Calcul de débit de bois (nombre de barres et plan de coupe)

Saisissez la longueur des barres, le trait de scie, puis la longueur et la quantité de chaque pièce (8 sortes au maximum ; les lignes sans longueur sont ignorées). Le prix d’une barre peut rester vide.

Unités

Longueur de la barre (mm)

Trait de scie (épaisseur de lame, mm)

Pièces à couper (longueur et quantité)

Ligne Nom (facultatif) Longueur (mm) Qté

Prix d’une barre (€, facultatif)

Saisissez toutes les longueurs en mm (millimètres). Un trait de scie vide vaut 3 mm et une quantité vide vaut 1. Une pièce sans nom s’affiche « Pièce A » à « Pièce H ».

Résultat et figure

Saisissez la longueur des barres et la longueur et la quantité des pièces à couper dans les champs de gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le plan de coupe s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et schémas
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez la longueur des barres (2,40 m, 3 m, 4 m…) et la longueur et la quantité de chaque pièce à couper (jusqu’à 8 sortes) : vous obtenez aussitôt le nombre de barres à acheter
Le trait de scie (l’épaisseur de la lame, 3 mm par défaut) est compté : pas de mauvaise surprise du type « quatre pièces de 600 mm dans une barre de 2400 mm » (seules trois passent en réalité)
La répartition place d’abord les pièces les plus longues (First Fit Decreasing) ; s’il y a 60 pièces ou moins au total, elle cherche aussi la combinaison qui utilise le moins de barres. Vous obtenez un plan de coupe du type « Barre 1 : Pied × 2, chute 394 mm » et un schéma en barres pour chaque barre
Le calcul simple (chaque sorte de pièce coupée dans ses propres barres) est affiché à côté, pour voir combien de barres la découpe groupée fait économiser. La comparaison avec le minimum théorique (borne inférieure) indique si la répartition est optimale (impossible de faire mieux) ou approchée
Indiquez le prix d’une barre (facultatif) pour obtenir le coût estimé et l’économie réalisée. Les formules expliquées simplement et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont sur cette page

La répartition suit d’abord la méthode « les pièces les plus longues d’abord, chacune dans la première barre où elle tient » (First Fit Decreasing). Si elle n’atteint pas le minimum théorique et qu’il y a 60 pièces ou moins au total, toutes les combinaisons possibles sont examinées et la répartition qui utilise le moins de barres est retenue (la ligne « Contrôle de la répartition » du résultat indique si elle est optimale ou approchée). Au-delà de 60 pièces, le résultat suit la méthode seule et n’est pas toujours le plus petit possible. Prévoyez une marge s’il faut éviter des nœuds, du fil tranché ou des parties voilées, ou recouper les deux bouts de chaque barre. Pour compter à partir d’une surface, comme pour le carrelage ou le parquet, utilisez les pages « Calcul du carrelage » ou « Calcul de parquet ».

À quoi sert ce calcul ?

Faire ses courses pour une table, une étagère ou un banc

Par exemple, pour fabriquer une table haute avec quatre pieds de 1000 mm, deux côtés de ceinture de 600 mm et deux liens (traverses basses) de 400 mm dans des tasseaux de 2,40 m, acheter des barres séparées pour chaque pièce en demande 4, mais la découpe groupée avec les pièces les plus longues d’abord n’en demande que 3 (barre 1 : pieds × 2, barre 2 : pieds × 2, barre 3 : côtés × 2 + liens × 2, chute 388 mm).
Faire le compte avant d’aller au magasin évite un second passage parce qu’il manque une barre, ou des restes qu’on ne sait pas où ranger. Si vous faites couper en magasin, le plan de coupe permet de donner toutes les coupes d’un coup.

Lambourdes, lisses et poteaux pour terrasses et clôtures

Dans les travaux qui utilisent « beaucoup de pièces de même longueur », comme les lambourdes d’une terrasse ou les lisses d’une clôture, les traits de scie s’additionnent et changent le compte. Par exemple, pour couper des lisses de 600 mm dans des barres de 2400 mm, quatre tiennent pile sans trait de scie, mais avec 3 mm \(4 \times 600 + 3 \times 3 = 2409\) mm : il manque 9 mm pour la quatrième, et seulement 3 tiennent par barre. Pour 40 lisses, il faut \(\lceil 40 \div 3 \rceil = 14\) barres, pas 10.
Il suffit de passer de 600 mm à 597 mm pour en loger 4 par barre et revenir à 10 barres : vérifier dès la conception « combien de pièces de cette longueur tiennent dans une barre » peut faire économiser beaucoup de matière.

Couper des tubes, des gaines, des profilés alu et des tringles

Les tubes PVC (barres de 4 m), les conduits électriques, les profilés aluminium, les tringles à rideaux et tout ce qui « se vend en longueur fixe et se coupe à la demande » se calculent avec les mêmes formules que le bois. Par exemple, couper cinq morceaux de 1200 mm, trois de 950 mm et un de 300 mm dans des tubes PVC de 4 m demande 3 tubes avec la découpe groupée (4 en achat séparé).
Le trait de scie, en revanche, est presque nul avec un coupe-tube et d’environ 1 mm avec une scie à métaux, selon l’outil : adaptez le trait de scie à votre outil.

Planification matière en scierie, en atelier de meubles ou de métallerie (rendement)

En atelier, la matière pèse lourd dans le coût : la part de matière qui devient produit est suivie comme rendement. Le « Rendement » de cette page est la longueur totale des pièces divisée par la longueur totale des barres achetées ; il se rapproche de 100 % quand les chutes et les traits de scie diminuent.
Les vrais ateliers répartissent des centaines de sortes de pièces sur des milliers de barres, avec des logiciels d’optimisation de coupe qui résolvent le même « problème du bin packing » que cette page. First Fit Decreasing, qui place les plus longues d’abord, y est une méthode classique pour établir un premier plan de débit.

Plinthes, corniches et autres moulures intérieures

Les plinthes (en bas des murs) et les corniches (en haut) se vendent en longueurs comme 2 m, 2,20 m ou 2,40 m et se coupent à la longueur de chaque mur. Par exemple, pour poser des plinthes de 2,40 m dans une pièce dont les murs font 1500 mm, 1300 mm, 1500 mm et 1300 mm (ouvertures déduites), un morceau de 1500 et un de 1300 ne tiennent pas dans une même barre : même la découpe groupée demande 4 barres (la borne inférieure est de 3, mais elle ne peut pas être atteinte).
Dès qu’un seul mur dépasse la moitié de la longueur de la barre, on ne peut plus réduire le compte : cela aide à décider tôt s’il faut accepter des raccords (coupes d’onglet) ou choisir une autre longueur de barre.

Formules et schémas

Nombre de pièces dans une barre

Schéma

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(m\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(L\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(l\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(m\) : pièces par barre \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① \(L\) : longueur de la barre \(+\) ② \(k\) : trait de scie \()\) \(\div\) \((\) ③ \(l\) : longueur de la pièce \(+\) \(k\) : trait de scie \()\) \(\rfloor\)

La formule en mots

① On prend la \(L\) : longueur de la barre

② on ajoute un \(k\) : trait de scie

③ , on divise par la \(l\) : longueur de la pièce augmentée du trait de scie \(k\), et on arrondit à l’entier inférieur (le symbole \(\lfloor\ \rfloor\) veut dire « arrondir au-dessous »)

④ pour obtenir le \(m\) : pièces par barre

Exemple simple

Pour couper des pieds de 1000 mm dans un tasseau de 2400 mm avec un trait de scie de 3 mm, le nombre de pièces par barre est

\(m\) : pièces \(=\) \(\lfloor\) \((\) barre (2400 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) pièce (1000 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\((2400 + 3) \div (1000 + 3) = 2403 \div 1003 \approx 2{,}40\)

\(\lfloor 2{,}40 \rfloor = 2\)

L’idée clé

Pourquoi ajouter le trait de scie à la fois à la barre et à la pièce ? Pour couper \(n\) pièces dans une barre, il ne faut que \(n - 1\) coupes, pas \(n\) (la dernière pièce peut aller jusqu’au bout de la barre, sans coupe). Donc \(n\) pièces tiennent si \(n \times l + (n - 1) \times k \leqslant L\). En ajoutant \(k\) des deux côtés, on obtient \(n \times (l + k) \leqslant L + k\) : il suffit de compter chaque pièce pour \(l + k\) et la barre pour \(L + k\), puis de diviser. Sur les chantiers, on compte aussi plus simplement : on ajoute « longueur de la pièce + trait de scie » pour chaque pièce et on vérifie que cela tient dans la barre (soit \(n\) coupes). Ce calculateur utilise le décompte en \(n - 1\) ci-dessus ; il peut donc trouver une pièce de plus que le calcul simplifié. Si vous recoupez les deux bouts de chaque barre (bouts inutilisables), retirez-les de la longueur de la barre avant de la saisir. Oublier le trait de scie peut fausser le compte. Par exemple, une pièce de 600 mm fait exactement le quart d’une barre de 2400 mm : sans trait de scie, quatre pièces tiendraient. Avec 3 mm, \(4 \times 600 + 3 \times 3 = 2409 > 2400\) : il manque 9 mm pour la quatrième pièce, et seulement \(\lfloor 2403 \div 603 \rfloor = 3\) pièces tiennent.

Barres en achetant chaque pièce séparément

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{sép}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(B_i\) : barres nécessaires pour la pièce \(i\) seule \(=\) \(\lceil\) ① \(q_i\) : quantité de la pièce \(i\) \(\div\) ② \(m_i\) : pièces par barre \(\rceil\)

⑤ \(B_{\text{sép}}\) : total des barres en achat séparé \(=\) ④ la somme des \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) de chaque pièce

La formule en mots

① On divise la \(q_i\) : quantité de la pièce \(i\)

② par les \(m_i\) : pièces par barre et on arrondit à l’entier supérieur (le symbole \(\lceil\ \rceil\) veut dire « arrondir au-dessus »)

③ pour obtenir les \(B_i\) : barres nécessaires pour la pièce \(i\) seule

④ Ensuite, la somme des \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) de chaque pièce donne le

⑤ \(B_{\text{sép}}\) : total des barres en achat séparé

Exemple simple

Pour une table haute avec quatre pieds de 1000 mm, deux côtés de 600 mm (la ceinture sous le plateau) et deux liens de 400 mm (les traverses basses entre les pieds) coupés dans des barres de 2400 mm (trait de scie 3 mm), si chaque sorte de pièce a ses propres barres, le nombre de barres est

\(\text{Pieds : } \lceil 4 \div 2 \rceil = 2,\quad \text{Côtés : } \lceil 2 \div 3 \rceil = 1,\quad \text{Liens : } \lceil 2 \div 5 \rceil = 1\)

\(B_{\text{sép}} = 2 + 1 + 1 = 4\)

L’idée clé

Acheter des barres séparées pour chaque sorte de pièce, « des barres pour les pieds » et « des barres pour les côtés », correspond à ce calcul simple. Deux pieds tiennent dans une barre, donc quatre pieds demandent 2 barres ; trois côtés tiennent dans une barre, donc deux côtés demandent 1 barre (avec de la place pour un de plus) ; cinq liens tiennent dans une barre, donc deux demandent 1 barre (avec de la place pour trois de plus). Soit 4 barres au total. Cette méthode est facile à raisonner et la découpe est simple, mais les barres des côtés et des liens gardent beaucoup de reste. La « découpe groupée », qui suit, réduit le nombre de barres en logeant d’autres pièces dans ces restes.

Découpe groupée (pièces les plus longues d’abord) et chutes

Schéma

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(w\) \(=\) \(L\) \(-\) \(l_1 + l_2 + \cdots + l_n\) \(-\) \(n\) \(\times\) \(k\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ \(w\) : chute d’une barre \(=\) ① \(L\) : longueur de la barre \(-\) ② la longueur totale \(l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n\) des pièces coupées dans cette barre \(-\) ③ \(n\) : pièces coupées dans cette barre \(\times\) ④ \(k\) : trait de scie

La formule en mots

① De la \(L\) : longueur de la barre

② on retire la longueur totale \(l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n\) des pièces coupées dans cette barre , puis on retire aussi

③ \(n\) : pièces coupées dans cette barre fois

④ \(k\) : trait de scie (le bois perdu à chaque coupe)

⑤ pour obtenir la \(w\) : chute d’une barre (si le résultat est négatif, la dernière pièce va jusqu’au bout de la barre et la chute vaut 0)

Exemple simple

Avec la découpe groupée de l’exemple ci-dessus (quatre pieds de 1000 mm, deux côtés de 600 mm, deux liens de 400 mm) dans des barres de 2400 mm, la barre 3 reçoit les deux côtés et les deux liens, et sa chute est

\(w\) : chute \(=\) barre (2400 mm) \(-\) total des pièces (600 + 600 + 400 + 400 mm) \(-\) pièces (4) \(\times\) trait de scie (3 mm)

\(2400 - (600 + 600 + 400 + 400) - 4 \times 3 = 2400 - 2000 - 12 = 388\)

L’idée clé

La répartition en découpe groupée suit ces trois étapes (First Fit Decreasing, « les plus longues d’abord, à la première place où elles tiennent ») : 1) Trier toutes les pièces de la plus longue à la plus courte (les pièces de même longueur gardent l’ordre des lignes saisies). 2) En partant de la première pièce, la placer dans la première barre dont le reste est au moins égal à sa longueur. Le reste de cette barre diminue de « longueur de la pièce + trait de scie ». 3) Si elle ne tient dans aucune barre, ajouter une nouvelle barre et l’y placer. Dans l’exemple, triées de la plus longue, les pièces sont 1000, 1000, 1000, 1000, 600, 600, 400, 400. La barre 1 reçoit deux 1000 (il reste 394 mm, un troisième 1000 ne tient pas), la barre 2 deux 1000, et la barre 3 les deux 600, ce qui laisse 1194 mm : les deux 400 tiennent et il reste 388 mm. Soit 3 barres au total, une de moins que les 4 barres de l’achat séparé. Cette méthode est simple et donne de bons résultats, mais elle ne trouve pas toujours le plus petit nombre de barres. Par exemple, pour couper quatre pièces de 900 mm, deux de 800 mm et deux de 600 mm dans des barres de 2400 mm (trait de scie 3 mm), elle utilise 4 barres, alors que la combinaison « 900 + 800 + 600 » sur deux barres et « 900 + 900 » sur une barre n’en demande que 3. La méthode « plus longues d’abord » met d’abord deux 900 dans chaque barre et passe à côté de cette combinaison. On démontre qu’elle utilise au plus environ 1,22 fois le minimum plus 1 barre, et si elle atteint le « minimum théorique » ci-dessous, c’est la preuve qu’elle est au plus bas. Donc, quand la méthode n’atteint pas le minimum théorique et qu’il y a 60 pièces ou moins au total, ce calculateur examine « toutes les façons de remplir chaque barre en y mettant toujours la plus longue pièce restante » (recherche par séparation et évaluation) et retient la répartition qui utilise le moins de barres. L’exemple 900, 800 et 600 ci-dessus s’affiche ainsi avec 3 barres grâce à la recherche. La ligne « Contrôle de la répartition » du résultat indique si la recherche est allée au bout ; au-delà de 60 pièces, le résultat est la répartition approchée de la méthode.

Minimum théorique (borne inférieure)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(l_i + k)\) \(\div\) \((L + k)\) \(\rceil\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(B_{\min}\) : minimum théorique \(=\) \(\lceil\) ① la somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces, \(\sum_i q_i\,(l_i + k)\) \(\div\) ② longueur de la barre + trait de scie, \(L + k\) \(\rceil\)

La formule en mots

① On divise la somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces, \(\sum_i q_i\,(l_i + k)\)

② par longueur de la barre + trait de scie, \(L + k\) et on arrondit à l’entier supérieur

③ pour obtenir le \(B_{\min}\) : minimum théorique

Exemple simple

Pour l’exemple ci-dessus (quatre pieds de 1000 mm, deux côtés de 600 mm, deux liens de 400 mm, barres de 2400 mm, trait de scie 3 mm), le minimum théorique est

\(4 \times (1000 + 3) + 2 \times (600 + 3) + 2 \times (400 + 3) = 4012 + 1206 + 806 = 6024\)

\(6024 \div (2400 + 3) = 6024 \div 2403 \approx 2{,}51\)

\(\lceil 2{,}51 \rceil = 3\)

L’idée clé

Comme le montrait la formule du nombre de pièces par barre, les pièces d’une même barre vérifient « somme des (longueur + trait de scie) des pièces ⩽ longueur de la barre + trait de scie ». Quelle que soit l’astuce de répartition, on ne peut donc pas utiliser moins de barres que la somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces divisée par \(L + k\). C’est la borne inférieure (une valeur en dessous de laquelle on ne peut pas descendre). Si la découpe groupée atteint cette borne inférieure, le nombre de barres est confirmé comme le plus petit possible (optimal). L’exemple utilise 3 barres, égal à la borne inférieure de 3 : il est optimal. Sinon, une autre combinaison pourrait utiliser moins de barres, mais la borne inférieure veut seulement dire « pas moins que cela » et n’est pas toujours atteignable. Par exemple, pour couper trois pièces de 1250 mm dans des barres de 2400 mm (trait de scie 3 mm), la borne inférieure vaut \(\lceil 3759 \div 2403 \rceil = 2\), mais une seule pièce de 1250 mm tient dans une barre : toute combinaison demande 3 barres. Ce calculateur examine les combinaisons jusqu’à 60 pièces : un résultat marqué « vérifié en examinant toutes les combinaisons » est le minimum, même au-dessus de la borne inférieure.

Barres économisées et coût estimé

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{sép}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\Delta\) : barres économisées \(=\) ① \(B_{\text{sép}}\) : barres en achat séparé \(-\) ② \(B\) : barres avec la découpe groupée

⑤ \(T\) : coût estimé \(=\) ④ \(u\) : prix d’une barre \(\times\) \(B\) : barres avec la découpe groupée

La formule en mots

① Des \(B_{\text{sép}}\) : barres en achat séparé

② on retire les \(B\) : barres avec la découpe groupée

③ pour obtenir les \(\Delta\) : barres économisées ,

④ et on multiplie le \(u\) : prix d’une barre par les barres de la découpe groupée \(B\)

⑤ pour obtenir le \(T\) : coût estimé

Exemple simple

Dans l’exemple ci-dessus, avec des tasseaux de 2,40 m à 12,50 € pièce, les barres économisées et le coût sont

\(\Delta = 4 - 3 = 1\)

\(T = 12{,}50 \times 3 = 37{,}50\)

\(12{,}50 \times 4 - 37{,}50 = 12{,}50\)

L’idée clé

Le coût en achat séparé vaut \(u \times B_{\text{sép}}\) et avec la découpe groupée \(u \times B\) : la différence vaut donc \(u \times \Delta\). Saisissez le prix d’une barre. Si le bois est vendu au mètre linéaire ou au m³ plutôt qu’à la pièce, convertissez d’abord en prix par barre. Le coût ne comprend que le bois, sans la découpe en magasin, la livraison ni la finition.

Le nombre de pièces que l’on peut couper dans une barre se calcule avec « (longueur de la barre + trait de scie) ÷ (longueur de la pièce + trait de scie) », arrondi à l’entier inférieur. Avec plusieurs sortes de pièces, la découpe groupée, qui place les pièces les plus longues d’abord dans la première barre où elles tiennent, réduit le nombre de barres. Si ce nombre atteint le « minimum théorique », on ne peut pas faire mieux. Sinon, le calculateur examine les combinaisons (jusqu’à 60 pièces) pour trouver la répartition qui utilise le moins de barres.

Symboles et termes

Symboles

\(L\)	L majuscule	La longueur de la barre (mm), c’est-à-dire la longueur d’une pièce de bois achetée. Initiale de « longueur », en majuscule pour la distinguer de la longueur de la pièce \(l\).
\(l\), \(l_i\)	l minuscule, l indice i	La longueur d’une pièce (un morceau à couper, en mm). Le \(i\) de \(l_i\) est le numéro de la \(i\)-ième sorte de pièce (il y en a plusieurs : pieds, côtés, liens).
\(k\)	k	Le trait de scie (l’épaisseur de la lame, en mm). Chaque coupe enlève cette longueur de bois. Initiale de « kerf », le mot anglais pour le trait de scie.
\(m\), \(m_i\)	m, m indice i	Le nombre de pièces que l’on peut couper dans une barre. Il se calcule avec \(m = \lfloor (L + k) \div (l + k) \rfloor\).
\(q_i\)	q indice i	La quantité nécessaire de la pièce \(i\). Initiale de « quantité ».
\(B_i\), \(B_{\text{sép}}\)	B indice i, B indice sép	\(B_i\) est le nombre de barres nécessaires pour la pièce \(i\) seule (\(\lceil q_i \div m_i \rceil\)). \(B_{\text{sép}}\) est le total quand chaque pièce est achetée séparément (la somme des \(B_i\)).
\(B\)	B	Le nombre de barres nécessaires avec la découpe groupée (les pièces les plus longues d’abord). C’est la valeur principale de cette page.
\(n\)	n	Le nombre de pièces coupées dans une barre donnée. Initiale de « nombre ». Dans la formule de la chute, il donne combien de traits de scie retirer.
\(w\)	w	La chute d’une barre (la longueur inutilisée, en mm). Initiale de « waste », le mot anglais pour la perte.
\(B_{\min}\)	B indice min	Le nombre minimum théorique de barres (borne inférieure). Il se calcule avec \(\lceil \sum_i q_i (l_i + k) \div (L + k) \rceil\) ; si le nombre de la découpe groupée \(B\) lui est égal, la répartition est optimale. « min » est l’abréviation de minimum.
\(\Delta\)	delta	Les barres économisées, \(B_{\text{sép}} - B\). La lettre grecque delta sert souvent à noter une différence (elle correspond au d de « différence »).
\(u\)	u	Le prix d’une barre (€). Initiale de « unitaire » (prix unitaire).
\(T\)	T	Le coût estimé (€). Initiale de « total ». Bois seul, sans la découpe en magasin ni la livraison.
\(\lfloor x \rfloor\)	partie entière de x	Le symbole qui arrondit à l’entier inférieur (partie entière). Exemple : \(\lfloor 2{,}40 \rfloor = 2\), \(\lfloor 3 \rfloor = 3\). Le nombre de pièces que l’on peut couper laisse tomber ce qui ne tient pas, d’où ce symbole.
\(\lceil x \rceil\)	partie entière supérieure de x	Le symbole qui arrondit à l’entier supérieur. Exemple : \(\lceil 2{,}51 \rceil = 3\), \(\lceil 2 \rceil = 2\). Le nombre de barres à acheter ajoute une barre dès qu’il en manque un peu, d’où ce symbole.
\(\sum\)	sigma	Le symbole qui veut dire « tout additionner ». \(\sum_i q_i (l_i + k)\) signifie calculer \(q_i (l_i + k)\) pour chaque sorte de pièce \(i\) et tout additionner. C’est la lettre grecque sigma, qui correspond au S de « somme ».

Termes

longueur de barre	La longueur standard dans laquelle le bois, l’acier, les tubes, etc. sont vendus (on parle aussi de longueur commerciale). En France, les tasseaux se vendent surtout en 2,40 m (parfois 2,50 m), les chevrons et les lambourdes en 2 m, 2,40 m, 3 m ou 4 m, et les tubes PVC d’évacuation en 4 m.
trait de scie	La largeur de bois enlevée par la lame à chaque coupe. Une lame de scie circulaire fait souvent entre 1,5 et 3 mm, et compter environ 3 mm avec les éclats et le trait de crayon est courant. Si vous connaissez l’épaisseur de votre lame (souvent gravée dessus), saisissez-la. Il s’additionne à chaque coupe, donc il compte surtout quand on coupe beaucoup de pièces courtes.
débit	En menuiserie, la liste des pièces à couper avec leurs dimensions, et la façon de les tirer des barres ou des planches (feuille de débit, plan de coupe). Cette page traite le débit en une dimension, en longueur seulement, pas les découpes en deux dimensions dans des plaques de contreplaqué.
chute	Le morceau de matériau qui reste une fois les pièces coupées, au bout d’une barre. Moins il y a de chutes, moins on gaspille de matière et plus le rendement est élevé.
découpe groupée	Couper différentes sortes de pièces dans la même barre, en logeant d’autres pièces dans le reste au lieu d’avoir des barres séparées « pour les pieds » et « pour les côtés ». Elle utilise souvent moins de barres que l’achat par sorte de pièce, et le plan de coupe de cette page montre comment faire.
First Fit Decreasing (FFD)	Une méthode qui place les objets « du plus grand au plus petit (Decreasing), à la première place où ils tiennent (First Fit) ». C’est une méthode approchée classique du problème du bin packing, utilisée pour la découpe groupée de cette page. Simple, elle donne de bons résultats et reste au plus à environ 1,22 fois le minimum plus 1, mais elle ne trouve pas toujours le minimum. Quand elle n’atteint pas la borne inférieure, ce calculateur cherche le plus petit nombre de barres par séparation et évaluation (jusqu’à 60 pièces).
problème du bin packing	Le problème qui consiste à ranger des objets de tailles variées dans des boîtes de taille fixe en utilisant le moins de boîtes possible (on dit aussi problème de remplissage de boîtes). Couper des pièces dans des barres (barres = boîtes, pièces = objets) en est la version à une dimension. Avec beaucoup d’objets, le travail pour trouver le meilleur rangement augmente très vite ; en pratique, on utilise largement des méthodes approchées classiques comme FFD.
séparation et évaluation	Une méthode de recherche (branch and bound en anglais) qui essaie les combinaisons en les séparant en branches, et qui abandonne toute branche qui ne peut pas faire mieux que le meilleur résultat déjà trouvé : on trouve ainsi la solution optimale sans tout essayer. Sur cette page, chaque façon de remplir une barre est une branche, et les branches où « barres utilisées + borne inférieure des pièces restantes » atteint le meilleur résultat sont abandonnées.
rendement	La part de la matière qui finit dans les pièces (rendement matière). Sur cette page, c’est « longueur totale des pièces ÷ longueur totale des barres achetées » ; il se rapproche de 100 % quand les chutes et les traits de scie diminuent.
borne inférieure	Une valeur « en dessous de laquelle on ne peut pas descendre, quelle que soit l’astuce ». Le minimum théorique de cette page est une borne inférieure ; si la répartition l’atteint, elle est optimale. Mais elle n’est pas toujours atteignable (trois pièces de 1250 mm dans des barres de 2400 mm donnent une borne inférieure de 2, mais il faut 3 barres).
solution optimale	La meilleure réponse parmi toutes les façons possibles. Sur cette page, c’est « la répartition qui utilise le moins de barres ». Si la découpe groupée atteint la borne inférieure, elle est optimale. Sinon, elle l’est aussi quand l’examen de toutes les combinaisons confirme qu’on ne peut pas utiliser moins de barres.
section	Les dimensions du bout d’une pièce de bois, par exemple 44 × 44 mm pour un tasseau ou 63 × 75 mm pour un chevron. Les bois rabotés ont une section un peu plus petite que les bois bruts de même usage. La longueur, elle, est vendue telle qu’annoncée (une barre de 2,40 m fait 2400 mm).
tasseau	Une baguette de bois de petite section carrée ou rectangulaire (par exemple 44 × 44 mm en sapin raboté), la pièce de bois la plus facile à trouver en magasin de bricolage pour les ossatures et les petits meubles. Elle se vend surtout en 2,40 m, parfois en 2,50 m.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Division avec reste (CE2-CM1, 8-10 ans)	Comprendre que, dans une division comme « 2400 ÷ 1000 = 2, reste 400 », le quotient dit combien de pièces on obtient et le reste combien il en reste
Arrondis (CM1, 9-10 ans)	Connaître la différence entre arrondir au-dessous, arrondir au-dessus et arrondir au plus proche Savoir expliquer avec ses propres mots pourquoi le nombre de pièces que l’on peut couper s’arrondit au-dessous, alors que le nombre de barres à acheter s’arrondit au-dessus
Division décimale (CM2-6e, 10-12 ans)	Se faire une idée de la taille d’un quotient comme \(2403 \div 1003 \approx 2{,}40\) (la calculatrice peut faire le calcul)
Calcul littéral et inéquations (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir écrire une condition avec des lettres, par exemple « \(n\) pièces tiennent si \(n \times l + (n-1) \times k \leqslant L\) » Savoir qu’ajouter le même nombre des deux côtés d’une inégalité ne la change pas (le passage à \(n(l + k) \leqslant L + k\))
Proportions et pourcentages (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir écrire une proportion en pourcentage, comme le rendement « longueur totale des pièces ÷ longueur totale des barres × 100 »

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le nombre de pièces par barre

Longueur de la barre (mm)	2400
Longueur de la pièce (mm)	1000
Trait de scie (mm)	3
Pièces par barre	=ENT((B1+B3)/(B2+B3))

Tableau pour trouver les barres en achetant chaque pièce séparément

Quantité de la pièce	4
Pièces par barre	2
Barres nécessaires	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour trouver la chute d’une barre

Longueur de la barre (mm)	2400
Longueur totale des pièces coupées dans la barre (mm)	2000
Pièces coupées dans la barre	4
Trait de scie (mm)	3
Chute (mm)	=MAX(0;B1-B2-B3*B4)

Tableau pour trouver le minimum théorique

Somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces (mm)	6024
Longueur de la barre + trait de scie (mm)	2403
Minimum théorique	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour trouver les barres économisées et le coût estimé

Barres en achat séparé	4
Barres avec la découpe groupée	3
Prix d’une barre (€)	12,5
Barres économisées	=B1-B2
Coût estimé (€)	=B3*B2

Une fois collé, les premières cellules de la colonne B sont vos données et la dernière ligne se calcule toute seule.
« ENT(valeur) » est la fonction qui arrondit à l’entier inférieur (⌊ ⌋ dans les formules) et « ARRONDI.SUP(valeur ; 0) » arrondit à l’entier supérieur (⌈ ⌉).
B4 du premier tableau vaut 2, B3 du deuxième 2, B5 du troisième 388 mm, B3 du quatrième 3, et le cinquième donne 1 barre économisée et un coût de 37,50 €.
La répartition « plus longues d’abord » elle-même consiste à trier les pièces de la plus longue à la plus courte et à les affecter aux barres une à une, un travail manuel dans un tableur. Utilisez le tableur pour vérifier les pièces par barre, les chutes et la borne inférieure, et cette page ou le code Python ci-dessous pour le plan de coupe.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le nombre de pièces par barre

Longueur de la barre (mm)	2400
Longueur de la pièce (mm)	1000
Trait de scie (mm)	3
Pièces par barre	=ENT((B1+B3)/(B2+B3))

Tableau pour trouver les barres en achetant chaque pièce séparément

Quantité de la pièce	4
Pièces par barre	2
Barres nécessaires	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour trouver la chute d’une barre

Longueur de la barre (mm)	2400
Longueur totale des pièces coupées dans la barre (mm)	2000
Pièces coupées dans la barre	4
Trait de scie (mm)	3
Chute (mm)	=MAX(0;B1-B2-B3*B4)

Tableau pour trouver le minimum théorique

Somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces (mm)	6024
Longueur de la barre + trait de scie (mm)	2403
Minimum théorique	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour trouver les barres économisées et le coût estimé

Barres en achat séparé	4
Barres avec la découpe groupée	3
Prix d’une barre (€)	12,5
Barres économisées	=B1-B2
Coût estimé (€)	=B3*B2

Les mêmes formules qu’Excel (dont ENT, ARRONDI.SUP et MAX) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Python

import math

stock_length = 2400      # longueur de la barre (mm). Un tasseau de 2,40 m
kerf = 3                 # trait de scie (épaisseur de la lame, mm)
unit_price = 12.50       # prix d’une barre (€)
# pièces à couper : (nom, longueur en mm, quantité)
parts = [("Pied", 1000, 4), ("Côté", 600, 2), ("Lien", 400, 2)]

# barres en achetant chaque pièce séparément (on divise par les pièces par barre et on arrondit au-dessus)
stocks_separate = 0
for name, length, qty in parts:
    per_stock = (stock_length + kerf) // (length + kerf)   # arrondi au-dessous (le ⌊ ⌋ de la formule)
    stocks_separate += math.ceil(qty / per_stock)           # arrondi au-dessus (le ⌈ ⌉ de la formule)

# découpe groupée : les pièces les plus longues d’abord, dans la première barre où elles tiennent (First Fit Decreasing)
items = sorted([(length, name) for name, length, qty in parts for _ in range(qty)], key=lambda t: -t[0])
stocks = []   # un {"parts": [...], "remaining": longueur restante} par barre
for length, name in items:
    for stock in stocks:
        if length <= stock["remaining"]:
            stock["parts"].append((name, length))
            stock["remaining"] = max(0, stock["remaining"] - length - kerf)
            break
    else:
        stocks.append({"parts": [(name, length)], "remaining": max(0, stock_length - length - kerf)})

# minimum théorique (borne inférieure)
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (length + kerf) for name, length, qty in parts) / (stock_length + kerf))

print(f"Barres en achetant chaque pièce séparément : {stocks_separate}")
print(f"Barres avec la découpe groupée : {len(stocks)} (minimum théorique {lower_bound})")
for i, stock in enumerate(stocks, 1):
    names = " + ".join(f"{name} {length}" for name, length in stock["parts"])
    print(f"  Barre {i} : {names}  chute {stock['remaining']} mm")
print(f"Barres économisées : {stocks_separate - len(stocks)}")
print(f"Coût estimé : {unit_price * len(stocks):.2f} €")

Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « // » est la division arrondie à l’entier inférieur (le ⌊ ⌋ des formules) et math.ceil() arrondit à l’entier supérieur (le ⌈ ⌉). Ce code n’applique que la méthode « plus longues d’abord » (First Fit Decreasing) : si le calculateur de cette page trouve moins de barres en examinant les combinaisons, les résultats peuvent différer (ils sont identiques quand le résultat atteint la borne inférieure). Le else de la boucle for s’exécute quand la boucle se termine sans break (la pièce ne tient dans aucune barre) et ajoute une nouvelle barre. Remplacez la longueur de la barre, le trait de scie et la liste des pièces en haut par vos valeurs, puis lancez le code.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Nombre de pièces dans une barre

m = ⌊(L + k) ÷ (l + k)⌋

m = \left\lfloor \frac{L + k}{l + k} \right\rfloor

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
  </mrow>
</math>

m = |__ (L + k) / (l + k) __|

Floor[(L + k)/(l + k)]

m := floor((L + k)/(l + k));

m = floor((L + k)/(l + k));

m = ⌊(L + k)/(l + k)⌋

Barres en achetant chaque pièce séparément

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  B_sép = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sép}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sép</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"sép" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sép = ∑_i B_i

Découpe groupée (pièces les plus longues d’abord) et chutes

w = L − (l₁ + l₂ + … + lₙ) − n × k

w = L - \sum_{j=1}^{n} l_j - n k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>w</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>L</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>l</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

w = L - sum_(j=1)^n l_j - n k

L - Total[l] - Length[l]*k

w := L - add(l[j], j = 1 .. n) - n*k;

w = L - sum(l) - numel(l)*k;

w = L − ∑_(j=1)^n l_j − nk

Minimum théorique (borne inférieure)

Bmin = ⌈Σ qᵢ(lᵢ + k) ÷ (L + k)⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (l_i + k)}{L + k} \right\rceil

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (l_i + k)) / (L + k) ~|

Ceiling[Total[q*(l + k)]/(L + k)]

Bmin := ceil(add(q[i]*(l[i] + k), i = 1 .. n)/(L + k));

Bmin = ceil(sum(q .* (l + k))/(L + k));

B_min = ⌈(∑_i q_i (l_i + k))/(L + k)⌉

Barres économisées et coût estimé

Δ = B_sép − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{sép}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sép</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"sép" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_sép − B, T = u × B

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul pour le débit de bois en menuiserie. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et fonde ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Dans des barres de 2400 mm, avec un trait de scie de 3 mm, je coupe quatre pieds de 1000 mm, deux côtés de 600 mm et deux liens de 400 mm.
Calcule :
1. Pour chaque pièce, le nombre de pièces par barre ((2400 + 3) ÷ (longueur de la pièce + 3), arrondi à l’entier inférieur)
2. Le nombre total de barres si chaque sorte de pièce est coupée dans ses propres barres (quantité ÷ pièces par barre, arrondi à l’entier supérieur, puis additionné)
3. Le nombre de barres en plaçant les pièces les plus longues d’abord, chacune dans la première barre où elle tient (First Fit Decreasing), avec les pièces et la chute de chaque barre (chaque pièce placée réduit le reste de la barre de « longueur + trait de scie »)
4. Le nombre minimum théorique de barres (somme des (longueur + trait de scie) de toutes les pièces ÷ (2400 + 3), arrondi à l’entier supérieur)

Montre le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule