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Découpe panneaux
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Flèche étagère
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Convertir un nombre décimal en fraction (fraction irréductible)

Saisissez le nombre décimal à convertir et appuyez sur « Calculer » pour obtenir la fraction irréductible. Un nombre supérieur à 1 s’affiche aussi sous la forme « entier + fraction ».

Un nombre négatif s’écrit « -2,25 ». Les écritures décimales périodiques (0,333…) ne sont pas prises en charge (nombres décimaux uniquement).
Résultat
Saisissez un nombre décimal dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Ce que vous pouvez faire sur cette page

  • Saisissez un nombre décimal comme 0,375 : il s’affiche aussitôt sous forme de fraction irréductible
  • Un nombre supérieur à 1, comme 1,375 → \(\dfrac{11}{8}\), s’affiche aussi sous la forme « entier + fraction » (\(1 + \dfrac{3}{8}\))
  • Les nombres négatifs (par exemple -2,25 → \(-\dfrac{9}{4}\)) et les nombres entiers sont acceptés. Les étapes « mettre une puissance de 10 au dénominateur → simplifier par le PGCD » s’affichent aussi
  • Une explication simple de la conversion et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Cette page convertit les nombres dont l’écriture après la virgule s’arrête (nombres décimaux), comme 0,375. Elle ne sait pas transformer une écriture décimale périodique sans fin, comme 0,333…, en \(\dfrac{1}{3}\). (Une notation périodique comme « 0,3(3) » ne peut pas être saisie.)

À quoi sert ce calcul ?

Suivre une recette anglo-saxonne en « cups » (cuisine)

Les recettes américaines et britanniques mesurent en « cups » avec des fractions, comme « \(\dfrac{3}{4}\) cup ». Si un convertisseur vous donne « 0,75 cup », écrivez \(0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}\) : vous pouvez mesurer avec la tasse \(\dfrac{3}{4}\).
Savoir passer des nombres décimaux aux fractions et inversement rend les recettes étrangères bien plus faciles à suivre.

Retrouver une dimension en fraction de pouce (bricolage)

Les clés à cliquet et certains raccords de plomberie se désignent en fractions de pouce, comme \(\dfrac{3}{8}\) de pouce. Si vous avez mesuré en millimètres, passez d’abord en pouces décimaux (\(9{,}525 \div 25{,}4 = 0{,}375\)), puis écrivez \(0{,}375 = \dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8}\) : c’est le carré de \(\dfrac{3}{8}\) de pouce qu’il vous faut.
Écrire un nombre décimal en fraction est un calcul vraiment utile pour choisir une pièce en magasin de bricolage.

Exprimer une proportion comme « 7 sur 20 »

« La part d’avis favorables est de 0,35 » ne parle pas à grand monde, mais \(0{,}35 = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}\) permet de dire « 7 personnes sur 20 sont pour ».
Dans les articles, les rapports et les présentations, écrire une proportion décimale sous forme de fraction « tant sur tant » rend le même nombre bien plus facile à comprendre.

Écrire une échelle sous forme de fraction (plans, cartes, maquettes)

Les échelles des plans et des cartes s’écrivent en fraction, comme 1/50 ou 1/25 000. Si un plan représente les longueurs réelles multipliées par 0,02, écrivez \(0{,}02 = \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50}\) : c’est un plan au 1/50, l’échelle courante des plans d’architecte.
Pour les plans, les cartes et les maquettes, une fraction dit « quelle part de la taille réelle » bien plus directement qu’un nombre décimal : cette conversion sert en permanence.

La durée des notes est une fraction (musique et MAO)

En solfège, la ronde vaut 1, et les autres notes en sont des fractions : blanche = \(\dfrac{1}{2}\), noire = \(\dfrac{1}{4}\), croche = \(\dfrac{1}{8}\). Si un logiciel de musique affiche une durée de « 0,125 » en prenant la ronde pour 1, alors \(0{,}125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}\) : c’est une croche (certains logiciels comptent plutôt en temps ou dans d’autres unités).
Écrire les nombres décimaux en fraction permet de passer des valeurs saisies au langage de la partition.

Formule

La formule de base pour écrire un nombre décimal en fraction (dénominateur 10, 100, 1 000…)
Notation mathématique (l’écriture habituelle)
\(x\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(10^{n}\)
En mots (les symboles remplacés par des mots)
① \(x\) : nombre décimal à convertir \(=\) ③ \(a\) : nombre entier obtenu sans la virgule \(\div\) ② \(10^{n}\) : dénominateur puissance de 10
La formule en mots
① On compte le nombre \(n\) de chiffres après la virgule dans le \(x\) : nombre décimal à convertir
② , on met au dénominateur le \(10^{n}\) : dénominateur puissance de 10 (10 multiplié \(n\) fois par lui-même, c’est-à-dire un 1 suivi de \(n\) zéros)
③ et au numérateur le \(a\) : nombre entier obtenu sans la virgule . La fraction \(\dfrac{a}{10^{n}}\) a la même valeur que le nombre décimal de départ
Exemple simple
En écrivant 0,375 en fraction (3 chiffres après la virgule, donc le dénominateur est 10 multiplié 3 fois, soit 1 000), on obtient
nombre décimal (0,375) \(=\) nombre entier sans la virgule (375) \(\div\) dénominateur puissance de 10 (1 000)
\(0{,}375 = \dfrac{0{,}375 \times 1000}{1 \times 1000} = \dfrac{375}{1000}\)
L’idée clé
Le premier chiffre après la virgule est celui des dixièmes (\(\dfrac{1}{10}\)), le deuxième celui des centièmes (\(\dfrac{1}{100}\)). Autrement dit, un nombre décimal est une façon courte d’écrire une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000…. En mettant au dénominateur la puissance de 10 qui correspond au nombre de chiffres après la virgule, on peut donc toujours écrire en fraction un nombre dont l’écriture s’arrête (un nombre décimal). La règle utilisée : « multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la valeur d’une fraction ». On voit \(x\) comme \(\dfrac{x}{1}\), on multiplie les deux par \(10^{n}\), et la virgule disparaît du numérateur. La fraction obtenue peut souvent encore être simplifiée : on la simplifie ensuite avec la formule 2.
Simplifier jusqu’à la fraction irréductible (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)
Notation mathématique (l’écriture habituelle)
\(N\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(g\)
\(D\) \(=\) \(10^{n}\) \(\div\) \(g\)
En mots (les symboles remplacés par des mots)
③ \(N\) : nouveau numérateur \(=\) ① \(a\) : numérateur de départ \(\div\) ② \(g\) : PGCD
⑥ \(D\) : nouveau dénominateur \(=\) ④ \(10^{n}\) : dénominateur de départ \(\div\) ⑤ \(g\) : PGCD
La formule en mots
① On divise le \(a\) : numérateur de départ
② par le \(g\) : PGCD (le plus grand nombre qui divise à la fois \(a\) et \(10^{n}\))
③ pour obtenir le \(N\) : nouveau numérateur
④ Puis on divise le \(10^{n}\) : dénominateur de départ
⑤ par le même \(g\) : PGCD
⑥ pour obtenir le \(D\) : nouveau dénominateur
Exemple simple
En simplifiant \(\dfrac{375}{1000}\), obtenu avec la formule 1 (le PGCD de 375 et 1 000 est 125), on obtient
nouveau numérateur (3) \(=\) numérateur de départ (375) \(\div\) PGCD (125)
nouveau dénominateur (8) \(=\) dénominateur de départ (1 000) \(\div\) PGCD (125)
\(375 \div 125 = 3\,;\quad 1000 \div 125 = 8\)
\(0{,}375 = \dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8}\)
L’idée clé
Le PGCD est le plus grand des nombres qui divisent à la fois le numérateur et le dénominateur (les diviseurs communs). On l’obtient d’un coup avec la fonction PGCD d’Excel en français, ou math.gcd en Python. Quand le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000…), ses seuls facteurs premiers sont 2 et 5. Simplifier revient donc à « diviser par 2 autant de fois que possible, et par 5 autant de fois que possible ». Si le numérateur n’est divisible ni par 2 ni par 5, la fraction ne peut plus être simplifiée (par exemple, 0,333333333333 → \(\dfrac{333333333333}{1000000000000}\) a un PGCD égal à 1 : elle reste telle quelle). Pour un nombre négatif, on enlève le signe moins, on fait le même calcul, puis on remet le signe devant toute la fraction (par exemple, -2,25 → on simplifie \(\dfrac{225}{100}\) en \(\dfrac{9}{4}\) → \(-\dfrac{9}{4}\)).
Écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction » (nombres supérieurs à 1)
Notation mathématique (l’écriture habituelle)
\(N\) \(=\) \(q\) \(\times\) \(D\) \(+\) \(r\)
En mots (les symboles remplacés par des mots)
① \(N\) : numérateur de la fraction \(=\) ③ \(q\) : quotient (partie entière) \(\times\) ② \(D\) : dénominateur \(+\) ④ \(r\) : reste (numérateur de la fraction inférieure à 1)
La formule en mots
① On divise le \(N\) : numérateur de la fraction
② par le \(D\) : dénominateur :
③ le \(q\) : quotient est la partie entière,
④ et le \(r\) : reste est le numérateur de la fraction inférieure à 1 (le dénominateur reste \(D\))
Exemple simple
En écrivant \(\dfrac{11}{8}\), la fraction obtenue pour 1,375 avec les formules 1 et 2, sous la forme « entier + fraction » (11 ÷ 8 : quotient 1, reste 3), on obtient
numérateur de la fraction (11) \(=\) quotient (1) \(\times\) dénominateur (8) \(+\) reste (3)
\(11 = 1 \times 8 + 3\)
\(1{,}375 = \dfrac{11}{8} = 1 + \dfrac{3}{8}\)
L’idée clé
Un nombre supérieur à 1, comme 1,375, donne en fraction une fraction supérieure à 1 (numérateur supérieur ou égal au dénominateur), comme \(\dfrac{11}{8}\). La laisser ainsi n’est pas faux, mais l’écriture \(1 + \dfrac{3}{8}\) (« un et trois huitièmes ») montre d’un coup d’œil sa taille (un peu plus de 1). Dans les pays anglo-saxons, on l’écrit collé, \(1\tfrac{3}{8}\) (nombre mixte). Pour un nombre négatif, on enlève le signe moins, on fait le même calcul, puis on remet le signe devant tout le nombre (par exemple, -2,25 → \(\dfrac{9}{4} = 2 + \dfrac{1}{4}\) → avec le signe, \(-\left(2 + \dfrac{1}{4}\right)\)).
Pour écrire un nombre décimal en fraction, on met au dénominateur une puissance de 10 avec autant de zéros qu’il y a de chiffres après la virgule, au numérateur le nombre entier obtenu sans la virgule, puis on simplifie par le PGCD. Pour un nombre supérieur à 1, l’écriture « entier + fraction » montre d’un coup d’œil sa taille.

Symboles et termes

Symboles

\(x\) x Le nombre décimal de départ, à écrire en fraction. (Exemples : 0,375 ; 1,375 ; -2,25)
\(n\) n minuscule Le nombre de chiffres après la virgule. (Exemple : pour 0,375, \(n = 3\))
\(10^{n}\) 10 puissance n 10 multiplié \(n\) fois par lui-même (10, 100, 1 000…). Le petit \(n\) en haut à droite est l’exposant, qui veut dire « multiplier \(n\) fois », et il est égal au nombre de zéros après le 1. Sur cette page, il se place au dénominateur de la fraction.
\(a\) a Le nombre entier obtenu en enlevant la virgule du nombre de départ. Il se place au numérateur. (Exemple : 375 pour 0,375)
\(g\) g Le PGCD du numérateur et du dénominateur. Pour simplifier, on divise les deux par ce nombre. (Exemple : 125 pour 375 et 1 000)
\(\gcd(a,\ 10^{n})\) PGCD de a et 10 puissance n La notation internationale du « PGCD de \(a\) et \(10^{n}\) » (gcd, de l’anglais greatest common divisor). En France, on écrit plutôt \(\mathrm{PGCD}(a\,;\,10^{n})\).
\(N\) N majuscule Le nouveau numérateur après simplification. (Exemple : le 3 de \(\dfrac{3}{8}\), forme simplifiée de \(\dfrac{375}{1000}\))
\(D\) D majuscule Le nouveau dénominateur après simplification. (Exemple : le 8 de \(\dfrac{3}{8}\), forme simplifiée de \(\dfrac{375}{1000}\))
\(q\) q Le quotient de la division du numérateur par le dénominateur (initiale de « quotient »). Il devient la partie entière.
\(r\) r Le reste de la division du numérateur par le dénominateur (initiale de « reste »). Il devient le numérateur de la fraction inférieure à 1.

Termes

nombre décimal Un nombre dont l’écriture après la virgule s’arrête, comme 0,375. Ce calculateur convertit les nombres décimaux.
écriture décimale périodique Une écriture décimale dans laquelle le même bloc de chiffres se répète sans fin, comme 0,333…. La méthode de cette page (puissance de 10 au dénominateur) ne permet pas de la convertir ; il faut une autre méthode (avec une équation), que ce calculateur ne traite pas.
puissance de 10 Un nombre obtenu en multipliant 10 par lui-même un certain nombre de fois : 10, 100, 1 000…. Le \(n\)-ième chiffre après la virgule est celui des « 1 sur \(10^{n}\) » : une puissance de 10 devient donc le dénominateur quand on écrit un nombre décimal en fraction.
simplifier Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un nombre qui les divise tous les deux (un diviseur commun) pour l’écrire plus simplement. La valeur ne change pas.
fraction irréductible Une fraction qu’on ne peut plus simplifier : le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1. Quand un exercice demande de « donner le résultat sous forme irréductible », c’est cette forme.
PGCD (plus grand commun diviseur) Le plus grand des nombres qui divisent deux nombres à la fois (leurs diviseurs communs). En anglais, on dit GCD (greatest common divisor).
fraction supérieure à 1 Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, comme \(\dfrac{11}{8}\). Une fraction qui vaut 1 ou plus a cette forme. (Au Québec, on dit « fraction impropre ».)
nombre mixte Un nombre écrit comme une partie entière plus une fraction inférieure à 1. En France, on écrit la somme, \(1 + \dfrac{3}{8}\) (« un et trois huitièmes ») ; les pays anglo-saxons l’écrivent collé, \(1\tfrac{3}{8}\). Il a la même valeur que la fraction supérieure à 1, sous une forme où sa taille se voit facilement.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Les nombres décimaux (CM1-CM2, 9-11 ans)
  • Savoir que le chiffre après la virgule compte les dixièmes (\(0{,}1 = \dfrac{1}{10}\)), le suivant les centièmes (\(0{,}01 = \dfrac{1}{100}\))
  • Savoir que chaque rang vers la droite après la virgule vaut dix fois moins
Le sens d’une fraction (CM1, 9-10 ans)
  • Savoir que le nombre du haut d’une fraction est le numérateur et celui du bas le dénominateur
  • Savoir que \(\dfrac{3}{8}\), ce sont 3 parts quand on partage un tout en 8 parts égales
Simplifier une fraction, diviseurs communs (6e-3e, 11-15 ans)
  • Savoir que diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la valeur d’une fraction
  • Savoir trouver les diviseurs communs et le PGCD de deux nombres
Écriture « entier + fraction » et division euclidienne (CM1-CM2, 9-11 ans)
  • Savoir trouver un quotient et un reste, comme 11 ÷ 8 : quotient 1, reste 3 (\(11 = 8 \times 1 + 3\))
  • Savoir passer d’une fraction supérieure à 1 à l’écriture « entier + fraction » et inversement
Nombres décimaux et écritures décimales périodiques (3e-2de, 14-16 ans)
  • Savoir que certaines écritures décimales s’arrêtent (nombres décimaux) et que d’autres continuent sans fin en répétant un bloc de chiffres (écritures décimales périodiques)
  • Savoir que pour écrire une écriture décimale périodique en fraction, il faut une autre méthode que celle de cette page (avec une équation)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour écrire un nombre décimal en fraction de dénominateur puissance de 10
Nombre décimal à convertir x 1,375
Chiffres après la virgule n 3
Numérateur a (sans la virgule) =B1*10^B2
Dénominateur (puissance de 10) =10^B2
Tableau pour simplifier jusqu’à la fraction irréductible
Numérateur a 1375
Dénominateur (puissance de 10) 1000
PGCD g =PGCD(B1;B2)
Nouveau numérateur N =B1/B3
Nouveau dénominateur D =B2/B3
Tableau pour écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »
Numérateur de la fraction N 11
Dénominateur D 8
Partie entière (quotient q) =QUOTIENT(B1;B2)
Numérateur de la fraction inférieure à 1 (reste r) =MOD(B1;B2)
Une fois collé, les lignes du haut sont vos données, et les lignes de formule qui commencent par « = » se calculent automatiquement.
« ^ » est la puissance (10^3 vaut 1 000). PGCD donne le PGCD, QUOTIENT le quotient (la partie entière) et MOD le reste.
Pour 1,375, par exemple, le premier tableau donne le numérateur 1375 et le dénominateur 1000 (B3 et B4), le deuxième simplifie par le PGCD 125 pour obtenir \(\dfrac{11}{8}\) (B4 et B5), et le troisième donne l’écriture \(1 + \dfrac{3}{8}\) (B3 et B4). Pour un nombre négatif, calculez avec la valeur sans le signe moins et ajoutez le signe à la fin.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour écrire un nombre décimal en fraction de dénominateur puissance de 10
Nombre décimal à convertir x 1,375
Chiffres après la virgule n 3
Numérateur a (sans la virgule) =B1*10^B2
Dénominateur (puissance de 10) =10^B2
Tableau pour simplifier jusqu’à la fraction irréductible
Numérateur a 1375
Dénominateur (puissance de 10) 1000
PGCD g =PGCD(B1;B2)
Nouveau numérateur N =B1/B3
Nouveau dénominateur D =B2/B3
Tableau pour écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »
Numérateur de la fraction N 11
Dénominateur D 8
Partie entière (quotient q) =QUOTIENT(B1;B2)
Numérateur de la fraction inférieure à 1 (reste r) =MOD(B1;B2)
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets en français connaît aussi PGCD, QUOTIENT et MOD). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les données par votre propre nombre décimal.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

decimal_text = "1.375"  # le nombre décimal à convertir (en chaîne, avec un point, pour éviter les erreurs d’arrondi)

fraction_value = Fraction(decimal_text)  # la simplification est automatique
print(f"Fraction : {fraction_value}")  # 11/8

# Écrire la fraction sous la forme entier + fraction (partie entière et reste)
numerator = abs(fraction_value.numerator)
denominator = fraction_value.denominator
whole_part, remainder = divmod(numerator, denominator)
sign = "-" if fraction_value < 0 else ""
if whole_part > 0 and remainder > 0:
    print(f"Entier + fraction : {sign}({whole_part} + {remainder}/{denominator})")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, les deux étapes se font toutes seules : mettre une puissance de 10 au dénominateur et simplifier. Si l’on passe directement un nombre à virgule flottante (float) à Fraction, sans guillemets, les minuscules erreurs d’arrondi binaire de l’ordinateur peuvent se retrouver dans la fraction : passez toujours le nombre sous forme de chaîne, entre guillemets, avec un point comme séparateur décimal (c’est l’écriture de Python). Changez le nombre en haut et exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

La formule de base pour écrire un nombre décimal en fraction (dénominateur 10, 100, 1 000…)
x = a ÷ 10ⁿ
x = \dfrac{a}{10^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>
x = a / 10^n
a/10^n
x := a/10^n;
x = a/10^n;
x = a/10^n
Simplifier jusqu’à la fraction irréductible (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)
a/10ⁿ = (a ÷ g)/(10ⁿ ÷ g)
\dfrac{a}{10^{n}} = \dfrac{a \div g}{10^{n} \div g}, \quad g = \gcd(a,\ 10^{n})
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>
a/10^n = (a -: g)/(10^n -: g)
(a/g)/(10^n/g)
(a/g)/(10^n/g);
N = a/g; D = 10^n/g;
a/10^n = (a÷g)/(10^n÷g)
Écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction » (nombres supérieurs à 1)
N = q × D + r
N = q \times D + r
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>D</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>
N = q xx D + r
q*d + r  (* D (opérateur de dérivation) est réservé dans Mathematica, d’où le d minuscule *)
N := q*d + r;  # D (opérateur de dérivation) est réservé dans Maple, d’où le d minuscule
N = q*D + r;
N = q × D + r

Faire faire le calcul par ChatGPT 

Tu es un assistant de calcul en mathématiques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Écris le nombre décimal 1,375 sous forme de fraction.
1. La fraction irréductible
2. La même valeur sous la forme « entier + fraction inférieure à 1 »
3. Les étapes (la fraction avec une puissance de 10 au dénominateur, et le PGCD utilisé pour la simplifier)

Utilise le module fractions de Python (passe la valeur à Fraction sous forme de chaîne de caractères, écrite avec un point décimal comme l’exige Python), et présente les formules utilisées et le résultat de l’exécution.

Mode d'emploi
  1. 1
    Saisissez vos nombres
    Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
  2. 2
    Calculez
    Appuyez sur le bouton « Calculer »
  3. 3
    Lisez le résultat
    Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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