Calcul avec les nombres complexes (quatre opérations, conjugué, module et plan complexe)

Entrez les parties réelles et imaginaires des deux nombres complexes z₁ = a + bi et z₂ = c + di, puis choisissez l’opération (+ − × ÷). L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement dedans.

Partie réelle a de z₁

Partie imaginaire b de z₁

Opération

Partie réelle c de z₂

Partie imaginaire d de z₂

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une partie réelle ou imaginaire vide compte pour 0 (par exemple, si seule la partie imaginaire de z₁ est vide, z₁ est le réel a).

Résultat et graphique

Saisissez les parties réelles et imaginaires dans les champs à gauche, choisissez une opération (+ − × ÷) et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et la figure dans le plan complexe s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez deux nombres complexes \(z_1 = a+bi\) et \(z_2 = c+di\) sur-le-champ : il suffit d’entrer les parties réelles et imaginaires et de choisir l’opération
Le résultat est donné sous forme algébrique \(a+bi\) avec des fractions irréductibles (valeurs exactes), comme \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). Pour la division, les étapes montrent comment la multiplication par le conjugué du dénominateur rend celui-ci réel ; pour la multiplication, le développement et le remplacement de \(i^2\) par \(-1\)
En bonus, le conjugué \(\overline{z}\) et le module \(|z|\) du résultat sont aussi affichés. Le module est donné en valeur exacte avec un radical simplifié, comme \(|3+4i| = 5\) ou \(|1+i| = \sqrt{2}\)
Le résultat est aussi représenté dans le plan complexe : on voit d’un coup d’œil où se trouvent \(z_1\), \(z_2\) et le résultat
Les parties réelles et imaginaires peuvent être décimales, négatives ou des fractions comme 3/4

Cette page traite les quatre opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique (avec le conjugué et le module). La forme trigonométrique ou exponentielle (avec le module et un argument) et la formule de Moivre ont leurs propres pages.

À quoi sert ce calcul ?

Les calculs de circuits en courant alternatif (électrotechnique et électronique)

Dans le courant alternatif d’une prise, la tension et l’intensité oscillent comme des ondes, et les composants d’un circuit décalent ces ondes dans le temps (le déphasage). En électricité, la méthode classique consiste à réunir cette « amplitude » et ce « décalage » dans un seul nombre complexe (l’impédance, notée avec \(j\)) : tout un circuit se résout alors avec de simples calculs de complexes.
Ces calculs font partie de toute formation en électrotechnique, du BTS au BUT GEII et aux écoles d’ingénieurs. Partout où circule du courant alternatif, du chargeur de téléphone à la centrale électrique, la conception repose sur les nombres complexes.

L’analyse des signaux en télécommunications et en audio (transformée de Fourier)

Les ondes, comme le son ou la radio, se décomposent grâce à la transformée de Fourier, un calcul qui utilise les nombres complexes, pour savoir « combien de chaque fréquence elles contiennent ». Les réseaux de téléphonie (Wi-Fi, 5G), la compression musicale, la réduction de bruit et la reconnaissance vocale enchaînent en interne d’énormes quantités de ces calculs.
La force des nombres complexes est de porter en un seul nombre l’amplitude et la phase d’une onde : en traitement du signal, on les utilise encore plus que les réels. La transformée de Fourier elle-même relève du supérieur, mais ce qui s’y passe, ce sont les produits et les sommes de complexes vus en terminale.

Piloter avions et robots (étude de la stabilité)

Pour concevoir des machines qui doivent amortir les oscillations et rester stables, comme les pilotes automatiques, les drones ou les robots, les ingénieurs regardent où se placent dans le plan complexe les solutions (des nombres complexes) de l’équation du système. Si leurs parties réelles sont négatives, les oscillations s’amortissent ; si l’une est positive, elles s’amplifient.
Dans ce domaine, la position des solutions dans le plan complexe décide directement si une machine peut voler en toute sécurité. L’automatique, qui étudie cette stabilité, s’apprend dans le supérieur.

