Calcul du délai de récupération (simple et actualisé)

Choisissez comment saisir les flux de trésorerie (réguliers ou irréguliers), puis saisissez l’investissement initial et les flux. Vous obtenez en combien d’années l’investissement est récupéré (délai de récupération), ainsi que le délai de récupération actualisé et le taux de rendement des flux, qui tiennent compte de la valeur temps de l’argent.

Saisie des flux de trésorerie

Investissement initial (€)

Taux d’actualisation (%)

Flux de trésorerie de la 1re année (€)

Évolution annuelle

Taux de variation (% par an)

Nombre d’années

Saisissez les montants en euros, sous forme de nombres. Saisissez l’investissement initial en montant positif (il est traité comme une sortie négative dans le calcul). En mode irrégulier, laissez vide ou mettez 0 pour une année sans mouvement d’argent, et saisissez un montant négatif (par exemple -5000) pour une année avec une dépense supplémentaire.

Résultat et graphique

Saisissez l’investissement initial et les flux de trésorerie dans les champs de gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat, un graphique et un tableau année par année s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

À partir de l’investissement initial et du flux de trésorerie de la 1re année (l’argent reçu cette année-là), calcule le délai de récupération : en combien d’années l’investissement initial est récupéré
Fonctionne que le flux de trésorerie soit le même chaque année ou qu’il augmente ou diminue d’un pourcentage fixe chaque année (mode flux réguliers)
Si les montants varient d’une année à l’autre, saisissez-les année par année (mode flux irréguliers, jusqu’à 20 ans)
Saisissez un taux d’actualisation pour obtenir aussi le délai de récupération actualisé, qui tient compte de la valeur temps de l’argent. Le taux de rendement des flux (le taux annuel, identique au TRI) est calculé quel que soit le taux d’actualisation
Affiche aussi un tableau année par année (flux cumulés, avant et après actualisation) et un graphique du moment où les flux cumulés franchissent la ligne des 0 €

Le délai de récupération calculé ici est un calcul mathématique qui ne tient pas compte des frais ni des impôts. Ce n’est pas une recommandation d’investissement. En mode flux réguliers, le moment situé en cours d’année est trouvé en considérant la hausse ou la baisse comme une variation continue (la même méthode que les calculateurs en ligne courants).

À quoi sert ce calcul ?

En combien d’années un nouvel équipement est rentabilisé (règles internes)

« Une machine de 400 000 € réduira les coûts de 150 000 € par an. » Le délai de récupération est de \(400\,000 \div 150\,000 \approx 2{,}7\) ans. Beaucoup d’entreprises fixent une règle interne comme « on valide si c’est récupéré en moins de 3 ans », et le délai de récupération est le premier test qu’un projet doit passer. C’est un argument classique non seulement pour les services financiers et le contrôle de gestion, mais aussi quand le terrain propose un nouvel équipement.
Les flux de trésorerie futurs ne sont que des estimations : une bonne pratique est de refaire aussi le calcul avec des hypothèses prudentes.

Savoir si des panneaux solaires ou des travaux d’économie d’énergie sont rentabilisés avant la fin de leur durée de vie

Si une installation solaire sur une maison coûte environ 12 000 € et fait économiser environ 1 200 € par an sur la facture d’électricité, le délai de récupération est de \(12\,000 \div 1\,200 = 10\) ans. Les panneaux solaires durent, dit-on, de 25 à 30 ans : la question clé est de savoir si le délai de récupération tient largement dans cette durée de vie. L’isolation, une pompe à chaleur ou un chauffe-eau thermodynamique se comparent de la même façon.
Le prix de l’électricité et les tarifs de rachat évoluent : saisissez un taux de variation pour voir l’effet d’un changement de ces hypothèses.

Récupérer les frais de lancement d’un commerce ou d’une franchise

À l’ouverture d’un restaurant ou d’une franchise, « en combien d’années récupère-t-on les frais de lancement » est un chiffre central du business plan. Par exemple, avec 500 000 € de frais de lancement et 125 000 € par an de flux de trésorerie attendu (ce qui reste des ventes après les charges), le délai de récupération est de 4 ans.
Juste après l’ouverture, il est difficile de prévoir la fréquentation : le mode irrégulier aide, car il permet de saisir un montant plus faible la 1re année et plus élevé ensuite.

