Entrez les coefficients a, b et c du premier membre ax² + bx + c, et le symbole qui le compare à 0. L’inéquation ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coefficients directement dedans.
Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Un a vide compte pour 1 (x² veut dire 1x²), et un b ou un c vide compte pour 0. Si a vaut 0, l’inéquation est résolue comme une inéquation du premier degré.
Résultat et graphique
Saisissez les coefficients a, b et c et le symbole d’inégalité dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». L’ensemble des solutions, les étapes et le graphique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et graphiques
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Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(>0\) : « à l’extérieur des racines »)
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Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(<0\) : « entre les racines »)
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Le discriminant (il décide de la forme des solutions)
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Coefficient de \(x^{2}\) négatif (multiplier les deux membres par \(-1\) pour le rendre positif)
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Trouvez l’ensemble des solutions d’une inéquation du second degré comme \(ax^{2}+bx+c>0\) en entrant simplement les coefficients et le symbole. Les quatre symboles \(>\), \(\geqslant\), \(<\) et \(\leqslant\) sont pris en charge
- Les étapes distinguent les cas selon le signe du discriminant \(D=b^{2}-4ac\) (noté \(\Delta\) en France), ligne par ligne, comme dans un cours. En plus de « à l’extérieur des racines » et « entre les racines », le calculateur traite les réponses piégeuses comme \(x \neq \alpha\), aucune solution et tous les réels
- Quand le coefficient de \(x^{2}\) est négatif, les étapes montrent aussi la multiplication des deux membres par \(-1\) et le changement de sens de l’inéquation
- Les bornes sont données en valeurs exactes avec des radicaux simplifiés, comme \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), avec une valeur approchée quand elles sont irrationnelles. Les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4
- Un graphique en couleurs de la parabole et de l’ensemble des solutions montre que « les solutions de \(y>0\) sont les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses »
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Le second membre est fixé à 0. S’il y a une expression à droite, comme dans \(x^{2}+2x > 3x+1\), faites d’abord tout passer à gauche (ici, entrez \(x^{2}-x-1>0\)). Si vous entrez 0 pour le coefficient \(a\) de \(x^{2}\), ce n’est pas une inéquation du second degré : elle est résolue comme l’inéquation du premier degré \(bx+c>0\) (si \(b\) vaut aussi 0, il ne reste qu’une constante et la réponse est « tous les réels » ou « aucune solution »).
À quoi sert ce calcul ?
Pendant combien de temps une balle lancée vers le haut dépasse une hauteur donnée (sport et physique)
La hauteur d’un objet lancé verticalement vers le haut est une fonction du second degré du temps \(t\) en secondes : \(h = v_{0}t - 4{,}9t^{2}\) mètres, où \(v_{0}\) est la vitesse de départ en m/s. Chercher « pendant quel intervalle de temps est-il au moins à telle hauteur ? » donne directement une inéquation du second degré.
Pour une balle lancée à 20 m/s, le temps pendant lequel elle est à au moins 15 m de haut s’obtient avec \(20t - 4{,}9t^{2} \geqslant 15\), soit \(4{,}9t^{2} - 20t + 15 \leqslant 0\) : d’environ 0,99 s à 3,09 s après le lancer, soit à peu près 2,1 secondes. La résistance de l’air est négligée, mais cela donne un ordre d’idée du temps pendant lequel un feu d’artifice reste visible ou une chandelle reste en l’air.
Trouver la vitesse maximale pour s’arrêter à temps (sécurité routière)
La distance d’arrêt d’une voiture est la distance parcourue pendant le temps de réaction (distance de réaction) plus la distance parcourue pendant le freinage (distance de freinage). La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse, mais la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse : la distance d’arrêt est donc une fonction du second degré de la vitesse.
Avec un temps de réaction d’une seconde et un coefficient d’adhérence pneu-route de 0,7, la distance d’arrêt vaut environ \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72}\) mètres (\(v\) en m/s). Pour s’arrêter en moins de 40 m de visibilité, on résout \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72} \leqslant 40\) : la vitesse ne doit pas dépasser environ 17,5 m/s, soit à peu près 63 km/h. Les limitations de vitesse et les distances de sécurité reposent sur ce type de relation du second degré.
Trouver les prix qui rapportent de l’argent (commerce)
Augmenter le prix augmente le bénéfice par article, mais on en vend moins. Quand le nombre d’articles vendus est une fonction affine du prix, le bénéfice (bénéfice par article × nombre vendu − frais fixes) est une fonction du second degré du prix, et « les prix pour lesquels le bénéfice est positif ou nul » s’obtiennent avec une inéquation du second degré.
Prenons un article qui coûte 3 € à produire, dont on vend \(1000 - 200p\) exemplaires au prix de \(p\) euros, avec 100 € de frais fixes. En résolvant \((p-3)(1000-200p) - 100 \geqslant 0\), on trouve un bénéfice pour un prix compris entre environ 3,30 € et 4,70 €. L’intuition « trop bon marché ou trop cher, on perd de l’argent » se vérifie en chiffres.
Obtenir une aire suffisante avec une longueur de matériau fixée (conception, bricolage, agriculture)
Pour un rectangle de périmètre fixé, choisir la longueur fixe aussi la largeur : l’aire est une fonction du second degré de la longueur. « Quelles dimensions donnent au moins l’aire voulue ? » est une inéquation du second degré.
On veut entourer un massif rectangulaire avec 40 m de clôture et obtenir au moins 91 m². Avec une longueur de \(x\) m, la largeur vaut \(20-x\) m, d’où \(x(20-x) \geqslant 91\) : la longueur doit être comprise entre 7 m et 13 m. On voit aussi que plus on se rapproche d’un carré, plus l’aire est grande (ici, au maximum 100 m² pour 10 m).
Trouver la largeur où une arche est assez haute (construction et transport)
La section d’un pont en arc ou d’un tunnel en forme de parabole se décrit par une fonction du second degré. Chercher « à quelle distance du centre un véhicule haut peut passer » revient exactement à résoudre une inéquation du second degré.
Supposons une arche de 30 m de large et de 4,5 m de haut au centre, d’équation \(y = -0{,}02x^{2} + 4{,}5\) (\(x\) est la distance au centre). La partie d’au moins 4 m de haut s’obtient avec \(-0{,}02x^{2} + 4{,}5 \geqslant 4\) : 5 m de part et d’autre du centre, soit 10 m de large. Réserver aux poids lourds la voie centrale ou afficher une hauteur limite repose sur ce genre de calcul.
Formules et graphiques
Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(>0\) : « à l’extérieur des racines »)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{ou}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(x\) : solution
\(<\)
①
\(\alpha\) : plus petite racine
\(\ \text{ou}\ \)
②
\(\beta\) : plus grande racine
\(<\)
\(x\) : solution
La formule en mots
①
Notons \(\alpha < \beta\) les deux racines de l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\). La partie inférieure à la
\(\alpha\) : plus petite racine
et
②
la partie supérieure à la
\(\beta\) : plus grande racine
(c’est-à-dire l’extérieur des racines)
③
donnent la
\(x\) : solution
(car une parabole tournée vers le haut est au-dessus de l’axe des abscisses à l’extérieur des deux points d’intersection)
Exemple simple
Les solutions de \(x^{2}-3x+2>0\) (comme \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\), les racines de \(=0\) sont \(x=1\) et \(x=2\)) sont
\(x\) : solution
\(<\)
plus petite racine (1)
\(\ \text{ou}\ \)
plus grande racine (2)
\(<\)
\(x\) : solution
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{ou}\ 2 < x\)
\(S = \left]-\infty\,;\,1\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[\)
L’idée clé
Voyez une inéquation du second degré non pas comme « un calcul » mais comme « lire où la courbe est au-dessus (ou au-dessous) de l’axe des abscisses » : il y a beaucoup moins à retenir.
Une parabole dont le coefficient de \(x^{2}\) est positif est tournée vers le haut (en forme de vallée). Quand elle coupe l’axe des abscisses en deux points, seule la partie du milieu, avec le fond de la vallée, passe sous l’axe, et les parties extérieures sont au-dessus. Les solutions de \(>0\) sont donc à l’extérieur des racines, et celles de \(<0\) entre les racines. C’est la règle du signe du trinôme apprise en première : \(ax^{2}+bx+c\) est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines, ce qu’on résume dans un tableau de signes.
« À l’extérieur », ce sont deux intervalles séparés : on écrit \(x<1\) ou \(2<x\), soit \(S = ]-\infty\,;\,1[\, \cup\, ]2\,;\,+\infty[\). Les regrouper en un seul encadrement comme \(2<x<1\) serait faux, car cela voudrait dire que \(x\) est à la fois supérieur à 2 et inférieur à 1.
Avec une inégalité large, comme \(\geqslant 0\), les bornes sont comprises : \(x \leqslant 1\) ou \(2 \leqslant x\).
Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(<0\) : « entre les racines »)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(\alpha\) : plus petite racine
\(<\)
③
\(x\) : solution
\(<\)
②
\(\beta\) : plus grande racine
La formule en mots
①
La partie supérieure à la
\(\alpha\) : plus petite racine
et
②
inférieure à la
\(\beta\) : plus grande racine
(c’est-à-dire entre les racines)
③
donne la
\(x\) : solution
(car une parabole tournée vers le haut passe sous l’axe des abscisses entre les deux points d’intersection)
Exemple simple
Les solutions de \(x^{2}-3x+2<0\) (les racines de \(=0\) sont toujours \(x=1\) et \(x=2\)) sont
plus petite racine (1)
\(<\)
\(x\) : solution
\(<\)
plus grande racine (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
\(S = \left]1\,;\,2\right[\)
L’idée clé
Avec le même \(x^{2}-3x+2\), il suffit de changer le sens de l’inéquation pour que les solutions passent de « l’extérieur » à « l’intérieur ». Si le premier membre ne change pas, les bornes (les racines de \(=0\)) sont toujours les mêmes ; seul change le côté des bornes que l’on garde.
\(1<x<2\) désigne les \(x\) qui vérifient à la fois \(1<x\) et \(x<2\) : « supérieur à 1 et inférieur à 2 », c’est-à-dire \(x \in ]1\,;\,2[\). Cette façon de regrouper deux inégalités s’appelle un encadrement : la forme \(A<B<C\) les écrit en une seule ligne.
Avec une inégalité large, comme \(\leqslant 0\), on obtient \(1 \leqslant x \leqslant 2\), soit \([1\,;\,2]\) : les bornes 1 et 2 sont aussi solutions.
Le discriminant (il décide de la forme des solutions)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(D\) : discriminant
\(=\)
①
\(b^{2}\) : carré du coefficient de \(x\)
\(-\)
②
\(4ac\) : 4 fois le coefficient de \(x^{2}\) fois la constante
La formule en mots
①
Au
\(b^{2}\) : carré du coefficient de \(x\)
②
on retranche
\(4ac\) : 4 fois le coefficient \(a\) de \(x^{2}\) fois la constante \(c\)
③
et on obtient le
\(D\) : discriminant
(son signe suffit à dire comment la parabole rencontre l’axe des abscisses, donc la forme des solutions)
Exemple simple
Le discriminant de \(x^{2}-3x+2\) est
\(D\) : discriminant
\(=\)
carré de \(-3\)
\(-\)
4 fois 1 fois 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
L’idée clé
Le discriminant (noté \(\Delta\) dans les manuels français) indique combien de fois la parabole rencontre l’axe des abscisses : en deux points si \(D>0\), en un seul point de contact si \(D=0\), et jamais si \(D<0\). Même pour un trinôme qu’on ne sait pas factoriser, ce seul nombre décide de la forme des solutions.
Quand le coefficient de \(x^{2}\) est positif (parabole tournée vers le haut), les quatre symboles donnent :
\(D>0\) (deux points d’intersection) : \(>0\) et \(\geqslant 0\) donnent l’extérieur des racines ; \(<0\) et \(\leqslant 0\) donnent l’intervalle entre les racines.
\(D=0\) (un point de contact en \(x=\alpha\)) : \(>0\) donne \(x \neq \alpha\) (seul le point de contact est exclu), \(\geqslant 0\) donne tous les réels, \(<0\) n’a aucune solution, et \(\leqslant 0\) donne le seul point \(x=\alpha\).
\(D<0\) (aucun point commun) : toute la parabole est au-dessus de l’axe des abscisses, donc \(>0\) et \(\geqslant 0\) donnent tous les réels, et \(<0\) et \(\leqslant 0\) n’ont aucune solution.
Quand \(D=0\) ou \(D<0\), la réponse n’est pas un intervalle, et ces cas sont souvent oubliés en contrôle. Esquissez la courbe et demandez-vous « une partie de la parabole passe-t-elle sous l’axe des abscisses ? » : vous ne vous tromperez pas.
Coefficient de \(x^{2}\) négatif (multiplier les deux membres par \(-1\) pour le rendre positif)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(ax^{2}+bx+c\) : trinôme avec \(a\) négatif
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\) : tous les signes changés (coefficient de \(x^{2}\) positif)
\(> 0\)
La formule en mots
①
L’inéquation où le
\(ax^{2}+bx+c\) : trinôme dont le coefficient \(a\) de \(x^{2}\) est négatif
est strictement négatif
②
équivaut à celle où le
\(-ax^{2}-bx-c\) : le trinôme avec tous les signes changés (coefficient de \(x^{2}\) positif)
est strictement positif (on a multiplié les deux membres par le nombre négatif \(-1\) : le sens de l’inégalité change aussi)
Exemple simple
En multipliant les deux membres de \(-x^{2}+4x-3 \geqslant 0\) par \(-1\), on obtient
\(-x^{2}+4x-3\) (coefficient de \(x^{2}\) : \(-1\))
\(\geqslant 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (coefficient de \(x^{2}\) : \(1\))
\(\leqslant 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \geqslant 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \leqslant 0\)
\((x-1)(x-3) \leqslant 0\)
\(1 \leqslant x \leqslant 3\)
L’idée clé
Si le coefficient de \(x^{2}\) reste négatif, la parabole est tournée vers le bas (en forme de colline), et « l’extérieur » et « l’intérieur » s’inversent, ce qui prête à confusion. En multipliant d’abord les deux membres par \(-1\) pour obtenir une parabole tournée vers le haut, il n’y a plus qu’un seul schéma à retenir. (Avec la règle du signe du trinôme, on peut aussi garder \(a\) négatif : le trinôme est alors négatif à l’extérieur des racines.)
Dans une inéquation, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Par exemple, en multipliant \(2<3\) par \(-1\), on obtient \(-2>-3\) : changer les signes inverse la gauche et la droite sur la droite graduée. Ce problème n’existe pas avec les équations ; il ne concerne que les inéquations.
Multiplier par \(-1\) ne change pas le discriminant \(D\) (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). Dans l’exemple, \(-x^{2}+4x-3\) et \(x^{2}-4x+3\) ont tous les deux \(D=4\).
Pour résoudre une inéquation du second degré, on rend d’abord positif le coefficient de \(x^{2}\) (s’il est négatif, on multiplie les deux membres par \(-1\) et on change le sens de l’inégalité), puis on distingue les cas selon le signe du discriminant \(D=b^{2}-4ac\). Si \(D>0\), \(>0\) donne l’extérieur des racines et \(<0\) l’intervalle entre les racines ; si \(D=0\) ou \(D<0\), la réponse peut être « tous les réels », « aucune solution » ou « un seul point ». Imaginez une parabole tournée vers le haut et lisez où elle est au-dessus de l’axe des abscisses : tous les cas se traitent de la même façon.
Symboles et termes
Symboles
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Les coefficients de l’inéquation \(ax^{2}+bx+c>0\) : \(a\) est le coefficient de \(x^{2}\), \(b\) celui de \(x\), et \(c\) le terme constant. Par convention, les premières lettres de l’alphabet désignent des nombres donnés à l’avance. |
| \(x\) | x | L’inconnue. Une inéquation du second degré demande « pour quelles valeurs de \(x\) est-elle vraie ? » : la réponse est un ensemble de nombres (souvent des intervalles), pas un seul nombre. |
| \(D\) | D | Le discriminant, \(b^{2}-4ac\) (initiale de « discriminant » ; en France on écrit presque toujours \(\Delta\)). Son signe suffit à dire comment la parabole rencontre l’axe des abscisses, donc la forme des solutions. |
| \(\alpha,\ \beta\) | alpha, bêta | Les noms donnés aux deux racines de l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\) (on note aussi \(x_1\) et \(x_2\)). Ce sont les deux premières lettres de l’alphabet grec, et par convention \(\alpha < \beta\). Dans une inéquation du second degré, ce sont les bornes de l’ensemble des solutions. |
| \(>,\ <\) | strictement supérieur à, strictement inférieur à | Les symboles d’inégalité stricte. \(A>B\) signifie « \(A\) est strictement supérieur à \(B\) » et \(A<B\) « \(A\) est strictement inférieur à \(B\) » ; le côté ouvert est toujours tourné vers le plus grand nombre. Les bornes ne sont pas solutions. |
| \(\geqslant,\ \leqslant\) | supérieur ou égal à, inférieur ou égal à | Les symboles d’inégalité large. \(A \geqslant B\) signifie « \(A\) est supérieur ou égal à \(B\) » et \(A \leqslant B\) « \(A\) est inférieur ou égal à \(B\) ». Les bornes sont aussi solutions. En France, on les écrit avec un trait incliné (⩾, ⩽) ; les formes ≥, ≤ et, au Japon, ≧, ≦ ont le même sens. |
| \(\neq\) | différent de | Le symbole « n’est pas égal à ». \(x \neq 3\) signifie « \(x\) peut prendre toute valeur sauf 3 ». Dans les inéquations du second degré, cette forme apparaît quand la parabole touche l’axe des abscisses (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | racine carrée | Le symbole du nombre positif dont le carré est le nombre sous le radical (la racine carrée). \(\sqrt{5}\) est « le nombre positif dont le carré vaut 5 », environ 2,236. Il viendrait d’une lettre r stylisée, pour le latin radix, « racine ». Il apparaît quand les bornes ne tombent pas juste. |
| \(\Longleftrightarrow\) | équivaut à | Le symbole d’équivalence : \(P \Longleftrightarrow Q\) signifie « quand \(P\) est vraie, \(Q\) est vraie, et inversement ». Quand on transforme une inéquation, il faut garder cette équivalence (pour que les solutions ne changent pas). |
| \(y\) | y (i grec) | La valeur de la fonction du second degré \(y=ax^{2}+bx+c\), c’est-à-dire la « hauteur » de la parabole. Résoudre \(ax^{2}+bx+c>0\), c’est chercher les \(x\) pour lesquels cette hauteur est strictement positive (la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses). |
Termes
| inéquation du second degré | Une inéquation qui contient un terme en \(x^{2}\), comme \(ax^{2}+bx+c>0\). La réponse est un ensemble de valeurs de \(x\), pas un seul nombre. On l’étudie en première (16-17 ans), avec le signe du trinôme. |
| inéquation | Une inégalité avec une inconnue, écrite avec \(>\), \(<\), \(\geqslant\) ou \(\leqslant\). Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change pas son sens, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif l’inverse. |
| fonction du second degré | Une fonction de la forme \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)), aussi appelée fonction polynôme du second degré. Sa courbe est une parabole. Résoudre une inéquation du second degré revient à lire où cette courbe est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses. |
| parabole | La courbe lisse et symétrique d’une fonction du second degré. Une balle lancée en biais suit cette forme. |
| tournée vers le haut | Se dit d’une parabole en forme de vallée (les deux branches vers le haut). C’est le cas quand le coefficient de \(x^{2}\) est positif. Quand il est négatif, la parabole est en forme de colline : elle est tournée vers le bas. On parle aussi de fonction convexe (vers le haut) ou concave (vers le bas). |
| discriminant | \(D=b^{2}-4ac\), noté \(\Delta\) en France. Il indique combien de racines réelles a l’équation (combien de fois la parabole rencontre l’axe des abscisses) : 2 si \(D>0\), 1 (une racine double) si \(D=0\), et 0 si \(D<0\). |
| racine réelle | Une solution qui est un nombre réel, un nombre ordinaire de la droite graduée. Si \(D<0\), il n’y a pas de racine réelle, et la parabole ne rencontre pas l’axe des abscisses. |
| racine double | La solution quand \(D=0\). Deux racines égales se confondent, comme dans \((x-3)^{2}=0\), et la parabole touche l’axe des abscisses en un point. |
| formules des racines | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\). Elles résolvent les équations du second degré même quand on ne sait pas factoriser, et dans les inéquations elles donnent les bornes. |
| factorisation | L’écriture d’une expression sous forme de produit, comme \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). Dans une inéquation du second degré, si l’on sait factoriser, on voit les bornes au premier coup d’œil (et on peut dresser un tableau de signes). |
| borne | Une valeur où commence ou finit l’ensemble des solutions. Dans une inéquation du second degré, ce sont les racines de \(ax^{2}+bx+c=0\), les abscisses des points où la parabole rencontre l’axe des abscisses. Elles sont comprises avec \(\geqslant\) ou \(\leqslant\) (crochet fermé) et exclues avec \(>\) ou \(<\) (crochet ouvert). |
| ensemble des solutions | Toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’inéquation vraie, souvent noté \(S\). Ce peut être un intervalle, comme \(]1\,;\,2[\), ou une réunion de deux intervalles, comme \(]-\infty\,;\,1[\, \cup\, ]2\,;\,+\infty[\). |
| encadrement | Deux inégalités vérifiées en même temps, écrites en une seule ligne. Les \(x\) qui vérifient à la fois \(1<x\) et \(x<2\) s’écrivent \(1<x<2\). |
| aucune solution | Aucun \(x\) ne rend l’inéquation vraie (\(S = \varnothing\)). C’est le cas par exemple de \(x^{2}+2x+5<0\) : une parabole tournée vers le haut qui ne passe jamais sous l’axe des abscisses. |
| tous les réels | L’inéquation est vraie pour tout \(x\) (\(S = \mathbb{R}\)). Avec un coefficient de \(x^{2}\) positif, c’est la réponse pour \(>0\) ou \(\geqslant 0\) quand \(D<0\) (la parabole ne rencontre pas l’axe). Quand \(D=0\), \(\geqslant 0\) donne aussi tous les réels, car le point de contact compte grâce à l’égalité. (Avec le même \(D<0\), \(<0\) ou \(\leqslant 0\) n’a aucune solution.) |
| droite graduée | Une droite sur laquelle on place les nombres. Pour représenter les solutions d’une inéquation du second degré, on trace l’intervalle en trait épais, avec un point plein (ou un crochet fermé) pour une borne comprise et un point creux (ou un crochet ouvert) pour une borne exclue. |
| transposition | Faire passer un terme d’une inéquation ou d’une équation dans l’autre membre en changeant son signe. S’il y a une expression dans le second membre, on la fait passer à gauche pour que le second membre soit 0 avant de résoudre. |
| terme constant | Un terme sans \(x\), comme le 5 de \(x^{2}+3x+5\). On l’appelle constant parce qu’il ne change pas, quelle que soit la valeur de \(x\). |
| coefficient | Le nombre placé devant une lettre. Dans \(3x^{2}\), le coefficient est 3. Quand aucun nombre n’est écrit, comme dans \(x^{2}\), le coefficient vaut 1. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| Les règles de calcul sur les inégalités (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| La factorisation (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| Résoudre une équation du second degré (première, 16-17 ans) |
|
| Les fonctions du second degré et leur courbe (seconde-première, 15-17 ans) |
|
| La racine carrée (4e, 13-14 ans) |
|
| La droite graduée et les intervalles (5e-seconde, 12-16 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour deux racines, à l’extérieur (ax² + bx + c > 0)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Plus petite racine α | =(-B2-RACINE(B4))/(2*B1) |
| Plus grande racine β | =(-B2+RACINE(B4))/(2*B1) |
| Ensemble des solutions (extérieur) | ="x < "&B5&" ou "&B6&" < x" |
Tableau pour deux racines, entre les racines (ax² + bx + c < 0)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Plus petite racine α | =(-B2-RACINE(B4))/(2*B1) |
| Plus grande racine β | =(-B2+RACINE(B4))/(2*B1) |
| Ensemble des solutions (entre) | =B5&" < x < "&B6 |
Tableau pour trouver le discriminant D = b² − 4ac
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Nombre de points communs avec l’axe des abscisses | =SI(B4>0;2;SI(B4=0;1;0)) |
Tableau pour vérifier le changement de signe quand le coefficient de x² est négatif
| Coefficient de x², a | -1 |
| Coefficient de x, b | 4 |
| Terme constant c | -3 |
| Coefficient de x² multiplié par −1 | =-B1 |
| Coefficient de x multiplié par −1 | =-B2 |
| Terme constant multiplié par −1 | =-B3 |
| Discriminant après le changement (le même qu’avant) | =B5^2-4*B4*B6 |
Une fois le tableau collé, les trois premières lignes (les coefficients a, b et c) sont vos données et les lignes suivantes se calculent automatiquement.
« ^ » indique une puissance, « RACINE » donne la racine carrée et « & » colle des textes ensemble.
Les deux premiers tableaux utilisent a = 1, b = −3, c = 2 (soit x² − 3x + 2). Le discriminant vaut 1, les bornes sont 1 et 2, et les solutions sont « x < 1 ou 2 < x » (extérieur) et « 1 < x < 2 » (entre). Si vous entrez des coefficients qui rendent le discriminant négatif, RACINE renvoie une erreur : vérifiez d’abord le nombre de points communs avec le troisième tableau.
Le troisième tableau ne calcule que le discriminant, et la fonction SI en déduit le nombre de points communs avec l’axe des abscisses (2, 1 ou 0).
Le quatrième tableau change tous les signes quand le coefficient de x² est négatif (a = −1, b = 4, c = −3). Les nouveaux coefficients sont 1, −4 et 3, et on vérifie que le discriminant vaut 4 avant comme après.
« ^ » indique une puissance, « RACINE » donne la racine carrée et « & » colle des textes ensemble.
Les deux premiers tableaux utilisent a = 1, b = −3, c = 2 (soit x² − 3x + 2). Le discriminant vaut 1, les bornes sont 1 et 2, et les solutions sont « x < 1 ou 2 < x » (extérieur) et « 1 < x < 2 » (entre). Si vous entrez des coefficients qui rendent le discriminant négatif, RACINE renvoie une erreur : vérifiez d’abord le nombre de points communs avec le troisième tableau.
Le troisième tableau ne calcule que le discriminant, et la fonction SI en déduit le nombre de points communs avec l’axe des abscisses (2, 1 ou 0).
Le quatrième tableau change tous les signes quand le coefficient de x² est négatif (a = −1, b = 4, c = −3). Les nouveaux coefficients sont 1, −4 et 3, et on vérifie que le discriminant vaut 4 avant comme après.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour deux racines, à l’extérieur (ax² + bx + c > 0)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Plus petite racine α | =(-B2-RACINE(B4))/(2*B1) |
| Plus grande racine β | =(-B2+RACINE(B4))/(2*B1) |
| Ensemble des solutions (extérieur) | ="x < "&B5&" ou "&B6&" < x" |
Tableau pour deux racines, entre les racines (ax² + bx + c < 0)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Plus petite racine α | =(-B2-RACINE(B4))/(2*B1) |
| Plus grande racine β | =(-B2+RACINE(B4))/(2*B1) |
| Ensemble des solutions (entre) | =B5&" < x < "&B6 |
Tableau pour trouver le discriminant D = b² − 4ac
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -3 |
| Terme constant c | 2 |
| Discriminant D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Nombre de points communs avec l’axe des abscisses | =SI(B4>0;2;SI(B4=0;1;0)) |
Tableau pour vérifier le changement de signe quand le coefficient de x² est négatif
| Coefficient de x², a | -1 |
| Coefficient de x, b | 4 |
| Terme constant c | -3 |
| Coefficient de x² multiplié par −1 | =-B1 |
| Coefficient de x multiplié par −1 | =-B2 |
| Terme constant multiplié par −1 | =-B3 |
| Discriminant après le changement (le même qu’avant) | =B5^2-4*B4*B6 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets réglé en français (RACINE, SI et & ont les mêmes noms). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les coefficients par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
import math
# Coefficients de l’inéquation (le premier membre a*x^2 + b*x + c est comparé à 0) et le symbole (">", ">=", "<" ou "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Rendre positif le coefficient de x^2 (s’il est négatif, multiplier les deux membres par -1 et changer le sens)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} ou {beta} {mark} x" # à l’extérieur des racines
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # entre les racines
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "tous les réels",
"<": "aucune solution", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "tous les réels" if is_greater else "aucune solution"
print(f"Discriminant D = {discriminant}")
print(f"Ensemble des solutions : {answer}")
Le programme n’utilise que la bibliothèque standard. En écrivant les coefficients avec fractions.Fraction, le signe du discriminant n’est pas faussé par les erreurs d’arrondi. Cet exemple traite x² − 3x + 2 > 0 ; à l’exécution, il affiche « Discriminant D = 1 » puis l’ensemble des solutions, x < 1 ou 2 < x (Python écrit les bornes sous forme décimale, avec un point). Modifiez les coefficients et le symbole, puis relancez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(>0\) : « à l’extérieur des racines »)
x < α ou β < x
x < \alpha \ \text{ou}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> ou </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " ou " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α ou β < x
Coefficient de \(x^{2}\) positif et deux racines (\(<0\) : « entre les racines »)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
Le discriminant (il décide de la forme des solutions)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Coefficient de \(x^{2}\) négatif (multiplier les deux membres par \(-1\) pour le rendre positif)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques (niveau lycée). Résous le problème suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Résous l’inéquation du second degré x² − 3x + 2 > 0. Donne chacun des éléments suivants : 1. La valeur du discriminant Δ = b² − 4ac 2. Les bornes (les racines de x² − 3x + 2 = 0) 3. L’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s), en précisant s’il s’agit de « l’extérieur des racines », de « l’intervalle entre les racines », de « tous les réels » ou d’« aucune solution » 4. Si le coefficient de x² était négatif, montre aussi l’étape où l’on multiplie les deux membres par −1 et où l’on change le sens de l’inégalité En Python, utilise à la fois solve_univariate_inequality de sympy et un calcul exact du discriminant avec le module fractions, et ne réponds qu’après avoir vérifié que les résultats concordent.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Résoudre une équation du second degré (discriminant et racines complexes)
Entrez a, b et c pour résoudre l’équation ax² + bx + c = 0, avec le discriminant et les étapes
Forme canonique d’une fonction du second degré (sommet, axe de symétrie, maximum et minimum)
Met y = ax² + bx + c sous forme canonique et donne le sommet, l’axe de symétrie et le maximum ou le minimum, avec les étapes et un graphique