Les rotations dans les jeux vidéo et l’image de synthèse

Si l’on voit un point \((x\,;\,y)\) du plan comme le nombre complexe \(x+yi\), multiplier par un complexe de module 1 fait tourner le point autour de l’origine. Par exemple, multiplier par \(i\) le fait tourner d’un quart de tour (90°). C’est exactement ce dont un jeu en 2D a besoin pour orienter un personnage ou un projectile.
Les quaternions, utilisés dans les jeux en 3D et dans les téléphones pour suivre leur orientation, étendent à trois dimensions cette idée de « rotation par les nombres complexes ».

Résoudre complètement les équations du deuxième et du troisième degré (mathématiques)

Une équation du second degré n’a pas de solution réelle quand son discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) est négatif. Mais dès qu’on étend les nombres aux nombres complexes, même \(x^2 = -1\) a pour solutions \(x = \pm i\), et toute équation polynomiale a des solutions (théorème de d’Alembert-Gauss).
Sans plus d’exception « pas de solution », non seulement les mathématiques mais aussi la physique et les sciences de l’ingénieur s’appuient sur les nombres complexes. Le calcul avec les complexes de terminale en est la porte d’entrée.

Formules et figures

Somme et différence de nombres complexes

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ somme de \(z_1\) et \(z_2\) \(=\) ① somme des parties réelles \(+\) ② somme des parties imaginaires, fois \(i\)

La formule en mots

① Les parties réelles et les parties en \(i\) se traitent séparément. À la somme des parties réelles, \(a+c\)

② on ajoute la somme des parties imaginaires, \(b+d\) multipliée par \(i\)

③ et on obtient la somme de \(z_1\) et \(z_2\)

Exemple simple

Calculons \((2+3i) + (4-i)\) (la partie imaginaire de \(4-i\) vaut \(-1\)) :

somme \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) parties réelles \(2+4\) \(+\) parties imaginaires \(3-1\), fois \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

L’idée clé

La différence se calcule exactement de la même façon : on soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires, d’où \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). L’astuce est de traiter \(i\) comme une lettre, par exemple \(x\), et de réduire les termes semblables. Pour additionner \(2x + 3\) et \(4x - 1\), on regroupe les termes en \(x\) et les nombres séparément. De la même façon, on regroupe les termes en \(i\) (la partie imaginaire) et les nombres (la partie réelle). Dans le plan complexe, la somme revient à « mettre deux vecteurs bout à bout », et les quatre points \(0\), \(z_1\), \(z_2\) et \(z_1+z_2\) forment un parallélogramme (voir la figure ci-dessus).

Produit de nombres complexes et \(i^2 = -1\)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ produit de \(z_1\) et \(z_2\) \(=\) ① partie réelle : \(ac\) moins \(bd\) \(+\) ② partie imaginaire : \(ad\) plus \(bc\), fois \(i\)

La formule en mots

① On développe comme en calcul littéral et on remplace \(i^2\) par \(-1\). On obtient la partie réelle \(ac - bd\)

② et la partie imaginaire \(ad + bc\) multipliée par \(i\).

③ En les additionnant, on obtient le produit de \(z_1\) et \(z_2\)

Exemple simple

Calculons \((1+2i)(3+4i)\) :

produit \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) partie réelle \(1 \times 3 - 2 \times 4\) \(+\) partie imaginaire \(1 \times 4 + 2 \times 3\), fois \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

L’idée clé

On développe exactement comme en calcul littéral : \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) (double distributivité). Une seule règle est propre aux nombres complexes : chaque fois que \(i \times i = i^2\) apparaît, on le remplace par \(-1\). C’est parce que \(i\) est défini comme le nombre dont le carré vaut \(-1\). Parmi les réels, tout carré est positif ou nul, donc \(x^2 = -1\) n’a pas de solution. En ajoutant ce nombre \(i\), on obtient un ensemble de nombres plus grand, les nombres complexes (noté \(\mathbb{C}\)), dans lequel toute équation du second degré a des solutions. Inutile d’apprendre la formule par cœur : il suffit à chaque fois de « développer, puis remplacer \(i^2\) par \(-1\) », et on trouve le même résultat.

Quotient de nombres complexes (multiplier par le conjugué)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ quotient de \(z_1\) par \(z_2\) \(=\) ① partie réelle : \(ac+bd\) divisé par \(c^2+d^2\) \(+\) ② partie imaginaire : \(bc-ad\) divisé par \(c^2+d^2\), fois \(i\)

La formule en mots

① On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(c-di\), le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient le réel \(c^2+d^2\), et on obtient la partie réelle \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② et la partie imaginaire \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) multipliée par \(i\).

③ En les additionnant, on obtient le quotient de \(z_1\) par \(z_2\)

Exemple simple

Calculons \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) (on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(3-4i\), le conjugué du dénominateur) :

quotient \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) partie réelle \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) partie imaginaire \(\dfrac{2}{25}\), fois \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

L’idée clé

Pourquoi multiplier par le conjugué ? Parce que \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\) : \(i\) disparaît proprement. On combine l’identité remarquable \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) et \(i^2 = -1\). Tant que \(i\) reste au dénominateur, on ne peut pas lire la forme algébrique \(a+bi\) (la partie réelle et la partie imaginaire) : il faut donc d’abord chasser \(i\) du dénominateur. C’est la même idée que pour rendre un dénominateur rationnel en seconde, quand on multiplie \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) en haut et en bas par \(\sqrt{2}\) pour enlever la racine du dénominateur. On ne peut pas diviser par \(z_2 = 0\) (parties réelle et imaginaire nulles). La règle « on ne divise pas par 0 » vaut aussi pour les nombres complexes.

Module d’un nombre complexe \(|z|\)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② module de \(z\) \(=\) ① racine carrée de (partie réelle au carré + partie imaginaire au carré)

La formule en mots

① Pour un nombre complexe \(z = a+bi\), la racine carrée de la partie réelle au carré plus la partie imaginaire au carré, \(\sqrt{a^2+b^2}\)

② est le module de \(z\)

Exemple simple

Le module de \(z = 3+4i\) est

module de \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

L’idée clé

Le module \(|z|\) est la distance entre l’origine et le point d’affixe \(z\) dans le plan complexe (voir la figure ci-dessus). Le point est à \(a\) en abscisse et \(b\) en ordonnée : la distance se calcule avec le théorème de Pythagore. C’est la valeur absolue d’un réel (sa distance à 0 sur la droite graduée) étendue au plan ; c’est pourquoi on garde la même notation \(|z|\). Avec le conjugué \(\overline{z} = a-bi\), on a la relation \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). C’est pour cela que, dans une division, multiplier par le conjugué transforme le dénominateur en \(|z_2|^2\), un réel strictement positif. Parfois la racine disparaît, comme \(\sqrt{25} = 5\), parfois elle reste, comme \(\sqrt{2}\). Ce calculateur simplifie aussi les radicaux, comme \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), et donne des valeurs exactes.

Pour calculer avec les nombres complexes, on traite \(i\) comme une lettre et on remplace \(i^2\) par \(-1\) chaque fois qu’il apparaît. Seule la division demande une étape de plus : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre celui-ci réel, puis on sépare partie réelle et partie imaginaire.

Symboles et termes

Symboles

\(i\)	i	Le nombre défini par \(i^2 = -1\). La lettre vient de « imaginaire ». (En électricité, on écrit \(j\) à la place, car \(i\) désigne l’intensité du courant.)
\(z\)	z	La lettre habituelle pour un nombre complexe. Par convention, on utilise \(z\) et \(w\) pour les complexes, pour les distinguer des variables réelles \(x\) et \(y\).
\(z_1,\ z_2\)	z indice 1, z indice 2	Le premier et le deuxième nombre complexe. Le petit nombre en bas à droite (l’indice) n’est qu’un numéro. Il ne faut pas le confondre avec un exposant, écrit en haut à droite.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	Sur cette page, \(a\) est la partie réelle et \(b\) la partie imaginaire de \(z_1 = a+bi\) ; \(c\) est la partie réelle et \(d\) la partie imaginaire de \(z_2 = c+di\). Par convention, les premières lettres de l’alphabet désignent des nombres fixés.
\(\overline{z}\)	z barre	Le conjugué de \(z\). Pour \(z = a+bi\), c’est \(a-bi\) : seul le signe de la partie imaginaire change. La barre au-dessus désigne « le partenaire » de \(z\).
\(\|z\|\)	module de z	Le module de \(z\) : la distance entre l’origine et \(z\) dans le plan complexe, calculée par \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). On l’écrit avec deux barres verticales, comme la valeur absolue d’un réel.
\(\mathrm{Re}(z),\ \mathrm{Im}(z)\)	partie réelle de z, partie imaginaire de z	Les notations françaises de la partie réelle et de la partie imaginaire : pour \(z = a+bi\), \(\mathrm{Re}(z) = a\) et \(\mathrm{Im}(z) = b\).

Termes

nombre complexe	Un nombre de la forme \(a+bi\), où \(a\) et \(b\) sont réels. L’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes contient les réels, et toute équation du second degré y a des solutions. On l’étudie en terminale (option maths expertes, 17-18 ans).
nombre imaginaire	Un nombre complexe qui n’est pas réel, c’est-à-dire \(a+bi\) avec une partie imaginaire \(b\) non nulle. Malgré le nom, ces nombres sont très utiles dans des calculs bien réels, en électricité comme en physique.
partie réelle	Le \(a\) de \(a+bi\), noté \(\mathrm{Re}(z)\). Dans le plan complexe, c’est l’abscisse du point, sur l’axe horizontal (l’axe des réels).
partie imaginaire	Le \(b\) de \(a+bi\) (sans le \(i\)), noté \(\mathrm{Im}(z)\). Dans le plan complexe, c’est l’ordonnée du point, sur l’axe vertical (l’axe des imaginaires purs). Par exemple, la partie imaginaire de \(3-2i\) est \(-2\) (un réel, pas \(-2i\)).
imaginaire pur	Un nombre complexe de partie réelle nulle, comme \(2i\) ou \(-3i\). Dans le plan complexe, il se trouve sur l’axe des imaginaires purs.
conjugué	Pour \(z = a+bi\), le nombre \(\overline{z} = a-bi\). Sa propriété essentielle : le produit \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) est un réel positif ou nul. C’est pour cela qu’on s’en sert pour rendre réel le dénominateur d’un quotient (multiplication par la « quantité conjuguée »).
module	La distance \(\sqrt{a^2+b^2}\) entre l’origine et le point d’affixe \(z\) dans le plan complexe. Elle prolonge la valeur absolue d’un réel (sa distance à 0 sur la droite graduée) au plan.
valeur absolue	Pour un nombre réel, sa distance à 0 sur la droite graduée (\(\|-5\| = 5\)). Pour un nombre complexe, on parle de module ; pour un réel, les deux coïncident.
plan complexe	Un plan muni d’un repère orthonormé où le nombre \(a+bi\) est représenté par le point de coordonnées \((a\,;\,b)\) : on dit que \(z\) est l’affixe de ce point. La partie réelle est en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. Cette page s’en sert pour « voir » les nombres complexes.
axe des réels	L’axe horizontal du plan complexe, où se trouvent les réels. Un réel est un nombre complexe de partie imaginaire nulle : il est sur l’axe des réels.
axe des imaginaires purs	L’axe vertical du plan complexe, où se trouvent les imaginaires purs (les complexes de partie réelle nulle, comme \(2i\)).
quantité conjuguée	Pour une fraction dont le dénominateur est complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre celui-ci réel. C’est la version complexe de la technique qui enlève une racine carrée d’un dénominateur.
développer	Supprimer les parenthèses d’une expression pour l’écrire comme une somme de termes. Comme dans \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\), chaque terme d’une parenthèse multiplie chaque terme de l’autre.
termes semblables	Des termes qui ont la même partie littérale. Dans une somme ou une différence de nombres complexes, on regroupe d’un côté les termes en \(i\) (la partie imaginaire) et de l’autre les termes sans \(i\) (la partie réelle).
discriminant	Le nombre \(\Delta = b^2-4ac\), qui indique le type de solutions de l’équation \(ax^2+bx+c=0\). Si \(\Delta < 0\), il n’y a pas de solution réelle, mais il y a deux solutions complexes \(x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\). C’est souvent par là qu’on rencontre les nombres complexes pour la première fois.
forme algébrique	L’écriture \(z = a+bi\) d’un nombre complexe, avec \(a\) et \(b\) réels (on écrit aussi \(a+ib\)). Elle est unique : deux complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.

Développer et réduire une expression (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir développer un produit de parenthèses, comme \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Savoir utiliser l’identité remarquable \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) (c’est exactement pour cela que multiplier par le conjugué donne un réel) Savoir réduire des termes semblables, comme \(2x + 3x = 5x\)
La racine carrée (4e-seconde, 13-16 ans)	Savoir que la racine carrée est le nombre positif dont le carré est le nombre sous le radical, comme \(\sqrt{25} = 5\) Savoir simplifier un radical en sortant les facteurs carrés, comme \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
Rendre un dénominateur rationnel (seconde, 15-16 ans)	Savoir enlever une racine du dénominateur en multipliant en haut et en bas par le même nombre, comme \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (la multiplication par la quantité conjuguée en est la version complexe)
Le repère du plan et le théorème de Pythagore (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir placer le point \((a\,;\,b)\) dans un repère (le plan complexe est un repère avec la partie réelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée) Savoir, grâce au théorème de Pythagore, que la distance entre l’origine et le point \((a\,;\,b)\) vaut \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) (c’est exactement le module d’un nombre complexe)
L’équation du second degré et le discriminant (première, 16-17 ans)	Savoir utiliser les formules des racines \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) Savoir que quand le discriminant \(\Delta = b^{2}-4ac\) est négatif, il n’y a pas de solution réelle (c’est là qu’apparaissent les nombres imaginaires)
Le calcul avec les fractions (6e-4e, 11-14 ans)	Savoir simplifier des fractions et les réduire au même dénominateur (les résultats sont donnés en fractions irréductibles, comme \(\dfrac{11}{25}\)) Savoir écrire une fraction en nombre décimal (\(\dfrac{11}{25}\) en 0,44)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour les quatre opérations sur les nombres complexes

Partie réelle a de z₁	1
Partie imaginaire b de z₁	2
Partie réelle c de z₂	3
Partie imaginaire d de z₂	4
Nombre complexe z₁	=COMPLEXE(B1;B2)
Nombre complexe z₂	=COMPLEXE(B3;B4)
Somme z₁ + z₂	=COMPLEXE.SOMME(B5;B6)
Différence z₁ − z₂	=COMPLEXE.DIFFERENCE(B5;B6)
Produit z₁ × z₂	=COMPLEXE.PRODUIT(B5;B6)
Quotient z₁ ÷ z₂	=COMPLEXE.DIV(B5;B6)

Tableau pour le conjugué et le module

Partie réelle a	3
Partie imaginaire b	4
Nombre complexe z	=COMPLEXE(B1;B2)
Conjugué	=COMPLEXE.CONJUGUE(B3)
Module \|z\|	=COMPLEXE.MODULE(B3)

Tableau pour vérifier la division (multiplication par la quantité conjuguée)

Partie réelle a de z₁	1
Partie imaginaire b de z₁	2
Partie réelle c de z₂	3
Partie imaginaire d de z₂	4
Dénominateur c² + d²	=B3^2+B4^2
Partie réelle du quotient (ac + bd) ÷ (c² + d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Partie imaginaire du quotient (bc − ad) ÷ (c² + d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel dispose de toute une série de fonctions pour les nombres complexes. COMPLEXE fabrique un nombre complexe (un texte comme « 1+2i ») à partir des parties réelle et imaginaire, qu’on passe ensuite à COMPLEXE.SOMME (somme), COMPLEXE.DIFFERENCE (différence), COMPLEXE.PRODUIT (produit) ou COMPLEXE.DIV (quotient).
Le premier tableau utilise z₁ = 1+2i et z₂ = 3+4i. On obtient « 4+6i » pour la somme, « -2-2i » pour la différence, « -5+10i » pour le produit et « 0,44+0,08i » pour le quotient (ces résultats sont des textes, pas des nombres).
Le deuxième tableau utilise z = 3+4i. Le conjugué est « 3-4i » et le module vaut 5 (seule COMPLEXE.MODULE renvoie un nombre ordinaire).
Le troisième tableau vérifie la division sans les fonctions complexes, en appliquant directement la formule du conjugué. La partie réelle du quotient vaut 0,44 (= 11/25) et la partie imaginaire 0,08 (= 2/25), comme avec COMPLEXE.DIV. « ^ » est une puissance, « * » une multiplication et « / » une division.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour les quatre opérations sur les nombres complexes

Partie réelle a de z₁	1
Partie imaginaire b de z₁	2
Partie réelle c de z₂	3
Partie imaginaire d de z₂	4
Nombre complexe z₁	=COMPLEXE(B1;B2)
Nombre complexe z₂	=COMPLEXE(B3;B4)
Somme z₁ + z₂	=COMPLEXE.SOMME(B5;B6)
Différence z₁ − z₂	=COMPLEXE.DIFFERENCE(B5;B6)
Produit z₁ × z₂	=COMPLEXE.PRODUIT(B5;B6)
Quotient z₁ ÷ z₂	=COMPLEXE.DIV(B5;B6)

Tableau pour le conjugué et le module

Partie réelle a	3
Partie imaginaire b	4
Nombre complexe z	=COMPLEXE(B1;B2)
Conjugué	=COMPLEXE.CONJUGUE(B3)
Module \|z\|	=COMPLEXE.MODULE(B3)

Tableau pour vérifier la division (multiplication par la quantité conjuguée)

Partie réelle a de z₁	1
Partie imaginaire b de z₁	2
Partie réelle c de z₂	3
Partie imaginaire d de z₂	4
Dénominateur c² + d²	=B3^2+B4^2
Partie réelle du quotient (ac + bd) ÷ (c² + d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Partie imaginaire du quotient (bc − ad) ÷ (c² + d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Google Sheets réglé en français propose les mêmes fonctions complexes qu’Excel (COMPLEXE, COMPLEXE.SOMME, COMPLEXE.DIFFERENCE, COMPLEXE.PRODUIT, COMPLEXE.DIV, COMPLEXE.CONJUGUE et COMPLEXE.MODULE) : les mêmes formules fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les parties réelles et imaginaires par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction
import math

# Parties réelles et imaginaires de z1 = a + bi et z2 = c + di (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Somme et différence : on regroupe séparément les parties réelles et les parties imaginaires
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Produit : la formule (ac-bd) + (ad+bc)i, obtenue en développant et en remplaçant i^2 par -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Quotient : on multiplie par le conjugué. Le dénominateur devient le réel c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Module du quotient : racine carrée de (partie réelle au carré + partie imaginaire au carré)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Écriture a+bi (si la partie imaginaire est négative, on l’affiche comme une soustraction, par exemple -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Somme : {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Différence : {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Produit : {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Quotient : {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Carré du module du quotient (fraction) : {abs_squared}")
print(f"Module du quotient (décimal) : {abs_value}")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple utilise z₁ = 1+2i et z₂ = 3+4i. Le quotient s’affiche « 11/25 + 2/25i », et le carré de son module « 1/5 » (le module vaut donc √5/5 ≈ 0,447). Modifiez les parties réelles et imaginaires, puis relancez. Si vous n’avez pas besoin de valeurs exactes, Python a aussi un type complexe intégré : on peut calculer directement avec j, par exemple (1+2j)/(3+4j).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Somme et différence de nombres complexes

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Produit de nombres complexes et \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Quotient de nombres complexes (multiplier par le conjugué)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Module d’un nombre complexe \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

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  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques (nombres complexes). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour les deux nombres complexes z1 = 1 + 2i et z2 = 3 + 4i, donne chacun des éléments suivants :
1. La somme z1 + z2, la différence z1 − z2 et le produit z1 × z2 (sous forme algébrique a+bi)
2. Le quotient z1 ÷ z2 (sous forme algébrique avec des fractions irréductibles, avec les étapes de la multiplication par le conjugué du dénominateur)
3. Le conjugué et le module du quotient (le module en valeur exacte avec un radical simplifié et en valeur décimale)

En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer exactement les parties réelles et imaginaires, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule