recopiez la dernière ligne vers le bas et remplacez le 6 de la formule par 7, 8, etc.
Le deuxième tableau ne calcule que le 3e terme : k vaut 2, l’exposant de x vaut 3, le coefficient binomial vaut 10 et le coefficient du terme vaut 720.
Le troisième tableau donne le nombre de façons de choisir 2 parmi 5 : les deux formules donnent 10.
Dans le quatrième tableau, seuls les 1 des extrémités sont saisis. Chaque nombre intérieur est une formule qui additionne les deux cellules juste au-dessus. La ligne n = 5 affiche 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau des coefficients du développement par la formule du binôme
| Coefficient de x, A | 2 |
| Terme constant B | 3 |
| Exposant n | 5 |
| Coefficient pour k=0 (x puissance n−0) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0;0) |
| Coefficient pour k=1 (x puissance n−1) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1;0) |
| Coefficient pour k=2 (x puissance n−2) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2;0) |
| Coefficient pour k=3 (x puissance n−3) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3;0) |
| Coefficient pour k=4 (x puissance n−4) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4;0) |
| Coefficient pour k=5 (x puissance n−5) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5;0) |
| Coefficient pour k=6 (x puissance n−6) | =SIERREUR(COMBIN($B$3;6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6;0) |
Tableau du coefficient du terme général (terme de rang k+1)
| Coefficient de x, A | 2 |
| Terme constant B | 3 |
| Exposant n | 5 |
| Numéro du terme (depuis le début) | 3 |
| k (numéro du terme moins 1) | =B4-1 |
| Exposant de x (n−k) | =B3-B5 |
| Coefficient binomial (k parmi n) | =COMBIN(B3;B5) |
| Coefficient du terme | =B7*B1^B6*B2^B5 |
Tableau pour calculer un coefficient binomial (nombre de combinaisons)
| n | 5 |
| k | 2 |
| Coefficient binomial (k parmi n) | =COMBIN(B1;B2) |
| Vérification avec les factorielles | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
Tableau pour construire le triangle de Pascal
| Ligne n = 0 | 1 | |||||
| Ligne n = 1 | 1 | 1 | ||||
| Ligne n = 2 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| Ligne n = 3 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| Ligne n = 4 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| Ligne n = 5 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français (COMBIN, FACT et SIERREUR y portent les mêmes noms). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez A, B et n par vos propres valeurs.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
from math import comb
# Développer (Ax + B) puissance n (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
coef_x = Fraction(2) # coefficient de x, A
const = Fraction(3) # terme constant B
power = 5 # exposant n
# k va de 0 à n. L’exposant de x vaut n - k, et le coefficient vaut C(n, k) × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"Coefficient de x^{exponent} : {coefficient}")
# Seulement le coefficient de x^3 (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Coefficient binomial : {comb(power, k)}")
print(f"Coefficient de x^{target} : {coefficient}")
Dans la bibliothèque standard, math.comb donne le coefficient binomial « k parmi n », et fractions.Fraction calcule exactement avec des fractions (math.comb existe dans les versions récentes de Python). Cet exemple développe (2x+3)⁵. À l’exécution, les coefficients s’affichent dans l’ordre 32, 240, 720, 1080, 810, 243, puis le coefficient de x au cube, 720. Changez A, B et n et exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
La formule du binôme de Newton
(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + ⋯ + C(n,n)bⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n (n¦k) a^(n-k) b^k
Le terme général (terme de rang \(k+1\))
Tₖ₊₁ = C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = ((n),(k)) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = (n¦k) a^(n-k) b^k
Calculer un coefficient binomial (le nombre de combinaisons)
C(n,k) = n! ÷ (k!(n−k)!)
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
((n),(k)) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
(n¦k) = n!/(k!(n-k)!)
Le triangle de Pascal (somme de deux voisins)
C(n−1,k−1) + C(n−1,k) = C(n,k)
\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>k</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mrow><mo>(</mo><mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
((n-1),(k-1)) + ((n-1),(k)) = ((n),(k))
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
(n-1¦k-1) + (n-1¦k) = (n¦k)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en algèbre. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Utilise la formule du binôme de Newton pour développer (2x+3)^5. Donne chacun des éléments suivants : 1. Le terme général (le terme de rang k+1) 2. Les coefficients binomiaux « k parmi 5 » pour k = 0 à 5 3. Le développement (selon les puissances décroissantes de x, chaque coefficient sous forme de fraction irréductible ou d’entier) 4. Le coefficient de x^3, et comment tu l’as trouvé (comment tu as choisi k) En Python, calcule exactement avec math.comb et fractions.Fraction de la bibliothèque standard, et présente les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Arrangements et combinaisons (nPr, nCr)
Compte les façons d’ordonner des objets (arrangements) et de les choisir (combinaisons)