Rentabilité d’un logiciel ou d’un outil d’automatisation

Pour un logiciel métier ou un outil d’automatisation, traduire le bénéfice en délai de récupération facilite la décision : « 60 000 € de mise en place, 30 000 € par an de temps de travail économisé, donc un délai de récupération de 2 ans ». La technologie évolue vite et un outil ne reste pas forcément longtemps en service : une récupération rapide signifie directement un risque plus faible.
Ce raisonnement est aussi courant dans les dossiers de demande de budget.

Comme mesure du risque (forces et limites du délai de récupération)

La force du délai de récupération est de résumer en un seul nombre « la brièveté de la période incertaine ». Dans les secteurs où la technologie et les modes changent vite, les prévisions à long terme sont peu fiables : une récupération rapide est donc appréciée.
En revanche, le délai de récupération a des limites bien connues : il ignore l’argent gagné après la récupération et la valeur temps de l’argent. Un investissement récupéré en 5 ans qui rapporte encore pendant 10 ans perd face à un investissement récupéré en 3 ans qui s’arrête ensuite. C’est pourquoi, en pratique, on le combine avec le délai de récupération actualisé, la VAN et le TRI.

Formules et graphiques

Délai de récupération (même montant chaque année)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(PP\) \(=\) \(I\) \(\div\) \(CF\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(PP\) : délai de récupération (années) \(=\) ① \(I\) : investissement initial \(\div\) ② \(CF\) : flux de trésorerie annuel

La formule en mots

① On prend l’ \(I\) : investissement initial

② on le divise par le \(CF\) : flux de trésorerie annuel

③ et on obtient le \(PP\) : délai de récupération

Exemple simple

Si un équipement de 100 000 € fait économiser 20 000 € par an, le délai de récupération vaut (en milliers d’euros)

\(PP\) : délai de récupération \(=\) investissement initial (100 000 €) \(\div\) flux de trésorerie annuel (20 000 €)

\(100 \div 20 = 5\)

L’idée clé

Le délai de récupération est le nombre d’années qu’il faut pour que l’argent payé au départ revienne, c’est-à-dire le temps pour atteindre le seuil de rentabilité. Plus il est court, plus vite vous récupérez votre mise, et plus la période d’incertitude est courte : c’est pourquoi on l’utilise comme mesure rapide du risque d’un investissement. Il ignore cependant ce que l’on gagne après la récupération ainsi que la valeur temps de l’argent : la pratique courante est de l’utiliser avec la VAN et le TRI.

Flux de trésorerie de chaque année quand il augmente ou diminue

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(CF_n\) \(=\) \(CF_1\) \(\times\) \((1 \pm g)\) \(n-1\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(CF_n\) : flux de trésorerie de l’année \(n\) \(=\) ① \(CF_1\) : flux de trésorerie de l’année 1 \(\times\) ② \((1 \pm g)\) : coefficient multiplicateur sur 1 an ③ \((n-1)\) : années écoulées

La formule en mots

① On prend le \(CF_1\) : flux de trésorerie de l’année 1

② on le multiplie par le \((1 \pm g)\) : coefficient multiplicateur sur 1 an (\(g\) est le taux de variation - \(1+g\) pour une hausse, \(1-g\) pour une baisse) autant de fois qu’il y a d’

③ \((n-1)\) : années écoulées

④ et on obtient le \(CF_n\) : flux de trésorerie de l’année \(n\)

Exemple simple

Si la 1re année rapporte 30 000 € et que le flux augmente de 5 % par an, le flux de trésorerie de l’année 3 vaut (en milliers d’euros)

\(CF_3\) : flux de trésorerie de l’année 3 \(=\) flux de trésorerie de l’année 1 (30 000 €) \(\times\) coefficient de hausse (1,05) années écoulées (2)

\(30 \times 1{,}05 \times 1{,}05 = 33{,}075\)

L’idée clé

« Augmenter de 5 % par an », c’est multiplier le montant de l’année précédente par 1,05, encore et encore. L’année 1 reste telle quelle, l’année 2 est multipliée une fois, l’année 3 deux fois, et ainsi de suite. Attention : le nombre de multiplications est le nombre d’années écoulées, \(n-1\). Le mode flux réguliers de ce calculateur utilise cette formule pour trouver le montant de chaque année et construire le tableau année par année.

Flux actualisé (l’argent futur ramené à sa valeur d’aujourd’hui)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(DCF_n\) \(=\) \(CF_n\) \(\div\) \((1+r)\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(DCF_n\) : flux actualisé de l’année \(n\) \(=\) ① \(CF_n\) : flux de trésorerie de l’année \(n\) \(\div\) ② \((1+r)\) : coefficient d’actualisation sur 1 an ③ \(n\) : années écoulées

La formule en mots

① On prend le \(CF_n\) : flux de trésorerie de l’année \(n\)

② on le divise par le \((1+r)\) : coefficient d’actualisation sur 1 an (\(r\) est le taux d’actualisation) élevé à la puissance des

③ \(n\) : années écoulées

④ pour obtenir le \(DCF_n\) : flux actualisé de l’année \(n\)

Exemple simple

Avec un taux d’actualisation de 10 %, le flux actualisé de 12 100 € reçus dans 2 ans vaut (en milliers d’euros)

\(DCF_2\) : flux actualisé \(=\) argent dans 2 ans (12 100 €) \(\div\) coefficient d’actualisation (1,1) années écoulées (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(12{,}1 \div 1{,}21 = 10\)

L’idée clé

L’argent a une valeur temps. Si l’on peut placer à 10 % par an, « 10 000 € aujourd’hui » et « 12 100 € dans 2 ans » ont la même valeur. Ramener ainsi l’argent futur à sa valeur d’aujourd’hui s’appelle l’actualisation, et le délai de récupération calculé avec des montants actualisés est le délai de récupération actualisé. Comme l’actualisation fait compter moins chaque montant futur, le délai actualisé est toujours plus long que le délai de récupération ordinaire.

Délai de récupération à partir d’un tableau (flux irréguliers)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(PP\) \(=\) \(k\) \(+\) \(R\) \(\div\) \(CF_{k+1}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(PP\) : délai de récupération (années) \(=\) ① \(k\) : années pleines avant la récupération \(+\) ② \(R\) : montant restant à récupérer à la fin de l’année \(k\) \(\div\) ③ \(CF_{k+1}\) : flux de trésorerie de l’année suivante

La formule en mots

① Aux \(k\) : années pleines avant la récupération (la dernière année où le cumul des flux nets est encore négatif),

② on ajoute le \(R\) : montant restant à récupérer

③ divisé par le \(CF_{k+1}\) : flux de trésorerie de l’année suivante (la fraction de cette année nécessaire pour finir de récupérer),

④ et on obtient le \(PP\) : délai de récupération

Exemple simple

S’il reste 3 500 € à récupérer à la fin de l’année 3 et que 4 000 € arrivent pendant l’année 4, le délai de récupération vaut (en milliers d’euros)

\(PP\) : délai de récupération \(=\) années pleines (3) \(+\) reste à récupérer (3 500 €) \(\div\) flux de trésorerie de l’année suivante (4 000 €)

\(3 + 3{,}5 \div 4 = 3 + 0{,}875 = 3{,}875\)

L’idée clé

Quand les montants varient d’une année à l’autre, on additionne année par année l’argent reçu moins l’investissement initial (le cumul des flux nets), et on cherche l’année où il passe du négatif au positif. Dans cette année-là, on suppose que l’argent de l’année arrive régulièrement et on fait une règle de trois (interpolation linéaire). Le mode flux irréguliers de ce calculateur applique exactement cette formule. Le délai de récupération actualisé fait la même chose avec le cumul des flux actualisés. Le mode flux réguliers (avec un taux de variation) utilise une approximation qui considère la hausse ou la baisse comme continue au sein de chaque année : son résultat peut donc différer légèrement, dans les dernières décimales, d’un calcul à la main avec cette formule.

Délai de récupération actualisé (formule exacte pour un même montant chaque année)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(DPP\) \(=\) \(-\ln\!\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+r)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(DPP\) : délai de récupération actualisé (années) \(=\) ① l’opposé du logarithme népérien \(\ln\) de 1 − (investissement initial \(I\) × taux d’actualisation \(r\) ÷ flux annuel \(CF\)) \(\div\) ② le logarithme népérien \(\ln\) de (1 + taux d’actualisation \(r\))

La formule en mots

① On prend l’ opposé du logarithme népérien \(\ln\) de 1 − (investissement initial × taux d’actualisation ÷ flux annuel),

② on le divise par le logarithme népérien \(\ln\) de (1 + taux d’actualisation)

③ et on obtient le \(DPP\) : délai de récupération actualisé

Exemple simple

Pour un investissement de 100 000 € qui rapporte 30 000 € par an, avec un taux d’actualisation de 10 %, le délai de récupération actualisé vaut (en milliers d’euros)

\(DPP\) : délai de récupération actualisé \(=\) −ln(1 − 100 × 0,1 ÷ 30) \(\div\) ln(1,1)

\(1 - \dfrac{100 \times 0{,}1}{30} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)

\(-\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 0{,}40547\)

\(\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531\)

\(0{,}40547 \div 0{,}09531 \approx 4{,}254\)

L’idée clé

\(\ln\) est le logarithme népérien (une sorte de logarithme qui indique à quelle puissance il faut élever un nombre), que l’on obtient avec la touche ln d’une calculatrice scientifique ou la fonction LN d’Excel. Le délai de récupération ordinaire du même exemple est de \(100 \div 30 \approx 3{,}333\) ans : tenir compte d’un taux d’actualisation de 10 % retarde donc la récupération d’environ 0,9 an. Cette formule vaut pour un même montant chaque année. Quand le montant augmente ou diminue, ce calculateur considère la variation comme continue et utilise une version plus générale de cette formule (avec un taux de variation de 0 %, elle donne le même résultat).

Le délai de récupération, le nombre d’années pour récupérer l’investissement initial, est la mesure la plus simple d’un investissement. Si le montant est le même chaque année, il vaut « investissement initial ÷ flux de trésorerie annuel ». Si les montants varient, cherchez le moment où le cumul des flux nets atteint 0 €. Pour tenir compte de la valeur temps de l’argent, utilisez le délai de récupération actualisé, et pour voir ce que vous gagnez après la récupération, combinez-le avec la VAN et le TRI.

Symboles et termes

Symboles

\(PP\)	p-p (délai de récupération)	Le délai de récupération (de l’anglais « payback period »). Le nombre d’années jusqu’à ce que l’investissement initial revienne, c’est-à-dire jusqu’à ce que le cumul des flux nets atteigne 0 €. (Exemple : un investissement de 100 000 € qui rapporte 20 000 € par an a un délai de récupération de 5 ans)
\(DPP\)	d-p-p (délai de récupération actualisé)	Le délai de récupération actualisé (« discounted payback period »). Le délai de récupération compté après avoir ramené l’argent futur à sa valeur d’aujourd’hui avec le taux d’actualisation. Il est toujours plus long que le délai de récupération ordinaire.
\(I\)	i	L’investissement initial, l’argent payé au départ. Dans ce calculateur, on le saisit en montant positif, et il est traité dans le calcul comme une sortie négative à l’année 0.
\(CF\), \(CF_n\)	c-f, c-f indice n	Le flux de trésorerie (« cash flow »), l’argent reçu une année donnée. \(CF_n\) est le flux de l’année \(n\). Une valeur négative est une dépense supplémentaire cette année-là.
\(DCF_n\)	d-c-f indice n	Le flux actualisé de l’année \(n\) (« discounted cash flow »). L’argent de l’année \(n\) ramené à sa valeur d’aujourd’hui.
\(g\)	g	Le taux de variation annuel du flux de trésorerie. S’il augmente de 5 % par an, \(g=0{,}05\), et chaque montant est égal à \((1+g)\) fois celui de l’année précédente.
\(r\)	r	Le taux d’actualisation, le taux annuel qui ramène l’argent futur à sa valeur d’aujourd’hui. On prend en général le taux d’emprunt ou un rendement visé.
\(n\)	n	Le nombre d’années écoulées (le numéro de l’année). Le moment de l’investissement compte comme l’année 0.
\(k\)	k	Les années pleines avant la récupération, la dernière année où le cumul des flux nets est encore négatif.
\(R\)	grand r	Le montant restant à récupérer à la fin de l’année \(k\), la part de l’investissement initial qui n’est pas encore revenue.
\(\ln\)	l-n, logarithme népérien	Le logarithme népérien. Il indique à quelle puissance il faut élever \(e\) (environ 2,718) pour obtenir le nombre. On l’obtient avec la touche ln d’une calculatrice scientifique ou la fonction LN d’Excel. Il apparaît dans la formule exacte du délai de récupération actualisé.

Termes

délai de récupération	Le temps nécessaire pour récupérer l’investissement initial, appelé aussi délai de récupération du capital investi (DRCI). Plus il est court, plus vite on récupère sa mise et plus la période incertaine est courte : le risque est donc jugé plus faible. Juger des projets d’investissement sur la brièveté de ce délai s’appelle le critère du délai de récupération.
seuil de rentabilité	Le point où gains et pertes s’équilibrent exactement. Le délai de récupération est le temps qu’il faut aux flux de trésorerie cumulés pour atteindre le seuil de rentabilité (0 €).
flux de trésorerie	Les entrées et sorties d’argent (cash-flow). L’argent reçu est un nombre positif et l’argent payé un nombre négatif. Pour le délai de récupération, ce qui compte, c’est quand et combien d’argent arrive.
cumul des flux nets	Le total de l’argent reçu jusqu’ici moins l’investissement initial. Le moment où il passe du négatif au positif est le moment de la récupération.
taux d’actualisation	Le taux annuel qui ramène l’argent futur à sa valeur d’aujourd’hui (qui l’actualise). Par exemple, 11 000 € dans un an, actualisés à 10 % par an, valent 10 000 € aujourd’hui.
flux actualisé (DCF)	Un flux de trésorerie futur ramené à sa valeur d’aujourd’hui avec le taux d’actualisation. C’est aussi la base de la méthode DCF (actualisation des flux de trésorerie), une méthode courante pour évaluer les entreprises et l’immobilier.
délai de récupération actualisé	Le délai de récupération compté avec le cumul des flux actualisés. Comme il tient compte de la valeur temps de l’argent, il est toujours plus long que le délai ordinaire, et avec un taux d’actualisation élevé, l’investissement peut ne jamais être récupéré.
interpolation linéaire	Une façon de trouver une valeur entre deux points en considérant que la ligne qui les relie est droite. Pour le délai de récupération, on suppose que l’argent de l’année suivante arrive régulièrement et on trouve le moment de la récupération en cours d’année par une règle de trois.
taux de rendement des flux	Le rendement annuel auquel correspond l’ensemble des flux de trésorerie de l’investissement. C’est le même calcul que le TRI (taux de rendement interne). Il montre en un seul nombre non seulement la vitesse de récupération, mais aussi l’ampleur du gain.
logarithme népérien	Le logarithme de base \(e\) (environ 2,718). \(\ln x\) indique à quelle puissance il faut élever \(e\) pour obtenir \(x\). On l’étudie en terminale, mais une calculatrice ou Excel peut faire le calcul.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Proportions et pourcentages (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir qu’un pourcentage se calcule par « partie ÷ total » Passer d’un nombre décimal à un pourcentage et inversement, comme 0,05 et 5 %
Nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir représenter un paiement (de l’argent qui sort) par un nombre négatif Savoir additionner des nombres positifs et négatifs et se représenter le moment où un total cumulé passe du négatif au positif
Puissances (4e, 13-14 ans)	Savoir qu’une puissance est une multiplication répétée d’un même nombre, comme \(1{,}05^2 = 1{,}05 \times 1{,}05\) Sentir que multiplier encore et encore par un nombre supérieur à 1 fait grandir, et par un nombre inférieur à 1 fait diminuer
Fonction exponentielle et logarithme népérien (terminale, 17-18 ans)	Savoir qu’un logarithme indique à quelle puissance il faut élever un nombre (utilisé dans la formule \(\ln\) du délai de récupération actualisé ; une calculatrice peut s’en charger)
Intérêts composés et valeur temps de l’argent (suites géométriques, 1re, 16-17 ans)	Savoir que de l’argent placé à un taux annuel \(r\) est multiplié par \((1+r)\) chaque année Savoir qu’inversement, diviser de l’argent futur par \((1+r)\) le ramène à sa valeur d’aujourd’hui (l’idée d’actualisation et de valeur actuelle)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le délai de récupération (même montant chaque année)

Investissement initial (€)	100000
Flux de trésorerie annuel (€)	30000
Délai de récupération (années)	=B1/B2

Tableau pour trouver le flux de trésorerie de l’année n (en hausse ou en baisse)

Flux de trésorerie de l’année 1 (€)	30000
Taux de variation (% ; une baisse en négatif)	5
Année n	3
Flux de trésorerie de l’année n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tableau pour trouver le flux actualisé

Argent reçu l’année n (€)	12100
Taux d’actualisation (%)	10
Années écoulées n	2
Flux actualisé (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tableau pour trouver le délai de récupération à partir d’un tableau (interpolation linéaire)

Années pleines avant récupération k	3
Reste à récupérer R (€)	3500
Flux de trésorerie de l’année suivante (€)	4000
Délai de récupération (années)	=B1+B2/B3

Tableau pour trouver le délai de récupération actualisé (même montant chaque année, formule exacte)

Investissement initial (€)	100000
Flux de trésorerie annuel (€)	30000
Taux d’actualisation (%)	10
Délai de récupération actualisé (années)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Le premier tableau donne 100000 ÷ 30000, soit environ 3,33 ans. Le deuxième donne 30000 × 1,05 × 1,05 = 33 075 €, et le troisième exactement 10 000 €.
Le quatrième tableau correspond au cas où il reste 3 500 € à récupérer après l’année 3 et où 4 000 € arrivent pendant l’année 4 : 3 + 3500 ÷ 4000 = 3,875 ans.
Le cinquième tableau est la formule exacte avec la fonction LN (logarithme népérien), qui donne environ 4,254 ans. Il suffit de remplacer les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le délai de récupération (même montant chaque année)

Investissement initial (€)	100000
Flux de trésorerie annuel (€)	30000
Délai de récupération (années)	=B1/B2

Tableau pour trouver le flux de trésorerie de l’année n (en hausse ou en baisse)

Flux de trésorerie de l’année 1 (€)	30000
Taux de variation (% ; une baisse en négatif)	5
Année n	3
Flux de trésorerie de l’année n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tableau pour trouver le flux actualisé

Argent reçu l’année n (€)	12100
Taux d’actualisation (%)	10
Années écoulées n	2
Flux actualisé (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tableau pour trouver le délai de récupération à partir d’un tableau (interpolation linéaire)

Années pleines avant récupération k	3
Reste à récupérer R (€)	3500
Flux de trésorerie de l’année suivante (€)	4000
Délai de récupération (années)	=B1+B2/B3

Tableau pour trouver le délai de récupération actualisé (même montant chaque année, formule exacte)

Investissement initial (€)	100000
Flux de trésorerie annuel (€)	30000
Taux d’actualisation (%)	10
Délai de récupération actualisé (années)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Les mêmes formules et la même fonction LN que dans Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Python

initial_investment = 100000                    # investissement initial (€)
discount_rate = 0.10                           # taux d'actualisation (annuel ; 10 % s'écrit 0.10)
cash_flows = [5000, 25000, 35000, 40000, 30000, 10000]   # flux de trésorerie de chaque année à partir de l'année 1 (€)

# Délai de récupération : moment, en cours d'année, où le cumul des flux nets franchit 0 €, par interpolation linéaire
def payback_period(investment, cfs):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        cumulative += cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / cf
    return None   # non récupéré dans les années saisies

# Délai de récupération actualisé : ramener d'abord l'argent de chaque année à sa valeur actuelle, puis faire de même
def discounted_payback_period(investment, cfs, rate):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        discounted_cf = cf / (1 + rate) ** year
        cumulative += discounted_cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / discounted_cf
    return None

pp = payback_period(initial_investment, cash_flows)
dpp = discounted_payback_period(initial_investment, cash_flows, discount_rate)
print(f"Délai de récupération : {pp:.3f} ans")
print(f"Délai de récupération actualisé : {dpp:.3f} ans")

Fonctionne avec la bibliothèque standard uniquement. Modifiez l’investissement initial, le taux d’actualisation et la liste des flux de trésorerie en haut du code, puis exécutez-le (l’exemple donne un délai de récupération de 3,875 ans et un délai de récupération actualisé de 5,452 ans ; Python écrit les nombres décimaux avec un point). C’est la méthode des manuels : on trouve le moment, en cours d’année, où le cumul franchit 0 € par une règle de trois (interpolation linéaire).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Délai de récupération (même montant chaque année)

PP = I ÷ CF

PP = \dfrac{I}{CF}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>I</mi>
      <mi>CF</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = I / (CF)

invest/cf

PP := invest/cf;

PP = invest/cf;

PP = I/CF

Flux de trésorerie de chaque année quand il augmente ou diminue

CFₙ = CF₁ × (1 ± g)ⁿ⁻¹

CF_n = CF_1 \times (1 \pm g)^{n-1}

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    <msub><mi>CF</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>CF</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x00B1;</mo><mi>g</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

CF_n = CF_1 (1 +- g)^(n-1)

cf1*(1 + g)^(n - 1)

cfn := cf1*(1 + g)^(n - 1);

cfn = cf1*(1 + g)^(n - 1);

CF_n = CF_1 (1 ± g)^(n−1)

Flux actualisé (l’argent futur ramené à sa valeur d’aujourd’hui)

DCFₙ = CFₙ ÷ (1 + r)ⁿ

DCF_n = \dfrac{CF_n}{(1+r)^{n}}

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    <msub><mi>DCF</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>n</mi></msub>
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        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>n</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DCF_n = (CF_n) / ((1 + r)^n)

cfn/(1 + r)^n

DCFn := cfn/(1 + r)^n;

dcfn = cfn/(1 + r)^n;

DCF_n = CF_n/(1 + r)^n

Délai de récupération à partir d’un tableau (flux irréguliers)

PP = k + R ÷ CFₖ₊₁

PP = k + \dfrac{R}{CF_{k+1}}

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    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
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    <mfrac>
      <mi>R</mi>
      <msub><mi>CF</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = k + R / (CF_(k+1))

k + rem/cfnext

PP := k + rem/cfnext;

PP = k + rem/cfnext;

PP = k + R/CF_(k+1)

Délai de récupération actualisé (formule exacte pour un même montant chaque année)

DPP = −ln(1 − I × r ÷ CF) ÷ ln(1 + r)

DPP = \dfrac{-\ln\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)}{\ln(1+r)}

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    <mi>DPP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mn>1</mn>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac>
            <mrow><mi>I</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>r</mi></mrow>
            <mi>CF</mi>
          </mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DPP = (-ln(1 - (I r) / (CF))) / (ln(1 + r))

-Log[1 - invest*r/cf]/Log[1 + r]

DPP := -ln(1 - invest*r/cf)/ln(1 + r);

DPP = -log(1 - invest*r/cf)/log(1 + r);

DPP = −ln(1 − I r/CF)/ln(1 + r)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul financier. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

J’investis 100 000 € et je reçois ces flux de trésorerie, à partir de l’année 1 : 5 000 €, 25 000 €, 35 000 €, 40 000 €, 30 000 € et 10 000 €. Le taux d’actualisation est de 10 % par an.
Calcule chacun des éléments suivants :
1. Le délai de récupération (en années, 3 décimales) = le moment où le cumul des flux nets atteint 0 € (interpolation linéaire entre les deux points où le signe change)
2. Le délai de récupération actualisé (en années, 3 décimales) = le moment trouvé de la même façon après avoir divisé le flux de chaque année par (1 + 0,1)^(numéro de l’année)
3. Le taux de rendement des flux (en %, 2 décimales) = le TRI (taux de rendement interne) de la série (année 0 = -100000, années 1 à 6 = les montants ci-dessus)

Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule